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文档简介
江苏省张家港市2024届中考数学最后一模试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.哥哥与弟弟的年龄和是18岁,弟弟对哥哥说:“当我的年龄是你现在年龄的时候,你就是18岁”.如果现在弟弟的年龄是x岁,哥哥的年龄是y岁,下列方程组正确的是()A.x=y-18y-x=18-yB.C.x+y=18y-x=18+yD.2.有一圆形苗圃如图1所示,中间有两条交叉过道AB,CD,它们为苗圃的直径,且AB⊥CD.入口K位于中点,园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进.设该园丁行进的时间为x,与入口K的距离为y,表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示,则该园丁行进的路线可能是()A.A→O→D B.C→A→O→B C.D→O→C D.O→D→B→C3.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=4,两等圆⊙A,⊙B外切,那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为()A.2π B.4π C.6π D.8π4.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足的函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可得到最佳加工时间为()A.4.25分钟 B.4.00分钟 C.3.75分钟 D.3.50分钟5.如图,半径为的中,弦,所对的圆心角分别是,,若,,则弦的长等于()A. B. C. D.6.如图,函数y=﹣2x+2的图象分别与x轴,y轴交于A,B两点,点C在第一象限,AC⊥AB,且AC=AB,则点C的坐标为()A.(2,1) B.(1,2) C.(1,3) D.(3,1)7.若x,y的值均扩大为原来的3倍,则下列分式的值保持不变的是()A. B. C. D.8.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC上,BD=3,DC=1,点P是AB上的动点,则PC+PD的最小值为()A.4 B.5 C.6 D.79.用尺现作图的方法在一个平行四边形内作菱形,下列作法错误的是()A. B. C. D.10.-2的绝对值是()A.2 B.-2 C.±2 D.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.若有意义,则x的取值范围是.12.如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠B=2∠D=120°,∠C=75°.则=13.若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点,则常数m的值是.14.因式分解:16a3﹣4a=_____.15.已知△ABC中,BC=4,AB=2AC,则△ABC面积的最大值为_______.16.如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形,点F在x轴的正半轴上,点C在边DE上,反比例函数(k≠0,x>0)的图象过点B,E.若AB=2,则k的值为________.17.如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,AB=4,点D为AB的中点,以点D为圆心作圆,半圆恰好经过三角形的直角顶点C,以点D为顶点,作90°的∠EDF,与半圆交于点E,F,则图中阴影部分的面积是____.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)如图,AB是⊙O的直径,D是⊙O上一点,点E是AC的中点,过点A作⊙O的切线交BD的延长线于点F.连接AE并延长交BF于点C.(1)求证:AB=BC;(2)如果AB=5,tan∠FAC=,求FC的长.19.(5分)进入冬季,某商家根据市民健康需要,代理销售一种防尘口罩,进货价为20元/包,经市场销售发现:销售单价为30元/包时,每周可售出200包,每涨价1元,就少售出5包.若供货厂家规定市场价不得低于30元/包.试确定周销售量y(包)与售价x(元/包)之间的函数关系式;试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)与售价x(元/包)之间的函数关系式,并直接写出售价x的范围;当售价x(元/包)定为多少元时,商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?20.(8分)俄罗斯世界杯足球赛期间,某商店销售一批足球纪念册,每本进价40元,规定销售单价不低于44元,且获利不高于30%.