高一数学第三次月考卷（全解全析）（北师大版2019）

20232024学年高一数学下学期第三次月考卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：（北师大版2019必修第二册第一章——第六章§2直观图）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知角的终边经过点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题知，解得．故选B.2．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由图象可知，所以，其对应的点为，显然位于第二象限.故选B3．已知，则（

）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】由二倍角公式可知.故选：B4.已知向量，，则“”是“与共线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，得，，所以与共线，所以“”是“是与共线”的充分条件；由，可得，解得或，“”是“与共线”成立的不必要条件，故“”是“与共线”的充分不必要条件．故选A．5．如图，△是水平放置的直观图，其中，//轴，//轴，则（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】在△，，，由余弦定理可得：，即，而，解得；由斜二测画法可知：△中，，，，故.故选：C.6．内角的对边分别为，已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理，得，又，则，所以，从而.故选：A7．在中，，，，，则（

）A． B．4 C． D．【答案】A【解析】因为，所以，，又，，，则.故选：A.8．已知圆锥的底面圆周在球的表面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的半径为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得，得．由圆锥的高为3，可得，即，故，则球的半径．（根据圆锥的底面圆周在球的表面上，顶点为球心，可知圆锥的母线长等于球的半径）故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数，，下列结论正确的有（

）A．B．若，则C．D．若，则点z的集合所构成的图形的面积为【答案】ACD【解析】设，,对于A，，，故选项A正确；对于B，当为虚数时，可以比较大小，不能比较大小，故选项B不正确；对于C，由复数模的运算性质可知，，，所以，故选项C正确；对于D，若，则复平面内点z的集合所构成的图形是以为圆心，半径为1和的两圆之间的圆环，面积为，故选项D正确.故选：ACD10．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．的周期为6B．C．将的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称D．在区间上单调递减【答案】ABD【解析】由图可知，，所以，因为，所以，则，又，所以，则，又，所以，故，则，则，故A正确；由图象，是函数的一个对称中心，所以成立，故B正确；将的图象向右平移个单位长度，则，图象不关于原点对称，故C错误；当时，，由正弦函数的单调性与复合函数单调性的判别方式可得在区间上单调递减，故D正确；故选：ABD.11．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则为钝角三角形C．若，则为等腰三角形D．若的三角形有两解，则的取值范围为【答案】ABD【解析】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，A正确；对于B，由余弦定理，可知为钝角，B正确；对于C，因为，所以，即，所以或，即为等腰三角形或直角三角形，C不正确；对于D，因为三角形有两解，所以，即的取值范围为，D正确.故选：ABD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知复数（是虚数单位）是关于x的实系数方程在复数范围内的一个根，则.【答案】0【解析】因为在复数范围内，实系数方程的两个根是互为共轭复数的，所以实系数方程在复数范围内的另一个根是，结合韦达定理得，解得，所以.13．“弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，此图曾作为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图，在正方形中，有4个全等的直角三角形，若图中的两锐角分别为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为．【答案】【解析】因为小正方形与大正方形的面积之比为，所以，设，则，又，不妨设，，所以，，所以，又，，所以，又，所以，，所以，即，所以，即，所以.14．十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是:当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角:当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知分别是三个内角的对边，且，若点为的费马点，则.【答案】【解析】由于，所以三角形的三个角都小于，则由费马点定义可知：，设，由得：，整理得，则.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．(本小题满分13分）在中，内角所对的边分别为，(1)若，解三角形：(2)若角且的外接圆半径为．①求的面积；②求边上的高．【解】（1）因为，所以，因为，所以．所以，所以．（2）①在中，，根据余弦定理得，，，②，．16．(本小题满分15分）已知函数．(1)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向右平移个单位，最后得到函数，求函数的单调递增区间；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．【解】（1）函数，将函数的图象的横坐标缩小为原来的，得的图象，再将得到的函数图象向右平移个单位，得，由，得，所以函数的单调递增区间是.（2）由（1）知，，当时，，，因此，由恒成立，得恒成立，当时，的最大值为0，的最小值为，则，所以实数的取值范围的最值范围是.17．(本小题满分15分）如图，AB是圆柱的底面直径，AB＝2，PA是圆柱的母线且PA＝2，点C是圆柱底面圆周上的点.(1)求圆柱的侧面积和体积；(2)若AC＝1，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE＋ED的最小值.【解】（1）圆柱的底面半径r＝1，高h＝2，圆柱的侧面积.圆柱的体积.（2）将△PAC绕着PA旋转到使其与平面PAB共面，且在AB的反向延长线上.∵，，，，∴在三角形中，由余弦定理得，∴CE＋ED的最小值等于.18．(本小题满分17分）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有可见也可以表示成的三次多项式．(1)利用上述结论，求的值；(2)化简；并利用此结果求的值；(3)已知方程在上有三个根，记为，求证：.【解】（1），所以，因为，因为，，即，因为，解得（舍）.（2），故；（3）证明：因为，故可令，故由可得：．由题意得：，因，故，故，或，或，即方程（*）的三个根分别为，，，又，故，于是，.19．(本小题满分17分）设有维向量，，称为向量和的内积，当，称向量和正交．设为全体由和1构成的元数组对应的向量的集合．(1)若，写出一个向量，使得．(2)令．若，证明：为偶数．(3)若，是从中选出向量的个数的最大值，且选出的