2023湘教版新教材高中数学必修第二册同步练习-4 .2 平面

4.2平|U

基础过关练

题组一点、直线、平面位置关系的三种语言转换

1.（2022上海南洋模范中学月考）“平面内有一条直线,则这条直线上的一点必在

这个平面内”用符号表述是)

Uu

A.卜duaB.卜胫a

Ue

Ge

C.卜作aD.卜/ua

Ue

2.下列关于两个相交平面的画法正确的是)

3.如图所示,用符号语言可表示为)

A.annua,%Gn=A

B.ana,力An=A

C.anj3=/n,nua,Aum,Aun

D.anJ3=m,a,AGn

4.在如图所示的正方体中，下列说法正确的是.（填序号）

①点平面ABCD;②点、Eu平面ABB4;③点、Fu直线皿;④平面

ABCD-E-,⑤〃夕G平面ABBA=F.

题组二平面的基本事实及其应用

5.下列命题正确的是()

A.一条直线和一点确定一个平面

B.两条相交直线确定一个平面

C.四点确定一个平面

D.三条平行直线确定一个平面

6.下列四个命题:①任意两条直线都可以确定一个平面;②若两个平面有3个不

同的公共点，则这两个平面重合;③对于直线a,b,c,若a与6共面,8与c共面，

则a与c共面;④若直线/上有一点在平面。外，则/在平面。外.其中错误命

题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

7.已知a,£为不重合的两个平面必川为空间中不同的四个点，a为直线，

则下列推理正确的是.(填序号)

①AGB,BGa,BEB=au£;

②蚱a,MRB,NGa,NR£=aGB=MN;

③力£a,A^£=aG£=4

8.(1)如图,在正方体ABCD~ABC\D\中，试画出平面斜〃与平面ACC^的交线.

(2)如图,在直角梯形ABCD中，AB〃CD,AB>CD,S是直角梯形力宓9所在平面外一点,

画出平面皈和平面必〃的交线.

题组三共点、共线、共面问题

9.（多选）（2022天津红桥期中）以下四个命题中，正确的命题是（）

A.不共面的四点中，其中任意三点不共线

B.若点A,B,C〃共面，点4”C£共面,则4B,C,D,£共面

C.若△/比在平面a外,它的三条边所在的直线分别交a于已Q,R,则P,Q,R三

点共线

D.依次首尾相接的四条线段必共面

10.（2020河南南阳一中月考）如图所示,在长方体A,BCDLABCD中,。是B。的中

点,直线4。交平面/夕〃于点X则下列结论正确的是

A.A,M,。三点共线B.4/0,4不共面

C.4刈CO不共面D.44,0,物共面

11.如图所示，"〃0"4Ga=B,CDC.求证:以区〃三点共线.

12.如图所示的空间图形中，AB//M,AC//AG,BC〃BC,且

ABVAB,力仪4G,BCVBC.求证：直线44CC相交于一点.

13.如图所示,在正方体ABCD~A、BCD,中，E,夕分别为DC,G4的中

点,47GB庐P,4GnE六Q.求证：

(1)〃,4£后四点共面；

(2)若4。交平面DBFE千点、R,则P,Q,〃三点共线.

能力提升练

题组一平面的基本事实及其应用

1.（2020上海华东师范大学第二附属中学月考）设兄三月,£为空间中的四个不

同点，则“几三尺八中有且仅有三点在同一条直线上”是“凡2,凡修在同一个

平面内”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.（多选）（2022江苏金陵中学期中）如图,在三棱柱ABC-AM中,区分分别为棱

4c上的点（不包括端点），且BECCM则下列结论正确的是（）

A.6c£尸四点共面

B.平面ABBA

C.平面/跖与平面如G不相交

D.P,4,A三点共线

题组二共点、共线、共面问题

3.如图，在正方体ABCMBC2中,AC,初交于点0,判断下列命题是否正确，并说

明理由.

⑴由点40,。可以确定一个平面；

⑵由点A,G,£确定的平面为平面ADCB.

4.如图所示,△/a'与△46G不在同一个平面内，如果三条直线M,仍，％两两

相交,求证:三条直线44,阳，阳交于一点.

5.（2022安徽合肥市第八中学期中）如图是正四棱柱〃"C'P'T仇汉。,火分别是

A'8',8'C'上一点.

⑴请在正四棱柱及了中画出经过AQ,A三点的截面（不需要证明）;

⑵若。,火分别为4'5',8'C'的中点，证明:阳。如'三线共点.

答案全解全析

基础过关练

1.B由点线、点面的关系用匕阵表示,线面的关系用u,C表示，排除A,C,D.故选

B.

2.D对于A,题图中没有画出平面a与平面用的交线，另外题图中的虚、实线

也没有按照画法原则去画，因此A的画法不正确，同理,B,C的画法也不正确,D的

画法正确.

