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文档简介
第19讲直角三角形目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01利用直角三角形的性质求解题型02根据已知条件判定直角三角形题型03与直角三角形有关的面积计算题型04利用勾股定理求线段长题型05利用勾股定理求面积题型06已知两点坐标求两点距离题型07判断勾股数问题题型08勾股定理与网格问题题型09勾股定理与无理数题型10以直角三角形三边为边长的图形面积题型11利用勾股定理证明线段的平方关系题型12勾股定理的证明方法题型13以弦图为背景的计算题题型14利用勾股定理构造图形解决问题题型15利用勾股定理解决实际问题题型16勾股定理与规律探究问题题型17在网格中判定直角三角形题型18利用勾股定理逆定理求解题型19利用勾股定理解决实际生活问题题型01利用直角三角形的性质求解1.(2023·广东梅州·统考一模)如图,已知l∥AB,CD⊥l于点D,若∠C=40°,则∠1的度数是(
A.30° B.40° C.50° D.60°2.(2023·广东中山·校考一模)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,点D为边AC的中点,BD=2,则BCA.3 B.233.(2021·河南信阳·统考一模)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为BC中点,AC=6,BD=8.则线段OH的长为:(
)A.125 B.52 C.34.(2022·广东广州·统考一模)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,当B在x轴的正半轴上运动时,A随之在y轴的正半轴上运动,矩形ABCD的形状保持不变.若∠OAB=30°时,点A的纵坐标为23,点C的纵坐标为1,则点D到点O的最大距离是()A.25 B.22+2 C.22+4 D.2题型02根据已知条件判定直角三角形5.(2022·重庆·重庆市松树桥中学校校考模拟预测)已知△ABC的三条边分别是a、b、c,则下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是(
)A.a:b:c=3:4:5 B.∠C=∠A+∠BC.∠A:∠B:∠C=1:5:6 D.∠A:∠B:∠C=3:4:56.(2022·云南昆明·统考二模)已知实数x,y,z满足(x−5)2+y−12+|z−13|=0,则以x,y,A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断7.(2022·安徽合肥·合肥38中校考一模)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,选择下列条件中的一个,能判断△ABC是直角三角形的是()①∠A=∠B﹣∠C;②a2=(b+c)(b﹣c);③∠A:∠B:∠C=3:4:5;④a:b:c=3:4:5A.1个 B.2个 C.3个 D.4个题型03与直角三角形有关的面积计算8.(2023·广东佛山·统考二模)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠ACB=90°,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,则图中阴影部分的面积是(
)A.83−4π B.83−2π9.(2023·山东泰安·统考一模)如图,Rt△ABC中,∠A=30°,∠ABC=90°,将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'.此时恰好点C在A'C'上,A'A.13 B.916 C.210.(2022·山东济南·模拟预测)如图,在Rt△ABC中,∠B=90∘,∠C=30∘,以点A为圆心,任意长为半径作弧,分别交边AB,AC于点P,Q;再分别以点P,Q为圆心,以大于12PQ的长为半径作弧,两弧交于点E,作射线AE交BC于点F.设△ABF,△ABC的面积分别为SA.12 B.13 C.111.(2022·浙江金华·统考一模)把一副三角尺如图所示拼在一起,其中AC边长是26,则△ACD的面积是(
A.42 B.6 C.43题型04利用勾股定理求线段长12.(2021·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测)往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示,若水面宽AB=48cm,则水的最大深度为(
)A.8cm B.10cm C.16cm D.20cm13.(2022·云南昆明·官渡六中校考一模)在△ABC中,∠ABC=90°,若AC=100,sinA=35,则A.5003 B.50314.(2023·辽宁沈阳·模拟预测)如图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC.若OC=5,BC=1,∠AOB=30°,则OA的值为(
