2021-2022学年北师大版八年级下册数学期末复习 几何压轴题

八下数学期末复习专题几何压轴题专练

1.如图1,在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点(不与点BC重合)，以AD为一边在AD

的右侧作AADE,使AD=AE,NDAE=NBAC,连接CE.设NBAC=a,ZDCE=p.

(1)求证：△DAB^AEAC.

(2)当点D在线段BC上运动时，

①a=50°,则p=°.

②猜想a与0之间的数量关系，并对你的结论进行证明.

(3)如图2,当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想a与0之间的数量关系，并对你的结

论给出证明.

2.如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将aABE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形ABCD

内部，延长AF交CD于点G,AB=3,AD=4.

图1图2图3

(1)如图1,当NDAG=30。时，求BE的长；

(2)如图2,当点E是BC的中点时，求线段GC的长；

(3)如图3,点E在运动过程中，当ACFE的周长最小时，直接写出BE的长.

3.如图

(1)如图1,在DABCD中，AE平分NBAD交CD边于点E,已知AB=5cm,AD=3cm,则EC等

于cm。

(2)如图2,在oABCD中，若AE,BE分别是/DAB,/CBA的平分线，点E在DC边上，且

AB=4,贝匹ABCD的周长为。

(3)如图3,已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC,若AF,BE分别是NDAB,NCBA的平

分线。求证：DF=EC

(4)在(3)的条件下，如果AD=3,AB=5,则EF的长为。

4.已知，在^ABCD中，AB1BD,AB=BD,E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F.

(1)如图1,若点E与点C重合，且4P=遮，求AB的长；

(2)如图2,当点E在BC边上时，过点。作。GJ.4E于G，延长DG交BC于H，连接

FH.求证：AF=DH+FH;

(3)如图3,当点E在射线BC上运动时，过点。作DG_L/E于G,M为力G的中点，点N在

BC边上且BN=1，已知AB=5V2，请直接写出MN的最小值.

5.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=a,BC=b,a>b,点P是边AB上一点，连接CP,将△ACP

沿CP翻折得到^QCP.

(1)若PQ1AB,由折叠性质可得NBPC=°；

(2)若a=8,b=6,且PQ_LAB,求C到AB的距离及BP的长；

(3)连接BQ,若四边形BCPQ是平行四边形，直接写出a与b之间的关系式.

6.如图，在平行四边形ABCD中，AB1AC,对角线AC,BD相交于点0,将直线AC绕点0顺时

针旋转一个角度a(0°<a<90°)，分别交线段BC,AD于点E,F,连接BF.

(1)如图1,在旋转的过程中，写出线段AF与EC的数量关系，并证明；

(2)如图2,当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并说明理由；

(3)若AB=1,BC=通，求当a等于多少度时，BF=DF?

7.在Rt^ABC中，2.ABC=90°，BA=BC=4，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△4遇停，

其中点A,B的对应点分别为点公,/.连接AAt,BBi交于点D.

(1)如图1,当点为落在BC的延长线上时，求线段ABr的长;

(2)如图2,当&ABC旋转到任意位置时，求证：点D为线段AAi中点；

(3)若a/liBiC从图1的位置绕点C继续顺时针旋转a(0。＜a式90。)，当直线AB与直

线相交构成的4个角中最小角为30。时，求a的值.

8.如图①，在平行四边形ABCD中，AD=BD=2,BDAD,点E为对角线AC上一动点，连接DE,

将DE绕点D逆时针旋转90。得到DF,连接BF.

(1)求证BF=AE；

(2)如图②，若F点恰好落在AC,求OF的长；

(3)如图③，当点F落在aOBC的外部，构成四边形DEMF时，求四边形DEMF的面积.

9.如图

(1)如图①，在RSABC中，AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合)，将线段

AD绕点4逆时针旋转90。得到AE，连接EC,证明线段BC,DC,EC之间满足的等量关系;

(2)如图②，在RtAABC与RtAADE中，AB=AC,AD=AE,将^ADE绕点A旋转，

使点D落在BC边上，探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系，并证明结论;

(3)如图③，在四边形ABCD中，^ABC=Z.ACB=Z-ADC=45°若BD=12,CD=4,求的

长.