试销售期间发现,当销售单价定为44元时,每天可售出300本,销售单价每上涨1元,每天销售量减少10本,现商店决定提价销售.设每天销售量为y本,销售单价为x元.请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围;当每本足球纪念册销售单价是多少元时,商店每天获利2400元?将足球纪念册销售单价定为多少元时,商店每天销售纪念册获得的利润w元最大?最大利润是多少元?21.(10分)某网店销售甲、乙两种羽毛球,已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元,王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球,共花费255元.该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元?根据消费者需求,该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒,且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的,已知甲种羽毛球每筒的进价为50元,乙种羽毛球每筒的进价为40元.①若设购进甲种羽毛球m筒,则该网店有哪几种进货方案?②若所购进羽毛球均可全部售出,请求出网店所获利润W(元)与甲种羽毛球进货量m(筒)之间的函数关系式,并说明当m为何值时所获利润最大?最大利润是多少?22.(10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过点A、C,点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点.(1)求抛物线的表达式;(2)如图,当CP//AO时,求∠PAC的正切值;(3)当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时,求出此时点P的坐标.23.(12分)如图,一条公路的两侧互相平行,某课外兴趣小组在公路一侧AE的点A处测得公路对面的点C与AE的夹角∠CAE=30°,沿着AE方向前进15米到点B处测得∠CBE=45°,求公路的宽度.(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.73)24.(14分)如图,建筑物AB的高为6cm,在其正东方向有个通信塔CD,在它们之间的地面点M(B,M,D三点在一条直线上)处测得建筑物顶端A、塔项C的仰角分别为37°和60°,在A处测得塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高度.(sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,=1.73,精确到0.1m)
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、D【解析】试题解析:设现在弟弟的年龄是x岁,哥哥的年龄是y岁,由题意得y=18-x18-y=y-x故选D.考点:由实际问题抽象出二元一次方程组2、B【解析】【分析】观察图象可知园丁与入口K的距离先减小,然后再增大,但是没有到过入口的位置,据此逐项进行分析即可得.【详解】A.A→O→D,园丁与入口的距离逐渐增大,逐渐减小,不符合;B.C→A→O→B,园丁与入口的距离逐渐减小,然后又逐渐增大,符合;C.D→O→C,园丁与入口的距离逐渐增大,不符合;D.O→D→B→C,园丁与入口的距离先逐渐变小,然后再逐渐变大,再逐渐变小,不符合,故选B.【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,看懂图形,认真分析是解题的关键.3、B【解析】
先依据勾股定理求得AB的长,从而可求得两圆的半径为4,然后由∠A+∠B=90°可知阴影部分的面积等于一个圆的面积的.【详解】在△ABC中,依据勾股定理可知AB==8,∵两等圆⊙A,⊙B外切,∴两圆的半径均为4,∵∠A+∠B=90°,∴阴影部分的面积==4π.故选:B.【点睛】本题主要考查的是相切两圆的性质、勾股定理的应用、扇形面积的计算,求得两个扇形的半径和圆心角之和是解题的关键.4、C【解析】
根据题目数据求出函数解析式,根据二次函数的性质可得.【详解】根据题意,将(3,0.7)、(4,0.8)、(5,0.5)代入p=at2+bt+c,得:解得:a=−0.2,b=1.5,c=−2,即p=−0.2t2+1.5t−2,当t=−=3.75时,p取得最大值,故选C.【点睛】本题考查了二次函数的应用,熟练掌握性质是解题的关键.5、A【解析】作AH⊥BC于H,作直径CF,连结BF,先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF,然后再根据同圆中,相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6,由AH⊥BC,根据垂径定理得CH=BH,易得AH为△CBF的中位线,然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=1,从而求解.解:作AH⊥BC于H,作直径CF,连结BF,如图,∵∠BAC+∠EAD=120°,而∠BAC+∠BAF=120°,∴∠DAE=∠BAF,∴弧DE=弧BF,∴DE=BF=6,∵AH⊥BC,∴CH=BH,∵CA=AF,∴AH为△CBF的中位线,∴AH=BF=1.∴,∴BC=2BH=2.故选A.“点睛”本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理和三角形中位线性质.6、D【解析】
