2024年中考数学真题分类汇编（全国）（第一期）专题13 反比例函数及其应用（41题）（解析版）

专题13反比例函数及其应用（41题）一、单选题1．（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（

）A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，∴，∴，∴，故选：A2．（2024·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可．【详解】解：解：当时，，图象不经过，故A不符合要求；当时，，图象一定经过，故B符合要求；当时，，图象不经过，故C不符合要求；当时，，图象不经过，故D不符合要求；故选：B．3．（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断．【详解】解：，反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小，点，都在反比例函数的图象上，，．∵，在反比例函数的图象上，∴，∴.故选：B．4．（2024·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点，在反比例函数图象上，则满足关系式，横纵坐标的积等于2，结合即可得出答案．【详解】解：点，在反比例函数的图象上，，，，，，．故选：A．5．（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】A【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小．【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小，反比例函数的图象上有，两点，当，即时，；当，即时，；当，即时，；故选：A．6．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍【答案】C【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可．【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天．∴，∴，当时，，故A不符合题意；当时，，故B不符合题意；∵，，∴当x减小，则y增大，故C符合题意；若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；故选：C．7．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置．【详解】解：∵方程无实数根，∴，解得：，则函数的图象过二，四象限，而函数的图象过一，三象限，∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0，故选：A．8．（2024·重庆·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（

）A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把代入求解即可．【详解】解：把代入，得．故选C．9．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键．过点E作，则，设，由，可得，再由，列方程，即可得出k的值．【详解】过点E作，则，∴，∴设，∵∴，∴∴即，解得：故选D10．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（

）A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5【答案】A【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作，垂足为F，设，证明，有，根据E为的中点，可得，，进而有，，可得，，则有，问题随之得解．【详解】如图，过点A作，垂足为F，设，，∵轴，，∴轴，，∴，∴，∵E为的中点，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选：A．11．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解．本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．【详解】当时，，∴与y轴的交点为；由于是分式，且当时，，即，∴与x轴没有交点．∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个，故选：B．12．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答．【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴，∵，∴，，∴．∵在反比例函数的图象上，∴．∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线，∴，∴，∵轴，∴，∴，∴，∴，解得：，即点C的横坐标为2，将代入，得，∴C点的坐标为，∴,，∴，∴,∴故选：B．13．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键．作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果．【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图，在等腰三角形ABC中，，是中点，设，，由中点为，，故等腰三角形中，∴，∴，∵AC的中点为M，∴，即，由在反比例函数上得，∴，解得：，由题可知，，∴．故选：B．二、填空题14．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是.【答案】0【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．将点和代入，求得和，再相加即可．【详解】解：∵函数的图象经过点和，∴有，∴，故答案为：0．15．（2024·云南·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则．【答案】【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题．【详解】解：点在反比例函数的图象上，，故答案为：．16．（2024·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围．【答案】或【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．【详解】解：由图象可得，当或时，，∴满足的的取值范围为或，故答案为：或．17．（2024·湖南·中考真题）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数．），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为．【答案】180【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把，代入求解即可．【详解】解：把，代入，得，解得，故答案为：180．18．（2024·陕西·中考真题）已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则0．【答案】/小于【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先求出，，再根据，得出，最后求出即可．【详解】解：∵点和点均在反比例函数的图象上，∴，，∵，∴，∴．故答案为：．19．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是．【答案】1（答案不唯一）【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可．【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小，∴故答案为：1（答案不唯一）．20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为．【答案】【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可．【详解】是平行四边形纵坐标相同的纵坐标是在反比例函数图象上将代入函数中，得到的纵坐标为即：解得：故答案为：．21．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则．【答案】/【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与，再代入进而得出答案．【详解】解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为，时，，，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为，．故答案为：．22．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第象限．【答案】四/【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出，进而即可求解．【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，∴∴∴点在第四象限，故答案为：四．23．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为．【答案】【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键．如图，过点作轴于点．根据，，设，则，由对称可知，，即可得，，解得，根据点B的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解；【详解】解：如图，过点作轴于点．∵点A的坐标为，∴，∵，轴，设，则，由对称可知，，∴，∴，，∴，∵点B的对应点D落在该反比例函数的图像上，∴，解得：，∵反比例函数图象在第一象限，∴，故答案为：．24．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是．【答案】【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于，作轴于，则，由点，的坐标分别为，得，，，然后证明得，求出，则，故有点坐标为，求出反比例函数解析式，再求出，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】如图，作轴于，作轴于，则，∵点，的坐标分别为，，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴点坐标为，代入得，，∴反比例函数解析式为，∵轴，∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上，∴，∴，∴，故答案为：．25．（2024·四川广元·中考真题）已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为．

【答案】【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质，解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出以及，根据解直角三角形得，根据折叠性质，，然后根据勾股定理进行列式，即．【详解】解：如图所示：过点A作轴，过点C作轴，

∵与的图象交于点，∴把代入，得出，∴，把代入，解得，∴，设，在，∴，∵点B为y轴上一点，将沿翻折，∴，，∴，则，解得（负值已舍去），∴，∴，∴点的坐标为，故答案为：．26．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则．

【答案】8【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可．【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图，