10.把^ABC绕着点A逆时针旋转a,得到△ADE.

(1)如图1,当点B恰好在ED的延长线上时，若a=60。，求/ABC的度数；

(2)如图2,当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分NBCE；

(3)如图3,连接CD,如果DE=DC,连接EC与AB的延长线交于点F,直接写出NF的度数(用

含a的式子表示).

11.如图1,在平面直角坐标系中.直线y=-寺％+3与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线

段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD,此时点D恰好落在直线AB上时，过点D

作DEIx轴于点E.

y

(1)求证：△BOC且ACED；

(2)如图2,将△BCO沿x轴正方向平移得△B'C'。，当直线B'C经过点D时，求点D的坐

标及△BCD平移的距离；

(3)若点P在y轴上，点Q在直线AB上.是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边

形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐；若不存在，请说明理由.

12.在等边三角形ABC中，A0，BC于0,AB=2.

图①图②图飘

(1)如图①，点E为4。的中点，则点E到AB的距离为

(2)如图②，点M为4。上一动点，求^AM+MC的最小值.

(3)(问题解决)

如图③，4B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到

AC的距离为360km.今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路.如

果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由A到M再通过公路由

M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在使AM=(千米)处.

13.已知心ZA8C中，NBAC=90。，AB=AC,点E为△ABC内一点，连接AE,CE,CEA.AE,过点8

作交AE的延长线于D

(1)如图1,求证BD=AE；

(2)如图2,点”为BC中点，分别连接E4,DH,求/EO”的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，点M为CH上的一点，连接EM,点尸为EM的中点，连接尸”,

过点D作DGLFH,交FH的延长线于点G,若GH：FH=6：5,△FHM的面积为30,NEHB=NBHG,

求线段E"的长.

14.阅读下面材料，并解决问题:

(1)如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求NAPB

的度数.

为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP，处，此时4ACPw4ABP,这样就可以

利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出/APB=；

(2)基本运用

请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：

已知如图②，△ABC中，NCAB=90。，AB=AC,E、F为BC上的点且NEAF=45。，求证：EF2

=BE2+FC2；

（3）能力提升

如图③，在RtAABC中，ZC=90°,AC=1,/ABC=30。，点。为RsABC内一点，连接AO,

BO,CO,且NAOC=/COB=NBOA=120。，求OA+OB+OC的值.

15.在△ABC和△力DE中，^BAC=^DAE=90°，且AB=AC,AD=AE.

M

图1图2图3

(1)如图1,如果点D在BC上，且B0=4,CD=3,求DE的长；

(2)如图2,AD与BC相交于点N,点D在BC下方，连接BD,且4。1，连接CE并延长

与BA的延长线交于点E点M是CA延长线上一点，且CM=AF,求证：CF=AN+MN；

(3)如图3,若AD=AB,XADE绕着点A旋转，取DE中点M,连接BM,取BM中点N,

连接AN,点F为BC中点，连接DN,若DN恰好经过点F,请直接写出DF-.DN-.AN的值.

16.如图1,△ABC是直角三角形，NACB=90。，点D在AC上，DE_LAB于，E,连接BD,点F是

(2)如图2,若4ADE绕着点A旋转，当点D落在AB上时，小明通过作△ABC和△ADE斜边上

的中线CM和EN,再利用全等三角形的判定，得到了EF和CF的数量关系，请写出此时EF和CF的

数量关系:

(3)若AAED继续绕着点A旋转到图3的位置时，EF和CF的数量关系是什么？写出你的猜想,

并给予证明.

17.我们定义：如图1、图2、图3,在AABC中，把AB绕点A顺时针旋转a(0°<a<180。)得

到AB',把AC绕点A逆时针旋转0得到AC,连接B'C',当a+6=180°时，我们称AAB'C

是AABC的“旋补三角形"，AAB'C边B'C上的中线AD叫做AABC的“旋补中线”，点A叫做“旋

补中心''.图1、图2、图3中的AAB'C均是AABC的“旋补三角形”.

