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文档简介
第21讲相似三角形及其应用目录TOC\o"1-2"\n\p""\h\z\u题型01添加条件使两个三角形相似题型02证明两个三角形相似题型03确定相似三角形的对数题型04在网格中判断相似三角形题型05利用相似的性质求解题型06利用相似的性质求点的坐标题型07在网格中画与已知三角形相似的三角形题型08证明三角形的对应线段成比例题型09利用相似三角形的性质求解决折叠问题题型10利用相似三角形的性质判断函数图象题型11尺规作图与相似三角形综合应用题型12三角板与相似三角形综合应用题型13平移与相似三角形综合应用题型14利用相似三角形的性质与判定求线段比值题型15利用相似三角形的性质与判定求最值题型16利用相似三角形的性质与判定解决动点问题题型17利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题题型18A字模型题型198字模型题型20一线三垂直模型题型21三角形内接矩形模型题型22旋转相似模型题型23相似三角形的应用题型01添加条件使两个三角形相似1.(2022·陕西宝鸡·统考二模)如图,已知△ABC与△ADE中,∠C=∠AED=90°,点E在AB上,那么添加下列一个条件后,仍然不能判定△ABC与△ADE相似的是(
)A.∠CAB=∠D B.ACBC=DEAE2.(2023·广东广州·统考一模)已知:如图,点D在边AB上,若∠1=∠时,则△ADC∼△ACB.3.(2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测)如图,要使图中的两个三角形相似,需要添加一个条件,这个条件可以是.(写一个即可)题型02证明两个三角形相似4.(2023·广东广州·广州市第二中学校考二模)如图,在平行四边形ABCD中,点E为BC边上的点(不与点B,点C重合),连接DE并延长,交AB的延长线于点F.求证:△CDE∽△AFD.
5.(2023·湖北武汉·统考二模)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点E在AC上,且∠EAD=∠ADE.
(1)求证:△DCE∽(2)若AB=6,AC=8,求BDCD6.(2023·浙江宁波·校考三模)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=4,CD=2,BC=m,P为线段BC上一动点,且和B、C不重合,连接PA,过P作PE⊥PA交CD所在直线于
(1)请找出一对相似三角形,并说明理由;(2)若点P在线段BC上运动时,点E总在线段CD上,求m的取值范围.题型03确定相似三角形的对数7.(2023·山西晋中·统考一模)在三边都不相等的△ABC的边AB上有一点D,过点D画一条直线,与三角形的另一边相交所截得的三角形与△ABC相似,这样的直线最多可以画(
)A.5条 B.4条 C.3条 D.2条8.(2023·广东江门·校考一模)如图,BD和CE是△ABC的高,则图中相似三角形共有()A.3对 B.4对 C.5对 D.6对9.(2020·陕西西安·高新一中校考一模)如图,点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点,连接AE交CD于F,交BD于M,则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)(
)对.A.4 B.5 C.6 D.7题型04在网格中判断相似三角形10.(2022·广东湛江·岭师附中校联考三模)如图,在小正方形的边长为1的网格中,三角形的顶点都在格点上,与△ABC相似的是()
A.
B.
C.
D.
