2021年人教A版必修4数学第2章-平面向量单元测试卷含答案

2021年人教A版必修4数学第2章平面向量单元测试卷含答案

学校：班级：姓名：考号：________

一、选择题(本题共计12小题，每题5分，共计60分，)

1.已知非零向量六》的夹角为仇且满足(2或+317,而cos9=-2,则

A.-4B.-6C.-7D.-8

2.已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a〃匕，那么a-2b等于()

A.(-5,10)B.(5,—10)C.(4,-8)D.(—4,8)

3.平面向量标=(1,x),b=(-2,3),若z〃b,则实数x的值为()

23

A.-6B.—C.—D.O

32

4.已知点。为△ABC所在平面内一点，OA2=OB2=OC2,若而+泉？=2八，且

|几|=|A|,则晶与立的夹角为()

.7T

A-B.Ec.2DS

6336

5.设向量Q二二(4,2),b=(1,-1),则(21一1))等于()

A.2B.-2C.-12D.12

6.已知而|=：1,1=(0,2),且：4=1,则向量［与「夹角的大小为()

n

AA.-B.-C.-D.-

6432

7.已知两个力Fi=(4,2),尸2=(-2,3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该

物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力尸3,则尸3=()

A.(—2,-5)B.(2,5)C.(-5,-2)D.(5,2)

8.已知向量2=(3,1),b=(2fc-1,/c),且仅+b)〃工贝味的值是()

333

A.-1B.~C.—D.—

755

9.已知△ABC的一内角4=半。为△力"所在平面上一点，满足|。*=|0B|=|0C|,

设筋=6而+nA,则m+n的最大值为()

24

A.-B.lC-D.2

33

10.在平行四边形4BCD中，对角线4c与BD交于点。，若几+元)=/1屈)，则实数;I等

于()

A.4B.3C.2D.1

11.已知等腰梯形ABCD中，AB=2CD=8,/.ADC=120",若我=4元》(0S4S1),

则|总+而|的最小值为()

A.4B.4V2C.4V3D.8

12.已知△ABC是边长为4的等边三角形，D,P是△ABC内部不同的两点，且满足

T[T->T->1T

AD=-(AB+AQ,AP=AD+-BC,则△ADP的面积为()

4<8

A.—B.—C.—D.V3

432

二、填空题(本题共计4小题，每题5分，共计20分，)

13.已知向量面=2,\b\=1,且二与，的夹角为45。，则最在。方向上的投影为

14.设向量3=(2,3),向量1=(6,t),若展与冒夹角为钝角，则实数t的取值范围为

15.已知向量3=(4m+2,6),/?=(2,m),若向量工b反向，则实数m的值为

试卷第2页，总18页

16.已知AB为单位圆。的一条弦，P为单位圆。上的点.若/⑷=|6一4n|(46R)的

最小值为m,当点P在单位圆上运动时，山的最大值为%则线段4B的长度为

三、解答题(本题共计5小题，每题11分，共计55分，)

17.已知点a(m,2),B(l,l),C(2,4).

(1)若+最小，求实数6的值；

(2)若2与3夹角的余弦值为?，求实数m的值.

18.化简：

(1)AB+BC+CA

⑵(旗+诵)+BO+OM

(3)OA^OC-^BO+CO

(4)AB-AC+BD-CD

(5)OA-OD+AD

(6)AB-AD-DC

(7)NQ+QP+MN-MP.

19.如图，扇形。48的圆心角为90。，。4=2,点M为线段04的中点，点N为弧48上任

意一点.

(1)若480N=30。，试用向量后,小表示向量加；

(2)求命的取值范围.

TT

20.已知a=(cosa,sina),b=(cos£,sin£),0<p<a<n.

(1)若向一b|=&,求证：a16；

(2)设c=(0,1),若a+b=c,求a,£的值.

21.已知向量a=(3cos0,sin0),0G［一d向量匕=(四一J

(1)若求6的值；

(2)若。=9求次1夹角的余弦值.

6

试卷第4页，总18页

参考答案与试题解析

2021年人教A版必修4数学第2章平面向量单元测试卷含答案

一、选择题(本题共计12小题，每题5分，共计60分)

1.

【答案】

D

【考点】

平面向量数量积的运算

数量积判断两个平面向量的垂直关系

【解析】

命题意图本题主要考查向量的模，数量积的运算.