“旋补中线"AD与BC的数量关系为：AD

BC；

②如图3,当LBAC=90°，BC=8时，则“旋补中线”4。长为.

(2)在图1中，当AABC为任意三角形时，猜想“旋补中线”2。与BC的数量关系，并给予证

明.

18.在平行四边形ABC。中,^BAD的角平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.

图25-1图25-2

（1）在（图25-1）中证明CE=CF；

（2）若AABC=90°，G是EF的中点（如图25-2）,求乙BDG的度数;

（3）若/.ABC=120°,FG//CE,FG=CE,分别连接8£）、OG（如图25-3）,直接写出乙BDG

的度数.

19.在。ABCD中，对角线AC、BD交于点0,将过点A的直线1绕点A旋转,交射线CD于点E,

BFJJ于点F,DGJJ于点G,连接OF,0G.

AB

图①图②

(1)如图①当点E与点C重合时，请直接写出线段OF,OG的数量关系：

(2)如图②，当点E在线段CD上时，OF与OG有什么数量关系？请证明你的结论；

(3)如图③，当点E在线段CD的延长线上时，上述的结论是否仍成立？请说明理由.

20.如图，在平行四边形ABCD中，AB1AC,对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点0顺时

针旋转一个角度a(0。〈心90。)，分别交线段BC,AD于点E,F,连接BF.

(1)如图1,在旋转的过程中，求证：OE=OF；

(2)如图2,当旋转至90。时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；

(3)若AB=1,BC=V5,且BF=DF,求旋转角度a的大小.

21.如图1,在RQABC中，ZA=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上，AD=AE,连接

DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.

(1)观察猜想：

图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；

(2)探究证明:

把4ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状，并说明

理由；

(3)拓展延伸：

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.

22.如图，已知函数y=-1x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,与函数y=x的图象交于点M,

点M的横坐标为2.

7

一-

-.2

(1)求点A的坐标；

(2)在x轴上有一动点P(a,0)(其中a>2),过点P作x轴的垂线，分别交函数y=-9+b和

y=x的图象于点C、D.

①若OB=2CD,求a的值；

②是否存在这样的点P,使以B、0、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

答案与解析

L【答案】(1)证明：VZDAE=ZBAC,

.・・ZCAD-NDAE=NCAD-ZBAC,

AZCAE=ZBAD,

在^DAB和^EAC中，

(AB=AC

\^BAD=乙CAF

(AD=AE

?.△DAB^AEAC(SAS)

(2)解：①130；

@a+p=180°,

理由：由(1)知，4DAB丝ZXEAC,

AZABC=ZACE,

在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,

AZABC=ZACB=1(180°-ZBAC)=i(180°-a)=90°-ia,

Ap=ZACB+ZACE=ZACB+ZABC=90°-|a+90°-1a=180°-a,

Aa+p=180°

(3)解：p=a；

理由：VZDAE=ZBAC,

JZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,

・・・NCAE=NBAD,

在^DAB和aEAC中，

(AB=AC

\^BAD=^CAB

(AD=AE

.*.△DAB^AEAC(SAS),

・・・NABD=NACE,

在△ABC中，AB=AC,NBAC=a,

1

，NABC=NACB=2(180°-ZBAC)=i(180°-a)=90。-1a,

/.ZACE=ZABD=180°-ZABC=180°-(90°-Ja)=90°+1a,

.\p=ZACE-ZACB=90°+1a-(90°-1a)=a.