A.3 B.32 C.2题型05利用勾股定理求面积15.(2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模)若直角三角形的两边长分别是方程x2−7x+12=0的两根,则该直角三角形的面积是(A.6 B.12 C.12或37216.(2023·河南南阳·统考三模)如图,在正方形ABCD中,AB=4cm,在等腰直角三角形EFG中,∠FEG=90°,EF=10cm.边BC与FG在同一直线上.CF=8cm.若正方形ABCD以2cm/s
17.(2023·广东潮州·统考模拟预测)如图,△BED是等腰直角三角形,AC经过点E,过点B作BA⊥AC,过点D作DC∥BA,若AC=10,CD=8,求
题型06已知两点坐标求两点距离18.(2022·广东中山·校联考一模)在平面直角坐标系中,点(3,﹣2)到原点的距离是.19.(2022·宁夏银川·银川市第三中学校考模拟预测)阅读下列一段文字,然后回答下列问题.已知在平面内两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),其两点间的距离P1P2=(x1−x2)2+(1)已知A(2,4)、B(﹣3,﹣8),试求A、B两点间的距离;(2)已知A、B在平行于y轴的直线上,点A的纵坐标为4,点B的纵坐标为﹣1,试求A、B两点间的距离;(3)已知一个三角形各顶点坐标为D(1,6)、E(﹣2,2)、F(4,2),你能判定此三角形的形状吗?说明理由.题型07判断勾股数问题20.(2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模)勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》:“勾广三,股修四,经隅五”,我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”,另一长直角边称为“股”,把斜边称为“弦”.观察下列勾股数:3,4,5;5,21.(2022·河北石家庄·校联考三模)已知:整式A=n2+1,B=2n,C=(1)当n=1999时,写出整式A+B的值______(用科学记数法表示结果);(2)求整式A2(3)嘉淇发现:当n取正整数时,整式A、B、C满足一组勾股数,你认为嘉淇的发现正确吗?请说明理由.22.(2019·安徽马鞍山·校联考二模)若正整数a,b,c(a<b<c)满足a2+b2=c2,则称(a,b,c)为一组“勾股数”.观察下列两类“勾股数”:第一类(a是奇数):(3,4,5);(5,12,13);(7,24,25);…第二类(a是偶数):(6,8,10);(8,15,17);(10,24,26);…(1)请再写出两组勾股数,每类各写一组;(2)分别就a为奇数、偶数两种情形,用a表示b和c,并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”.题型08勾股定理与网格问题23.(2020·山东聊城·统考模拟预测)如图,在4×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,那么sin∠ACB的值为(
A.355 B.175 C.24.(2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测)如图,在9×5的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,若BD是∠ABC的平分线,则BD的长为(
)A.102 B.10 C.310题型09勾股定理与无理数25.(2020·河南·模拟预测)小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后,进行练习:首先画数轴,原点为O,在数轴上找到表示数2的点A,然后过点A作AB⊥OA,使AB=3(如图).以O为圆心,OB的长为半径作弧,交数轴正半轴于点P,则点P所表示的数介于(
)A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间26.(2022·广东佛山·西南中学校考三模)勾股定理在《九章算术》中的表述是:“勾股术曰:勾股各自乘,并而开方除之,即弦”.即c=a2+b2(a为勾,b为股,c为弦),若“勾”为2A.1 B.2 C.3 D.427.(2019·浙江杭州·模拟预测)如图所示,数轴上点A表示的数是−1,O是原点,以AO为边作正方形AOBC,以A为圆心、AB长为画弧交数轴于P1、P2两点,则点P1表示的数是,点P2表示的数是题型10以直角三角形三边为边长的图形面积28.(2020·浙江·一模)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC,灰色部分面积记为S1,黑色部分面积记为S2,白色部分面积记为S3A.S1=S2 B.S29.(2019·内蒙古鄂尔多斯·校联考一模)如图,以直角三角形的三边为边,分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个30.(2021·江苏无锡·校考二模)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH,四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.则S1+S2+S3+S4等于.31.(2020·新疆·统考二模)图中是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若最大的正方形E的边长为3,则正方形A、B、C、D的面积之和为.