过点C作CD⊥x轴与D,如图,先利用一次函数图像上点的坐标特征确定B(0,2),A(1,0),再证明△ABO≌△CAD,得到AD=OB=2,CD=AO=1,则C点坐标可求.【详解】如图,过点C作CD⊥x轴与D.∵函数y=﹣2x+2的图象分别与x轴,y轴交于A,B两点,∴当x=0时,y=2,则B(0,2);当y=0时,x=1,则A(1,0).∵AC⊥AB,AC=AB,∴∠BAO+∠CAD=90°,∴∠ABO=∠CAD.在△ABO和△CAD中,∠AOB=【点睛】本题主要考查一次函数的基本概念。角角边定理、全等三角形的性质以及一次函数的应用,熟练掌握相关知识点是解答的关键.7、D【解析】
根据分式的基本性质,x,y的值均扩大为原来的3倍,求出每个式子的结果,看结果等于原式的即是答案.【详解】根据分式的基本性质,可知若x,y的值均扩大为原来的3倍,A、,错误;B、,错误;C、,错误;D、,正确;故选D.【点睛】本题考查的是分式的基本性质,即分子分母同乘以一个不为0的数,分式的值不变.此题比较简单,但计算时一定要细心.8、B【解析】试题解析:过点C作CO⊥AB于O,延长CO到C′,使OC′=OC,连接DC′,交AB于P,连接CP.此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小.∵DC=1,BC=4,∴BD=3,连接BC′,由对称性可知∠C′BE=∠CBE=41°,∴∠CBC′=90°,∴BC′⊥BC,∠BCC′=∠BC′C=41°,∴BC=BC′=4,根据勾股定理可得DC′===1.故选B.9、A【解析】
根据菱形的判定方法一一判定即可【详解】作的是角平分线,只能说明四边形ABCD是平行四边形,故A符合题意B、作的是连接AC,分别做两个角与已知角∠CAD、∠ACB相等的角,即∠BAC=∠DAC,∠ACB=∠ACD,能得到AB=BC,AD=CD,又AB∥CD,所以四边形ABCD为菱形,B不符合题意C、由辅助线可知AD=AB=BC,又AD∥BC,所以四边形ABCD为菱形,C不符合题意D、作的是BD垂直平分线,由平行四边形中心对称性质可知AC与BD互相平分且垂直,得到四边形ABCD是菱形,D不符合题意故选A【点睛】本题考查平行四边形的判定,能理解每个图的作法是本题解题关键10、A【解析】
根据绝对值的性质进行解答即可【详解】解:﹣1的绝对值是:1.故选:A.【点睛】此题考查绝对值,难度不大二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、x≥8【解析】略12、【解析】
连接AC,过点C作CE⊥AB的延长线于点E,,如图,先在Rt△BEC中根据含30度的直角三角形三边的关系计算出BC、CE,判断△AEC为等腰直角三角形,所以∠BAC=45°,AC=,利用即可求解.【详解】连接AC,过点C作CE⊥AB的延长线于点E,∵∠ABC=2∠D=120°,∴∠D=60°,∵AD=CD,∴△ADC是等边三角形,∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠DCB=360°,∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=75°-60°=15°,∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-120°-15°=45°,∴AE=CE,∠EBC=45°+15°=60°,∴∠BCE=90°-60°=30°,设BE=x,则BC=2x,CE=,在RT△AEC中,AC=,∴,故答案为.【点睛】本题考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.合理作辅助线是解题的关键.13、0或1【解析】分析:需要分类讨论:①若m=0,则函数y=2x+1是一次函数,与x轴只有一个交点;②若m≠0,则函数y=mx2+2x+1是二次函数,根据题意得:△=4﹣4m=0,解得:m=1。∴当m=0或m=1时,函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点。14、4a(2a+1)(2a﹣1)【解析】