11.(2023·辽宁抚顺·统考三模)如图,在正方形网格中:①△CEB;②△CDB;③△DEB;这3个斜三角形中,能与△ABC相似的是.(点A、B、C、D、E均在格点上)
12.(2017·天津和平·统考二模)如图,在正方形网格上有6个三角形:①△ABC,②△CDB,③△DEB,④△FBG,⑤△HGF,⑥△EKF.在②~⑥中,与①相似的三角形的个数是.题型05利用相似的性质求解13.(2023·贵州贵阳·统考一模)如图,△ABC∽△DEF,若AB=2,DE=3,则A.1∶2 B.1∶3 C.14.(2023·江西南昌·统考一模)如图,△DEF的顶点D,E在△ABC的边BC上,EF∥AC,DF∥AB,若∠F=55°,则A.45° B.55° C.60° D.65°15.(2023·四川成都·统考一模)若△ABC∽△DEF,且ABDE=13,若△ABC的周长为2,则A.29 B.23 C.616.(2023·甘肃张掖·校联考一模)已知△ABC∽△DEF,相似比为2,且△ABC的面积为12,则△DEF的面积为.题型06利用相似的性质求点的坐标17.(2022·广东汕头·林百欣中学校考一模)如图,矩形ABCD的顶点B,C分别在x轴,y轴上,OB=4,OC=3,AB=10,将矩形ABCD绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,则第2021次旋转结束时,点A的坐标为(
)A.(10,8) B.(8,-10) C.(-10,8) D.(-8,10)18.(2023·湖南邵阳·统考一模)在平面直角坐标系内,一束光线从点P4,4射向x轴上的点M,经x轴反射后反射光线经过点Q0,2,则点M的坐标为.19.(2023·浙江绍兴·统考一模)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABOC的边OB,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,点A的坐标为8,6,点P在矩形ABOC的内部,点E在BO边上,且满足△PBE∽△CBO,当△APC是等腰三角形时,点20.(2022·江苏南京·统考二模)如图,在平面直角坐标系中,△AOB是等边三角形,点B在x轴上,C,D分别是边AO,AB上的点,且CD∥OB,OC=2AC,若CD=2,则点A的坐标是.21.(2023·上海长宁·统考一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,A1,0,B0,2,点C为图示中正方形网格交点之一(点O除外),如果以A、B、C为顶点的三角形与△OAB相似,那么点C的坐标是题型07在网格中画与已知三角形相似的三角形22.(2021·浙江宁波·统考一模)如图,方格纸中的每个小正方形的边长都是1,△ABC是格点三角形(顶点在方格顶点处).(1)在图1中画出一个格点△A1B1C(2)在图2中画出一个格点△A2B2C23.(2022·湖北武汉·校联考二模)如图是由小正方形组成的8×7网格,每个小正方形的顶点叫做格点,△ABC的三个顶点都是格点,边AC上的D也是一个格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示.(1)在图(1)中,先将线段CB绕点C顺时针旋转90°,画出对应线段CE,再在CE上画点F,使△BCF∽△BDA;(2)在图(2)中,先在边AB上画点G,使DG∥BC,再在边BC上画点H,使AH+DH值最小.24.(2020·新疆·三模)如图1,在6×6的方格纸中,有格点△ABC(三个顶点都在方格顶点上的三角形)(1)请在图2中作一个格点三角形,使它与△ABC相似(不全等),且相似比为有理数;(2)请在图3中作一个格点三角形,使它与△ABC相似,且相似比为无理数.题型08证明三角形的对应线段成比例25.(2023·广东惠州·统考二模)如图,把矩形ABCD沿AC折叠,使点D与点E重合,AE交BC于点F,过点E作EG∥CD交AC于点G,交CF于点H,连接DG.
(1)试判断四边形ECDG的形状,并加以证明;(2)连接ED交AC于点O,求证:DC(3)在(2)的条件下,若DG=6,AG=145,求26.(2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考三模)操作与研究:如图,△ABC被平行于CD的光线照射,CD⊥AB于D,AB在投影面上.
(1)指出图中线段AC的投影是______,线段BC的投影是______.(2)问题情景:如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,我们可以利用△ABC与△ACD相似证明A(3)拓展运用如图2,正方形ABCD的边长为15,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF:①试利用射影定理证明△BOF∽②若DE=CE,求OF的长.27.(2022·海南海口·海口市第九中学校考二模)如图①,在菱形ABCD中,∠A=60°,BD是对角线,点E、F分别是AB、AD上两个动点(不与端点重合),且AF=BE,BF与DE交于点G.(1)求证:△AED≌(2)如图②,连接CG,若CG⊥BD于点H,求证:EF(3)若AF=nFD,试探究BF与GF的数量关系,并证明.题型09利用相似三角形的性质求解决折叠问题28.(2023·江苏泰州·校考三模)如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=9,E是AB上的一点,BE=5,点D是线段BC上的一个动点,沿AD折叠△ACD,点C与C'重合,连接
(1)求证:△AEC(2)若点F是BC上一点,且BF=5,求F29.(2023·山西吕梁·校联考模拟预测)综合与实践如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC>AC
猜想证明:(1)如图1,点D在BC边上∠DAC=45°.将△ABC沿AD所在直线折叠,点C的对应点为E.试猜想四边形ACDE的形状并加以证明.实践探究:(2)如图2,拓展小组受此问题启发,将△ABC沿过点C的直线CF折叠.点B的对应点为G.且CG⊥AB于点H.若AC=25,BC=45,求问题解决:(3)如图3.探究小组突发奇想,将△ABC沿过点A的直线AM折叠,若∠BAM=45°,AC=4,CM=3,直接写出BM的长.30.(2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模)如图,在边长为6的等边△ABC中,点D在AC上,且CD=2,点E在AB上(不与点A、B重合),连接DE,把△ADE沿DE折叠,当点A的对应点F落在等边△ABC的边上时,AE的长为.31.(2023·江西吉安·校考三模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,D为AB的中点,F为线段AC上的动点,将AD沿过点D的射线DF折叠得到DE,若AB下方的DE与△ABC的边垂直,则AF的长度可能是
题型10利用相似三角形的性质判断函数图象32.(2023·湖南长沙·统考三模)如图,AB⊥BC于点B,DC⊥BC于点C,点E是线段BC上一个动点,AE⊥EF于点E,射线EF交射线CD于点F,BC=2AB=8,设BE=x,CF=y,当点E从点B运动到点C时,y与x的函数图象大致是(
)
A.