【解答】

解：：(2a+b^1b,

(2a+b),b=0.

即2a•b+=o,

即21aleos。x\b\4-\b\2=0,

解得面=4,

TT

a-b=-8.

故选D.

2.

【答案】

B

【考点】

平面向量共线(平行)的坐标表示

平面向量的坐标运算

【解析】

根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得(-2)6=1X4=4,解可得m的值，即可

得b的坐标，结合向量的坐标计算公式计算可得答案.

【解答】

解：根据题意，向量a=(l,-2),b=

若。〃6,则有-2m=4,解可得m=-2,

则b=(—2,4),

则之一2%=(5,-10).

故选B.

3.

【答案】

C

【考点】

平面向量共线(平行)的坐标表示

【解析】

根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程求出x的值.

【解答】

解：平面向量；=(1,x),b=(-2,3),月

由两个向量共线的性质得1x3-(-2)x=0,

解得x=—|.

故选C.

4.

【答案】

D

【考点】

数量积表示两个向量的夹角

【解析】

由题意可得。为△ABC的外心，也是BC的中点，乙4=],设4C=1,则BC=2,由此

求得4B的值，可得几与品的夹角的值.

【解答】

解：•••点：0为△4BC所在平面内一点，小2=晶2=左2,

。为AABC的外心；

如图所示：

A

若4B+4C=24。，则。也是BC的中点，

△ABC为直角三角形，/力=看

•••\AC\=\AO\,设4c=1,则BC=2,

AB=>/BC2-AC2=V3,

/与熊的夹角为兀-NB=兀一三=三.

66

故选

5.

【答案】

A

试卷第6页，总18页

【考点】

平面向量数量积的性质及其运算律

向量加减混合运算及其几何意义

【解析】

先计算工一］的坐标，再计算(2友一小工.

【解答】

解：依题易得*-2=(7,5),

所以(2友一］)4=7-5=2.

故选4

6.

【答案】

C

【考点】

数量积表示两个向量的夹角

平面向量数量积

【解析】

利用向量的夹角公式即可得出.

【解答】

解：向=1,b=(0,2),且:工=1,

TTT-I］

cos<a,==?

向量友与嬴角的大小为全

故选：C.

7.

【答案】

A

【考点】

向量的三角形法则

【解析】

由题意即可得出三=一(I+三)，代入三的坐标即可得出力房的坐标.

【解答】

根据题意知，总=—(A+E)=—(2,5)=(-2,-5).

8.

【答案】

A

【考点】

平行向量的性质

向量的加法及其几何意义

【解析】

根据题意，求出3+b,再由日+b)〃2求出k的值.

【解答】

解：；a=(3,1),b=(2k-l,/c),

TT

a+b=(2k+2,k+1),

又0+丹〃；，贝ij2k+2-3(k+l)=0,

解得k=-1.

故选4

9.

【答案】

A

【考点】

向量的线性运算性质及几何意义

向量在几何中的应用

向量的共线定理

向量的加法及其几何意义

向量的几何表示

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：如图，点。为△ABC外接圆的圆心，延长4。交BC与点D,

则4D=^-AB+^AC,

■-B,D,C三点共线，

y+^=1,即m+n=4.

当4B=AC时，点。既是外心，也是重心，此时m+n取得最大值，m+n=|.

故选A

10.

【答案】

试卷第8页，总18页

c

【考点】

平面向量的基本定理及其意义

【解析】

利用向量的平行四边形法则、向量共线定理即可得出.

【解答】

解：；在平行四边形4BCC中，对角线AC与BD交于点0,

AB+AD=AC=2A0,

AB+AD=AA0f

A=2.

故选：C.

11.

【答案】

c

【考点】

向量的共线定理

向量的加法及其几何意义

【解析】

本题考查共线向量的基本定理、向量加法的坐标形式.

【解答】

解：建立如图所示的平面直角坐标系，

则4(0,0),8(8,0),£)(2,2V3),AM=AAD^O<A<1),

因为而=(2,2次)，

则M(24,2百Q,

故忌=(-2A,-2V3A),=(8-2A,-2V3A),

则总+MB=(8-4A,-4V3A),

12.

【答案】

A

【考点】

向量在几何中的应用

平面向量坐标表示的应用

【解析】

以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.由于等边三角形△的边长为

4,可得B,C的坐标，再利用向量的坐标运算和数乘运算可得八，AP,利用A4PD的

面积公式即可得出.

