中考数学一轮复习考点+题型讲练测第21讲 相似三角形及其应用（练习）（原卷版）

第21讲相似三角形及其应用目录TOC\o"1-2"\n\p""\h\z\u题型01添加条件使两个三角形相似题型02证明两个三角形相似题型03确定相似三角形的对数题型04在网格中判断相似三角形题型05利用相似的性质求解题型06利用相似的性质求点的坐标题型07在网格中画与已知三角形相似的三角形题型08证明三角形的对应线段成比例题型09利用相似三角形的性质求解决折叠问题题型10利用相似三角形的性质判断函数图象题型11尺规作图与相似三角形综合应用题型12三角板与相似三角形综合应用题型13平移与相似三角形综合应用题型14利用相似三角形的性质与判定求线段比值题型15利用相似三角形的性质与判定求最值题型16利用相似三角形的性质与判定解决动点问题题型17利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题题型18A字模型题型198字模型题型20一线三垂直模型题型21三角形内接矩形模型题型22旋转相似模型题型23相似三角形的应用题型01添加条件使两个三角形相似1．（2022·陕西宝鸡·统考二模）如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC与△ADE相似的是（

）A．∠CAB=∠D B．ACBC=DEAE2．（2023·广东广州·统考一模）已知：如图，点D在边AB上，若∠1=∠时，则△ADC∼△ACB．3．（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）如图，要使图中的两个三角形相似，需要添加一个条件，这个条件可以是．（写一个即可）题型02证明两个三角形相似4．（2023·广东广州·广州市第二中学校考二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上的点（不与点B，点C重合），连接DE并延长，交AB的延长线于点F．求证：△CDE∽△AFD．

5．（2023·湖北武汉·统考二模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE．

(1)求证：△DCE∽(2)若AB=6，AC=8，求BDCD6．（2023·浙江宁波·校考三模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，CD=2，BC=m，P为线段BC上一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于

(1)请找出一对相似三角形，并说明理由；(2)若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．题型03确定相似三角形的对数7．（2023·山西晋中·统考一模）在三边都不相等的△ABC的边AB上有一点D，过点D画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多可以画（

）A．5条 B．4条 C．3条 D．2条8．（2023·广东江门·校考一模）如图，BD和CE是△ABC的高，则图中相似三角形共有（）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对9．（2020·陕西西安·高新一中校考一模）如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)(

)对．A．4 B．5 C．6 D．7题型04在网格中判断相似三角形10．（2022·广东湛江·岭师附中校联考三模）如图，在小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点都在格点上，与△ABC相似的是（）

A．

B．

C．

D．

11．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，在正方形网格中：①△CEB；②△CDB；③△DEB；这3个斜三角形中，能与△ABC相似的是．（点A、B、C、D、E均在格点上）

12．（2017·天津和平·统考二模）如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②~⑥中，与①相似的三角形的个数是．题型05利用相似的性质求解13．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，△ABC∽△DEF，若AB=2，DE=3，则A．1∶2 B．1∶3 C．14．（2023·江西南昌·统考一模）如图，△DEF的顶点D,E在△ABC的边BC上，EF∥AC,DF∥AB，若∠F=55°，则A．45° B．55° C．60° D．65°15．（2023·四川成都·统考一模）若△ABC∽△DEF，且ABDE=13，若△ABC的周长为2，则A．29 B．23 C．616．（2023·甘肃张掖·校联考一模）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为12，则△DEF的面积为．题型06利用相似的性质求点的坐标17．（2022·广东汕头·林百欣中学校考一模）如图，矩形ABCD的顶点B，C分别在x轴，y轴上，OB＝4，OC＝3，AB＝10，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点A的坐标为（