2.【答案】(1)解：•.•四边形ABCD是矩形，

二/BAD=90。，

■:NDAG=30°,

AZBAG=60°

由折叠知，ZBAE=|ZBAG=30°,

在RtZkBAE中，ZBAE=30°,AB=3,

/.BE=V3

(2)解：如图4,连接GE,

图4

YE是BC的中点，

ABE=EC,

•••△ABE沿AE折叠后得到△AFE,

.*.BE=EF,

；.EF=EC,

•.,在矩形ABCD中，

二ZC=90°,

二NEFG=90。，

V在RtAGFE和RtAGCE中，

(EG=EG

IFF=EC

.*.RtAGFE^RtAGCE(HL),

.,.GF=GC；

设GC=x,则AG=3+x,DG=3-x,

在RtAADG中，42+(3-x)2=(3+x)2,

解得X=g.

(3)解:BE=|

3.【答案】(1)2

(2)12

(3)证明：•..在团ABCD中，CD〃AB,

•••NDFA=NFAB.

又「AF是NDAB的平分线

.-.ZDAF=ZFAB,

.-.ZDAF=ZDFA,

；.AD=DF,同理可得EC=BC.

VAD=BC,

；.DF=EC

(4)1

4.【答案】(1)解：如图1中，

AABD=90°,

•・,AB=BD,

LBAD=45°,

・・・Z,BDA=乙BAD=45°,

•・・四边形ABCD是平行四边形，

11

：.E、C重合时BF=今BD=^AB,

在RtAABF中，

vAF2=AB2+BF2,

(V5)2=(2BF)2+BF2,

：・BF=19AB=2,

AAB=2;

(2)证明：如图2中，在AF上截取AK=HD，连接BK,

vABLBD,DGLAE.

・・・Z.ABF=乙FGD=90°,

•・•Z.AFD=/LABF+42=Z-FGD+z3,Z.ABF=乙FGD=90°,

•••z2=z.3,

AB=BD

在ABK和ADBH中，42=43,

AK=HD

・•・AABK=ADBH,

・・・BK=BH,乙6=ZA,

v四边形ABCD是平行四边形，

:.AD//BC,

・•・z.4=zl,

由(1)知44=45。，

:.zi=Z6=45°,

•••z5=Z-ABD-z6=45°,

z5=zl,

BF=BF

在AFBK和AFBH中，45=,

BK=BH

：・AFBK=AFBH,

・・・KF=FH,

vAF=AK+KF,

:・AF=DH+FH；

(3)解：MN的最小值为答W.

5.【答案】(1)45

(2)解：如图，作CHJ_AB于H

由翻折的性质可知：ZAPC=ZQPC

VCH±AB,ZBPC=45°

-,.CH=PH

在RtAABC中，AB=ylAC2+BC2=V82+62=10

AB-CHAC-BC,即5CH=24

•・・CH-—24;

(3)解：如图:连接BQ

・・•四边形BCPQ是平行四边形

APQ=BC=PA=b,PQ//BC,

・・・NQPC+NPCB=180。

VZBPC+ZAPC=180°

AZPCB=ZBPC

・・・PB=BC=b

AAP=PB=b,AB=2b,

在RSABC中,则有(2b)2=a2+b2

，a2=3b2

Va>0.b>0,

a=y/3b.

6.【答案】(1)解：AF=CE.理由如下：

・・•四边形ABCD为平行四边形，

AAD//CB,OA=OC.

.•・ZFAO=ZECO.

在△/O尸和△COE中，

(Z.AOF=乙COE,

VOA=OC,

Z.FAO=乙ECO,

：.hAOF=△COE^ASA).

:.AF=CE.

(2)解：当旋转至90°时，四边形ABEF为平行四边形.理由如下:

VZAOF=90°,ZBAC=90°,

AAB〃EF.

又,:四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,即AF//BE.

・・・四边形ABEF为平行四边形

(3)解：当a等于45度时，BF=DF.理由如下：

VAB=1,BC=V5,AB1AC,

，AC==J(V5)2-I2=2-

四边形ABCD为平行四边形，

OA=*AC=2*2=1，BO=DO.

.•.OA=AB=1.点O在线段BD的垂直平分线上.

.•.△ABO为等腰直角三角形.

AZAOB=45°.

当F在线段BD的垂直平分线上时，BF=DF,

.•.F0垂直平分BD.

ZBOF=90°.

