高中数学讲义100微专题089比赛与闯关问题

1-微专题89竞赛与闯关问题一、基础学问：1、常见的竞赛规则（1）局胜制：这种规则的特点为一旦某方获得次成功即终止竞赛。所以若竞赛提前结束，则肯定在最终一次竞赛中某方达到胜。例如：甲，乙两队实行排球竞赛，竞赛实行5局3胜制，已知甲获胜的概率为，求甲以获胜的概率：解：本题不能认为“四局中甲赢得三局”，从而，因为假如前三局连胜，则结束竞赛而不会起先第四局，所以若比分为，则第四局甲获胜，前三局的比分为，所以（2）连胜制：规定某方连胜场即终止竞赛，所以若提前结束竞赛，则最终场连胜且之前没有达到场连胜。例如：甲，乙两队实行竞赛，竞赛共有7局，若有一方连胜3局，则竞赛马上终止。已知甲获胜的概率为，求甲在第5局终止竞赛并获胜的概率解：若第5局竞赛结束，依据连胜三局终止竞赛的规则，可知甲在第3,4,5局获胜，且其次局失败（否则若其次局获胜，则第四局就达到三连胜），第一局无论输赢不影响获胜结果。所以（3）比分差距制：规定某方比对方多分即终止竞赛，此时首先依据竞赛局数确定比分，在得分过程中要留意使两方的分差小于（4）“一票推翻制”：在竞赛的过程中，假如在某一阶段失败，则被淘汰。此类问题要留意若达到第阶段，则意味着前个阶段均能通关2、解答此类题目的技巧：（1）擅长引入变量表示事务：可用“字母+变量角标”的形式表示事务“第几局成功”。例如：表示“第局竞赛成功”，则表示“第局竞赛失败”。（2）擅长运用对立事务求概率：若所求事务含状况较多，可以考虑求对立事务的概率，再用解出所求事务概率。在处理离散性随机变量分布列时，也可利用概率和为1的特点，先求出包含状况较少的事务的概率，再间接求出包含状况较多的事务概率二、典型例题：例1：某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手被淘汰的概率；（2）记该选手在考核中回答问题的个数为，求随机变量的分布列与数学期望．（1）思路：依题可知，竞赛规则为：只要打错一个即被淘汰，假如从问题的正面考虑，则要考虑到是第几轮被淘汰，状况较多。但此问题的反面为“答对全部问题”，概率易于表示，所以考虑利用对立事务进行求解设为“选手正确回答第轮问题”，事务为“选手被淘汰”（2）思路：可取的值为，可知若想多答题，则须要前面的问题均要答对，所以时，则第一题答错；时，则第一题答对且其次题答错（若其次题答对则须要答第三题）；时，则第一题答对且其次题答对（第三题无论是否正确，均已答三题），分别求出概率即可解：可取的值为的分布列为例2：某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最终一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要进行竞赛，依据规则：每两支队伍之间都要竞赛一场；每场竞赛胜者得分，负者得分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为．（1）求甲队分别战胜乙队和丙队的概率；（2）设在该次竞赛中，甲队得分为，求的分布列及期望．（1）思路：解决要通过甲队第一的概率与乙队第一的概率两个条件。若甲队第一名，则甲战胜乙且战胜丙，即；若乙队第一名，则乙战胜甲且战胜丙，即，两个方程即可解出解：设事务为“甲队获第一名”，则设事务为“乙队获第一名”，则解得：（2）思路：依题意可知可取的值为，即两战全负；即一胜一负，要分成“胜乙负丙”和“负乙胜丙”两种状况探讨；即两战全胜；分别求出概率即可。可取的值为的分布列为例3：甲、乙两支篮球队赛季总决赛采纳7场4胜制，每场必需分出输赢，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束竞赛．现已竞赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力缘由，第7场获胜的概率为．（1）求甲队分别以，获胜的概率；（2）设X表示决出冠军时竞赛的场数，求X的分布列及数学期望．（1）思路：前四场竞赛甲乙比分为，依据7场4胜制可知，甲再赢一场竞赛马上结束，所以要想获得，，必需在甲赢一场之前，乙获得比分。