B.
C.
D.
33.(2023·广东揭阳·模拟预测)已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点E是边AC上一动点,过点E作EF∥BC,交AB边于点F,点D为BC上任一点,连接DE、DF,设EC的长为x,则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为(
A.B.C.D.34.(2021·甘肃·模拟预测)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P由点A出发,沿A→B→C的路径匀速运动,过点P向对角线AC作垂线,垂足为Q,设AQ=x,△APQ的面积为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是()A.B.C. D.题型11尺规作图与相似三角形综合应用35.(2023·广东深圳·统考二模)在△ABC中,AB=AC=2,∠A=36°.由尺规作图得射线BM交AC于点F.则AF的长是36.(2023·福建厦门·统考模拟预测)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(6,0),B是y轴上一点.
(1)B上求作点M,使得△AMO∽△AOB(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);(2)在(1)的条件下,AB=4AM,OC是△AOB的中线,过点M的直线交OC于点D,交x轴于点F,当MO=MF时,求点D的坐标.37.(2023·福建宁德·统考模拟预测)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB>BC.
(1)尺规作图:在AC和AB上分别确定点D,E的位置,使得△BDE是以BD为底边的等腰直角三角形;(保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,若AB=6,BC=4,求BE的长.题型12三角板与相似三角形综合应用38.(2023·河北保定·统考模拟预测)如图,把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,DF经过点B,其中∠ABC=∠DEF=90∘,∠C=∠F=45∘,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O逆时针旋转,旋转角为α.其中0∘<α<90∘.设射线DE与射线AB相交于点①△APD∽△CDQ;②AP⋅CQ的值不变,为8;③当45°≤α<90°时,设CQ=x,两块三角板重叠部分的面积为y=4−x−8−4x其中正确的是(
)A.只有①与② B.只有①与③ C.只有②与③ D.①②③39.(2022·广东深圳·校联考二模)一副三角板按如图1放置,图2为简图,D为AB中点,E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点,已知AE=2,CE=5,连接DE,M为BC上一点,且满足∠CME=2∠ADE,EM=.40.(2023·安徽合肥·校考一模)如图(1),直线L上摆放着两块大小相同的直角三角板,它们中较小直角边长为6cm,较小锐角度数为30(1)将△ECD沿直线AC翻折到图(2)的位置,ED'与AB相交于点F(2)将△ECD沿直线L向左平移到图(3)的位置,使E点落在AB上,你可以求出平移距离,试试看;(3)将△ECD绕点C逆时针旋转到图(4)的位置,使E点落在AB上,请求出旋转角的度数.41.(2022·河南平顶山·平顶山市第十六中学校考模拟预测)问题发现.【发现】如图①,已知等边△ABC,将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上(点D不与点B、C重合),使两边分别交线段AB、AC于点E、F.(1)若AB=6,AE=4,BD=2,则CF=______;(2)求证:△EBD∽△DCF.(3)【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动,保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在,连接EF,如图②所示,问:点D是否存在某一位置,使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE?若存在,求出BDBC(4)【探索】如图③,在等腰△ABC中,AB=AC,点O为BC边的中点,将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处(其中∠MON=∠B),使两条边分别交边AB、AC于点E、F(点E、F均不与△ABC的顶点重合),连接EF.设∠B=α,则△AEF与△ABC的周长之比为______(用含α的表达式表示).题型13平移与相似三角形综合应用42.(2023·安徽六安·校联考二模)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边长为5,点A在y轴正半轴上,点B在x轴负半轴上,B−1,0,C、D两点在抛物线y=
