人教版九年级数学上册习题答案

习题21.1

1、(1)3x2-6x+l=0,二次项系数3,一次项系数-6,常数项1

(2)4x2+5x-81=0,二次项系数4,一次项系数5,常数项-81

(3)x2+5x=0,二次项系数1,一次项系数5,常数项0

(4)x2-2x+l=0,二次项系数1,一次项系数-2,常数项1

(5)x2+10=0,二次项系数1,一次项系数0,常数项10

(6)x2+2x-2=0,二次项系数1,一次项系数2,常数项-2

2、(1)设这个圆的半径为Rm,由圆的面积公式得nR2=6.28,

JTR2-6.28=0

(2)设这个直角三角形较长的直角边长为xcm,由直角三角形的面

积公式，得l/2x(x-3)=9,；.x2-3x-18=0

3、方程乂2+乂-12=0的根是-4,3

4、设矩形的宽为xcm,则矩形的长为(x+1)cm,由矩形的面积

公式，得*-(x+1)=132,；.x2+x-132=0

5、设矩形的长为xm,则矩形的宽为(0.5-x)m,由矩形的面积公

式得：(0.5-x)=0.06,/.x2-0.5x+0.06=0

6、设有n人参加聚会，根据题意可知：(n-1)+(n-2)+(n-3)

+…+3+2+1=10,gp(n(n-l))/2=10,n2-n-20=0

习题21.2

1.(1)36x2-1=0,移项，得36x2=1,直接开平方,得6x=±l,,6x=l

或6x=-l,...原方程的解是xi=l/6,X2=-1/6

(2)4x2=81,直接开平方，得2=±9,,2x=9或2x=-9,...原方程

的解是xi=9/2,X2=-9/2

(3)(x+5)2=25,直接开平方，得x+5=±5,

+5=5或x+5=-5,

，原方程的解是X1=O,X2=-10

(4)x2+2x+l=4,原方程化为(x+l”=4,直接开平方，得x+l=

±2,.♦.x+l=2或x+l=-2,.,.原方程的解是Xi=l,X2=-3

2、(1)9；3

(2)1/4；1/2

(3)1；1

(4)1/25；1/5

3、(1)x2+10x+16=0,移项，得x2+10x=-16,配方，得

x2+10x+52=-16+52,即(x+5)2=9,开平方,得x+5=±3,

+5=3或x+5=-3,...原方程的解为xi=-2,X2=-8

(2)x2-x-3/4=0,移项,得x2-x=3/4,配方,得x2-x=3/4,配方,

得x2-x+l/4=3/4+l/4,SP(x-1/2)2=1,开平方，得x-l/2=±l,

，原方程的解为xi=3/2,X2=-1/2

(3)3x2+6x-5=0,二次项系数化为1,得x2+2x-5/3=0,移项，得

x2+2x=5/3,

配方,得x2+2x+l=5/3+l,即(x+1)2=8/3,

.'eX+1=2/376^6x+l=-2/3V6,

「.x+l=2/3庶或x+l=-2/3V6,

，原方程的解为Xi=-l+2/3V6,X2=-1-2/3V6.

(4)4x2-x-9=0,二次项系数化为1,得x2-l/4x-9/4=0,

移项,得X2-1/4x=9/4,

配方,#x2-l/4x+1/64=9/4+1/64,即(x-1/8)2=145/64,

开平方,得x-1/8二士E5/8,

.•・X-1/8;旧5/8或x-l/8=-V145/8,

，原方程的解为Xi=l/8+V145/8,X2=1/8-V145/8

4、(1)因为△=(-3)2-4X2X(-3/2)=21>0,所以原方程有

两个不相等的实数根

(2)因为△=(-24)2-4x16x9=0,所以与原方程有两个相等的

实数根

(3)因为△=(-4位)2-4X1X9=-4<0,因为△=(-8)2-4X

10=24>0,所以原方程有两个不相等的实数根

5、(1)x2+x-12=0,

Va=l,b=l,c=-12,

b2-4ac=l-4xlx(-12)=49>0,

..x=(-l±V49)/2=(-l±7)/2,

二.原方程的根为xi=-4,X2=3.

(2)x2-V2x-1/4=0,

,.a=l,b=-V2,c=-l/4,

b2-4ac=2-4xlx(-1/4)=3>0,

.'.X=(V2+V3)/2,

，原方程的根为Xi=(V2+V3)/2,X2=(V2-V3)/2.

(3)x2+4x+8=2x+ll,原方程化为x2+2x-3=0,

Va=l,b=2,c=-3,/.b2-4ac=22-4xlx(-3)=16>0,

.-.X=(-2±V16)/(2xl)=(-2±4)/2,

...原方程的根为xi=-3,X2=l.

(4)x(x-4)=2-8x,原方程化为x2+4x-2=0,

*/a=l,b=4,c=-2,

b2-4ac=42-4xlx(-2)=24>0,

/.x=(-4±V24)/(2X1)=(-4±2V6)/2

原方程的根为Xi=-2+V6,X2=-2V6

(5)x2+2x=0,Va=l,b=2,c=0,

二.b2-4ac=22-4xlx0=4>0,

--.x=(-2±V4)/(2xl)=(-2±2)/2,

原方程的根为xi=O,X2=-2.

(6)X2+2>/5X+10=0,

Va=l,b=2V5,c=10,

Ab2-4ac=(2A/5)2-4Xlxl0=-20<0,

...原方程无实数根

6、(1)3x2-12x=-12,原方程可化为x2-4x+4=0,即(x-2)2=0,

...原方程的根为X1=X2=2

(2)4x2-144=0,原方程可化为4(x+6)(x-6),

...x+6=0或x-6=0,二.原方程的根为xi=-6,X2=6.