首先提取公因式,再利用平方差公式分解即可.【详解】原式=4a(4a2﹣1)=4a(2a+1)(2a﹣1),故答案为4a(2a+1)(2a﹣1)【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用,解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.15、【解析】
设AC=x,则AB=2x,根据面积公式得S△ABC=2x,由余弦定理求得cosC代入化简S△ABC=,由三角形三边关系求得,由二次函数的性质求得S△ABC取得最大值.【详解】设AC=x,则AB=2x,根据面积公式得:c==2x.由余弦定理可得:,∴S△ABC=2x=2x=由三角形三边关系有,解得,故当时,取得最大值,
故答案为:.【点睛】本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用,考查了二次函数的性质,考查了计算能力,当涉及最值问题时,可考虑用函数的单调性和定义域等问题,属于中档题.16、【解析】
解:设E(x,x),∴B(2,x+2),∵反比例函数(k≠0,x>0)的图象过点B.E.∴x2=2(x+2),,(舍去),,故答案为17、π﹣1.【解析】
连接CD,作DM⊥BC,DN⊥AC,证明△DMG≌△DNH,则S四边形DGCH=S四边形DMCN,求得扇形FDE的面积,则阴影部分的面积即可求得.【详解】连接CD,作DM⊥BC,DN⊥AC.∵CA=CB,∠ACB=90°,点D为AB的中点,∴DC=AB=1,四边形DMCN是正方形,DM=.则扇形FDE的面积是:=π.∵CA=CB,∠ACB=90°,点D为AB的中点,∴CD平分∠BCA.又∵DM⊥BC,DN⊥AC,∴DM=DN.∵∠GDH=∠MDN=90°,∴∠GDM=∠HDN.在△DMG和△DNH中,∵,∴△DMG≌△DNH(AAS),∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=1.则阴影部分的面积是:π﹣1.故答案为π﹣1.【点睛】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题,正确证明△DMG≌△DNH,得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)见解析;(2).【解析】分析:(1)由AB是直径可得BE⊥AC,点E为AC的中点,可知BE垂直平分线段AC,从而结论可证;(2)由∠FAC+∠CAB=90°,∠CAB+∠ABE=90°,可得∠FAC=∠ABE,从而可设AE=x,BE=2x,由勾股定理求出AE、BE、AC的长.作CH⊥AF于H,可证Rt△ACH∽Rt△BAC,列比例式求出HC、AH的值,再根据平行线分线段成比例求出FH,然后利用勾股定理求出FC的值.详解:(1)证明:连接BE.∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°,∴BE⊥AC,而点E为AC的中点,∴BE垂直平分AC,∴BA=BC;(2)解:∵AF为切线,∴AF⊥AB,∵∠FAC+∠CAB=90°,∠CAB+∠ABE=90°,∴∠FAC=∠ABE,∴tan∠ABE=∠FAC=,在Rt△ABE中,tan∠ABE==,设AE=x,则BE=2x,∴AB=x,即x=5,解得x=,∴AC=2AE=2,BE=2作CH⊥AF于H,如图,∵∠HAC=∠ABE,∴Rt△ACH∽Rt△BAC,∴==,即==,∴HC=2,AH=4,∵HC∥AB,∴=,即=,解得FH=在Rt△FHC中,FC==.点睛:本题考查了圆周角定理的推论,线段垂直平分线的判定与性质,切线的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,平行线分线段成比例定理,锐角三角函数等知识点及见比设参的数学思想,得到BE垂直平分AC是解(1)的关键,得到Rt△ACH∽Rt△BAC是解(2)的关键.19、(1)y=﹣5x+350;(2)w=﹣5x2+450x﹣7000(30≤x≤40);(3)当售价定为45元时,商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)最大,最大利润是1元.【解析】试题分析:(1)根据题意可以直接写出y与x之间的函数关系式;(2)根据题意可以直接写出w与x之间的函数关系式,由供货厂家规定市场价不得低于30元/包,且商场每周完成不少于150包的销售任务可以确定x的取值范围;(3)根据第(2)问中的函数解析式和x的取值范围,可以解答本题.试题解析:解:(1)由题意可得:y=200﹣(x﹣30)×5=﹣5x+350即周销售量y(包)与售价x(元/包)之间的函数关系式是:y=﹣5x+350;(2)由题意可得,w=(x﹣20)×(﹣5x+350)=﹣5x2+450x﹣7000(30≤x≤70),即商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)与售价x(元/包)之间的函数关系式是:w=﹣5x2+450x﹣7000(30≤x≤40);(3)∵w=﹣5x2+450x﹣7000=﹣5(x﹣45)2+1∵二次项系数﹣5<0,∴x=45时,w取得最大值,最大值为1.答:当售价定为45元时,商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润最大,最大利润是1元.点睛:本题考查了二次函数的应用,解题的关键是明确题意,可以写出相应的函数解析式,并确定自变量的取值范围以及可以求出函数的最值.20、(1)y=﹣10x+740(44≤x≤52);(2)当每本足球纪念册销售单价是50元时,商店每天获利2400元;(3)将足球纪念册销售单价定为52元时,商店每天销售纪念册获得的利润w元最大,最大利润是2640元.【解析】