）A．（10，8） B．（8，－10） C．（－10，8） D．（－8，10）18．（2023·湖南邵阳·统考一模）在平面直角坐标系内，一束光线从点P4,4射向x轴上的点M，经x轴反射后反射光线经过点Q0,2，则点M的坐标为．19．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为8，6，点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点20．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形，点B在x轴上，C，D分别是边AO，AB上的点，且CD∥OB，OC＝2AC，若CD＝2，则点A的坐标是．21．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A1,0，B0,2，点C为图示中正方形网格交点之一（点O除外），如果以A、B、C为顶点的三角形与△OAB相似，那么点C的坐标是题型07在网格中画与已知三角形相似的三角形22．（2021·浙江宁波·统考一模）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点处）．(1)在图1中画出一个格点△A1B1C(2)在图2中画出一个格点△A2B2C23．（2022·湖北武汉·校联考二模）如图是由小正方形组成的8×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，边AC上的D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图（1）中，先将线段CB绕点C顺时针旋转90°，画出对应线段CE，再在CE上画点F，使△BCF∽△BDA；(2)在图（2）中，先在边AB上画点G，使DG∥BC，再在边BC上画点H，使AH＋DH值最小．24．（2020·新疆·三模）如图1，在6×6的方格纸中，有格点△ABC（三个顶点都在方格顶点上的三角形）（1）请在图2中作一个格点三角形，使它与△ABC相似（不全等），且相似比为有理数；（2）请在图3中作一个格点三角形，使它与△ABC相似，且相似比为无理数．题型08证明三角形的对应线段成比例25．（2023·广东惠州·统考二模）如图，把矩形ABCD沿AC折叠，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG∥CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．

(1)试判断四边形ECDG的形状，并加以证明；(2)连接ED交AC于点O，求证：DC(3)在（2）的条件下，若DG=6，AG=145，求26．（2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考三模）操作与研究：如图，△ABC被平行于CD的光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．

(1)指出图中线段AC的投影是______，线段BC的投影是______．(2)问题情景：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明A(3)拓展运用如图2，正方形ABCD的边长为15，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF：①试利用射影定理证明△BOF∽②若DE=CE，求OF的长．27．（2022·海南海口·海口市第九中学校考二模）如图①，在菱形ABCD中，∠A=60°，BD是对角线，点E、F分别是AB、AD上两个动点（不与端点重合），且AF=BE，BF与DE交于点G．(1)求证：△AED≌(2)如图②，连接CG，若CG⊥BD于点H，求证：EF(3)若AF=nFD，试探究BF与GF的数量关系，并证明．题型09利用相似三角形的性质求解决折叠问题28．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,AB=9，E是AB上的一点，BE=5，点D是线段BC上的一个动点，沿AD折叠△ACD，点C与C'重合，连接

(1)求证：△AEC(2)若点F是BC上一点，且BF=5，求F29．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）综合与实践如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC>AC

猜想证明：（1）如图1，点D在BC边上∠DAC=45°．将△ABC沿AD所在直线折叠，点C的对应点为E．试猜想四边形ACDE的形状并加以证明．实践探究：（2）如图2，拓展小组受此问题启发，将△ABC沿过点C的直线CF折叠．点B的对应点为G．且CG⊥AB于点H．若AC=25，BC=45，求问题解决：（3）如图3．探究小组突发奇想，将△ABC沿过点A的直线AM折叠，若∠BAM=45°，AC=4，CM=3，直接写出BM的长．30．（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在AC上，且CD=2，点E在AB上（不与点A、B重合），连接DE，把△ADE沿DE折叠，当点A的对应点F落在等边△ABC的边上时，AE的长为．31．（2023·江西吉安·校考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，D为AB的中点，F为线段AC上的动点，将AD沿过点D的射线DF折叠得到DE，若AB下方的DE与△ABC的边垂直，则AF的长度可能是

题型10利用相似三角形的性质判断函数图象32．（2023·湖南长沙·统考三模）如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，点E是线段BC上一个动点，AE⊥EF于点E，射线EF交射线CD于点F，BC=2AB=8，设BE=x，CF=y，当点E从点B运动到点C时，y与x的函数图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

33．（2023·广东揭阳·模拟预测）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E是边AC上一动点，过点E作EF∥BC，交AB边于点F，点D为BC上任一点，连接DE、DF，设EC的长为x，则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（

A．B．C．D．34．（2021·甘肃·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P由点A出发，沿A→B→C的路径匀速运动，过点P向对角线AC作垂线，垂足为Q，设AQ＝x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C． D．题型11尺规作图与相似三角形综合应用35．（2023·广东深圳·统考二模）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°．由尺规作图得射线BM交AC于点F．则AF的长是36．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(6,0)，B是y轴上一点．