(3)3x(x-1)=2(x-1),原方程可化为(x-1)•(3x-2)=0

Ax-l=0或3x-2=(V.原方程的根为xi=l,X2=2/3

(4)(2x-l)2=(3-x)2,原方程可化为[(2x-l)+(3-x)][(2x-l)

-(3-x)]=0,即(x+2)(3x-4)=0,，x+2=0或3x-4=0

原方程的根为xi=-2,X2=4/3

7、设原方程的两根分别为Xi,X2

(1)原方程可化为x2-3x-8=0,所以XI+X2=3,XI•X2=-8

(2)XI+X2=-1/5,XI•X2=-l

(3)原方程可化为x2-4x-6=0,所以XI+X2=4,XI•X2=-6

(4)原方程可化为7x2-x-13=0,所以XI+X2=1/7,XI-x2=-13/7

8、解：设这个直角三角形的较短直角边长为xcm,则较长直角边

长为(x+5)cm,根据题意得：

1/2x(x+5)=7,所以x2+5x-14=0,

解得xi=-7,X2=2,

因为直角三角形的边长为：

Jx24-(x+5)2=J(22+72)=V53(cm)

答：这个直角三角形斜边的长为\/弓Wcm

9、解：设共有x家公司参加商品交易会，由题意可知：(x-l)+(x-2)

+(x-3)+…+3+2+1=45,即x(x-1)/2=45,

；.x2-x-90=0,即(x-10)(x+9)=0,

x-10=0或x+9=0,

.*.xi=10,X2=-9,

•••x必须是正整数，

，x=-9不符合题意，舍去

x=10

答：共有10家公司参加商品交易会

10、原方程可化为3x2-14x+16=0,

*/a=3,b=-14,c=16,

b2-4ac=(-14)2-4x3xl6=4>0,

.\x=[-(-14)±V4]/(2X3)=(14±2)/6,

二.原方程的根为XI=2,X2=8/3

11、解：设这个矩形的一边长为xm,则与其相邻的一边长为(20/2-x)

m,根据题意得：

x(20/2-x)=24,

整理，#x2-10x+24=0,

解得xi=4,X2=6.

当x=4时,20/2-x=10-4=6

当x=6时，20/2-x=10-6=4.

故这个矩形相邻两边的长分别为4m和6m,即可围城一个面积为24

m2的矩形

12、解设：这个凸多边形的边数为n,由题意可知：l/2n(n-3)=20

解得n=8或n=-5

因为凸多边形的变数不能为负数

所以n=-5不合题意，舍去，所以n=8

所以这个凸多边形是八边形

假设存在有18条对角线的多边形，设其边数为x,由题意得：1/2x

(x-3)=18

解得x=(3士乃存)/2

因为x的值必须是正整数

所以这个方程不存在符合题意的解

故不存在有18条对角线的凸多边形

13、解：无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不相

等的实数根，理由如下：

原方程可以化为：x2-5x+6-p2=0

△=b2-4ac

二(-5)2-4x1x(6-p2)

=25-24+4p2=l+4p2

Vp2^0,,l+4p2>0

.-.△=l+4p2>0

二.无论P取何值，原方程总有两个不相等的实数根

习题21.3

1、(l)x2+10x+21=0,原方程化为(x+3)(x+7)=0,或x+7=0,

.*.xi=-3,X2=-7.

(2)x2-x-l=0

Va=l,b=-l,c=-l,b2-4ac=(-1)2-4xlx(-1)=5>0,

±75]/2,

.-.xi=(l+V5)/2,X2=(l-V5)/2.

(3)3x2+6x-4=0,

Va=3,b=6,c=-4,b2-4ac=62-4x4x3X(-4)=84>0,

/.x=(-6±V84)/(2X3)=(-6±2V21)/6,

.".XI=-(3+V2T)/3,X2=(V21-3)/3.

(4)3x(x+1)=3x+3,原方程化为x2=l,直接开平方，得

X=±1,.*.X1=1,X2=-l

(5)4x2-4x+l=x2+6x+9,原方程化为(2x-l)2=(x+3)2,

(2x-l)+(x+3)][(2x-l)-(x+3)]=0,即(3x+2)(x-4)

=0,,3x+2=0或x-4=0,

/.xi=-2/3,X2=4

(6)7x2-V6x-5=0

2

,-.a=7,b=-V6,c=-5,b-4ac=(-V6)2-4x7x(-5)=146>0

.\x=[-(-V6)±V146]/(2x7)=(V6+V146)/14,

Axi=(V6+V146)/i4,x2=(V6-7146)/14

2、解：设相邻两个偶数中较小的一个是x,则另一个是(x+2).根

据题意，得x(x+2)=168

/.x2+2x-168=0

/.xi=-14,X2=12.

当x=-14时，x+2=-12

当x=12时，x+2=14

答：这两个偶数是-14,-12或12,14

3、解：设直角三角形的一条直角边长为xcm,由题意可知l/2x

(14-x)=24,

/.x2-14x+48=0

.\xi=6,X2=8

当x=6时，14-x=8

当x=8时，14-x=6

二.这个直角三角形的两条直角边的长分别为6cm,8cm

4、解：设每个支干长出x个小分支，贝！Jl+x+x2=91

整理得x2+x-90=0,(x-9)•(x+10)=0

解得xi=9,X2=-10(舍)

答：每个支干长出来9个小分支

5、解：设菱形的一条对角线长为xcm,则另一条对角线长为(10-x)

cm,由菱形的性质可知：1/2x-(10-x)=12,

整理，的x2-10x+24=0,

解得xi=4,X2=6.

