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文档简介
2022-2023学年广西防城港市高级中学高三第二次阶段性测试数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑
色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图,在三棱柱ABC-AgG中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,4?=4A&=8.若E,尸分别是棱CC
上的点,且=C/=;CG,则异面直线AE与A/所成角的余弦值为()
「V13
L•-----
13
2.某歌手大赛进行电视直播,比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分,场内外的观众可以通过网络平台给每位
参赛选手评分.某选手参加比赛后,现场嘉宾的评分情况如下表,场内外共有数万名观众参与了评分,组织方将观众评
分按照[70,80),[80,90),[90/00]分组,绘成频率分布直方图如下:
嘉宾ABCDEF
评分969596899798
嘉宾评分的平均数为鼻,场内外的观众评分的平均数为E,所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为最,则下列选项
正确的是()
-x,+x,,-x,+x———-x.+x
B.x>-------2C.x<------2-D.x.>x>x>-----2-
22272
21
3.如图,在AABC中,AN=-NC,P是BN上一点,若AP=rAB+-AC,则实数f的值为()
33
23
C.2D.
564
4.2019年10月1日,为了庆祝中华人民共和国成立70周年,小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一
幅十字绣赠送给当地的村委会,这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”,为了弄清“国富民强”
这一作品是谁制作的,村支书对三人进行了问话,得到回复如下:
小明说:“鸿福齐天”是我制作的;
小红说:“国富民强”不是小明制作的,就是我制作的;
小金说:“兴国之路”不是我制作的,
若三人的说法有且仅有一人是正确的,贝!J“鸿福齐天”的制作者是()
A.小明B.小红C.小金D.小金或小明
5.已知复数二p=l—bi,其中。,匕eR,i是虚数单位,则|。+同=()
A.-l+2zB.1C.5D.75
x-y..D
6.已知%),满足x+y..O,则金的取值范围为()
।x—2
X..1
一3'
A.-,4B.(1,2]C.(-<»,0]J[2,+oo)D.(-oo,l)kj[2,+oo)
7.将函数/(x)=sin2x的图象向左平移Q个单位长度,得到的函数为偶函数,则。的值为()
717171
B.C.D.
12~677
8.复数(a-i)(2-i)的实部与虚部相等,其中i为虚部单位,则实数。二()
9.港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车,它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,桥隧全长55
千米.桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100&加/力,现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画
出频率分布直方图(如图),根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的车辆数和行驶速度超过
的频率分别为()
频率
A.300,0.25B.300,0.35C.60,0.25D.60,0.35
10.直线-一、■?--、不一,经过椭圆.的左焦点—,交椭圆于--两点,交-轴于一点,若
-2+w=M二>二>0)口u,u
=--〒,则该椭圆的离心率是()
AS-lB-也C-W-2D.07
J
11.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签,如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图(例如:2017年该工
厂口罩、抽纸、棉签产量分别占4()%、27%、33%),根据该图,以下结论一定正确的是()
A.2019年该工厂的棉签产量最少
B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显
C.三年累计下来产量最多的是口罩
D.口罩的产量逐年增加
12.命题“Vx£(O,l),er>ln炉'的否定是()
-A
A.Vx€(O,l),e<lnxB.3x0G(0,1),^°>lnx0
x
C.3x()G(0,l),e~°<lnx0D.3x0e(0,l),e-^°<lnx0
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.记实数%,%2,,%中的最大数为max{x"2,、X"},最小数为min{%,与,,土}.已知实数掇ky且三数能构
成三角形的三边长,若f=贝v的取值范围是______.
口>J〔xyJ
14.已知向量。出满足(a+2b)・(a-。)=一6,且|。|=1,|/?|=2,贝!lcos<o,/?>=.
,、,、S“3〃+5用
15.记等差数列{q}和也}的前〃项和分别为S,,和7;,若宁万,贝ijR=.