【解答】

解：以力为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.

•••等边三角形△的边长为4,

fi(-2,-2V3),C(2,-2V3),

由题知：而=；(6+公)

111

=-[(-2,-2V3)+(2,-2V3)]

4-

=(0,-V3),

TT1T

AP=AD-^-BC

L1

=(0,-V3)+-(4,0)

o

=(p-V3),

AAOP的面积为：

S=l1\ATD\-\DTP\

=-xV3x-

22

=V3

-4,

故选4

二、填空题(本题共计4小题，每题5分，共计20分)

13.

【答案】

V2

【考点】

向量的投影

试卷第10页，总18页

【解析】

根据b在&方向上的投影为闻•cos<a,b>,运算求得结果.

【解答】

解：根据［在b方向上的投影为|a|•cosV房b>=2xcos45°=y/2.

故答案为：V2.

14.

【答案】

(—8,—4)

【考点】

数量积表示两个向量的夹角

【解析】

t-»tt(2X64~3tV0

由题意可得a»<0,且a、b不共线，即6^t,由此求得实数t的取值范围.

V2*3

【解答】

若；与6夹角为钝角，向量展=(2,3),向量1=(6,t),

—TT—(2X6+3t<0

则a-b<0,且a、b不共线16t,求得t<—4,

I2*3

15.

【答案】

-2

【考点】

向量的共线定理

相等向量与相反向量

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：因为向量工b反向,设2=46,

所以产+2=2心

(6=Am,

解得?=_3,

(m=—2.

故答案为：—2.

16.

【答案】

4V2

亍

【考点】

向量在几何中的应用

【解析】

设总=晶，则/(A)=|G-/l而|=|而一扇|=|4|,点C在直线AB上，故f。)的

最小值M为点P到4B的距离，由此可得结论

【解答】

解：设九G=A,则/⑷=-九向=i&—前।=|己|,

—>T

XAB=AC,

/.点C在直线48上，

・,.”2)的最小值小为点P到48的距离，

,•mmax=3*

•-1曲=2J1-(»1)2=竽,

故答案为：竽，

三、解答题(本题共计5小题，每题11分，共计55分)

17.

【答案】

解：(1)由题意&=(m-2,-2),

CB=(-1,-3),

所以&+a=(m-3,-5),

所以+CB\=V(m-3)2+25,

所以当m=3时，|&+a|最小.

(2)由题意，cos〈&,C^>=学。=g

|C川|CB|5

所以一笔2)+6_=,，

V(m-2)2+4x7105

整理可得5&xV(m-2)2+4=5(8-m),

将上述等式整理可得

2(zn-2)2+8=(m-8)2,

整理可得加2+87n-48=(m+12)(m—4)=0,

所以m=—12或m—4.

【考点】

平面向量的坐标运算

向量的模

数量积表示两个向量的夹角

平面向量数量积的运算

【解析】

(1)根据题意写出4、CB,从而可以写出|&+8|的表达式，进而可以求出当|&+

最小时m的值.

试卷第12页，总18页

(2)由题意得到cos〈ckch=卓要=当,从而可以求出m的值.

|C川|网5

【解答】

解：(1)由题意人=(6一2,—2),

CB=(-1,-3),

所以&+8=(m-3,-5),

所以+CB\=J(m-3尸+25,

所以当m=3时，|21+a|最小.

(2)由题意，cos〈&,8>=学空>=坐，

|C川|C8|5

所以-(芸2)+6=£

V(7n-2)2+4xV105

整理可得5&xJ(/n-2尸+4=5(8-m),

将上述等式整理可得

2(m-2)24-8=(m-8)2,

整理可得沅2Qm-48=(m+12)(m—4)=0,

所以?n=-12或？n=4.

18.

【答案】

解：(1)6+盛+%=融+&=几一几=3

(2)(旗+诂)+而+•=而+{MB+BO)+OM=AB+MO-MO=AB；

(3)OA+OCBO-i-CO=(OA-OB)+(OC-OC)=BA+0=BA；

(4)AB-AC-i-BD-CD=(AB-AC)+(^BDDQ=CBBC=0；

(5)OA-OD-i-AD=(iOA-OD>)+AD=DA+AD=DA-DA=0；

(6)AB-AD-DC=(AB-AD)-DC=DB-DC=CB；

(7)NQQP+MN-MP=(^NQ+QP)+(W-MP)=NP+PN=0.

