2023-2024学年湖南省邵阳市邵东县高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省邵阳市邵东县高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z=21−i+i，则|z|=A.1 B.2 C.3 2.某校高一学生550人，高二学生500人，高三学生450人，现有分层抽样，在高三抽取了18人，则高二应抽取的人数为(

)A.24 B.22 C.20 D.183.已知向量a，b满足a⋅b=10，且b=(−3,4)，则a在bA.(−6,8) B.(6,−8) C.(−65,4.已知α、β、γ是三个不同的平面，l、m、n是三条不同的直线，则(

)A.若m/​/α，n/​/α，则m/​/n

B.若α∩γ=m，β∩γ=n，α/​/β，则m/​/n

C.若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l/​/m

D.若α∩β=l，且m/​/l，则m/​/α5.如表是足球世界杯连续八届的进球总数，则进球总数的第一四分位数是(

)年份19941998200220062010201420182022进球总数141171161147145171169172A.145 B.146 C.147 D.1666.一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字．记事件A为“两次记录的数字和为奇数”，事件B为“两次记录的数字和大于4”，事件C为“第一次记录的数字为奇数”，事件D为“第二次记录的数字为偶数”，则(

)A.A与D互斥 B.C与D对立 C.A与B相互独立 D.A与C相互独立7.点O，G，P为△ABC所在平面内的点，且有|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|A.垂心，重心，外心 B.垂心，重心，内心 C.外心，重心，垂心 D.外心，垂心，重心8.在三棱锥P−ABC中，AB=AC=22，∠BAC=120°，PB=PC=26，PA=2A.40π B.20π C.80π D.60π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分.已知各位评委对某名选手的打分如下：

45 48 46 52 47 49 43 51 47 45

则下列结论正确的为(

)A.平均数为48 B.极差为9

C.中位数为47 D.第75百分位数为5110.已知△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为△ABC的外心，b=4，c=5，△ABC的面积S满足(b+c)2−a2=4A.A=π3 B.S=103 C.11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A.三棱锥B1−PBC1的体积为定值43

B.当A1P=PA时，直线PC1与平面BB1C1C所成角的正切值为52

C.直线PB与直线AC12.已知向量a=(2,−1)，b=(1,λ)，若(a+2b13.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如8=3+5，在不超过11的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是______(用分数表示)．14.《九章算术・商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥.现有阳马P−ABCD，如图，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，AD=3，点E，F分别在线段AB，BC上，则当空间四边形PEFD的周长最小时，直线PA与平面PFD所成角的正切值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a−=(sinx,1)，b−=(1,sin(π3−x))，f(x)=a−⋅b−．

(1)求函数f(x)16.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，直线C1B⊥平面ABC，平面AA1C1C⊥平面BB1C1C.

(1)求证：AC⊥B17.(本小题15分)

4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.某高校为了了解全体师生阅读时间的分配情况，对全校师生进行抽样问卷调查日平均阅读时间(单位：小时)，得到样本数据，并绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)根据频率分布直方图估算全校师生日平均阅读时间t−；(每组数据用该组的区间中点值作代表)

(3)将(2)所得到的日平均阅读时间t−保留为整数，并根据频率分布直方图估算师生日平均阅读时间的方差σ218.(本小题17分)

如图所示，长方形ABCD中，AD=1，AB=2，点M是边CD的中点，将△ADM沿AM翻折到△PAM，连接PB，PC，得到图的四棱锥P−ABCM．

(1)求四棱锥P−ABCM的体积的最大值；

(2)若棱PB的中点为N，求CN的长．19.(本小题17分)

若函数f(x)在x∈[a,b]时，函数值y的取值区间恰为[1b,1a]，就称区间[a,b]为f(x)的一个“倒域区间”.已知定义在[−2,2]上的奇函数g(x)，当x∈[0,2]时，g(x)=−x2+2x．

(1)求g(x)的解析式；

(2)求函数g(x)在参考答案1.D

2.C

3.C

4.B

5.B

6.D

7.A

8.A

9.BC

10.ACD

11.ACD

12.−113.3514.315.解：(1)因为f(x)=a⋅b=sinx+sin(π3−x)=12sinx+32cosx=sin(x+π3)，

所以函数f(x)的最小正周期T=2π；

因为函数y=sinx的单调增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ]，k∈Z，

所以−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，

解得−5π6+2kπ≤x≤π616.解：(1)证明：过点B作BD⊥CC1，垂足为D，

因为平面AA1C1C⊥平面BB1C1C，平面AA1C1C∩平面BB1C1C=CC1，BD⊂平面BB1C1C，

所以BD⊥平面AA1C1C，又因为AC⊂平面AA1C1C，所以BD⊥AC，

又因为C1B⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以C1B⊥AC，

又BD∩C1B=B，BD，C1B⊂平面BB1C1C，所以AC⊥平面BB1C1C，

又BB1⊂平面BB1C1C，所以AC⊥BB1．

(2)当点P为A1B1中点时，四棱锥P−BCC1B1的体积为43，理由如下：

过点P作PQ//B1C1，交A1C1于点Q，

因为C1B⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以C1B⊥BC，

又BC=BC1=2，所以CC1=22，

由(1)可知，BD⊥CC1，

所以S△BC17.解：(1)由概率和为1得：2×(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1，

解得a=0.1；

(2)由题意知，t−为全校师生日平均阅读时间，

则t−=0.04×1+0.06×3+0.1×5+0.1×7+0.3×9+0.2×11+0.1×13+0.08×15+0.02×17=9.16，

所以全校师生日平均阅读时间为9.16小时；

(3)将t−保留整数则t−≈9，

由方差的定义可得：

σ18.解：(1)取AM的中点G，连接PG，

因为PA=PM，则PG⊥AM，

当平面PAM⊥平面ABCM时，P点到平面ABCM的距离最大，

四棱锥P−ABCM的体积取得最大值，

此时PG⊥平面ABCM，且PG=12AM=22，

底面ABCM为梯形，面积为(1+2)×1×12=32，

则四棱锥P−ABCM的体积最大值为13×32×22=24；

(2)取AP中点Q，连接NQ，MQ，

则因为N为PB中点，所以NQ为△PAB的中位线，

所以NQ//AB且NQ=12AB，

因为M为CD的中点，四边形19.(1)解：当x∈[−2,0)时，则−x∈(0,2]，

由奇函数的定义可得g(x)=−g(−x)=−[−(−x)2+2(−x)]=x2+2x，

所以，g(x)=−x2+2x,0≤x≤2x2+2x,−2≤x<0．

(2)解：设1≤a<b≤2，因为函数g(x)在[1,2]上递减，且g(x)在[a,b]上的值域为[1b,1a]，

所以，g(b)=−b2+2b=1bg(a)=−a2+2a=1a1≤a<b≤2，解得a=1b=1+52，

所以，函数g(x)在[1,2]内的“倒域区间”为[1,1+52]．

(3)解：∵g(