16.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、3原料2千克;生产乙产品1桶需耗A
原料2千克,8原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,
要求每天消耗A8原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的
最大利润是__________元.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22n>
17.(12分)设椭圆。:0+m=1(。>匕>0)的离心率为芋,圆0:/+,2=2与关轴正半轴交于点A,圆。在点
A处的切线被椭圆C截得的弦长为2及.
(1)求椭圆。的方程;
(2)设圆。上任意一点P处的切线交椭圆C于点M,N,试判断|尸加卜|取|是否为定值?若为定值,求出该定值;若
不是定值,请说明理由.
r22
18.(12分)设点6(-c,0),鸟(c,0)分别是椭圆C:J+2v_=l(a>2)的左,右焦点,P为椭圆C上任意一点,且
a24
州/6的最小值为1.
y
(2)如图,直线/:x=5与x轴交于点£,过点B且斜率左。()的直线4与椭圆交于48两点,M为线段EF2的中
点,直线AM交直线/于点N,证明:直线BNLI.
19.(12分)在中国,不仅是购物,而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费,日常生活中几乎全部领域都支持手机
支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普索合作,调查了腾讯服务的6000名用户,
从中随机抽取了60名,统计他们出门随身携带现金(单位:元)如茎叶图如示,规定:随身携带的现金在100元以下
(不含100元)的为“手机支付族”,其他为“非手机支付族”.
男性女性
035
7408
885535
20605男性女性合计
870手机支付族
38558
095非手机支付族
850001000
98220115合计
50001208
55420130
6610145
54320156
5016
(1)根据上述样本数据,将2x2列联表补充完整,并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关?
(2)用样本估计总体,若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户,这3位用户中“手机支付族”的人数为求随
机变量4的期望和方差;
(3)某商场为了推广手机支付,特推出两种优惠方案,方案一:手机支付消费每满1000元可直减100元;方案二:
手机支付消费每满1000元可抽奖2次,每次中奖的概率同为!,且每次抽奖互不影响,中奖一次打9折,中奖两次
打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值120()元的商品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析,选择哪种优
惠方案更划算?
附:
PgNk。)0.0500.0100.001
k。3.8416.63510.828
K?_n(ad-bc),
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
20.(12分)2019年安庆市在大力推进城市环境、人文精神建设的过程中,居民生活垃圾分类逐渐形成意识.有关部门
为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会,通过
抽样,得到参与问卷调查中的1000人的得分数据,其频率分布直方图如图:
(1)由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(M,210),〃近似为这1000人得分的平均
值(同一组数据用该区间的中点值作代表),利用该正态分布,求尸(50.5<Z<94);
(2)在(1)的条件下,有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
(O得分不低于〃可获赠2次随机话费,得分低于〃则只有1次:
(u)每次赠送的随机话费和对应概率如下:
赠送话费(单位:元)1020
2
概率
33
现有一位市民要参加此次问卷调查,记x(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列.附:
7210=14.5.若ZNM则<〃+3)=0.6826,尸(〃-23<Z<〃+23)=0.9544.
21.(12分)已知函数=-x+alnx(a<0),且/(x)只有一个零点.
(1)求实数。的值;
⑵若%气,且/(不)=/(%2),证明:x1+x2>2.
22.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,P"平面ABCD,底面A8CD是矩形,AD=PD,E,尸分别是
CD,PB的中点.
(I)求证:所,平面243;
(H)设AB=6BC=3,求三棱锥P-AEE的体积.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
建立空间直角坐标系,利用向量法计算出异面直线AE与A/所成角的余弦值.
【详解】
依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设A8的中点为。,建立空间直角坐标系如下图所示.所以
4(0-2,8),E(O,2,4),A(0,-2,0),F(-273,0,6),所以AE=(0,4,-4),AE=(-273,2,6卜所以异面直线AE与
A.EAF8-24V26
Ab所成角的余弦值为
|A4M472x2713-13
故选:B
【点睛】
本小题主要考查异面直线所成的角的求法,属于中档题.