3.A平面a与平面B相交于直线m,直线〃在平面a内，直线为和直线〃相交

于点A,故用符号语言可表示为aAB=m,〃ua,/C上力,故选A.

4.答案①⑤

解析由题图知，点居平面ABBA故②错误；点飞直线M,故③错误；"C平

面ABCD=CE,故④错误;①⑤正确.故填①⑤.

5.B根据一条直线和这条直线外一点确定一个平面,知A不正确;B显然正确;C

中，当四点在一条直线上时,不能确定一个平面,故C不正确;三条平行直线可以

确定一个平面或三个平面,故D不正确.故选B.

6.C①中命题显然错误；

在②中，若两个平面有3个不共线的公共点,则这两个平面重合,若两个平面有3

个共线的公共点，则这两个平面相交或重合,故②中命题错误；

在③中，对于直线a,b,&若a与6共面,6与c共面,则a与c不一定共面,如图

所示的四面体a/%中，SA与47共面,48与及7共面，但SA与8。不共面,故③中

命题错误；

在④中，若直线1上有一点在平面a外,则1在平面a外,故④中命题正确.

故选c.

7.答案①②

解析对于①，由基本事实:如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直

线在这个平面内，可知au£,故①正确；

对于②，由MRa,NRa,可知物匕a,同理，以忙尸，所以aA£=恻故②正确；

对于③，若胫B,则胫(aC£),由基本事实:如果两个不重合的平面有

一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,可知aC£是经过点A

的一条直线而不是点A,故③不正确.

8.解析⑴记BDA4G=”连接AO,则AO即为平面ABA与平面的交线,

如图：

(2)延长BC与AD,交于点0,连接SO,则SO即为平面S比和平面必〃的交线,如图.

9.AC对于A,用反证法证明：假设四个点中，有三个点共线,第四个点不在这条直

线上,则根据基本事实的推论:一条直线和直线外一点确定一个平面,可知这四个

点共面，与已知矛盾，故A正确；

对于B,如图,B,C,〃共面,A,B,C,£共面，但A,B,C,D,后不共面,故B错误；

对于C,因为尸£a,PG平面45c所以尸在平面a与平面力比的交线上，同

理,Q,4也在两平面的交线上,故P,Q,斤三点共线,故C正确；

对于D,如图,a,b,c,d四条线段首尾相接,但a,b,c,，不共面,故D错误.故选AC.

10.A连接4G,"（图略），易知4G〃ZC

.•.4,G,4。四点共面,

二.4Cu平面ACC\AX.

•.•相4。

，必£平面ACGAlf

又旌平面仍〃，

在平面ACQA,与平面44〃的交线上，

同理，点4、点。均在平面与平面46〃的交线上,

。三点共线.

故选A.

H.证明'：AB//CD,：.AB,0共面.

设48u£,公£,则4Cu£,

又EGAC,:.EG又

XABHa=B,CDCa=D,ACHa=E,

.•.£〃£为平面a与平面B的公共点，

.•・/£〃三点共线.

12.证明如图，•.•45〃4尻AB<AlBl,

直线444方在同一个平面内，并且它们相交，

设4/C笈庐。①

'：AC//

.•“C与4G确定一个平面44GC

力u平面AA,QC,

平面AAGC.

同理,〃金平面典GC

又平面44GCC平面BBCGCC：.D&QC.®

由①②,可知44为£G。三线共点，

即直线44B、B,GC相交于一点.

13.证明（1）由于CG和跖在同一个平面内且不平行，故直线内与跖必相交,

设交点为0,则OCECC

同理,直线应与CQ也相交,设交点为0',则故。'与。重合.由此得

以G册Q故〃，夕，应£四点共面.

⑵在正方体力应氏46G〃中，设44,CG确定的平面为。，平面为比F为B.

:0JG,

:.QGa,

又QGEF,:.QRB,

.•.点0在平面a与£的交线上，

同理,a,PG6,

.•.点〃在平面a与8的交线上，

aAB=PQ.

又4mB=R,

:.ReB,R&AXC,

:.RRa,

故ZQ,不三点共线.

能力提升练

1.A若几2七A中有且仅有三点在同一条直线上,则有一点不在该直线上，由

推论1可知，凡Pi,At在同一平面内，故充分性成立；当

P\Gh昨h,p3GW1时,凡Pz,月,A在同一平面内，但P\,Pl,P羽K中

无三点共线,故必要性不成立.故选A.

2.ABD对于A,因为BECC产P,所以BE,6F共面,所以8C£夕四点共面,故A正

确；

对于B,因为PGBE,稣平面/班M,所以飞平面ABBA,故B正确；

对于C,因为4?与阳相交,所以平面/跖与平面如G相交,故C不正确；

对于D,因为产£%疗t平面ACQA,所以平面ACGA,又产£平面ABB4,平面

ABBAn平面ACGA^AA,所以P&AA,所以£4,力三点共线,故D正确.故选