∵，∴，∴设，则，∴点，∵点A在反比例函数上，∴，∴（负值已舍），则点，∴，，∴，∵四边形为菱形，∴，，∴点，∵点B落在反比例函数上，∴，故答案为：8．27．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论：①；②的面积等于四边形的面积；③的最小值是；④．其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②④【分析】由，可得，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设，可得的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案．【详解】解：∵，，四边形是矩形；∴，∴，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，∵，∴，∴，∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，∵轴，，∴四边形为矩形，∴，∴当最小，则最小，设，∴，∴，∴的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，∴，∵反比例函数为，四边形为矩形，∴，，∴，，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故④符合题意；故答案为：①②④【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．28．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是（填序号）；①；②；③．（2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为．【答案】③或【分析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函数，二次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键．（1）①中，取，不存在“近轴点”；②，由对称性，取，不存在“近轴点”；③，取时，，得到是的“近轴点”；（2）图象恒过点，当直线过时，，得到；当直线过时，，得到．【详解】（1）①中，时，，不存在“近轴点”；②，由对称性，当时，，不存在“近轴点”；③，时，，∴是的“近轴点”；∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③故答案为：③；（2）中，时，，∴图象恒过点，当直线过时，，∴，∴；当直线过时，，∴，∴；∴m的取值范围为或．故答案为：或．三、解答题29．（2024·甘肃·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)连接，求的面积．【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；(2)【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：（1）先根据一次函数图象的平移规律，再把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可；（2）先分别求出C、D的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．【详解】（1）解：∵将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，∴，把代入中得：，解得，∴一次函数的解析式为；把代入中得：，解得，∴反比例函数的解析式为；（2）解：∵轴，，∴点C和点D的纵坐标都为2，在中，当时，，即；在中，当时，，即；∴，∵，∴．30．（2024·青海·中考真题）如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，．(1)求点A，点B的坐标及一次函数的解析式；(2)根据图象，直接写出不等式的解集．【答案】(1)，，(2)或【分析】本题主要考查了一次函数与反比函数的交点问题：（1）分别把点，点代入，可求出点A，B的坐标，即可求解；（2）直接观察图象，即可求解．【详解】（1）解：把点代入中，得：，∴点A的坐标为，把点代入中，得：，∴点B的坐标为，把，代入中得：，∴，∴一次函数的解析式为，（2）解：根据一次函数和反比例函数图象，得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方，∴的解集为或．31．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．(2)当电阻R为时，求此时的电流I．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案．【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为，把代入中得：，解得，∴这个反比例函数的解析式为；（2）解：在中，当时，，∴此时的电流I为．32．（2024·山东·中考真题）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系：11________________________7(1)求、的值，并补全表格；(2)结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围．【答案】(1)，补全表格见解析(2)的取值范围为或；【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图像法写自变量的取值范围；（1）根据表格信息建立方程组求解的值，再求解的值，再补全表格即可；（2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案.【详解】（1）解：当时，，即，当时，，即，∴，解得：，∴一次函数为，当时，，∵当时，，即，∴反比例函数为：，当时，，当时，，当时，，补全表格如下：117（2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，，∴当的图像在的图像上方时，的取值范围为或；33．（2024·湖北·中考真题）一次函数经过点，交反比例函数于点．(1)求；(2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围．【答案】(1)，，；(2)．【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握数形结合的思想．（1）利用一次函数经过点，点，列式计算求得，，得到点，再利用待定系数法求解即可；（2）利用三角形面积公式求得，得到，据此求解即可．【详解】（1）解：∵一次函数经过点，点，∴，解得，∴点，∵反比例函数经过点，∴；（2）解：∵点，点，∴，∴，，由题意得，∴，∴，∴的横坐标的取值范围为．34．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点．(1)求反比例函数的解析式；(2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积．【答案】(1)(2)6【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键．（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可．【详解】（1）解：点在正比例函数图象上，，解得，，在反比例函数图象上，，反比例函数解析式为．（2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为，令，则，∴记直线与轴交点坐标为，连接，联立方程组，解得，（舍去），，由题意得：，∴同底等高，．35．（2024·贵州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上．(1)求反比例函数的表达式；(2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．（1）把点代入可得k的值，进而可得函数的解析式；（2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A、点B和点C的横坐标即可比较大小．【详解】（1）解：把代入，得，∴，∴反比例函数的表达式为；（2）解：∵，∴函数图象位于第一、三象限，∵点，，都在反比例函数的图象上，，∴，∴．36．（2024·河南·中考真题）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A．(1)求这个反比例函数的表达式．(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．(3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是：（1）利用待定系数法求解即可；（2）分别求出，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可；（3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解．【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，∴，∴，∴这个反比例函数的表达式为；（2）解：当时，，当时，，当时，，∴反比例函数的图象经过，，，画图如下：（3）解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上，∴平移后点E对应点的纵坐标为4，当时，，解得，∴平移距离为．故答案为：．37．（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．(1)求、的值和一次函数的表达式；(2)连接，求点到线段的距离．【答案】(1)，，(2)点到线段的距离为【分析】（1）根据点、在反比例函数图象上，代入即可求得、的值；根据一次函数过点，，代入求得，，即可得到表达式；（2）连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，可推出轴，、、的长度，然后利用勾股定理计算出的长度，最后根据，计算得的长度，即为点到线段的距离．【详解】（1）点、在反比例函数图象上，又一次函数过点，解得：一次函数表达式为：；（2）如图，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，，轴，点，，点，，在中，又即∴，即点C到线段的距离为．【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．38．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；(3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为(2)点的坐标为(3)或【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键．（1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论；（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为；（3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，，，反比例函数的表达式为，把代入得，，，，把，代入得，，解得，一次函数的表达式为；（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时，的周长最小，点，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，当时，，点的坐标为；（3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，直线的解析式为，，，，，解得或．39．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为．(1)求，的值；(2)将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出a，然后利用待定系数法即可求得k的值；（2）根据直线向上平移m个单位长度，可得直线解析式为，根据三角形全等的判定和性质即可得到结论．【详解】（1）解：∵点A在反比例函数图象上，∴，解得，将代入，；（2）解：如图，过