(1)求此抛物线的表达式;(2)正方形ABCD沿射线BC以每秒5个单位长度平移,1秒后停止,此时B点运动到B1点,试判断B(3)正方形ABCD沿射线BC平移,得到正方形A2B2C2D243.(2023·吉林长春·东北师大附中校考三模)正方形ABCD与正方形EFGH的AD边和EF边在直线MN上,起始状态如图①所示,点F与点D重合,点G在CD边上.已知EF=2cm,AB=4cm.正方形EFGH沿MN方向以(1)在正方形EFGH平移过程中,若S=2cm2,求(2)在1≤t≤3这段时间内,求S与t的函数关系式.(3)当直线BG平分线段AH时,如图②,t=______s.44.(2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测)如图,将y=−x函数图象向上平移b个单位后,恰好与y=4x(x>0)有唯一公共点B,并交y=kxx<0于点
(1)求b的值.(2)若AB=35AC题型14利用相似三角形的性质与判定求线段比值45.(2022·河南安阳·统考一模)兴趣小组探索等腰三角形中线段比值问题,部分探索活动如下:(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=60°,D,E分别是BC,AC边上的点,∠AFE=∠ABC,则BEAD(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=45°,D,E分别是BC,AC边上的点,∠AFE=∠ABC,请你猜想BEAD(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,cos∠ABC=512,D,E分别是BC,CA边延长线上的点,∠DFB=∠ABC,请直接写出BE46.(2020·江苏扬州·统考二模)定义:如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是4:5,那么称这个三角形为“准黄金”三角形,这条边就叫做这个三角形的“金底”.(1)如图,在△ABC中,AC=8,BC=5,∠ACB=30°,试判断△ABC是否是“准黄金”三角形,请说明理由.
(2)如图,△ABC是“准黄金”三角形,BC是“金底”,把△ABC沿BC翻折得到△DBC,AD交BC的延长线于点E,若点C恰好是△ABD的重心,求ABBC
(3)如图,l1//l2,且直线l1与l2之间的距离为4,“准黄金”△ABC的“金底”BC在直线l2上,点A在直线l1上,ABBC=255,若∠ABC是钝角,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△A'B'C,线段A'C
47.(2020·山东东营·统考一模)【问题情境】在△ABC中,BA=BC,∠ABC=α(0°<α<180°),点P为直线BC上一动点(不与点B、C重合),连接AP,将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ旋转角为α,连接CQ.【特例分析】(1)当α=90°,点P在线段BC上时,过P作PF∥AC交直线AB于点F,如图①,易得图中与△APF全等的一个三角形是,∠ACQ=°.【拓展探究】(2)当点P在BC延长线上,AB:AC=m:n时,如图②,试求线段BP与CQ的比值;【问题解决】(3)当点P在直线BC上,α=60°,∠APB=30°,CP=4时,请直接写出线段CQ的长.48.(2022·湖北武汉·校考一模)(1)如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC上,DE⊥BC交AB于点E,证明:BE•BA=BD•BC;(2)如图2,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=30°,D是BC上一点,AD⊥DE,且DE=3AD,连接BE,AC=5,CD=6,求BE的长;(3)拓展探究:在△BCD中,∠BAC=∠AEC=90°,CA平分∠BCD,若tan∠ABC=12,则AG:GE题型15利用相似三角形的性质与判定求最值49.(2023上·江苏无锡·九年级校联考阶段练习)在等边三角形ABC中,点M、N分别边AB、AC上.