二Z.AOF=乙BOF-Z.AOB=90°-45°=45°,即a=45°.

.•.当a等于45度时，BF=DF.

7.【答案】(1)解：中，N4BC=90。，BA=BC=4,

.•.乙4cB=45°,AC=y/AB2+BC2=V42+42=4或.

V△ABC绕点C顺时针旋转得到△A^C,

二乙41cBi=45°,BiC=BC=4.

：.^ACB1=180°-^ACB-z&CBi=90°.

222收

'•ABr=JAC+BXC=J(4A⑵2+4=4

(2)证明：过点为作A\E"AB交BB]的延长线于点E,

图2

/.Z.ABD=Z-DEA1.

■:BR=BC,

乙

/.Z.CBB1=CB]B.

9：2.ABC=/-A^C=90°,

乙乙

/.Z.ABD+CBB]=CB\B+Z-A1B1E=90°.

^.A1B1E=Z-ABD=Z.DEA1.

.\A1B1=A1E.

U：AB=A^,

：.AB=AtE.

VZ4DB=^ArDE,

/.△ADB=△ArDE.

••AD=Z-ArD.

・••点D为线段AAt中点

(3)解：如图3,当直线AB与直线A1B1相交于点A上方，延长BC交为&于点E,

Wi4BC=90°,乙P=30°,

:,(PEB=60°.

・・•乙CAiBi=45°,

：./-AxCE=乙PEB-NC41E=15°.

如图4,当直线AB与直线必&相交于点A下方，延长BC交A1B1的延长线于点E,

\9Z.ABC=90°,乙P=30°,

：2PEB=60°.

^Z-A^C=90°,

AzFiCE=zlAiBiC一乙PEB=30°.

：./.AxCE=乙BRE+^ArCB=75°.

・・・当直线AB与直线41名相交构成的4个角中最小角为30。时、a的值为15。或75。.

8.【答案】（1）证明：根据旋转的性质可得，DE=DF,NEDF=90。

VBD1AD

JZADB=90°

AZADE=ZBDF

VAD=BD

，△ADE^ABDF

ABF=AE

(2)过点D作DG_LAC于点G,

VDE=DF,ZEDF=90°

/.ZDEF=ZDFE=45°,ZDEA=135°

根据(1)可得，△ADE04BDF

.\ZBFD=ZDEA=135°,AE二BF

・・・ZBFO=90°

•・,四边形ABCD为平行四边形

AOB=OD

?.△DGO^ABFO

ADG=BF,OF=OG

ADG=EG=AE=BF

设DG=a(a>0),贝ijAG=2a

在直角三角形ADG中，VAG2+DG2=AD2

(2a)2+a2=22

解得a=^

.,.OF=OG=3X^I=W

，55

(3)过点D作DN±AC于点N,将^DEN绕点D逆时针旋转90。得到△DFH,

ADH=DN,ZDNE=ZDH=90°,ZDEN=ZDFG

ZDEF=ZFME=90°

.•.ZDEM+ZDFM=180°

.\ZDFH+ZDFM=180°

・,•点H,点F,点M三点共线

丁ZDHF=ZDNM=ZFMN=90°

，四边形DNMG为矩形

・.・DN二DH

・••四边形DNMH为正方形

.-.S四边形DEMF=S四边形DNMH=（婆）

9.【答案】（1）解：•.•线段40绕点4逆时针旋转90°得到AE

•：Rt^ABC^AB=AC

••Z.BAD-Z.CAE

：4ABDACE（SAS）

DB=EC

BC=DC+DB=DC+EC

（2）解：连结CE

vRt△ABC与RtAADE中AB=AC,AD=AE

."B=4ACE=45。，DE2=AD2+AE2=2AD2,

•由（1）同理可得△ABO三△ACE

DB=EC.^ABD=AACE=45°

乙ECD=90°Rt△ECD中,DE2=EC2+CD2=BD24-CD2

2AD2=BD2+CD2

（3）解：过点A作AE1AD,且=，连结DE,CE

vZ.ABC=Z.ACB=45°•••AB1AC,AB=AC

AE1AD,AE=AD

.•.由（1）同理可得XABD三△4CE

•••DB=EC=12

V/.ADC=45°

・・・乙EDC=Z.ADC+Z.ADE=90°

・•・DE=y/CE2-CD2=V122-42=8&

・••等腰直角△ADE中AD=8

10.【答案】(1)解：Va=60°,△ABC^AADE,

・・・AD=AB,ZABC=ZADE.

