12.2 古典概率 高二数学（沪教版2020必修第三册） 课件

12.2古典概率第12章

概率初步教师xxx沪教版（2020）

必修第三册事件的关系与运算概率的基本性质010302CONTANTS目录古典概率事件的关系与运算01问题1当几个集合是有限集时,常用列举法列出集合中的元素，我们该如何求集合A∪B与A∩B中的元素个数．A∩B中的元素个数即为集合A与B中公共元素的个数而当A∩B＝Ø时,A∪B中的元素个数即为两个集合中元素个数之和；而当A∩B≠Ø时,A∪B中的元素个数即为A、B中元素个数之和减去A∩B中的元素个数从前面的学习中可以看到,我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件。这些事件有的简单,有的复杂,我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率,所以需要研究事件之间的关系和运算.在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”；E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”；F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；问题2请用集合的形式表示这些事件问题3请大家以小组形式讨论：借助集合与集合的关系和运算,发现这些事件之间的有哪些联系？事件C1=“点数为1”事件G=“点数为奇数”它们分别是C1={1}和G={1,3,5}.显然,如果事件C1发生,那么事件G一定发生,事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1}⊆{1,3,5},即C1⊆G.

这时我们说事件G包含事件C1.注:事件D1=“点数不大于3”事件E1=“点数为1或2”事件E2=“点数为2或3”,它们分别是D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3}.可以发现,事件E1和事件E2至少有一个发生,相当于事件D1发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是(1,2)∪{2,3}={1,2,3},即E1∪E2=D1,这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件.一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件）.可以用图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件.AUB(或A+B)事件C2=“点数为2”可以用集合的形式表示为C2={2}.事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”同时发生,相当于事件C2发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示：{1,2}∩{2,3}={2},即E1∩E2=C2.我们称事件C2为事件E1和E2的交事件.一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事AB件A与事件B的交事件(或积事件）可以用图中的蓝色区域表示这个交事件.A∩B(或AB).事件C3=“点数为3”事件C4=“点数为4”.它们分别是C3={3},C4={4}.显然,事件C3与事件C4不可能同时发生,用集合的形式表示这种关系,就是{3}∩{4}=Φ,即C3∩

C4=Φ,这时我们称事件C3与事件C4互斥.一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩

B是一个不可能事件,则称事件A与事件B互斥(或互不相容）.可以用图表示这两个事件互斥.A∩B=Φ事件F=“点数为偶数”、事件G=“点数为奇数”它们分别是F={2,4,6},G={1,3,5}.在任何一次试验中,事件F与事件G两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一.事件之间的这种关系,用集合的形式可以表示为{2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6}即F∪G=Ω,{2,4,6}∩(1,3,5}=Φ,即F∩G=Φ.此时我们称事件F与事件G互为对立事件.事件D1与D2也有这种关系.一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一A个发生,即A∪B=Ω,且A∩B=Φ,那么称事件A与事件B互为对立.

事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生AUB或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=Φ互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=Φ,AUB=Ω类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,AUBUC(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生,等等.古典概率02问题一：我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们有哪些共同特征？

发现它们有以下共同特征：1、有限性：样本空间的样本点只有有限个；2、等可能性：每个样本点发生的可能性相等。对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率。我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型。即具有以下两个特征：1、有限性：样本空间的样本点只有有限个；2、等可能性：每个样本点发生的可能性相等。思考一：下面的随机试验是不是古典概型？（1）一个班级中有18名男生、22名女生。采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”（2）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”（1）班级中共有40名学生，从中选择一名学生，即样本点是有限个；因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，因此这是一个古典概型。（2）我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间Ω={（1，1，1），（1，1，0），（1，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（0，1，0），（0，0，1），（0，0，0）}，共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型。思考二：如何度量事件A发生的可能性大小？随机试验：一个班级中有18名男生、22名女生。采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小。因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量。则事件A的可能性大小为18/40=9/20.小试牛刀1、某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、...、命中5环和不中环。你认为这是古典概型吗？为什么？解：不是古典概型。因为试验的结果只有7个，但命中10环、命中9环、...、命中5环和不中环这些结果的出现不是等可能的。方法总结：判断一个试验是不是古典概型抓住两个要点：一是结果有限性；而是结果等可能性。2、从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？解：不是古典概型。因为这个试验有无数个基本事件，不满足结果有限性。思考三：如何度量事件B发生的可能性大小？随机试验：抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小。因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量。因为B={（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）}所以事件B发生的可能性大小为3/8.古典概型的概率计算公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率概率的基本性质03思考一：从以下试验你发现概率具有哪些特点？试验1：一个星期有7天；试验2：4月份有31天；试验3：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的事件。由以上试验可知：任何事件的概率都是非负的；在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生。那么，我们可以得到概率具有以下2个性质：概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P(A)≥0;

(概率的非负性)性质2

必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，

（即P(Ω)=1，P(Φ)=0）思考二：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球。设事件R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”互斥，RUG=“两次摸到的球颜色相同”。那么。事件R、G、RUG的概率是多少呢？思考三：事件R与G有什么关系？它们的概率又有怎样的关系？事件R与事件G互斥，即R与G不含有相同的样本点，所以n（RUG）=n(R)+n(G),这等价于P（RUG）=P(R)+P(G)，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和。所以我们有互斥事件的概率加法公式。那么，我们可以得到概率具有以下2个性质：概率的基本性质性质3

如果事件A与事件B互斥，那么P（AUB）=P(A)+P(B)(互斥事件的概率加法公式)思考十四：互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件吗？如果事件A1，A2，A3，...,Am两两互斥，那么事件A1UA2UA3U...UAm发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1UA2UA3U...UAm)=P(A1)+P(A2)+...+P(Am)思考五：抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A=“正面朝上为偶数”，B=“正面朝上为奇数”，事件A与事件B是什么关系？它们的概率有什么关系？事件A和事件B互为对立事件，所以和事件AUB为必然事件，即P(AUB)=1。由性质3得1=P(AUB)=P(A)+P(B).那么，我们可以得到概率具有以下1个性质：

概率的基本性质性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=1-P(A)，P（A）=1-P(B)

（对立事件概率和为1）思考六：抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A=“正面朝上为偶数”，B=“正面朝上为2”，事件A与事件B是什么关系？它们的概率有什么关系？那么，我们可以得到概率具有以下1个性质：概率的基本性质性质5

如果事件A

B，那么P（A）≤P(B)。由性质5可得：对于任意事件A，因为ΦAΩ,

所以0≤P(A)≤1.思考七：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球。”两个球中有红球”=R1UR2，那么P(R1UR2)和P(R1)+P(R2)相等吗？如果不相等，请说明原因，并思考如何计算P(R1UR2)。因为n(Ω)=12,n(R1)=n(R2)=6,n(R1UR2)=10,所以P(R1)=P(R2)=0.5，P(R1UR2)=0.12.因此P(R1UR2)≠P(R1)+P(R2)