题型11利用勾股定理证明线段的平方关系32.(2021·广东深圳·明德学校校考一模)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB233.(2022·山东济南·统考二模)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解:如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由;(2)性质探究:如图1,垂美四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.猜想:AB2+C(3)解决问题:如图3,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连结CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,求GE34.(2022·河北廊坊·统考模拟预测)已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形,∠AOB=∠MON=90°.(1)如图1,连接AM,BN,求证:△AOM≌△BON:(2)如图2,将△MON绕点O顺时针旋转,当点N恰好在AB边上时,求证:BN35.(2022·北京石景山·统考二模)在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AB的中点,E为边AC上一动点(不与点A,C重合),连接DE,将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BF,过点F作FH⊥DE于点H,交射线BC于点G.(1)如图1,当AE<EC时,比较∠ADE与∠BFG的大小;用等式表示线段BG与AE的数量关系,并证明;(2)如图2,当AE>EC时,依题意补全图2,用等式表示线段DE,CG,AC之间的数量关系.题型12勾股定理的证明方法36.(2023·北京大兴·统考一模)下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法,选择其中一种,完成证明.勾股定理:在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.已知:如图,直角三角形的直角边长分别为a,b,斜边长为c.求证:a2方法一如图,大正方形的边长为a+b,小正方形的边长为c.证明方法二如图,大正方形的边长为c,小正方形的边长为b−a.证明37.(2022·四川攀枝花·统考模拟预测)如图,将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,正方形IECF中,IE=EC=CF=FI=x(1)小明发明了求正方形边长的方法:由题意可得BD=BE=a﹣x,AD=AF=b﹣x因为AB=BD+AD,所以a﹣x+b﹣x=c,解得x=a+b−c(2)小亮也发现了另一种求正方形边长的方法:利用S△ABC=S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系,请根据小亮的思路完成他的求解过程:(3)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.38.(2019·安徽滁州·校考二模)【思考题】阅读下面的情景对话,然后解答问题:老师:我们新定义一种三角形,两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.小华:等边三角形一定是奇异三角形;小明:那直角三角形是否存在奇异三角形呢?(1)①根据“奇异三角形”的定义,小红得出命题:“等边三角形一定是奇异三角形”,请判断小红提出的命题是否正确,并填空:命题(填“正确”或“不正确”),不要说嘛理由.②若某三角形的三边长分别是2、4、10,则△ABC是奇异三角形吗?(填“是”或“不是”),不要说嘛理由.(2)在Rt△ABC中,两边长分别是a=52、c=10,这个三角形是否是奇异三角形?请说明理由.(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若Rt△ABC是奇异三角形,求a:b:c的值.题型13以弦图为背景的计算题39.(2020·浙江杭州·模拟预测)勾股定理相传在商代由商高发现,故又称“商高定理”.如图1,以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内,三块阴影区域面积分别记为S1,S2,S3,两个较小正方形纸片的重叠部分(六边形PQMNHGA.S1+S2=S40.(2022·重庆沙坪坝·统考一模)清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中,用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD的方法证明了勾股定理(如图).连结CE,若CE=5,BE=4,则正方形ABCD的边长为.41.(2021·上海杨浦·统考三模)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3,如果S1+题型14利用勾股定理构造图形解决问题42.(2019·广西·统考三模)如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是()A.31+π B.32 C.343.(2019·山东枣庄·中考模拟)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为()A.20 B.24 C.994 D.44.(2021·四川泸州·统考一模)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的就用了这种分割方法,若AE=3,BF=2,则正方形DECF的边长等于()A.32 B.1 C.4545.(2021·江苏扬州·统考一模)如图,王老师将汽车停放放置在地面台阶直角处,他测量了台阶高AB为16dm,汽车轮胎的直径为80dm,请你计算直角顶点到轮胎与底面接触点BC长为(A.35dm B.32dm C.30题型15利用勾股定理解决实际问题46.(2022·江苏南通·统考一模)《九章算术》是我国古代数学名著,记载着这样一个问题:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”大意是:有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?设芦苇的长度为x尺,则可列方程为()A.x2+52=(x+1)2 B.x2+102=(x+1)2C.x2﹣52=(x﹣1)2 D.x2﹣102=(x﹣1)247.(2023·广西南宁·统考二模)如图,一架长为10m的梯子AB斜靠在竖直的墙BC上,梯子的底端(点A)距墙角(点C)为6m.若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端(点B)向下滑动多少米?若设梯子的顶端向下滑动x