2、C
【解析】
计算出工、兀,进而可得出结论.
【详解】
96+95+96+89+97+98
由表格中的数据可知,玉=»95.17,
6
由频率分布直方图可知,9=75x0.2+85x0.3+95x0.5=88,则(>兀,
由于场外有数万名观众,所以,
故选:B.
【点睛】
本题考查平均数的大小比较,涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算,考查计算能力,属于基础题.
3、C
【解析】
—2—
由题意,可根据向量运算法则得到AP=gmAC+(1-m)A8,从而由向量分解的唯一性得出关于f的方程,求出
f的值.
【详解】
由题意及图,AP^AB+BP^AB+mBN^AB+m(AN-AB)^mAN+(1-m)AB,
___9_2_____P2
又,AN=-NC,所以AN=—AC,:.AP^-mAC+(l-/n)AB,
1-m=t
又AP=tA8+gAC,所以21,解得t=,,
153
故选C.
【点睛】
本题考查平面向量基本定理,根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键,本题属于基础题.
4、B
【解析】
将三个人制作的所有情况列举出来,再一一论证.
【详解】
依题意,三个人制作的所有情况如下所示:
123456
鸿福齐天小明小明小红小红小金小金
国富民强小红小金小金小明小红小明
兴国之路小金小红小明小金小明小红
若小明的说法正确,则均不满足;若小红的说法正确,则4满足;若小金的说法正确,则3满足.故“鸿福齐天”的制作
者是小红,
故选:B.
【点睛】
本题考查推理与证明,还考查推理论证能力以及分类讨论思想,属于基础题.
5、D
【解析】
试题分析:由生丝=1—6,得2—5=*1一次)=8+,,.・.“=-1,8=2,则
a+bi^-l+2i,:.\a+可=|-1+2i\=^(-1)2+22=石,故选D.
考点:1、复数的运算;2、复数的模.
6、C
【解析】
v—3
设%=则攵的几何意义为点(x,y)到点(2,3)的斜率,利用数形结合即可得到结论.
x-2
【详解】
解:设左=二,则%的几何意义为点P(x,y)到点0(2,3)的斜率,
x-2
由图可知当过点。的直线平行于x轴时,此时攵=2二=0成立;
x-2
女=「•y—3取所有负值都成立;
x-2
V—3]x=ly—31—3
当过点A时,攵=匕不取正值中的最小值,c=>A(l,l),此时女=—=丁二=2;
x-2[九一),=0x-21-2
y—3
故^一的取值范围为(-8,0]」2,+8);
x-2
故选:C.
【点睛】
本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题,解题时作出可行域,利用目标函数的几何意义求解是解题关键.对
于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在.
7、D
【解析】
利用三角函数的图象变换求得函数的解析式,再根据三角函数的性质,即可求解,得到答案.
【详解】
将将函数=sin2x的图象向左平移。个单位长度,
可得函数g(x)=sin[2(x+刈=sin(2x+29)
jr'TTk'TF
又由函数g(x)为偶函数,所以2e=,+&肛丘Z,解得夕=1+万次€2,
7TTT
因为O<04一,当k=0时,(P=~,故选D.
24
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换,以及三角函数的性质的应用,其中解答中熟记三角函数的图象变换,合理应用
三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
8、B
【解析】
利用乘法运算化简复数i)即可得到答案.
【详解】
由已知,(a—i)(2—i)=2a—1-3+2)"所以2a—1=—a—2,解得a=—;.
故选:B
【点睛】
本题考查复数的概念及复数的乘法运算,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.
9、B
【解析】
由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的频率即可得到车辆数,同时利用频率分布直方图能
求行驶速度超过90初?/〃的频率.
【详解】
由频率分布直方图得:
在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的频率为0.06x5=0.3,
,在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的车辆数为:0.3x1000=300,
行驶速度超过90km/h的频率为:(0.05+0.02)x5=0.35.