(1)如图1,若将等边三角形ABC沿MN翻折,点A恰好落在边BC上的点D处,①求证:△MBD∽△DCN;②若BC=6,CN=2,若设BM=y,DC=x,求y与(2)尺规作图:在BC边上求作一点P使∠MPN=60°,(不写作法,保留作图痕迹,请在图2中找出所有符合条件的点P)(3)若AB=9,BM=5,设CN=a,若要使得(2)中只能作出唯一的点P,则50.(2021上·河北保定·九年级校考期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用.例:已知x可取任何实数,试求二次三项式x2解:x=∵无论x取何实数,总有(x+3)2∴(x+3)2−10≥−10,即无论x取何实数,x2(1)问题:已知y=−x2−4x+7(2)【知识迁移】在△ABC中,AD是BC边上的高,矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上,顶点Q、M在边BC上,探究一:AD=12,BC=6,求出矩形PQMN的最大面积的值;(提示:由矩形PQMN我们很容易证明△APN∽△ABC,可以设PN=x,经过推导,用含有x的代数式表示出该矩形的面积,从而求得答案.)(3)探究二:AD=ℎ,BC=a,则矩形PQMN面积S的最大值___________.(用含a,h的代数式表示)题型16利用相似三角形的性质与判定解决动点问题51.(2023·广东茂名·三模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,点E为BC上的动点,将△BDE沿DE翻折得到△FDE,EF与AC相交于点G,若AB=3AD,AC=3,BC=6,CG=0.8,则CE的值为52.(2023·广东深圳·深圳市东湖中学校考模拟预测)如图,在反比例函数y=43x的图象上有一动点A,连接AO并延长交图象的另一支于点B,在第二象限内有一点C,满足AC=BC,当点A运动时,点C始终在函数y=kx的图象上运动,若tan∠CAB=353.(2022·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测)问题背景在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,点D为边AB上一动点,点E为边AC上一动点,沿直线DE
问题解决(1)如图1,当A'与B重合时,求线段BE(2)如图2,当A'E与边AB相交于点F,且A'①求五边形A'②连接CA',则题型17利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题54.(2023·福建龙岩·统考模拟预测)在平面直角坐标系xoy中,已知抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A−1,0,B4,0
(1)求抛物线的函数解析式;(2)如图1,D为直线BC上方抛物线上一动点,连接AD,交BC于E,求DEAE(3)如图2,连接AC,BC过点O作直线l∥BC,点P、Q分别为直线l和抛物线上的点.试探究:在第四象限是否存在这样的点P、Q,使△BPQ~△ACB.若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.55.(2023·山东菏泽·统考三模)如图,抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3,0)
(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,P为抛物线上在第二象限内的一点,若△PAC面积为3,求点P的坐标;(3)如图2,D为抛物线的顶点,试说明∠DAB=∠ACB;在线段AD上存在点M,使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似,请直接写出符合条件的点M的坐标;56.(2023·陕西咸阳·统考二模)如图,抛物线与x轴交于点O和点B,顶点为A1,1,直线y=x−2经过点B(1)求抛物线的函数表达式.(2)若N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,是否存在以O,M,N为顶点的△ONM,使得△ONM∽△ABC,若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.题型18A字模型57.(2023·广东云浮·统考一模)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,以点B为圆心任意长为半径画弧,分别交AB,BC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧交于点O,连接A.5−1 B.3−5 C.558.(2021·浙江宁波·统考一模)如图,已知∠A=∠CBD,AC=4,CD=2,则
A.2 B.22 C.2题型198字模型59.(2021·广东广州·统考一模)如图,点E,F分别为平行四边形ABCD的边BC,AD上的点,且CE=2BE,AF=2DF,AE与BF交于点H,若△BEH的面积为2,则五边形
A.19 B.20 C.21 D.2260.(2022·河北邢台·校考三模)如图,嘉嘉在作业本上画了个“×”(作业本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等),A,B,C,D,O都在横格线上,且线段AD,BC交于点O.若AB=4cm,则CD的长为(
A.5cm B.6cm C.861.(2023·河南周口·校考三模)如图,在边长为5的正方形ABCD中,点E在AD边上,AE=2,CE交BD于点F,则DF的长为(
)
A.22 B.32 C.15题型20一线三垂直模型62.(2022·河北唐山·校考一模)如图,E为正方形ABCD的边AB的中点,过点E作∠GEF=90°,分别与边AD,BC交于点G,F.若AG=2,BF=4,则GF的长为()
A.4 B.6 C.8 D.1063.(2023·河南信阳·校考三模)如图①,已知矩形ABCD,E是BC边上的一个动点,BC=4,AE⊥EF,EF交DC于F,设点E运动的路程为x,CF运动的路程为y,y与x之间的函数关系图象如图②所示,则矩形ABCD面积为(
)
A.8 B.6 C.12 D.1题型21三角形内接矩形模型64.(2023·广东广州·统考一模)如图,正方形MNPQ内接于△ABC,点M、N在BC上,点P、Q分别在AC和AB边上,且BC边上的高AD=6,BC=12,则正方形MNPQ的边长为(
)A.6 B.5 C.4 D.365.(2022·江苏宿迁·统考一模)如图,在△ABC中,CH⊥AB,CH=ℎ,AB=c,若内接正方形DEFG的边长是x,则h、c、x的数量关系为(
)A.x2+ℎ2=c题型22旋转相似模型66.(2023·安徽黄山·校考一模)已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,△ADE绕点A逆时针旋转一周.