当x=4时，10-x=6

当x=6时，10-x=4

所以这个菱形的两条对角线长分别为6cm和4cm.由菱形的性

质和勾股定理，得棱长的边长为:

4J2+联位(cm)

所以菱形的周长是4旧cm

6、解：设共有x个队参加比赛，由题意可知(x-1)+(x-2)+(x-3)

+­­•+3+2+1=90/2,即l/2x(x-1)=45

整理，得x2-x-90=0

解得xi=10,X2=-9

因为x=-9不符合题意，舍去

所以x=10

答：共有10个队参加比赛

7、解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x,则7200(l+x)2=8450

解得

xi=l/12,X2=-25/12

因为x=-25/12不符合题意，舍去

所以x=1/12^0.083=8.3%

答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为8.3%

8、解：设镜框边的宽度应是xcm,根据题意得：

(29+2x)(22+2x)-22x29=1/4x29x22

整理,#8x2+204x-319=0

解得x=[-204±\/51824]/16

所以

xi=[-204+V51824)]/16,x2=[-204-V51824)]/16

因为x=[-204-151824)]/16<0不合题意,舍去

所以x=[-204+V51824)]/16^1.5

答：镜框边的宽度约1.5cm

9、解：设横彩条的宽度为3xcm,则竖彩条的宽为2xcm.根据题意

得：30X20X1/4=30X20-(30-4x)(20-6x),

整理，#12x2-130x+75=0

解得XI=[65+5V133)]/12,X2=(65-5V133)/12

因为30-4x>0,且20-6x>0

所以x<10/3

所以x=(65+5«^)/12不符合题意，舍去

所以x=(65-5V133)/12^0.6

所以3XQ1.8,2X-1.2

答：设计横彩条的宽度约为1.8cm,竖彩条的宽度约为1.2cm

10、(1)设线段AC的长度为x,则x2=(1-x)XI,

解得xi=(-l+西)/2,X2=(-1-V5)/2(舍)，

.*.AC=(-l+V5)/2

(2)设线段AD的长度为x,则x2=((-1+V5)/2-X)•(1+

V5)/2,

解得XI=(3-西)/2,x2=-l(舍)，

AD=(3-V5)/2

(3)设线段AE的长度为x,则x2=((3-西)/2-x”(3-遍)/2,

解得xi=-2+V写，X2=(l-V亏)/2(舍)

.\AE=-2+V5

【规律方法：若C为线段AB上一点，且满足AC2=BGAB,

则AC/AB=(西-l)/2-(\耳-1)/2也叫作黄金比，C点为黄金分割

点，一条线段上有两个黄金分割点.】

复习题21

1、(1)196x2-l=0,移项，得196x2=1,

直接开平方，得14x=±l,x=±1/14,

二.原方程的解为xi=l/14,X2=-1/14

(2)4x2+12x+9=81,原方程化为x2+3x-18=0

Va=l,b=3,c=-18,b2-4ac=32-4xlx(-18)=81>0

/.x=(-3±V81)/(2xl)=(-3±9)/2,

.*.xi=-6,X2=3

(3)x2-7x-l=0

Va=l,b=-7,c=-l,b2-4ac=(-7)2-4X1X(-1)=53>0,

/.x=[-(-7)±V53]/2=(7±V53)/2,

.*.xi=(7+V53)/2,X2=(7-V53)/2

(4)2x2+3x=3,原方程化为2x2+3x-3=0,

Va=2,b=3,b=-3,b2-4ac=32-4x2x(-3)=33>0,

.,.x=(-3±V33)/(2X2)=(-3±V33)/4,

.•.XI=(-3+V33)/4,X2=(-3-V33)/4

(5)x2-2x+l=25,原方程化为x2-2x-24=0,因式分解，得(x-6)

(x+4)=0,

**.x-6=0或x+4=0,

.*.xi=6,X2=-4

(6)x(2x-5)=4x-10,原方程化为(2x-5)(x-2)=0,,2x-5=0

或x-2=0,.*.xi=5/2,X2=2

(7)x2+5x+7=3x+ll,原方程化为x2+2x-4=0,

Va=l,b=2,c=-4,b2-4ac=22-4xlx(-4)=20>0

.*.x=(-2±V20)/(2X1)=(-2±2x^5)/2=-1±V5

.*.xi=-l+\/5^,X2=-l-V5^

(8)l-8x+16x2=2-8x,原方程化为(l-4x)(-l-4x)=0,

l-4x=0或-l-4x=0,.*.xi=l/4,X2=-l/4

2、解：设其中一个数为(8-x),根据题意，得x(8-x)=9.75,整

理,#x2-8x+9.75=0,

解得xi=6.5,X2=1.5

当x=6.5时，8-x=1.5

当x=1.5时，8-x=6.5

答：这两个数是6.5和1.5

3、解：设矩形的宽为xcm,则长为(x+3)cm

由矩形面积公式可得x(x+3)=4

整理，得x2+3x-4=0

解得xi=-4

整理，#x2+3x-4=0

解得Xl=-4,X2=l

因为矩形的边长是正数，所以x=-4不符合题意，舍去

所以x=l

所以x+3=l+3=4

答：矩形的长是4cm,宽是1cm

4、解：设方程的两根分别为XI,X2

(1)X1+X2=5,Xl-X2=-10

(2)XI+X2=-7/2,XI-X2=l/2

(3)原方程化为3x2-2x-6=0,.,.XI+X2=2/3,XI-X2=-2

(4)原方程化为x2-4x-7=0,.*.XI+X2=4,XI-X2=-7

5、解：设梯形的伤低长为xcm,则下底长为(x+2)cm,高为(x-1)