故选:B.
【点睛】
本题考查频数、频率的求法,考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
10、A
【解析】
由直线--.~~+."7=【过椭圆的左焦点-,得到左焦点为-->且-.一~—;,
再由壬■=-'三三,求得一.,代入椭圆的方程,求得―-进而利用椭圆的离心率的计算公式,即可求解.
一一2
【详解】
由题意,直线一一二二,经过椭圆的左焦点二,令二-0'解得_
所以二=、二,即椭圆的左焦点为二―;•,且二・一二・二;①
直线交-轴于-;、,所以,——,二————■>
_一(15/,/心一一|一'1,一一]一..]一——.
因为二二二,所以--=;,所以r,
又由点-在椭圆上,得②
1三+二一4
于十5s4
由二二,可得.•二:—二J二:4,=0,解得一;“
丁=2
所以•~.r
八于=用="地=(。-,)
所以椭圆的离心率为_「
故选A.
【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解,其中求椭圆的离心率(或范围),常见有两种方法:①求出二二,代入
公式②只需要根据一个条件得到关于-------的齐次式,转化为--的齐次式,然后转化为关于-的方程,即可
i口ps,HWvU«U>—»-U
得二的值(范围).
11、C
【解析】
根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误,根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的
正误.综合可得出结论.
【详解】
由于该工厂2017年至2019年的产量未知,所以,从2017年至2019年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法
比较,故A、B、D选项错误;
由堆积图可知,从2017年至2019年,该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的,则三年累计下来产量最
多的是口罩,C选项正确.
故选:C.
【点睛】
本题考查堆积图的应用,考查数据处理能力,属于基础题.
12、D
【解析】
根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可.
【详解】
全称命题的否定是特称命题,所以命题“Vxe(O,l),er>lnx”的否定是:m与€(0,1),
故选D.
【点睛】
本题考查全称命题的否定,难度容易.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13、[1,匕骂
2
【解析】
[12
试题分析显软X[又•]]X
试题分析:显然max-,一;=】,又mm.v
[xyJ[xy
、・‘、-[丘—•入
①当•,<厂时,r=2,作出可行区域.<A+1,因抛物线i=丁与直线,=及=」】在第一象限内的交点分
*L<x2
别是(1,1)和j出成立拉;•.,从而]<r<i"
・雪-1
:1Sxiy
②当j2『时,r=x,作出可行区域.〈人-1,因抛物线;=『与直线=及j=-1在第一象限内的交点分
卜少
别是(1,1)和设55虎啰金;•.,从而,“<1二二
均八一'
综上所述,,的取值范围是U,匕正I.
考点:不等式、简单线性规划.
1
14、-
2
【解析】
由数量积的运算律求得a%,再由数量积的定义可得结论.
【详解】
2.2
由题意(a+2b)-(a-8)=a+a-b-2b=1+«Z?-2X22=-6»
a.b=1,Bp]«||^|cos<a,/?>=2cos<a,^>=l,/.cos<a,b>=^.
故答案为:—.
2
【点睛】
本题考查求向量的夹角,掌握数量积的定义与运算律是解题关键.
11
15、——
5
【解析】
13(4+%)
结合等差数列的前〃项和公式,可得答=学==生,求解即可.
b]13b713(^+%)13
【详解】
由题意,%="(%;%)=13%,]=!3伯+匣)=13丽
22
因为S„宁K3/1+5,所以%厂13而%二A?力3万x13行+5万II
故答案为:蓝.
【点睛】
本题考查了等差数列的前〃项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.