(1)售单价每上涨1元,每天销售量减少10本,则售单价每上涨(x﹣44)元,每天销售量减少10(x﹣44)本,所以y=300﹣10(x﹣44),然后利用销售单价不低于44元,且获利不高于30%确定x的范围;(2)利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到(x﹣40)(﹣10x+740)=2400,然后解方程后利用x的范围确定销售单价;(3)利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=(x﹣40)(﹣10x+740),再把它变形为顶点式,然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大,从而计算出x=52时对应的w的值即可.【详解】(1)y=300﹣10(x﹣44),即y=﹣10x+740(44≤x≤52);(2)根据题意得(x﹣40)(﹣10x+740)=2400,解得x1=50,x2=64(舍去),答:当每本足球纪念册销售单价是50元时,商店每天获利2400元;(3)w=(x﹣40)(﹣10x+740)=﹣10x2+1140x﹣29600=﹣10(x﹣57)2+2890,当x<57时,w随x的增大而增大,而44≤x≤52,所以当x=52时,w有最大值,最大值为﹣10(52﹣57)2+2890=2640,答:将足球纪念册销售单价定为52元时,商店每天销售纪念册获得的利润w元最大,最大利润是2640元.【点睛】本题考查了二次函数的应用,一元二次方程的应用,解决二次函数应用类问题时关键是通过题意,确定出二次函数的解析式,然后利用二次函数的性质确定其最大值;在求二次函数的最值时,一定要注意自变量x的取值范围.21、(1)该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元,乙种羽毛球每筒的售价为45元;(2)①进货方案有3种,具体见解析;②当m=78时,所获利润最大,最大利润为1390元.【解析】【分析】(1)设甲种羽毛球每筒的售价为x元,乙种羽毛球每筒的售价为y元,由条件可列方程组,则可求得答案;(2)①设购进甲种羽毛球m筒,则乙种羽毛球为(200﹣m)筒,由条件可得到关于m的不等式组,则可求得m的取值范围,且m为整数,则可求得m的值,即可求得进货方案;②用m可表示出W,可得到关于m的一次函数,利用一次函数的性质可求得答案.【详解】(1)设甲种羽毛球每筒的售价为x元,乙种羽毛球每筒的售价为y元,根据题意可得,解得,答:该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元,乙种羽毛球每筒的售价为45元;(2)①若购进甲种羽毛球m筒,则乙种羽毛球为(200﹣m)筒,根据题意可得,解得75<m≤78,∵m为整数,∴m的值为76、77、78,∴进货方案有3种,分别为:方案一,购进甲种羽毛球76筒,乙种羽毛球为124筒,方案二,购进甲种羽毛球77筒,乙种羽毛球为123筒,方案一,购进甲种羽毛球78筒,乙种羽毛球为122筒;②根据题意可得W=(60﹣50)m+(45﹣40)(200﹣m)=5m+1000,∵5>0,∴W随m的增大而增大,且75<m≤78,∴当m=78时,W最大,W最大值为1390,答:当m=78时,所获利润最大,最大利润为1390元.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用,弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组、找准各量之间的数量关系列出函数解析式是解题的关键.22、(1)抛物线的表达式为;(2);(3)P点的坐标是.【解析】
分析:(1)由题意易得点A、C的坐标分别为(-1,0),(0,1),将这两点坐标代入抛物线列出方程组,解得b、c的值即可求得抛物线的解析式;(2)如下图,作PH⊥AC于H,连接OP,由已知条件先求得PC=2,AC=,结合S△APC,可求得PH=,再由OA=OC得到∠CAO=15°,结合CP∥OA可得∠PCA=15°,即可得到CH=PH=,由此可得AH=,这样在Rt△APH中由tan∠PAC=即可求得所求答案了;(3)如图,当四边形AOPQ为符合要求的平行四边形时,则此时PQ=AO=1,且点P、Q关于抛物线的对称轴x=-1对称,由此可得点P的横坐标为-
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