JZABD=ZDAB=60°.

:.ZABC=ZADE=ZDAB+ZABD=120°.

(2)解：AC=AE,ZEAC=a,

・・・NE=NACE.

:△ABC^AADE,

・・・ZACB=ZE.

:.NACB二NACE.

・・・CA平分NBCE.

(3)解：ZF=90°-a.

如下图：延长AD交EF于点G,则根据图形旋转的性质得，NGAF=a,

△ABC^AADE

JAOAE,

・・・△AEC为等腰三角形,

在^AED和^ACD中,

AE=AC

DE=CD,

,AD=AD

：.△AEDg△ACD(SSS),

:.ZDAE=ZDAC,

・・・AD平分NEAC,

•・・△AEC为等腰三角形，

・・・AG_LEF,即NAGF=90。，

•9•Z-EAF=3Z.CAF=]

JZF=180°-/.GAF-Z.AGF=90°-a.

11.【答案】(1)证明：,:乙BOC=(BCD=cCED=90°,

:•乙OCB+乙DCE=9U°,乙DCE+乙CDE=90°,

:.Z.BCO=Z-CDE,

vBC=CD,

BOC=△CED.

(2)解:BOC名△CED,

・•・OC=DE=m,BO=CE=3,

AD(rn+3,rn),

把D(m+S/ni)代入y——+3得到，m=—^(m4-3)+3，

・・・2m=-m—3+6,

：・m=]，

A0(4,1),

•・・8(0,3),C(l,0),

・,・直线BC的解析式为y=-3%4-3,

设直线BC的解析式为y=-3x+b，把D(4,l)代入得到b=13,

・,・直线B'C的解析式为y=-3%+13,

・••C停0)，

CC=,

BCD平移的距离是学个单位.

(3)点Q的坐标为(3,|)或(5,1)或(-3,1).

12.【答案】(1)3

(2)解:如图，作CNA.AB,垂足为N,此时^AM+MC最小，最小值等于CN,

•在正三角形ABC中，AB=BC=AC=2,乙ANC90°,

AN=1,

由勾股定理得，C/V=V3

由(1)知，MN=

・•・MN+CM=+MC=CN=遮，即^AM+MC的最小值为V3

(3)(480-120V3)

13.【答案】(1)证明：VCE1AE,BD±AE,

AZAEC=ZADB=90°,

VZBAC=90°,

・•・NACE+CAE=ZCAE+ZBAD=90°,

AZACE=ZBAD,

在^CAE-^AABD中

(Z.ACE=4BAD

\^LAEC=Z.ADB

(AC=AB

?.△CAE^AABD(AAS),

:.AE=BD；

图1

(2)解：连接AH

VAB=AC,BH=CH,

・・・NBAH=^BAC=^x90°=45°,ZAHB=90°,

.-.ZABH=ZBAH=45°,

，AH=BH,

ZEAH=ZBAH-ZBAD=45°-ZBAD,

ZDBH=180°-ZADB-ZBAD-ZABH=45°-ZBAD,

AZEAH=ZDBH,

在^AEH与4BDH中

(AE=BD

\^EAH=^DBH

(AH=BH

.*.△AEH^ABDH(SAS),

・・・EH=DH,NAHE=NBHD,

JZAHE+ZEHB=ZBHD+ZEHB=90°

即NEHD=90°,

180(90

AZEDH=ZDEH=J°=450.

(3)解：过点M作MSLFH于点S,过点E作ERLFH,交HF的延长线于点R,过点E作ET〃BC,

交HR的延长线于点T.