cm,根据题意，得l/2[x+(x+2)]­(x-1)=8,整理，得x2=9,

解得xi=3,X2=-3.因为梯形的低边长不能为负数，所以x=-3不符合

题意，舍去，所以x=3,所以x+2=5,x-l=2

6、解：设这个长方体的长为5xcm,则宽为2xcm,根据题意，

得2x2+7-4=0,解得Xi=l/2,X2=-4.因为长方体的棱长不能为负数,

所以x=-4不合题意，舍去，所以x=1/2.所以这个长方体的长为

5x=l/2x5=2.5(cm),宽为2x=l(cm)

7、解:设应邀请x个球队参加比赛，由题意可知：(x-1)+(x-2)

+•­•+3+2+1=15,5P1/2x(x-1)=15

解得xi=6,X2=-5

因为球队的个数不能为负数

所以x=-5不符合题意，应舍去

所以x=6

答：应邀请6个球队参加比赛

8、解：设与墙垂直的篱笆长为xm,则与墙平行的篱笆为(20-2x)

m

根据题意，得x(20-2x)=50

整理，#x2-10x+25=0

解得X1=X2=5

所以20-2x=10(m)

答:用20m长的篱笆围城一个长为10m,宽为5m的矩形场地.

(其中一边长为10m,另两边均为5m)

9、解：设平均每次降息的百分率变为x,根据题意得：2.25%(1-x)

2=1.98%

整理,得(1-x)2=0.88

解得xi=l-\/0.88X2=1+x/0.88

因为降息的百分率不能大于1

所以x=l+\/^而不合题意，舍去

所以x=l-7^88^0.0619=6.19%

答：平均每次降息的百分率约是6.19%

10、解：设人均收入的年平均增长率为x,由题意可知：12000(x+1)

2=14520,

解这个方程，得X+1=±J(L21)x=J(L21)或x=-

J(L21)

又•.•X=/(L21)-1不合题意，舍去

,x=(J(1.21)-1)X1OO%=1O%

答：人均收入的年平均增长率是10%

11、解：设矩形的一边长为xcm,则与其相邻的一边长为(20-x)

cm,由题意得：x(20-x)=75

整理，#x2-20x+75=0

解得xi=5,X2=15,从而可知矩形的一边长15cm,与其相邻的

一边长为5cm

当面积为101cm2时，可列方程x(20-x)=101,即

x2-20x+101=0

VA=-4<0

二.次方程无解

...不能围成面积为101cm2的矩形

12、解：设花坛中甬道的宽为xm.梯形的中位线长为1/2

(100+180)=140(m),根据题意得：

1/2(100+180)X80x1/6=80-x-2+140x-2x2

整理，得3x2-450x+2800=0

解得xi=(450+\/168900)/6=75+5/3V1689,x2=(450-

4689)/6=75-5/3\/1689

因为x=75+5/3\/1689不符合题意,舍去

所以x=75-5/3\/1689仁6.50(m)

故甬道的宽度约为6.50m

13、(1)5/4=1.25(m/s),所以平均每秒小球的滚动速度减少

1.25m/s

(2)设小球滚动5m用了xs-(5+(5-1.25x))/2x=5,即

x2-8x+8=0

解得xi=4+2&(舍)，X2=4-2V2^1,2

答：小球滚动5m约用了1.2s

习题22.1

1、解：设宽为x,面积为y,则y=2x2

2、y=2(l-x)2

3、略

4、解：抛物线y=5x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,0)

抛物线y=-1/5x2的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,0)

5、图像略

(1)对称轴都是y轴，顶点依次是(0,3)(0,-2)

(2)对称轴依次是x=-2,x=l,顶点依次是(-2广2)(1,2)

6、(1)Va=-3,b=12,c=-3

.\-b/2a=-12/(2x(-3))=2,(4ac-b2)/4a=(4x(-3)x

(-3)-122)/(4x(-3))=9

二.抛物线y=-3x2+12x-3的开口向下，对称轴为直线x=2,顶

点坐标是(2,9)

(2),/a=4,b=-24,c=26

A-b/2a=-(-24)/(2x4)=3,(4ac-b2)/4a=(4X4X26-(-24)

2)/(4x4)=-10

二.抛物线y=4x2-24x+26的开口向上，对称轴为直线x=3,顶

点坐标是(3,-10)

(3)Va=2,b=8,c=-6

A-b/2a=-8/(2x2)=-2,(4ac-b2)/4a=(4x2x(-6)-82)/(4X

2)=-14

二.抛物线y=2x2+8x-6的开口向上，对称轴是x=-2,顶点坐标

为(-2,-14)

(4)Va=l/2,b=-2,c=-l

A-b/2a=-(-2)/(2xl/2)=2,(4ac-b2)/4a=(4xl/2x

(-1)-(-2)2)/(4x1/2)=-3

抛物线y=l/2x2-2x-l的开口向上,对称轴是x=2,顶点坐标

是(2,-3).图略

7、(1)-1；-1

(2)1/4；1/4

8、解：由题意，可知S=l/2x(12-2t)X4t=4t(6-t)