(1)B上求作点M，使得△AMO∽△AOB(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)在（1）的条件下，AB=4AM，OC是△AOB的中线，过点M的直线交OC于点D，交x轴于点F，当MO=MF时，求点D的坐标．37．（2023·福建宁德·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB>BC．

(1)尺规作图：在AC和AB上分别确定点D，E的位置，使得△BDE是以BD为底边的等腰直角三角形；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，若AB=6,BC=4，求BE的长．题型12三角板与相似三角形综合应用38．（2023·河北保定·统考模拟预测）如图，把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，DF经过点B，其中∠ABC=∠DEF=90∘，∠C=∠F=45∘，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O逆时针旋转，旋转角为α．其中0∘<α<90∘．设射线DE与射线AB相交于点①△APD∽△CDQ；②AP⋅CQ的值不变，为8；③当45°≤α<90°时，设CQ=x，两块三角板重叠部分的面积为y=4−x−8−4x其中正确的是（

）A．只有①与② B．只有①与③ C．只有②与③ D．①②③39．（2022·广东深圳·校联考二模）一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且满足∠CME=2∠ADE，EM=．40．（2023·安徽合肥·校考一模）如图（1），直线L上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较小直角边长为6cm，较小锐角度数为30(1)将△ECD沿直线AC翻折到图（2）的位置，ED'与AB相交于点F(2)将△ECD沿直线L向左平移到图（3）的位置，使E点落在AB上，你可以求出平移距离，试试看；(3)将△ECD绕点C逆时针旋转到图（4）的位置，使E点落在AB上，请求出旋转角的度数．41．（2022·河南平顶山·平顶山市第十六中学校考模拟预测）问题发现．【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上(点D不与点B、C重合)，使两边分别交线段AB、AC于点E、F．(1)若AB=6，AE=4，BD=2，则CF=______；(2)求证：△EBD∽△DCF．(3)【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出BDBC(4)【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB=AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处(其中∠MON=∠B)，使两条边分别交边AB、AC于点E、F(点E、F均不与△ABC的顶点重合)，连接EF.设∠B=α，则△AEF与△ABC的周长之比为______(用含α的表达式表示)．题型13平移与相似三角形综合应用42．（2023·安徽六安·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为5，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，B−1,0，C、D两点在抛物线y=

(1)求此抛物线的表达式；(2)正方形ABCD沿射线BC以每秒5个单位长度平移，1秒后停止，此时B点运动到B1点，试判断B(3)正方形ABCD沿射线BC平移，得到正方形A2B2C2D243．（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）正方形ABCD与正方形EFGH的AD边和EF边在直线MN上，起始状态如图①所示，点F与点D重合，点G在CD边上．已知EF=2cm，AB=4cm．正方形EFGH沿MN方向以(1)在正方形EFGH平移过程中，若S=2cm2，求(2)在1≤t≤3这段时间内，求S与t的函数关系式．(3)当直线BG平分线段AH时，如图②，t=______s．44．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，将y=−x函数图象向上平移b个单位后，恰好与y=4x(x>0)有唯一公共点B，并交y=kxx<0于点

(1)求b的值．(2)若AB=35AC题型14利用相似三角形的性质与判定求线段比值45．（2022·河南安阳·统考一模）兴趣小组探索等腰三角形中线段比值问题，部分探索活动如下：(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，D，E分别是BC，AC边上的点，∠AFE=∠ABC，则BEAD(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，D，E分别是BC，AC边上的点，∠AFE=∠ABC，请你猜想BEAD(3)如图3，在△ABC中，AB=AC，cos∠ABC=512，D，E分别是BC，CA边延长线上的点，∠DFB=∠ABC，请直接写出BE46．（2020·江苏扬州·统考二模）定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是4:5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．（1）如图，在△ABC中，AC=8，BC=5，∠ACB=30°，试判断△ABC是否是“准黄金”三角形，请说明理由．

（2）如图，△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是△ABD的重心，求ABBC

（3）如图，l1//l2，且直线l1与l2之间的距离为4，“准黄金”△ABC的“金底”BC在直线l2上，点A在直线l1上，ABBC=255，若∠ABC是钝角，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△A'B'C，线段A'C