VDG±FH,ER±FH,

・・・NDGH=NERH=90。，

，NHDG+NDHG=90。

VZDHE=90°,

.\ZEHR+ZDHG=90°,

・・・/HDG=NHER

在^DHG与^HER中

(/LHDG=乙HER

\cDGH=CERH

(DH=EH

.*.△DHG^AHER(AAS),

AHG=ER,

・・・ET〃BC,

・・・NETF=NBHG,NEHB=NHET,

ZETF=ZFHM,

VZEHB=ZBHG,

・・・NHET=NETF,

.•・HE=HT,

在△EFT与△MFH中

NETF=乙FHM

乙EFT=^MFH,

、EF=FM

.,・△EFT丝△MFH(AAS),

，HF=FT,

・HF,MS_FT,ER

-----~='

AER=MS,

・・・HG=ER=MS,

设GH=6k,FH=5k,则HG=ER=MS=6k,

HF・MS5/c-6/c

^-=-^-=30,

k=V2,

.\FH=5V2,

.*.HE=HT=2HF=10V2.

14.【答案】(1)150°

(2)解：如图2,把△ABE绕点A逆时针旋转90。得到AACE,

由旋转的性质得，AEr=AE,CE=BE,ZCAEZ=ZBAE,ZACEZ=ZB,ZEAEr=90°,

VZEAF=45°,

・・・NE，AF=ZEAEr-ZEAF=45°,

・・・NEAF=NEAF,

AE=AE

在^EAF和^E'AF中，-z_EAF=Z.EAF

、AF=AF

?.△EAF^AEZAF(SAS),

AET=EF,

VZCAB=90°,AB=AC,

AZB=ZACB=45°,

.•.ZEfCF=45°+45o=90°,

由勾股定理得，ET2=CEr2+FC2,

即EF2=BE2+FC2.

(3)解：如图3,将△AOB绕点B顺时针旋转60。至△AX)B处，连接00、

•・•在R3ABC中，ZACB=90°,AC=1,ZABC=30°,

AAB=2,

・・・BC=y/AB2-AC2=V3，

•・・△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,ZABC=30°,

・•・ZA'BC=ZABC+6O0=30°+60°=90°,

VZC=90°,AC=1,ZABC=30°,

・・・AB=2AC=2,

V△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△A'OB

・・・A'B=AB=2,BO=BO',AO=AO,

・・・△BOO,是等边三角形，

・・・BO=OO',NBOO'=NBO'O=60。,

丁ZAOC=ZCOB=ZBOA=120°,

.,.ZCOB+ZBOO/=ZBOrA,+ZBOrO=120°+60o=180°,

・・・c、0、A\CT四点共线，

在RtAABC中，A'C=yjBC2+AB2=J(V3)2+22=V7

...0A+0B+0C=A'0'+00'+0C=A'C=V7.

又AB=AC,AD=AE,

:.BD=CE=4,Z,ACE=Z-ABC,

v乙ABC+乙ACB=90°

・•・乙ACE+Z.ACB=90°

•^ACE是直角三角形，

・•・DE=y/CD2+CE2=V324-42=5;

(2)解：

D

•・•/.BAD+Z.DAC=90°,AEAC+Z.DAC=90°

・•・乙BAD=£.EAC

AB=AC

•・•匕BAD=Z.EAC

.AD=AE

・・・△BAD=△CAE(SAS)

・•・乙ABD=4ACE

vAD1BD

・・・乙BAD=90°-乙ABD

・・•Z.BAC=90°

:.Z.DAC=90°一乙BAD

••Z-DAC=Z-ABD

•••Z-ACF=Z-DAC

・•・AD//CF

过点A作AP//BC交FC于点P,

・・.四边形ANCP是平行四边形

・・・AN=CP,NC=AP

vAP//BC

・・・匕FAP=乙ABC=45°

PA=NC

Z.PAF=乙NCM

AF=CN

・•.△PAF=△NCM(SAS)

・・・MN=PF

・・・AN+MN=CP+FP=CF；

(3)DF:DN:AN=1:2:2

16.【答案】(1)EF=CF

(2)EF=CF

(3)解：猜想，EF=CF,

理由：如图3中，取AB的中点M,AD的中点N,连接MC,MF,EN,FN.