16、1元
【解析】
设分别生产甲乙两种产品为X桶,丁桶,利润为z元
X
x+2y<12
则根据题意可得2x+y<12
x,y>0且x,yeN
目标函数z=300x+400y,作出可行域,如图所示
作直线43x+4y=0,然后把直线向可行域平移,
由图象知当直线经过A时,目标函数z=300x+400y的截距最大,此时z最大,
x+2y^12x=4
可得《,即A(4,4)
2x+2〔)=4
此时z最大z=300x4+400x4=2800,
即该公司每天生产的甲4桶,乙4桶,可获得最大利润,最大利润为1.
【点睛】本题考查用线性规划知识求利润的最大值,根据条件建立不等式关系,以及利用线性规划的知识进行求解是
解决本题的关键.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
V2V2
17.(1)—+2_=1;(2)见解析.
63
【解析】
(I)结合离心率,得到a,b,c的关系,计算A的坐标,计算切线与椭圆交点坐标,代入椭圆方程,计算参数,即可.(H)
分切线斜率存在与不存在讨论,设出M,N的坐标,设出切线方程,结合圆心到切线距离公式,得到m,k的关系式,将
直线方程代入椭圆方程,利用根与系数关系,表示OM-ON,结合三角形相似,证明结论,即可.
【详解】
(I)设椭圆的半焦距为c,由椭圆的离心率为交知,b=c,a=y/2b,
2
22
厂IV
椭圆C的方程可设为1.
2b2b2
易求得A(6O),.•.点(五⑹在椭圆上,.•.京+1=1,
a2=6丫2V2
解得,2,,椭圆C的方程为三+上=1.
改=363
(II)当过点P且与圆。相切的切线斜率不存在时,不妨设切线方程为%=垃,由(I)知,M(V2,V2),N(夜,-夜),
OM=("⑹,QN=g_吟,OMON=0,:.OMVON.
当过点p且与圆。相切的切线斜率存在时,可设切线的方程为y=^+〃?,M(即yj,N(9,%),
:./M,即机2=2(&2+1).
联立直线和椭圆的方程得V+2(依+机)2=6,
A=(46『-4(1+242)(2加2一6)〉0
4km
A(1+2Z:2jx2H-4A77tx+2m2-6=0,得
%+/=一2*1-
2m2-6
x.x=——7---
1292/+1
VOM=(xpyJ,ON=(%,%),
:.OMON=%工2+乂M=X\X2+(3+〃2)(依2+m),
2
2(I,2\2m-6.-4km2
=(1+公)阳々+km^x}+々)+/%(1+&),—z---Fkm•—T---Fm
'>2公+12公+1
(1+)(2m2-6)-4k2m2+m2(2A:2+1)?>nr-6k1-63(2A:2+2)-6Zr2-6
-2k1+\-—2k2+1—-2k2+\一°'
:.OMLON.
综上所述,圆。上任意一点P处的切线交椭圆C于点M,N,都有OMLQV.
在RtbOMN中,由AOMP与&VOP相似得,Q叶=|PMHPN|=2为定值.
【点睛】
本道题考查了椭圆方程的求解,考查了直线与椭圆位置关系,考查了向量的坐标运算,难度偏难.
22
18、(1)t+匕=1(2)见解析
54
【解析】
(1)设P(x,y),求出P耳•后由二次函数知识得最小值,从而得。,即得椭圆方程;
(2)设直线4的方程为y1),女。(),代入椭圆方程整理,设4%,〉]),8(>2,>2),由韦达定理得
x+x=_L2L_,XX=,设N(5,y°),利用AM,N三点共线,求得为=」%,
'-4+5女2,i-4+5k2X—3
然后验证为一%=。即可.
【详解】
解:(1)设P(x,y),则尸耳=(_。一乂一〉),p£=(c-x,—y),
2A
所以「耳/居=x2+y2-c2=^-^X2+4-C2,
a
因为Q>2,xw[-a,a].
所以当%=0时,尸耳•Pg值最小,
所以4一d=3,解得c=l,(舍负)
所以/=5,
V2V2
所以椭圆。的方程为上+匕=1,
54
(2)设直线4的方程为y=Z(x—
y=k(x-Y),
联立,炉2,得(4+5/)/一10左2彳+5%2-20=0.