47．（2020·山东东营·统考一模）【问题情境】在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），点P为直线BC上一动点（不与点B、C重合），连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ旋转角为α，连接CQ．【特例分析】（1）当α＝90°，点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图①，易得图中与△APF全等的一个三角形是，∠ACQ＝°．【拓展探究】（2）当点P在BC延长线上，AB：AC＝m：n时，如图②，试求线段BP与CQ的比值；【问题解决】（3）当点P在直线BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4时，请直接写出线段CQ的长．48．（2022·湖北武汉·校考一模）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC上，DE⊥BC交AB于点E，证明：BE•BA=BD•BC；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，D是BC上一点，AD⊥DE，且DE=3AD，连接BE，AC=5，CD=6，求BE的长；（3）拓展探究：在△BCD中，∠BAC=∠AEC=90°，CA平分∠BCD，若tan∠ABC=12，则AG：GE题型15利用相似三角形的性质与判定求最值49．（2023上·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）在等边三角形ABC中，点M、N分别边AB、AC上．

(1)如图1，若将等边三角形ABC沿MN翻折，点A恰好落在边BC上的点D处，①求证：△MBD∽△DCN；②若BC=6，CN=2，若设BM=y，DC=x，求y与(2)尺规作图：在BC边上求作一点P使∠MPN=60°，（不写作法，保留作图痕迹，请在图2中找出所有符合条件的点P）(3)若AB=9，BM=5，设CN=a，若要使得（2）中只能作出唯一的点P，则50．（2021上·河北保定·九年级校考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2解：x=∵无论x取何实数，总有(x+3)2∴(x+3)2−10≥−10，即无论x取何实数，x2(1)问题：已知y=−x2−4x+7(2)【知识迁移】在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，探究一：AD=12,BC=6，求出矩形PQMN的最大面积的值；（提示：由矩形PQMN我们很容易证明△APN∽△ABC，可以设PN=x，经过推导，用含有x的代数式表示出该矩形的面积，从而求得答案．）(3)探究二：AD=ℎ,BC=a，则矩形PQMN面积S的最大值___________．（用含a，h的代数式表示）题型16利用相似三角形的性质与判定解决动点问题51．（2023·广东茂名·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，点E为BC上的动点，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，EF与AC相交于点G，若AB=3AD，AC=3，BC=6，CG=0.8，则CE的值为52．（2023·广东深圳·深圳市东湖中学校考模拟预测）如图，在反比例函数y=43x的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=kx的图象上运动，若tan∠CAB=353．（2022·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）问题背景在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点D为边AB上一动点，点E为边AC上一动点，沿直线DE

问题解决(1)如图1，当A'与B重合时，求线段BE(2)如图2，当A'E与边AB相交于点F，且A'①求五边形A'②连接CA'，则题型17利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题54．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A−1,0，B4,0

(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AD，交BC于E，求DEAE(3)如图2，连接AC，BC过点O作直线l∥BC，点P、Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第四象限是否存在这样的点P、Q，使△BPQ~△ACB．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．55．（2023·山东菏泽·统考三模）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3,0)

(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；(3)如图2，D为抛物线的顶点，试说明∠DAB=∠ACB；在线段AD上存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出符合条件的点M的坐标；56．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，抛物线与x轴交于点O和点B，顶点为A1，1，直线y=x−2经过点B(1)求抛物线的函数表达式．(2)若N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，是否存在以O，M，N为顶点的△ONM，使得△ONM∽△ABC，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．题型18A字模型57．（2023·广东云浮·统考一模）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点O，连接A．5−1 B．3−5 C．558．（2021·浙江宁波·统考一模）如图，已知∠A=∠CBD，AC=4，CD=2，则

A．2 B．22 C．2题型198字模型59．（2021·广东广州·统考一模）如图，点E，F分别为平行四边形ABCD的边BC，AD上的点，且CE=2BE，AF=2DF，AE与BF交于点H，若△BEH的面积为2，则五边形

A．19 B．20 C．21 D．2260．（2022·河北邢台·校考三模）如图，嘉嘉在作业本上画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A，B，C，D，O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O．若AB=4cm，则CD的长为（