，S=-4t2+24t,即APEQ的面积S与出发时间t之间的关系式是

S=-4t2+24t

又...线段的长度只能为正数

即自变量t的取值范围是0<t<6

9、解：Vs=9t+l/2t2

...当t=12时，s=9xl2+l/2xl22=180,即经过12s汽车行驶

了180m

当s=380时，380=9t+l/2t2

.♦力=20&=-38(不合题意，舍去),即行驶380m需要20s

10、(1)抛物线的对称轴为(-1+1)/2=0,设该抛物线的解析式为

y=ax2+k(a^0)

将点(1,3)(2,6)代入得

J3=a+k,短a=1,

16=4a+k解%=2,

二.函数解析式为y=x2+2

(2)设函数解析式为y=ax2+bx+c(a^0),将点(-1,-1)(0,-2)

(1,1)代入得

-1=a-b+c,fa=2,

-2=c,解得b=1,

,1=a+b+c,(c=-2,

二.函数解析式为y=2x2+x-2

(3)设函数解析式为y=a(x+l)(x-3)(aW0),将点(1,-5)代

入，#-5=a(l+l)(1-3)

解得a=5/4

二.函数解析式为y=5/4(x+l)(x-3),即y=5/4x2-5/2x15/4

(4)设函数解析式为丫=2*2+6*+。己老0),将点(1,2)(3,0)

(-2,20)代入得

2=a+b+c,ra=1,

0=9a+3b+c,解得；b=-5,

20=4a—2b+c,、c=6,

二.函数解析式为y=x2-5x+6

11、解：把(-1,-22)(0,-8)(2,8)分另U代入y=ax2+bx+c,

得a=-2,b=12,c=-8

所以抛物线的解析式为y=-2x2+12x-8

将解析式配方，得y=-2(x-3)2+10

又a=-2<0

所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,10)

12、(1)由已知vt=v0+at=0+1.5t=1.5t,

s=vt=(v0+vt)/21=1.5t/2t=3/4t2,s=3/4t2

(2)把s=3代入s=3/4t2中,得t=2(t=-2舍去)，即钢球从斜

面顶端滚到底端用2s

习题22.2

1、(1)略

(2)当x=l或x=3时，函数值为0

2、(1)方程x2-3x+2=0的解是XI=LX2=2

(2)方程-x2-6x-9=0的解是XI=X2=-3

3、(1)略

(2)由图像可知，铅球推出的距离是10m

4、由抛物线的轴对称性可知抛物线的对称轴是直线x=(-l+3)/2=l

5、图像略

(1)Xl=3,X2=-l

(2)x<-l或x>3

(3)-l<x<3

6、(1)第三或第四象限或y轴负半轴上

(2)x轴上

(3)第一或第二象限或y轴正半轴上，当a<0时

(1)第一或第二象限或y轴正半轴上

(2)x轴上

(3)第三或第四象限或y轴负半轴上

习题22.3

1、(1)Va=-4<0

.•.抛物线有最高点

x=-3/[2x(-4)]=3/8,y=[4x(-4)x0-32]/[2x(-4)]=9/16

...抛物线最高点的坐标为(3/8,9/16)

(2)Va=3>0

.••抛物线有最低点

Vx=-l/(2x3)=-l/6,y=(4x3X6-12)/(4X3)=71/12

.♦.抛物线最低点的坐标为(-1/6,71/12)

2、解：设所获总利润为y元.由题意，可知y=(x-30)(100-x),即

y=-x2+130x-3000=-(x-65)2+1225

二.当x=65时，y有最大值，最大值是1225,即以每件65元定

价才能使所获利润最大

3、解：s=60t-1.5t2=-1.5(t2-40t+400)+1.5X400=-1.5(t-20)

2+600

...当t=20时，s取最大值，且最大值是600,即飞行着陆后滑

行600m才能停下来

4、解：设一条直角边长是x,那么另一条直角边长是8-x

设面积为y,则y=l/2x・(8-x),即y=-(1/2)x2+4x

对称轴为直线x=-b/2a=-4/(2义(-1/2))=4

当x=4时，8-x=4,ymax=8

二.当两条直角边长都为4时，面积有最大值8

5、解：设AC的长为x,四边形ABCD的面积为y.由题意，可知

y=l/2AC«BD

.\y=1/2x(10-x),y=-l/2x2+5x=-l/2(x-5)2+25/2

...当x=5时，y有最大值，y最大值=25/2

此时，10-x=10-5=5,故当AC=BD=5时，四边形ABCD的面

积最大，最大面积为25/2

6、解：VZA=30°,ZC=90°,且四边形CDEF是矩形

.,.FE//BC,ED//AC

.-.ZDEB=30°

在Rt^AFE中,FE=1/2AE

在RtaEDB中，BD=1/2EB,DE=VEB2-DB2

设AE=x,则FE=l/2x

DE=7(12-X)2-[1/2(12-X)]2=/3/2(12-x)

令矩形CDEF的面积为5则S=FE・ED=1/2x・V3/2(12-x)=

V3/4(12X-X2)

.\S=V3/4(12x-x2)=-V3/4(x-6)2+9\"

.•.当x=6时，S最大值=96，此时AE=6,EB=12-x=6

，AE=EB,即点E是AB的中点时，剪出的矩形CDEF面积最大

7、解：设AE=x,AB=a,正方形EFGH的面积为S,由正方形的性质

可知AE=DH,SPAH=a-x

在RtAAEH中:

HE2=AH2+AE2=(a-x)2+x2=2x2-2ax+a2=2(x-l/2a)2+l/2a2

.,.当x=l/2a时，S有最小值，且S最小值=l/2a2,此时

AE=l/2a,EB=l/2a,即点E是AB边的中点

当点E是AB边的中点时，正方形EFGH的面积最小

8、解：设房价定为每间每天增加x元，宾馆利润为y元

由题意可知，

y=(180+x-20)(50-x/10)=-l/10x2+34x+8000=-l/10(x-170)

2+10890

...当x=170时，y取最大值，且y最大值=10890,此时

180+X=350(7C)

二.房间每天每间定价为350元时，宾馆利润最大

9、解：用定长为L的线段围成矩形时，设矩形的一边长为x

贝US矩形=x・(l/2L-x)=-x2+l/2Lx=-(x-l/4L)2+l/16L2,当

x=l/4L时,S最大值=l/16l_2

用定长为L的线段围成圆时，设圆的半径为R,则2R=L,S圆

=R2=(L/2)2=L2/4TT

,.,l/16L2=/16L2,L2/4=4/16L2,且n<4

「.1/16L2VL2/4

...S矩形VS圆

.•.用定长为L的线段围成圆的面积大

复习题22

1、解：由题意可知，丫=(4+川(41)=力2+16,即丫与*之间的关系式

是y=-x2+16

2、解：由题意可知，y=5000(1+x)2=5000x2+10000x+5000,

即y与x之间的函数关系式为：y=5000x2+10000x+5000

3、D

4、(1)Va=l>0

.••抛物线开口向上

又丁x=-2/(2Xl)=-l,y=(4X1X(-3)々2)/(4Xl)=-4

...抛物线的对称轴是直线x=-l,顶点坐标是(-1,-4).图略

(2)Va=-l<0

.•.抛物线开口向下

XVx=-6/(2x(-l))=3,y=(4x(-1)X1-62)/(4X(-1))=10

.•.抛物线的对称轴是直线x=3,顶点坐标是(3,10).图略

(3)Va=l/2>0

.••抛物线开口向上

XVx=-2/(2xl/2)=-2,y=(4xl/2xl-22)/(4xl/2)=-l

...抛物线的对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,-1).图略

(4)Va=-l/4<0

...抛物线开口向下

X*/x=-l/(2x(-1/4))=2,y=(4x(-1/4)X(-4)-12)/(4X

(-1/4))=-3

...抛物线的对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,-3).图略

5、解：Vs=15t-6t2

，当t=-15/(2x(-6))=5/4时，s最大值=(4X(-6)x0-152)/(4

x(-6))=75/8,即汽车刹车后到停下来前进了75/8m

6、(1)分另U把(-3,2),(-1,-1),(1,3)代入y=ax2+bx+c

得a=7/8,b=2,c=1/8

所以二次函数的解析式为V=7/8x2+2X+1/8

(2)设二次函数的解析式为y=a(x+1/2)(x-3/2)

把(0,-5)代入，得a=20/3

所以二次函数的解析式为y=20/3x2-20/3x-5

7、解：设垂直于墙的矩形一边长为xm,则平行于墙的矩形的另一

边长为(30-2x)m

设矩形的面积为ym2,则y=x(30-2x)=-2x2+30x=

-2(x-15/2)2+112.5

...当x=15/2时，y有最大值，最大值为112.5,此时30-2x

=15

二.当菜园垂直于墙的一边长为15/2m,平行于墙的另一边长为

15m时，面积最大，最大面积为112.5m2

8、解：设矩形的长为xcm,则宽为(18-x)cm,S侧=2x・(18-

x)=-2x2+36x=-2(x-9)2+162

当x=9时，圆柱的侧面积最大，此时18-x=18-9=9

当矩形的长与宽都为9cm时旋转形成的圆柱的侧面积最大

9、(1)证明：•.•四边形ABCD是菱形

二.AB=BC=CD=AD

又•.•BE=BF=DG=DH

二.AH=AE=CG=CF

/.ZAHEZAEH,ZA+ZAEH+ZAHE=180,ZA

+2ZAHE=180口

又♦..NA+ND=180口

.,.ZD=2ZAHE,同理可得NA=2NDHG

二.2NAHE+2NDHG=180口

ZAHE+ZDHG=90D

NEHG=90口，同理可得NHGF=NGFE=90口

二.四边形EFGH是矩形

(2)解：连接BD交EF于点K,如图7所示，设BE的长为

x,BD=AB=a

四边形ABCD为菱形，ZA=60n

NEBK=60口，NKEB=30口

在Rt^BKE中，BE=x,则BK=l/2x,EK=V^/2

S矩形EFGH=EF・FG=2EK・(BD-2BK)

=2XV3/2x(a-2Xl/2x)

=x(a-x)=-V3(x2-ax)

=-V3(x2-ax+a2/4-a2/4)

22

=-V3(x-a/2)+V3/4a

当*=2/2时，即BE=a/2时，矩形EFGH的面积最大

习题24.1

1、在。中，AB为直径，CD为0的任意一条弦(不是直径的弦)

求证：AB>CD

证明：连接OC,OD,在△(：<口中，OC+OD>CD,即AB>CD

2、(1)•.•OAQB是0的半径

/.OA=OB=50mm

又;AB=50mm

/.OA=OB=AB

「.△AOB是等边三角形

ZAOB=60D

(2)过点。作OC_LAB,垂足为点C,

则NOCA=90口，由垂径定理得，AC=CB=1/2AB

VAB=50mm

/.AC=25mm

在RtAOAC中，OC2=OA2-AC2=502-252=252X3

/.OC=7252x3=25V3(mm)