—+—=1,
I54
设A(和%),B(x2,y2),则玉+々=笆k,中2=学段,
-4+5女2-4+5攵2
设N(5,y0),因为AA7,N三点共线,又M(3,0)
所以尸」=3,解得
3-须2X,-3
5,10A:2,5&2一20口
_4k----------忆•---------------
而y_y=2y_=2Z(X-1)__3Z(x+X2)-依=-4+5r4+5/=o所以
为必一芯_3%一玉一32玉一3一王一3一
直线BN//X轴,即8N,/.
【点睛】
本题考查求椭圆方程,考查直线与椭圆相交问题.直线与椭圆相交问题,采取设而不求思想,设A(玉,芦),8(々,力),
设直线方程,应用韦达定理,得出再+々,%1%2,再代入题中需要计算可证明的式子参与化简变形.
918
19、(1)列联表见解析,99%;(2)—;(3)第二种优惠方案更划算.
525
【解析】
(1)根据已知数据得出列联表,再根据独立性检验得出结论;
33
(2)有数据可知,女性中“手机支付族”的概率为P=《,知自服从二项分布,即48(3,?,可求得其期望和方差;
(3)若选方案一,则需付款1200-100=1100元,若选方案二,设实际付款X元,,则X的取值为1200,1080,1020,
求出实际付款的期望,再比较两个方案中的付款的金额的大小,可得出选择的方案.
【详解】
(1)由已知得出联列表:
男性女性合计
手机支付族101222
,所以60x(10x8-12*3。):7.033>6.635.
非手机支付族3083822x38x40x20
合计402060
•••有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关;
1233
(2)有数据可知,女性中“手机支付族”的概率为P=三=S,二。5(3,1),
39318
.-.E^=3X-=-,D^)=3X-X
25
(3)若选方案一,则需付款1200-100=1100元
若选方案二,设实际付款X元,,则X的取值为1200,1080,1020,
.•.P(X=1200)=C;闺4P(X=1080)==C*11=1,P(X=1020)=CH1|=;
^(X)=l200xl+1080xl+1020xl=1095
11(X)>1095,.•.选择第二种优惠方案更划算
【点睛】
本题考查独立性检验,二项分布的期望和方差,以及由期望值确定决策方案,属于中档题.
20、(1)0.8185(2)详见解析
【解析】
(1)利用频率分布直方图平均数等于小矩形的面积乘以底边中点横坐标之和,再利用正态分布的对称性进行求解.
(2)写出随机变量的所有可能取值,利用互斥事件和相互独立事件同时发生的概率计算公式,再列表得到其分布列.
【详解】
解:(1)从这1000人问卷调查得到的平均值〃为
//=35x0.025+45x0.15+55x0.20+65x0.25+75x0.225+85x0.1+95x0.05
=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75
=65
••・由于得分Z服从正态分布N(65,210),
尸(50.5<Z<94)=P(65—14.5<Z<65+2xl4.5)==08185
(2)设得分不低于〃分的概率为p,p=P(Z2〃)=J
02251
(或由频率分布直方图知p=0.025+0.15+0.2+2或二=0.5=-)
法一:X的取值为10,20,30,40
1?1
P(X=10)=-x-=-,
P(X=20)=—x—I—x—x—=—;
,72323318
P(X=3O)=lxd2(|xl^5
p(X=40)=-xlxl=—;
,723318
所以X的分布列为
X10203040
]_721
P
318918
法二:2次随机赠送的话费及对应概率如下
2次话费总和203040
2211
P—X——X—
33端用33
X的取值为10,20,30,40
P(X=20)=-x-!-+ix-=—
,7232918
142
P(X=30)=-x-=-
,7299;
Jp(X=40)=-xl=—;
,72918
所以X的分布列为
X10
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