所以若比分为，则第5场乙胜，第6场甲胜；若比分为，则第场均乙胜，第7场甲胜，用概率的乘法即可求出两个比分的概率解：设事务为“甲队在第场获胜”，则设事务为“甲队4：2获胜”，事务为“甲队4：3获胜”（2）思路：竞赛的场数取决于甲是否取胜，所以可取的值为，若，则甲获胜，即胜第五场；若则甲获胜，即乙胜第五场，甲胜第六场；若，则只需前六场打成即可，所以只需乙连赢两场。分别计算概率即可得到分布列和期望竞赛场数可取的值为的分布列为例4：甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是，规定有一方累计2胜或者累计2和时，棋局结束。棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计2胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军。设结束时对弈的总局数为X．（1）设事务：“且甲获得冠军”，求A的概率；（2）求X的分布列和数学期望。（1）思路：事务代表“对弈3局且甲获胜”所以甲必需在第三场获胜，且前两场为一胜一和或一胜一负（输赢先后依次均可）。依据这几种状况找到对应概率相乘即可解：设事务为“甲在第局取胜”，事务为“第局和棋”，事务为“乙在第局取胜”（2）思路：依题意可得只要有两个相同的结果就结束竞赛，所以最多进行4次竞赛，最少进行2次竞赛，故可取的值为；在这些值中包含状况较少，即为相同的结果出现两次，以甲为探讨对象，则状况分为“两胜”，“两负”，“两和”三种状况。即为前三场“输赢和”均经验一次，所以概率。对于的状况，由于种类较多，所以利用分布列概率和为1的性质用进行计算可取的值为的分布列为小炼有话说：在随机变量所取的值中，假如只有一个值的概率包含状况较多不易计算，那么可以考虑先计算出其他取值的概率，再用1减去其他概率即可例5：某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关起先接着向前闯的机会（后两关总共只有一次机会），已知某人前三关每关通过的概率都是，后两关每关通过的概率都是（1）求该人获得奖金的概率（2）设该人通过的关数为，求随机变量的分布列及数学期望（1）思路：若该人获得奖金，则前三关必需通过，后两关可以通过，或者只有一次未通过，借助机会再次通过。分别计算概率再相加即可解：设事务为“第关通过”，事务为“获得奖金”（2）思路：依题意可知的取值为，其中前三关失败即结束，所以为第一关失利；为第一关通过且其次关失利；为其次关通过且第三关失利；为第三关通过且第四关失利两次；为第四关通过且第五关失利两次；为五关全部通过获得奖金（即第一问的结果），其中由于状况较为困难，所以考虑利用进行处理的取值为的分布列为：例6:：袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为。现有甲、乙两人从袋中轮番、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止。若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分。每个球在每一次被取出的机会是等可能的。用表示甲，乙最终得分差的肯定值．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量的概率分布列及期望（1）思路：可先设白球个数为，已知事务“两球都是白球”的概率，可用古典概型进行表示，进而得到关于的方程，解出解：设袋中原有白球的个数为，事务为“取出两个白球”可解得（2）思路：尽管题目描述上是甲，乙轮番取球，但进一步分析可发觉在取球过程中，一个人的取球结果并不影响下一个人的取球，且所求随机变量为取球完成后，两人结果的比较。所以只需关注甲，乙最终取到的球的个数即可。由（1）可知袋中有4个黑球，3个白球，甲先取球，所以甲取到4个球，甲取球的结果可以是：4黑，1白3黑，2白2黑，3白1黑，对应的分数为分，分，分，分，剩下的球属于乙，所以乙对应的状况为3白，2白1黑，1白2黑，3黑，分数为分，分，分，分。所以甲乙分数差的肯定值可取的值为，再分别求出概率即可。可取的值为故的分布列为：小炼有话说：（1）本题第（2）问的亮点在于，分析过程的特点后，干脆从结果入手，去分析两人所得球的状况，忽视取球的过程，从而大大简化概率的计算（2）本题要留意甲取球的结果就已经确定乙的结果，所以在计算概率时以甲的取球结果为探讨对象。