A.10−x2=C.102=48.(2020·江苏扬州·统考模拟预测)《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去根三尺,问折者高几何?”题意是:一根竹子原高1丈(1丈=10尺),中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面多高?答:折断处离地面尺高.49.(2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考三模)某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型:直线l同旁有两个定点A、B,在直线l上存在点P,使得PA+PB的值最小.解法:作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,则A'B与直线l的交点即为P请利用上述模型解决下列问题:(1)几何应用:如图1,等腰直角三角形ABC的直角边长为2,E是斜边AB的中点,P是AC边上的一动点,则PB+PE的最小值为;(2)几何拓展:如图2,△ABC中,AB=2,∠BAC=30°,若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小,求这个最小值;(3)代数应用:求代数式x2+1+题型16勾股定理与规律探究问题50.(2022·广东中山·统考三模)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,连接AC,以对角线AC为边,按逆时针方向作矩形ACC1B1,使矩形ACC1B1∽矩形ADCB;再连接AC1,以对角线AA.5×522022 B.2×51.(2022·宁夏银川·校考一模)如图,△OA1A2为等腰直角三角形,OA1=1,以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA252.(2022·黑龙江·二模)如图,对面积为1的正方形ABCD逐次进行以下操作:第一次操作,分别延长AB,BC,CD,DA至A1,B1,C1,D1,使得A1B=AB,B1C=BC,C1D=CD,D1A=DA,顺次连接点A1,B1,C1,D1,得到正方形A1B1C1D1,记其面积为S1;第二次操作,分别延长A1B1,B1C1,C1D1,D1题型17在网格中判定直角三角形53.(2022·山东临沂·统考一模)如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格线交点,则∠BAC与∠DAC的大小关系为(
)A.∠BAC>∠DAC B.∠BAC<∠DAC C.∠BAC=∠DAC D.无法确定54.(2022·安徽黄山·统考一模)如图,在边长相同的小正方形网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB与CD相交于点P,则∠APD的正弦值为(
)A.55 B.22 C.155.(2022·江苏扬州·统考一模)如图,在4×4的网格中,每个小正方形的边长为1,点A,B,C均在格点上,D是AB与网格线的交点,则sin∠ADC2的值是题型18利用勾股定理逆定理求解56.(2019·湖南益阳·统考一模)已知M、N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是(
)A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形57.(2020·河北·校联考二模)如图,已知点E是△ABC的外心,点P、Q分别是AB、AC的中点,连接EP、EQ分别交BC于点F、D,若BF=5,DF=3,CD=4,则ΔABC的面积为(
)
A.18 B.24 C.30 D.3658.(2022·广东佛山·佛山市华英学校校考二模)如图,△ABC中,AC=2,BC=4,AB=32,点D是AB的中点,EB∥CD,EC∥AB,则四边形CEBD的周长是.59.(2023·贵州遵义·统考一模)如图,D为等边三角形ABC内一点,AD=10,BD=6,CD=8,将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE,则图中阴影部分的面积为.题型19利用勾股定理解决实际生活问题60.(2022·江西赣州·统考一模)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问今有沙田一块,有三斜,其中小斜七丈,中斜二十四丈,大斜二十五丈,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为7丈,24丈,25丈,问这块沙田面积有多大?(题中的“丈”是我国市制长度单位,1丈=10尺)则该沙田的面积为平方丈.61.(2021·湖南岳阳·校联考二模)数学文化我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五丈,中斜十二丈,大斜十三丈,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5丈,12丈,13丈,问这块沙田面积有多大?(题中的“丈”是我国市制长度单位,1丈=10尺.)则该沙田的面积为平方丈.一、单选题1.(2022·贵州黔东南·统考中考真题)如图,在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED,过点D作DF⊥BC,垂足为F,则DF的长为(
)A.23+2 B.5−332.(2022·浙江宁波·统考中考真题)如图,在Rt△ABC中,D为斜边AC的中点,E为BD上一点,F为CE中点.若AE=AD,DF=2,则BD的长为(
)A.22 B.3 C.23.(2022·四川南充·中考真题)如图,将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C',点B'恰好落在CA的延长线上,∠B=30°A.90° B.60° C.45° D.30°4.(2023·河北·统考中考真题)如图,在Rt△ABC中,AB=4,点M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF,若S正方形AMEF=16,则
A.43 B.85.(2023·贵州·统考中考真题)5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12m,则底边上的高是(
)
A.4m B.6m C.106.(2023·北京·统考中考真题)如图,点A、B、C在同一条线上,点B在点A,C之间,点D,E在直线AC同侧,AB<BC,∠A=∠C=90°,△EAB≌△BCD,连接DE,设AB=a,BC=b,DE=c,给出下面三个结论:①a+b<c;②a+b>a
上述结论中,所有正确结论的序号是(
)A.①② B.①③ C.②③ D.①②③7.(2023·浙江杭州·统考中考真题)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图,在由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,∠ABF>∠BAF,连接BE.设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1:n,tanα=tan2β
A.5 B.4 C.3 D.28.(2023·山东·统考中考真题)在△ABC中,BC=3,AC=4,下列说法错误的是()A.1<AB<7 B.SC.△ABC内切圆的半径r<1 D.当AB=7时,△ABC二、填空题9.(2023·北京·统考中考真题)如图,OA是⊙O的半径,BC是⊙O的弦,OA⊥BC于点D,AE是⊙O的切线,AE交OC的延长线于点E.若∠AOC=45°,BC=2,则线段AE的长为.
10.(2023·江苏扬州·统考中考真题)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”,后人称之为“赵爽弦图”,它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图,直角三角形的直角边长为a、b,斜边长为c,若b−a=4,c=20,则每个直角三角形的面积为
11.(2023·湖南·统考中考真题)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为
12.(2023·山东烟台·统考中考
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