即点0到AB的距离是256mm

3、,.AB=AC

Z.AB=AC

ZB=ZC=75D

Z.ZA=180D-75n-75D=30n,即NA的度数是30D

4、解：醺=而，证明如下：

VAD=BC,

.\AB=CD

,\AD=AC=BC+AC,gDDC=AB

5、解连接OCTOALBC

Z.AC=AB,；.ZCOA=ZAOB

VZAOB=50D,/.ZCOA=50D

AZADC=1/2ZAOC=1/2X50D=25D,即NADC=25口

6、解：第二个(即中间的)工件是合格的，理由是90。的圆周角所

对的弦是直径

7、略

8、解：连接OC,设O的半径为r

•.•M为CD的中点

Z.OM1CD

.\CM=l/2CD=l/2x4=2cm

在RtzXCMO中，OC2-OM2=CM2,即

r2-(6-r)2=22,r2-(36-12r+r2)=4,12r=40,r=10/3

Z.0的半径为10/3cm

9、证明：过点。作OPLAB,垂足为点P

由垂径定理可知PA=PB,PC=PD

PA-PC=PB-PD,即AC=BD.

10、略

11、证明：VAB//CD,AC=BD

又「MN是AB的垂直平分线，则有,MN过圆心O,是直径

AM=BM.AM-AC=BM-BD,即m=DM

二.MN垂直平分CD

12、VOC±AB,AB=300

二.由垂径定理，可知AD=DB=l/2AB=150

XVCD=45

.,.OD=OC-CD=OC-45

又•..OA,OC均为O的半径

.*.OA=OC

在RtAAOD中，OA2=OD2+AD2

.,.OC2=(OC-45)2+1502

.\OC=272.5(m)

答：这段弯路的半径是272.5m

习题24.2

1、(1)点P在。内

(2)点P在。上

(3)点P在。外

2、(1)相离

(2)相切

(3)相交

3、(1)因为VU是T的切线，U为切点

所以UT1UV

所以NVUT=90D°

在RSUVT中，ZUVT=90D°,UV=28cm,TU=25cm

所以VT2=UV2+TU2,即VT2=282+252

所以VT=1282+252=V1409(cm)

(2)因为VU与VW均是T的切线

所以NUVT=NTVW,ZTWV=90n°

又因为NUVW=60°

所以NTVW=1/2X6O=3O°

在RtATVW中，ZTWV=90D°,ZTVW=30°,TW=25cm

所以TV=2WT=2X25=50(cm)

4、证明：连接OC

VOA=OB

「.△OAB为等腰三角形

XVCA=CB

AOCIAB

•.•AB经过0的半径0C的外端C,并且垂直于半径OC

，AB是O的切线

5、证明：连接。P,因为AB是小圆。的切线，P为切点

所以OP_LAB

又AB是大圆。的弦

所以由垂径定理可知AP=PB

6、解：因为PA,PB是O的切线

所以PA二PB,ZPAB=ZPBA

又由题意知OA,PA,ZOAB=25D°

所以NPAB=90口。-25口。=65口°

所以"二180口。-2ZPAB=180D°-65D°X2=5OD°

7、解：半径为4cm的圆可以做两个，半径为3cm的圆只能作一个,

不能作出同时经过A,B两点，且半径为2cm的圆

8、9略

10、解：设圆心为O,连接0W,0X

因为YW,YX均是。的切线，W,X均为切点

所以OW_LWY,OXJ_XY

又因为XY_LWY

所以NOWY=NOXY=NWYX=90°

所以四边形OXYW是矩形

又因为ow=ox

所以四边形OXYW是正方形

所以0W=WY=0.65m

答：这个油桶的底面半径是哦0.65m

11、解：连接OEQG,则OE±AB,OG±CD

又因为AB〃CD

所以点E,O,G在同一直线上

由AB,CD,BC均是。的切线，可得NBOC=90口

在RtaBOC中，OB=6cm,CO=8cm

所以BC=JoB2+0C2=162+82=10(cm)

答：BC的长是10cm

12、证明：连接OC

•••CD为。的切线，C为切点

Z.OC1CD

又,：ADLCD

AAD//OC

.\ZDAC=ZOCA

VOA=OC

.,.ZOAC=ZOCA

NDAC=NCAO,即AC平分NDAB

习题24.3

L略

2、解：连接AC,•••ND=90口，「.AC为直径

在RtAACD中

AC=Ja2+a2=V2a

，半径至少为我/2a

3、解：正多边形都是轴对称图形

当正多边形的边数为奇数时，对称轴条数与正多边形边数相等，

是正多边形顶点与对边中点所在的直线

当正多边形的边数为偶数时，它的对称轴条数也与边数相等，分

别是对边中点所在的直线和相对顶点所在的直线.正多边形不都是中

心对称图形

当正多边形边数为偶数时，它是中心对称图形，对称中心是正多

边形的中心

当正多边形的边数为奇数时，它不是中心对称图形

4、证明：•；ABCDE为正五边形

AB=BC=AE,ZA=ZB=ZC

又;L,H,I分别为AE,AB,BC边中点

AL=AH=BH=BI=IC

AAHL^ABIH^ACJI

HL=HI=IJ,ZAHL=ZBHI=ZBIH=ZCIJ,ZLHI=180°-

ZAHL-ZBHI,ZHIJ=180°-ZBIH-CIJ

.,.ZLHI=ZHIJ

同理：LK=KJ=IJ=HI=HL,ZHLK=ZLKJ=ZKJI=ZLHI=ZHIJ

:.五边形HIJKL是正五边形

5、解：连接BF,过点A作AGLBF,垂足为点G

因为NBAF=120°

所以NBAG=60。

所以NABG=N30°

在RtZXABG中，AB=12cm,ZAGB=90°,ZABG=30°

所以AG=1/2AB=1/2X12=6(cm)