例7：某校实行中学生“珍爱地球·爱护家园”的环保学问竞赛,竞赛分为初赛和复赛两部分，初赛采纳选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止竞赛，答对3题者干脆进入复赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响．（1）求选手甲进入复赛的概率；（2）设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望．（1）思路：若甲能进入复赛，则要答对三道题，但因为答对3题后马上终止竞赛，所以要通过最终一次答题正确进入复赛。答题的次数为3次，4次，5次，答题3次即为全对，答题4次，则要在前3次答对2题，即，然后第4题正确进入复赛；同理，答题5次时，要在前4次中答对2题，即，然后第5题正确。解：设事务为“甲进入复赛”（2）思路：首先甲最少答3题，最多答5题，故可取的值为，要留意答题结束分为进入复赛和淘汰两种状况。当甲答3道题时，可能全对或全错；同理甲答4道题时，可能3对1错或是3错1对；当甲答5道题时，只要前4题2对2错，无论第5题结果如何，均答了5道题。分别计算对应概率即可得到的分布列，从而计算出解：可取的值为的分布列为小炼有话说：本题的关键在于对独立重复试验模型概率公式的理解：对于，是指在次独立重复试验中，没有其它要求，事务发生次的概率。其中代表次中的随意次试验的结果是。假如对次试验的结果有肯定的要求，则不能运用公式。例如本题在第（1）问中处理答题4次的时候，因为要在第4次答题正确，对前3次答题没有要求，所以在前3次试验中可运用公式计算，而第4次要单独列出。若干脆用则意味着只需4次答题正确3次（不要求是哪3道正确）即可，那么包含着前3次正确的状况，那么按要求就不会进行第4题了。例8：甲乙两人进行围棋竞赛，约定先连胜两局者干脆赢得竞赛，若赛完局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得竞赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局竞赛结果相互独立.（1）求甲在局以内（含局）赢得竞赛的概率；（2）记为竞赛决出输赢时的总局数，求的分布列和期望.（1）思路：依题意可知获胜的要求是连胜2场，所以可分2局，3局，4局三种状况，通过后两场连胜赢得竞赛，其余各场按“输赢交替”进行排列解：设为“甲在第局获胜”，事务为“甲在局以内（含局）赢得竞赛”（2）思路：首先依题意能确定可取的值为，若提前结束竞赛，则按（1）的想法，除了最终两场要连胜（或连败），其余各场应“输赢交替”。在每个事务中要分甲获胜和乙获胜两种状况进行探讨解：可取的值为的分布列为：例9：甲乙两人进行象棋竞赛，规定：每次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的得分多2分时则赢得这场竞赛，此时竞赛结束；同时规定竞赛的次数最多不超过6次，即经6次竞赛，得分多者赢得竞赛，得分相等为和局。已知每次竞赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假定各次竞赛相互独立，竞赛经次结束，求：（1）的概率；（2）随机变量ξ的分布列及数学期望。（1）思路：代表竞赛经过2次就结束，说明甲连胜两局或者乙连胜两局，进而可计算出概率解：设事务为“甲在第局获胜”（2）思路：考虑可取的值只能是（因为奇数局不会产生多赢2分的状况），当时，即甲乙比分为或是（在第4局完成多两分），所以只能是在前两局打成，然后一方连赢两局结束竞赛。计算出，即可求出解：可取的值为的分布列为：例10：某学校在一次运动会上，将要进行甲、乙两名同学的乒乓球冠亚军决赛，竞赛实行三局两胜制.已知每局竞赛中，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为（1）若在第一局竞赛中采纳掷硬币的方式确定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率；（2）若第一局由乙先发球，以后每局由负方先发球.规定胜一局记2分，负一局记0分，记为竞赛结束时甲的得分，求随机变量的分布列及数学期望.（1）思路：本题甲获胜的概率取决于谁先发球，即为发球权确定的前提下的条件概率。若甲获得发球权，则获胜的概率为，假如