(1)如图1,连接BD,CE,则BD与CE的数量关系为_______;直线BD与CE所夹角的度数为_______.(2)当△ADE旋转至如图2所示的位置时,取BC,DE的中点M,N,连接MN,BD.试问:MNBD的值是否随△ADE(3)M,N分别为BC,DE的中点,连接MN.若AB=310,AD=6,当△ADE旋转至B,D,E三点在同一条直线上时,请直接写出MN67.(2023·安徽滁州·统考一模)已知△ABC和△ADE有公共的顶点A,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE.AC与DE相交于点G,连接BE,CD.(1)若点B,E,D在一条直线上,如图1,求证:∠BAC=∠BDC;(2)将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度,DE的延长线交BC于点F,如图2①证明:AE⋅CG=DG⋅CF;②若∠AEB=∠BAC=90°,求CFAB68.(2023·安徽亳州·统考二模)如图1,在△ABD和△ACE中,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE.(1)①求证:△ABC∽△ADE;②若AB=AC,试判断△ADE的形状,并说明理由;(2)如图2,旋转△ADE,使点D落在边BC上,若∠BAC=∠DAE=90°,∠B=∠ADE.求证:CE⊥BC.题型23相似三角形的应用69.(2023·山西晋中·校联考模拟预测)如图1,滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流,这条河流的流域面积达到了2.73万平方公里,其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村,这条河流早在《山海经》中就有出现过,被叫做为虔池.为了估算河流的宽度,我们在河的对岸选定一个目标P,在近岸取点A和C,使点P、A、C共线且与河垂直,接着在过点C且与直线PC垂直的直线上选择适当的点D,确定PD与过点A且与PC垂直的直线交点B.测得AC=50m,CD=120m,AB=80m
70.(2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测)如图,在相对的两栋楼CD、EF中间有一堵院墙AB,甲、乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙,根据实际情况画出平面图形(CD⊥DF.AB⊥DF.EF⊥DF).甲从点C可以看到点G处,乙从点E可以看到点D处.点B是DF的中点.墙AB高5.5米,DF=120米,BG=10.5米,求甲、乙两人的观察点到地面的距离的差.(结果精确到0.1米).
71.(2023·陕西渭南·统考二模)如图,某天傍晚,数学兴趣小组的小敏和小芳在公园散步时作了如下探索:当小芳竖直站立在A处时,她在路灯D下的影子为线段AC,并测得AC=2米,已知DE、AB均与地面EC垂直,且E、A、C在同一直线上,小芳的身高AB为1.5米,小芳与灯杆底部E的距离为AE为8米.
