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文档简介
Page4二次函数的应用第1课时利用二次函数解决面积问题和抛物线形问题【学问与技能】经验探究解决图形的最大面积问题与抛物线形问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的阅历.【过程与方法】经验探究问题的过程,获得利用数学方法解决实际问题的阅历,感受数学模型和数学应用的价值,通过视察、比较、推理、沟通等过程,获得一些探讨问题与合作沟通的方法与阅历.【情感看法】通过动手实践及同学之间的合作与沟通,让学生积累阅历,发展学习动力.【教学重点】会依据不同的条件,利用二次函数解决生活中的实际问题【教学难点】从几何背景及实际情景中抽象出函数模型.
一、情景导入,初步认知问题1:某开发商安排开发一块三角形土地,它的底边长100米,高80米.开发商要沿着底边修一座底面是矩形的大楼,这座大楼地基的最大面积是多少?要解决类似问题1的实际问题,事实上也就是求面积最大的问题,在数学中也就是求最大值的问题.要解决问题2,事实上也就是建立二次函数模型解决抛物线形问题.这节课我们看能否用已学过的数学学问来解决以上问题.【教学说明】通过几个实际情景设置悬念,引入新课.二、思索探究,获得新知1.求下列函数的最大值或最小值.(1)y=2x2-3x-5;(2)y=-x2-3x+4.分析:由于函数y=2x2-3x-5和y=-x2-3x+4的自变量x的取值范围是全体实数,所以只要确定它们的图象有最高点或最低点,就可以确定函数有最大值或最小值.解:(1)二次函数y=2x2-3x-5;中的二次项系数2>0,因此抛物线y=2x2-3x-5有最低点,即函数有最小值.因为y=2x2-3x-5=所以当时,函数y=2x2-3x-5有最小值是.(2)二次函数y=-x2-3x+4中的二次项系数-1<0,因此抛物线y=-x2-3x+4有最高点,即函数有最大值.因为y=-x2-3x+4=,所以当时,函数y=-x2-3x+4有最大值是【教学说明】由于学习这一部分所用的基本学问点是求二次函数的最值,因此首先和同学们一起复习二次函数最值的求法:对于一般式,要求驾驭配方法的同时,也能利用基本结论;对于顶点式,要求能干脆说出其最值及取得最值时自变量的值.2.杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板一端弹跳到人梯顶端,其身体(看成一点)的路途(由A到B)是抛物线y=-x2+3x+1的一部分,如图.(1)求演员离地面的最大高度;(2)已知人梯高BC=3.4m,在一次表演中,人梯到起跳点A的水平距离是4m,则这次表演是否胜利?请说明理由.【教学说明】在前面学习的基础上,适当放手让学生独立思索、分析并总结此类问题的解题步骤,通过类比的思想,总结二次函数在实际问题中的应用.三、运用新知,深化理解1.见教材P46例12.如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.假如设矩形的一边AB=xm,那么当x为多少时,矩形面积最大?最大面积是多少?3.一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图1),拱高6m,跨度是20m,相邻两支柱间的距离为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2),其表达式是y=ax2+c的形式,请依据所给数据求出a,c的值(2)求支柱MN的长度;(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆卡车(卡车间的间隔忽视不计)?请说明理由.解:(1)依据题目条件,A,B,C的坐标分别是(-10,0),(10,0),(0,6),将C,B的坐标代入y=ax2+c,得(2)由(1)可知,抛物线的表达式是y=-x2+6.可设N(5,yN),所以yN=-×52+6=4.5,所以支柱MN的长度是10-4.5=5.5(m).(3)能,理由如下:如图3,设DE是隔离带的宽,EG是三辆卡车的宽度和,则点G的坐标是(7,0).过点G作GH垂直于AB交抛物线于点H,则yH=-×72+6>3.依据抛物线的特点可知,一条行车道能并排行驶宽2m,高3m的三辆卡车.【教学说明】展示教材上的例题,和同学一起从问题中抽象出二次函数的模型,并求其最值,同时对例题进行变式,训练学生的发散思维实力.四、师生互动、课堂小结引导学生总结,确定问题的解决方法:在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中,可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决步骤:第一步:设自变量;其次步:建立函数的解析式;第三步:确定自变量的取值范围;第四步:依据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值(在自变量的取值范围内).1.布置作
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