【考点】

向量的减法及其几何意义

向量的加法及其几何意义

【解析】

根据平面向量的加法与减法的运算法则，对每一个小题进行化简计算即可.

【解答】

解：⑴应+品+21=h1+&=/-A=d；

(2)(6+MB)+BO+OM=AB+{MB+BO)+OM=AB+MO-MO=AB；

(3)OA+OC+BO+CO=(OA-OB)+(OC-OC)=BA+0=BA；

(4)AB-AC+BD-CD=(AB-AC)+(BD+DC)=CB+BC=-0；

(5)OA-OD+AD=(OA-OD)+AD=DA+AD=DA-DA=0；

(6)AB-AD-DC=(^AB-AD)-DC=DB-DC=CB；

(7)NQ+QP+MN-MP=(NQ+QP)+(MN-MP)=NP+P^N=0.

19.

【答案】

解：（1）如图，以。为坐标原点，建立直角坐标系xOy,

则。(0,0),4(0,2),B(2,0),N(g,1),

所以&=(0,2),Ofi=(2,0),晶=(V3,l).

设加=xOA+yOB,

=1,

=V3/

_i

=2f

解得

=V3

一2，

所以加=%&+勺Jk

22

(2)设乙BON=9(0。<B<90"),则N(2cos0,2sin9),M(0,l),

贝ij麻=(2,-1),就=(2cosa2sin0).

所以MB-ON=4cos。—2sin0=2V5cos(0+<p),

其中cosR=争,sinR=汽伊为锐角).

因为0°<6<90°,

试卷第14页，总18页

所以9<04-(^<cp+90°.

2遥

则cos(。+<p)max=coscp=-

COS(0+")min=COS(90°+(p)=Sir\(p=—

所以诂•0%的取值范围为[-2,4].

【考点】

平面向量数量积的性质及其运算

向量在几何中的应用

平面向量的正交分解及坐标表示

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：(1)如图，以。为坐标原点，建立直角坐标系xOy,

则0(0,0),4(0,2),B(2,0),N(V5,1),

-»-»->

所以04=(0,2),0B=(2,0),ON=(V3,1).

设加=xOA4-yOB,

则f黑2x3=1,

ci

x=",

解得｛%

y=彳，

所以质=：&+亨ok

(2)设/BON=0(0。<e<90°),贝ijN(2cose,2sin0),M(0,l),

则MB=(2,-1),ON=(2cos0,2sin0).

所以MB-ON=4cos61-2sin0=2V5cos(6»+<p),

其中cos,=誓,sinR=g(0为锐角).

因为0°<6<90。，

所以W<0+</><(p+90°.

则COS(0+9)max=COS。=等，

COS(0+0)min=COS(900+9)=S\n(p=-y,

所以麻•。曲的取值范围为[一2,4].

20.

【答案】

TT

解：(1)由a=(cosa,sina),b=(cos/?,sin/?),

fT

则a—b=(cosa—cos/?,sina—sin/?),

->T

由|a—二(cosa—cosy?)2+(sina—sin/?)2=2—2(cosacos/?+sinasin/?)=2,

得cosacosy?+sinasin/?=0.

所以展•b=0.即；1b；

,T—

(2)由Q+b=(cosa+cos£,sina+sin£)=(0,1)

得了a：cy=0部①2+②2得…s(a—夕)=4

tsma+sin/?=1②2

因为OV0Va<：7r,所以0<[一夕<兀.

22

所以a—/?="7T>(X=~7T4~/7,

代入②得：sin(|zr+夕)+sin^=ycos/?4-|sin/?=sin(^4-/?)=1.

因为+所以g+0=].

所以，a=|TT//?=7.

66

【考点】

平面向量数量积的运算

向量的模

同角三角函数间的基本关系

两角和与差的余弦公式

求两角和与差的正弦

【解析】

试卷第16页，总18页

(1)由给出的向量乙b的坐标，求出Q-b的坐标，由模等于戈列式得到cosacos/?+

sinasin/?=0,由此得到结论；

(2)由向量坐标的加法运算求出之+匕，由■+b=(0,1)列式整理得到a—/?=|兀，结

合给出的角的范围即可求得a,£的值.

【解答】

T