(1)求路灯的高度DE;(2)如果要缩短小芳的影子AC的长度,同时不能改变路灯的高度和位置,请你写出一种方法.72.(2023·陕西西安·统考三模)西安古城墙凝聚了中国古代劳动人民的智慧,它作为古城西安的地标性建筑,吸引了不少人慕名而来.节假日,乐乐去城墙游玩,看见宏伟的城墙后,他想要测量城墙的高度DE.如图,他拿着一根笔直的小棍BC,站在距城墙约30米的点N处(即EN=30米),把手臂向前伸直且让小棍BC竖直,BC∥DE,乐乐看到点B和城墙顶端D在一条直线上,点C和底端E在一条直线上.已知乐乐的臂长CM约为60厘米,小棍BC的长为24厘米,AN⊥EN,CM⊥AN,DE⊥EN,求城墙的高度DE.73.(2023·陕西西安·统考三模)党的二十大报告提出要“全面推进乡村振兴”,这是对党的十九大报告所提出的“实施乡村振兴战略”的进一步发展,彰显出新时代新征程在工农城乡关系布局上的深远谋划,为不断推进乡村振兴、加快农村现代化进程指明了方向某市为了加快城乡发展,保障市民出行方便,在流经该市的河流上架起一座桥,连通南北,铺就城市繁荣之路.小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长.如图,该桥两侧河岸平行,他们在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河岸的这一边选出点B和点C,分别在AB、AC的延长线上取点D、E,使得DE∥BC.经测量,BC=120米,DE=210米,且点E到河岸BC的距离为60米.已知AF⊥BC于点F,请你根据提供的数据,帮助他们计算桥
74.(2023·浙江衢州·校考一模)(1)如图1,若D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点,我们把这样的线段DE称为是三角形的中位线.你知道中位线DE与BC之间有什么关系吗?请同学们大胆地猜想一下,并证明你的结论.(2)如示意图2,小华家(点A处)和公路(l)之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌(DE).广告牌挡住了小华的视线,请在图中画出视点A的盲区,并将盲区内的那段公路计为BC.一辆以60kmh匀速行驶的汽车经过公路段的时间是3s,已知广告牌和公路的距离是
75.(2023·陕西西安·校联考模拟预测)西安钟楼位于西安市中心,明城墙内东西南北四条大街的交汇处,为中国现存钟楼中形制最大、保存最完整的一座.如图,小琪想要测出钟楼AB的高度,于是在地面上的C处放置了一面镜子,当他站在离镜子C处1.2m的E处时,恰好从镜子里看到钟楼顶端A在镜子中的像(即∠DCE=∠ACB).已知B,C,E在同一直线上,小琪的眼睛离地面的高度DE=1.5m,BC=28.8m76.(2023·陕西西安·模拟预测)如图,工地上有两根电线杆,分别在高为4m、6m的A、C处用铁丝将两杆固定,求铁丝AD与铁丝BC的交点77.(2023·陕西铜川·统考一模)已知有一块三角形材料∠ABC,其中BC=120cm,高AD=80cm,现需要在三角形ABC上裁下一个正方形材料做零件,使得正方形EFGH的顶点E、F分别在边AB,AC上,H、G在BC上,裁下的正方形一、单选题1.(2023·重庆·统考中考真题)如图,已知△ABC∽△EDC,AC:EC=2:3,若AB的长度为6,则DE的长度为(
)
A.4 B.9 C.12 D.13.52.(2023·陕西·统考中考真题)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DB上,DF=2BF.连接EF并延长,与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为(
)
A.132 B.7 C.153.(2023·山东东营·统考中考真题)如图,△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AB上,∠ADE=60°,若BD=4DC,DE=2.4,则AD的长为(
)
A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.24.(2023·四川南充·统考中考真题)如图,数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离为10m
A.6.4m B.8m C.9.65.(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图,△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形,把△ADE以A为中心顺时针旋转,点M为射线BD、CE的交点.若AB=3,AD=1①BD=CE;②BD⊥CE;③当点E在BA的延长线上时,MC=3−④在旋转过程中,当线段MB最短时,△MBC的面积为12其中正确结论有()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,OA=OB=35,点C为平面内一动点,BC=32,连接AC,点M是线段AC上的一点,且满足CM:MA=1:2.当线段OM
A.35,65 B.37.(2023·山东泰安·统考中考真题)如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠A=36°.以点B为圆心,任意长为半径作弧,交AB于点F,交BC于点G,分别以点F和点G为圆心,大于12FG的长为半径作弧,两弧相交于点H,作射线BH交AC于点D;分别以点B和点D为圆心,大于12BD的长为半径作弧,两孤相交于M、N两点,作直线MN交AB于点E,连接DE.下列四个结论:①∠AED=∠ABC;②BC=AE;③ED=1
A.1 B.2 C.3 D.48.(2023·江苏·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=3x+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点,且与反比例函数y=kx在第一象限内的图象交于点C.若点A坐标为2,0,
A.3 B.23 C.339.(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,以点A为圆心,以AB的长为半径作弧交AC于点D,连接BD,再分别以点B,D为圆心,大于12BD的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点
A.BE=DE B.AE=CE C.CE=2BE D.S10.(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图,点P是△ABC的重心,点D是边AC的中点,PE∥AC交BC于点E,DF∥BC交EP于点F,若四边形CDFE的面积为6,则△ABC的面积为()
A.12 B.14 C.18 D.24二、填空题11.(2023·广东·统考中考真题)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则图中阴影部分的面积为.