；BM=MA,BF=FD,

.\MF〃AD,MF=1AD,

VAN=ND,

；.MF=AN,MF〃AN,

四边形MFNA是平行四边形，

ANF=AM,NFMA=/ANF,

在RtAADE中，VAN=ND,ZAED=90°,

.\EN=1AD=AN=ND,同理CM=1AB=AM=MB,

在^AEN和^ACM中，

NAEN=/EAN,ZMCA=ZMAC,

VZMAC=ZEAN,

ZAMC=ZANE,

又,.•NFMA=NANF,

.,.ZENF=ZFMC,

；AM=FN,AM=CM,

；.CM=NF,

'MF=EN

在^MFC和aNEF中，\z.FMC=Z.ENF,

,MC=NF

?.△MFC^ANEF(SAS),

.\FE=FC.

17.【答案】(1)1；4

(2)解：结论：AD=1BC.

理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接B'M，C'M，

,:B'D=DC,AD^DM,

二四边形AC'MB'是平行四边形，

：.AC=B'M=AC,

■:乙BAC4-z.B'AC=180°,乙B'AC'+=180°,

：./-BAC=/.MB'A,"：AB=AB',

：.ABAC=AAB'M,

：.BC=AM,

：.AD=^BC.

18.【答案】(1)证明：在平行四边形ABCD中，AB〃CD,AD〃BC

...NBAF=NF,NDAF=NCEF

又YAE平分/BAD

ZBAF=ZDAF

NF=NCEF

；.CE=CF

(2)如图，连接CG、BG.

：ABCD是平行四边形，ZABC=90°

.••平行四边形ABCD是矩形

，AB=DC,AB〃DC,AD〃BC,NBAD=NADC=NBCD=NECF=90°

ZF=ZBAE,ZDBC=ZADB

ZBAD=90°,ZBAE=|ZBAD=45°

，AB=BE,NF=NBAE=45°

.*.CE=CF

BC=BE+EC=AB+CF=CD+CF=DF

又：G是EF的中点，NECF=90。,CE=CF

CG=FG=^EF,ZECG=1ZECF=45°

.".ZECG=ZF

DFG^ABCG

.\ZFDG=ZCBG,DG=BG

NDBG=NBDG

VZDBC=ZADB,ZFDG=ZCBG

...ZDBC+ZCBG=ZADB+ZFDG

即ZDBG=ZADB+ZFDG

，ZBDG=ZADB+ZFDG

XVZBDG+(ZADB+ZFDG)=90°

/BDG=1/ADC=45°

(3)如图，连接GB、GE、GCo

VAB//DC,ZABC=120°

ZECF=ZABC=120°

,.,FG//CE,FG=CE

•••四边形CEGF是平行四边形

由(1)得CE=CF

・・・四边形CEGF是菱形，

.\EG=EC,ZGCF=ZGCE=ZECF=60°

「•△ECG是等边三角形

AEG=CG,ZGEC=ZEGC=60°

:.ZGEC=ZGCF

，NBEG=NDCG

VAD//BC

・・・ZDAE=ZAEB

又NDAE二NBAEyNDAB

・•・ZBAE=ZAEB

・・・AB=BE

在DABCD中，AB=DC

ABE=DC

/.△BEG^ADCG,

ABG=DG,ZBGE=ZDGC

:.ZBGD=ZBGE+ZAGD=ZDGC+ZAGD=ZEGC=60°

・.・BG=DG

AZBDG=ZDBG=(180°-ZBGD)=60%

19.【答案】(1)解：OF=OG,理由如下：

・・•四边形ABCD是平行四边形，

AOB=OD,

•・・BFJ_1于点F,DGL于点G,

.\ZBFO=ZDGO=90o,

(Z.BFO=Z.DGO

在AOBF和^ODG中，\z_BOF=Z.DOG-