A．5cm B．6cm C．861．（2023·河南周口·校考三模）如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E在AD边上，AE=2,CE交BD于点F，则DF的长为（

）

A．22 B．32 C．15题型20一线三垂直模型62．（2022·河北唐山·校考一模）如图，E为正方形ABCD的边AB的中点，过点E作∠GEF=90°，分别与边AD，BC交于点G，F．若AG=2，BF=4，则GF的长为（）

A．4 B．6 C．8 D．1063．（2023·河南信阳·校考三模）如图①，已知矩形ABCD，E是BC边上的一个动点，BC=4，AE⊥EF，EF交DC于F，设点E运动的路程为x，CF运动的路程为y，y与x之间的函数关系图象如图②所示，则矩形ABCD面积为（

）

A．8 B．6 C．12 D．1题型21三角形内接矩形模型64．（2023·广东广州·统考一模）如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD=6，BC=12，则正方形MNPQ的边长为（

）A．6 B．5 C．4 D．365．（2022·江苏宿迁·统考一模）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH=ℎ，AB=c，若内接正方形DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为（

）A．x2+ℎ2=c题型22旋转相似模型66．（2023·安徽黄山·校考一模）已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，△ADE绕点A逆时针旋转一周．

(1)如图1，连接BD，CE，则BD与CE的数量关系为_______；直线BD与CE所夹角的度数为_______．(2)当△ADE旋转至如图2所示的位置时，取BC，DE的中点M，N，连接MN，BD．试问：MNBD的值是否随△ADE(3)M，N分别为BC，DE的中点，连接MN．若AB=310，AD=6，当△ADE旋转至B，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出MN67．（2023·安徽滁州·统考一模）已知△ABC和△ADE有公共的顶点A，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE．AC与DE相交于点G，连接BE，CD．(1)若点B，E，D在一条直线上，如图1，求证：∠BAC=∠BDC；(2)将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度，DE的延长线交BC于点F，如图2①证明：AE⋅CG=DG⋅CF；②若∠AEB=∠BAC=90°，求CFAB68．（2023·安徽亳州·统考二模）如图1，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE．(1)①求证：△ABC∽△ADE；②若AB=AC，试判断△ADE的形状，并说明理由；(2)如图2，旋转△ADE，使点D落在边BC上，若∠BAC=∠DAE=90°，∠B=∠ADE．求证：CE⊥BC．题型23相似三角形的应用69．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了2.73万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标P，在近岸取点A和C，使点P、A、C共线且与河垂直，接着在过点C且与直线PC垂直的直线上选择适当的点D，确定PD与过点A且与PC垂直的直线交点B．测得AC=50m，CD=120m，AB=80m

70．（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在相对的两栋楼CD、EF中间有一堵院墙AB，甲、乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙，根据实际情况画出平面图形(CD⊥DF．AB⊥DF．EF⊥DF)．甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处．点B是DF的中点．墙AB高5.5米，DF=120米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观察点到地面的距离的差．（结果精确到0.1米）．

71．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，某天傍晚，数学兴趣小组的小敏和小芳在公园散步时作了如下探索：当小芳竖直站立在A处时，她在路灯D下的影子为线段AC，并测得AC=2米，已知DE、AB均与地面EC垂直，且E、A、C在同一直线上，小芳的身高AB为1.5米，小芳与灯杆底部E的距离为AE为8米．

(1)求路灯的高度DE；(2)如果要缩短小芳的影子AC的长度，同时不能改变路灯的高度和位置，请你写出一种方法．72．（2023·陕西西安·统考三模）西安古城墙凝聚了中国古代劳动人民的智慧，它作为古城西安的地标性建筑，吸引了不少人慕名而来．节假日，乐乐去城墙游玩，看见宏伟的城墙后，他想要测量城墙的高度DE．如图，他拿着一根笔直的小棍BC，站在距城墙约30米的点N处（即EN=30米），把手臂向前伸直且让小棍BC竖直，BC∥DE，乐乐看到点B和城墙顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知乐乐的臂长CM约为60厘米，小棍BC的长为24厘米，AN⊥EN，CM⊥AN，DE⊥EN，求城墙的高度DE．73．（2023·陕西西安·统考三模）党的二十大报告提出要“全面推进乡村振兴”，这是对党的十九大报告所提出的“实施乡村振兴战略”的进一步发展，彰显出新时代新征程在工农城乡关系布局上的深远谋划，为不断推进乡村振兴、加快农村现代化进程指明了方向某市为了加快城乡发展，保障市民出行方便，在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE∥BC．经测量，BC=120米，DE=210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥

74．（2023·浙江衢州·校考一模）（1）如图1，若D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，我们把这样的线段DE称为是三角形的中位线．你知道中位线DE与BC之间有什么关系吗？请同学们大胆地猜想一下，并证明你的结论．（2）如示意图2，小华家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路计为BC．一辆以60kmh匀速行驶的汽车经过公路段的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是

75．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）西安钟楼位于西安市中心，明城墙内东西南北四条大街的交汇处，为中国现存钟楼中形制最大、保存最完整的一座．如图，小琪想要测出钟楼AB的高度，于是在地面上的C处放置了一面镜子，当他站在离镜子C处1.2m的E处时，恰好从镜子里看到钟楼顶端A在镜子中的像（即∠DCE=∠ACB）．已知B，C，E在同一直线上，小琪的眼睛离地面的高度DE=1.5m，BC=28.8m76．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，工地上有两根电线杆，分别在高为4m、6m的A、C处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点77．（2023·陕西铜川·统考一模）已知有一块三角形材料∠ABC，其中BC=120cm，高AD=80cm，现需要在三角形ABC上裁下一个正方形材料做零件，使得正方形EFGH的顶点E、F分别在边AB，AC上，H、G在BC上，裁下的正方形一、单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）如图，已知△ABC∽△EDC，AC:EC=2:3，若AB的长度为6，则DE的长度为（

）

A．4 B．9 C．12 D．13.52．（2023·陕西·统考中考真题）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF=2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC=6，则线段CM的长为（

）

A．132 B．7 C．153．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE=60°，若BD=4DC，DE=2.4，则AD的长为（

）

A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.24．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m

A．6.4m B．8m C．9.65．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB=3，AD=1①BD=CE；②BD⊥CE；③当点E在BA的延长线上时，MC=3−④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为12其中正确结论有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB=35，点C为平面内一动点，BC=32，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM:MA=1:2．当线段OM

A．35,65 B．37．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于12FG的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①∠AED=∠ABC；②BC=AE；③ED=1

A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·江苏·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=3x+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数y=kx在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为2,0,

A．3 B．23 C．339．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点

A．BE=DE B．AE=CE C．CE=2BE D．S10．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（）

A．12 B．14 C．18 D．24二、填空题11．（2023·广东·统考中考真题）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为．

12．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE,AC分别与DF,EF相交于G,H两点．若DG=m,EH=n，用含m,n的式子表示GH的长是．

13．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为OE的中点，且S△EAF=

14．（2023·上海·统考中考真题）如图，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，2AD=BD,DE∥BC，联结DE，设向量AB=a，AC=b，那么用a，b

15．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC=16，点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对称点为点B'，连接DB'，EB'，分别与AC相交于F点，G点，若AF=8

16．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE=CF=5，则BG的长为．三、解答题17．（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，D是AB边上一点，且ADBD=1n（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE

【初步感知】(1)如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=2【深入探究】(2)①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，【拓展运用】(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M．若AB=22，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n18．（2023·安徽·统考中考真题）在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD,BD

(1)如图1，求∠ADB的大小；(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB．（ⅰ）如图2，连接CD，求证：BD=CD；（ⅱ）如图3，连接BE，若AC=8,BC=6，求tan∠ABE19．（2023·山西·统考中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°,∠A=∠D．将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE=∠A时，延长DE交AC于点G．试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．

(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M,BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．

20．（2023·新疆·统考中考真题）【建立模型】(1)如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB=BE．求证：△ACB≌△BDE；【类比迁移】(2)如图2，一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC、直线AC交x轴于点D．①求点C的坐标；②求直线AC的解析式；【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y=x2−3x−4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，已知点Q(0，−1)，连接BQ．抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ=

21．（2023·湖南·统考中考真题）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD

(1)证明：△ABD∽△CBA；(2)若AB=6，BC=10，求22．（2023·福建·统考中考真题）阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1．工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意