2024-2025学年度北师版八上数学7.5三角形内角和定理（第二课时）【课件】

第七章平行线的证明5三角形内角和定理（第二课时）数学八年级上册BS版课前导入典例讲练目录CONTENTS课前预习数学八年级上册BS版01课前预习

1.

三角形外角.如图1，三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的

角，称为三角形的外角.图1图2注：如图2，三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角.2.

三角形内角和定理的推论.（1）推论1：三角形的一个外角等于和

的

的和；（2）推论2：三角形的一个外角大于任何一个和

⁠

的内角.3.

由一个

或

直接推出的定理，叫做这个

基本事实或定理的推论.推论可以当作定理使用.不相邻

两个

内角

它不相邻

基本事实

定理

数学八年级上册BS版02课前导入复习引入1.在△ABC中，∠A=80°，∠B=52°，则∠C=

°.3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？48三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，它们的和是180°.2.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B

=60°，则∠ACB

=

°，∠ACD=

°.ABCD50130BDCAO●40°

70°

？问题：懒羊羊独自在

O处游玩，灰太狼发现后打算先从

A前进到

C处，然后再折回到

B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在

A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°.灰太狼从

C处要转多少度角才能直达

B处？●●●羊村懒羊羊灰太狼红太狼利用“

三角形的内角和为

180°

”来求∠BCD，你会吗？思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.这节课让我们一起来探讨吧.BDCAO●40°

70°

？由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.●●●羊村懒羊羊灰太狼定义如图，把△ABC的一边

BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角.CBAD三角形的外角的概念问题1

如图，延长

AC到

E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？E在三角形每个顶点处都有两个外角.∠ACD与∠BCE为对顶角，∠ACD=∠BCE；CBAD∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的外角.问题2

如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ABC画一画

画出△ABC的所有外角，共有几个呢?每一个三角形都有6个外角．每一个顶点处对应的外角都有2个，

且这2个角为对顶角.三角形的外角应具备的条件：①

角的顶点是三角形的顶点；②

角的一边是三角形的一边；③

另一边是三角形中一边的延长线.∠ACD是△ABC的一个外角，CBAD每一个三角形都有

6

个外角．总结归纳数学八年级上册BS版03典例讲练

（1）若将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数

是

⁠.105°

【解析】∵∠2＝90°－45°＝45°，∠1＝60°＋∠2，∴∠1

＝60°＋45°＝105°.故答案为105°.【点拨】利用三角形的外角定理求角的度数时，关键是要找准

要求的角是哪个三角形的外角.（2）如图，直线AB，CD被直线BC所截.若AB∥CD，∠B＝

45°，∠D＝35°，则∠1＝

⁠.80°

【解析】∵AB∥CD，∠B＝45°，∴∠C＝∠B＝45°.又∵∠D＝35°，∴∠1＝∠C＋∠D＝45°＋35°＝80°.故答案为80°.【点拨】在三角形中，求一个角时，不仅要用三角形内角、外

角的关系，还常结合角平分线、补（余）角、对顶角及平行线

的“三线八角”的关系来计算.

1.

如图，下列判断不正确的有

（填序号）.①③

①∠EFD是△BFC的一个外角；②∠DFC是△BFC的一个外角；③∠DCF是△BFC的一个外角；④∠EFD＋∠FBC＋∠FCB＝180°；⑤∠CDF＝∠A＋∠ABD.

2.

如图，把一副三角板按此方法叠放在一起，则∠α的度数

是

.165°

（1）如图，已知∠BDC＝100°，∠C＝35°，∠A＝28°，

则∠B的度数是

⁠.37°

【解析】如图，延长BD交AC于点E.

∵∠BDC＝∠C＋∠

BEC，∠BEC＝∠A＋∠B，∴∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C.

∵∠BDC＝100°，∠A＝28°，∠C＝35°，∴∠B＝100°－28°－35°＝37°.故答案为37°.【点拨】此题还可以连接BC，由三角形内角和定理求解.解决不规则四边形中的角度问题时，一般作辅助线，构造三角形，利用三角形内角和定理与外角性质解决问题.（2）如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC于点

D，点E在线段AD上.求证：∠BED＞∠C.

证明：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∴∠C＋∠DAC＝90°.∴∠BAD＝∠C.

∵∠BED是△ABE的外角，∴∠BED＞∠BAD.

∴∠BED＞∠C.

【点拨】解决有关角的不等关系问题常常使用“三角形的一个

外角大于任何一个和它不相邻的内角”这一定理.

1.

如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系式是（

D

）A.

∠1＋∠2＝∠3＋∠4B.

∠1＋∠2＝∠4－∠3C.

∠1＋∠4＝∠2＋∠3D.

∠1＋∠4＝∠2－∠3D2.

如图，已知CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA

的延长线于点E.

（1）若∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度数；（2）试判断∠BAC与∠B的大小关系.解：（1）∵∠B＝35°，∠E＝20°，∴∠ECD＝∠B＋∠E

＝55°.∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∴∠ACD＝2∠ECD＝110°.∴∠BAC＝∠ACD－∠B＝75°.（2）∵CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，∴∠ACE＝∠ECD.

∵∠BAC是△EAC的外角，∴∠BAC＞∠ACE.

∴∠BAC＞∠ECD.

∵∠ECD是△EBC的外角，∴∠ECD＞∠B.

∴∠BAC＞∠B.

（2）试判断∠BAC与∠B的大小关系.

如图，在△ABC中，已知点E在AC上，且∠AEB＝∠ABC.

（1）如图1，作∠BAC的平分线AD，分别交CB，BE于D，F

两点.求证：∠EFD＝∠ADC；图1（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.

∵∠EFD＝∠DAC＋∠AEB，∠ADC＝∠ABC＋∠BAD，且∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC.

（2）如图2，作△ABC的外角∠BAG的平分线AD，直线AD分别交CB，BE的延长线于D，F两点.（1）中的结论是否仍成立？为什么？图2（2）解：（1）中的结论仍成立.理由如下：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD＝∠GAD.

∵∠FAE＝∠GAD，∴∠FAE＝∠BAD.

∵∠EFD＝∠AEB－∠FAE，∠ADC＝∠ABC－∠BAD，∴∠EFD＝∠ADC.

【点拨】解答此题的关键是能灵活运用“三角形的一个外角等

于和它不相邻的两个内角的和”这个定理.

图2