12.(2023·湖北武汉·统考中考真题)如图,DE平分等边△ABC的面积,折叠△BDE得到△FDE,AC分别与DF,EF相交于G,H两点.若DG=m,EH=n,用含m,n的式子表示GH的长是.
13.(2023·四川内江·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,MN垂直于x轴,以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形,对称轴MN与线段DE相交于点F,点D的对应点B恰好落在反比例函数y=kx(x<0)的图象上,点O、E的对应点分别是点C、A.若点A为OE的中点,且S△EAF=
14.(2023·上海·统考中考真题)如图,在△ABC中,点D,E在边AB,AC上,2AD=BD,DE∥BC,联结DE,设向量AB=a,AC=b,那么用a,b
15.(2023·山东泰安·统考中考真题)如图,在△ABC中,AC=BC=16,点D在AB上,点E在BC上,点B关于直线DE的轴对称点为点B',连接DB',EB',分别与AC相交于F点,G点,若AF=8
16.(2023·辽宁丹东·统考中考真题)如图,在正方形ABCD中,AB=12,点E,F分别在边BC,CD上,AE与BF相交于点G,若BE=CF=5,则BG的长为.三、解答题17.(2023·四川成都·统考中考真题)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式,某兴趣小组拟做以下探究.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,D是AB边上一点,且ADBD=1n(n为正整数),E是AC边上的动点,过点D作DE
【初步感知】(1)如图1,当n=1时,兴趣小组探究得出结论:AE+BF=2【深入探究】(2)①如图2,当n=2,且点F在线段BC上时,试探究线段AE,②请通过类比、归纳、猜想,探究出线段AE,【拓展运用】(3)如图3,连接EF,设EF的中点为M.若AB=22,求点E从点A运动到点C的过程中,点M运动的路径长(用含n18.(2023·安徽·统考中考真题)在Rt△ABC中,M是斜边AB的中点,将线段MA绕点M旋转至MD位置,点D在直线AB外,连接AD,BD
(1)如图1,求∠ADB的大小;(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB.(ⅰ)如图2,连接CD,求证:BD=CD;(ⅱ)如图3,连接BE,若AC=8,BC=6,求tan∠ABE19.(2023·山西·统考中考真题)问题情境:“综合与实践”课上,老师提出如下问题:将图1中的矩形纸片沿对角线剪开,得到两个全等的三角形纸片,表示为△ABC和△DFE,其中∠ACB=∠DEF=90°,∠A=∠D.将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放,其中点B与点F重合(标记为点B).当∠ABE=∠A时,延长DE交AC于点G.试判断四边形BCGE的形状,并说明理由.
(1)数学思考:谈你解答老师提出的问题;(2)深入探究:老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转,使点E落在△ABC内部,并让同学们提出新的问题.
①“善思小组”提出问题:如图3,当∠ABE=∠BAC时,过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M,BM与AC交于点N.试猜想线段AM和BE的数量关系,并加以证明.请你解答此问题;
②“智慧小组”提出问题:如图4,当∠CBE=∠BAC时,过点A作AH⊥DE于点H,若BC=9,AC=12,求AH的长.请你思考此问题,直接写出结果.
20.(2023·新疆·统考中考真题)【建立模型】(1)如图1,点B是线段CD上的一点,AC⊥BC,AB⊥BE,ED⊥BD,垂足分别为C,B,D,AB=BE.求证:△ACB≌△BDE;【类比迁移】(2)如图2,一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B,将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC、直线AC交x轴于点D.①求点C的坐标;②求直线AC的解析式;【拓展延伸】(3)如图3,抛物线y=x2−3x−4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于C点,已知点Q(0,−1),连接BQ.抛物线上是否存在点M,使得tan∠MBQ=
21.(2023·湖南·统考中考真题)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD
(1)证明:△ABD∽△CBA;(2)若AB=6,BC=10,求22.(2023·福建·统考中考真题)阅读下列材料,回答问题任务:测量一个扁平状的小水池的最大宽度,该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度,如图1.工具:一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪,如图2.皮尺的功能是直接测量任意
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