由勾股定理，得

BG=JAB2-AG2=J122—62=6例所)即b=BF=2BG=2x6烽126(mm)

答：扳手张开的开口b至少要12\与mm

6、解：设剪去的小直角三角形的两直角边长分别为xcm,xcm,由题

意可知(4-2x)2=x2+x2

解得Xi=4+2V2,X2=4-2交

因为x<4

所以x=4+2、N不符合题意，舍去

所以x=4-2«

所以4-2x=4-2(4-2&)=(4日-4)cm,即这个正八边形的边长是

(4V2-4)(cm)

S正八边形=5正方形-4S小三角形

=42-4X1/2*x*x

=16-2(4-272)2

=16-2(24-16我)

=(32V2-32)cm2

答：这个正八边形的边长为(4后-4)cm,面积是(32&-32)cm2

7、解：①当用48cm长的篱笆围成一个正三角形时，边长为48・

3=16(m)，此时SA=1/2X16X8V3=64V3(m2)

②当围成一个正方形时，边长为48+4=12(m),此时S正方

形二12X12=144E)

③当围成一个正六边形时，边长为48+6=8(m),此时S正六边

形=6X1/2X8X4V3=96V3(m2)

④当围成一个圆时，圆的半径为48/2n=24/n(m),此时，S

圆(24/n)2=576/兀(m2)

因为64V3<144<96V3<576/n

所以S圆最大

答：用48cm长的篱笆围成一个圆形的绿化场地面积最大

8、圆外切正三角形的边长为2\"R；圆外切正四边形的边长为2R；

圆外切正六边形的边长为(2遍)/3R

习题24.4

1、(1)6(2)150口(3)4/3

2、解：这条传送带的长是一个圆的周长与两条平行线段的长度的和，

C圆=nd=3n(m)

...传送带的长是3n+10x2=3n+20(m)

3、解：(2x3.14x6370x1000)/(360X60)^1852(m)

答：Inmile约等于1852米

4、设图中阴影部分的面积为x,空白部分的面积为y,由图形的对称

性可知解得x=l/2na2-a2

5、当沿BC边所在直线旋转时，得到一个底面半径为3,高为4的

圆锥，它的全面积为24n

当沿AC边所在直线旋转时，得到一个底面半径为4,高为3的

圆锥，它的全面积为36n

当沿AB边所在直线旋转时，得到两个圆锥的组合体，它的全面

积为16.8n

6、解：3000+2X(90JIx1000)/180^6142(mm)

答：图中管道的展直长度约为6142mm

7、解：由题意可知它能喷灌的草坪是一个形如圆心角为220口，半

径为20m的扇形，其面积S=(220xnx202)/360=2200/9nm2

8、解：由题意可知S贴纸=S扇形BAC-S扇形DAE

=(120n-AB2)/360-(120n-AD2)/360

=1/3n(AB2-AD2)

=1/3叫302一(30-20)2]

=800/3n(cm2)

答：贴纸部分的面积是800/3JIcm2

9、解：由圆锥的侧面展开图(扇形)的面积公式S=1/2IR可知所求

面积为1/2x32x7=112(m2)

答：所需油毡的面积至少为112m2

10、解：连接AO,BC

因为NBAC=90°

所以BC是。的直径，则BC=lm

因为AB=AC

所以NABC=NACB=45°,ZAOC=90°,OB=OC可知

0A=0C=l/2BC=0.5m

由勾股定理，得

AC=JoA2+0C2=Jo.52+0.52=V2/2(m)

所以筑=(90XnXV2/2)/180=V2/4n(m)

S扇形BAC=(90nX(V2/2)2)/360=n/8(m2)

所以被剪掉的部分的面积为nx(1/2)2_冗/8=冗/8(m2)

设圆锥地面圆的半径为rm,则2nr=V5/4n

所以r=&/8(m)

答：被剪掉的部分的面积为兀/8m，圆锥底面圆的半径是企/8m

复习题24

1、略

2、证明：连接0C

因为余:和品

所以NAOC二NCOB

因为D、E分别是半径OA,OB的中点

所以OD=1/2OA,OE=1/2OB

又因为OA=OB

所以OD=OE

在△CDO和△CEO中

'OD=OE,

NDOC=NEOC.

、co=co,

所以△CDOgZkCEO(SAS)

所以CD=CE

3、解：因为OA=OB

所以NA二NB

又因为NAOB=120°

所以NA=NB=l/2(180°-120°)=30°

过。作OC_LAB,垂足为C

由垂径定理，#AC=CB=1/2AB

在RtZXACO中，ZOCA=90°,ZA=30°,OA=20cm

所以OC=l/2OA=10(cm)

CA=JoA2-OC2=J202-102=10V3(cm)

所以AB=2AC=30\"(cm)

所以SAAOB=1/2AB»OC=1/2X20A/3xl0=100V3(cm2),

即AAOB的面积是100遍cm2

4、解：连接OC,贝UOCJ_AB

因为OA=OB

所以AC=CB=1/2AB

又因为AB=10cm

所以AC=CB=5cm

因为0的直径为8cm

所以OC=l/2x8=4(cm)

在RtaAOC中，ZOCA=90D,0C=4cm,AC=5cm

所以OA=JAC2-0C2=J52-42=V41(cm),即OA的长为府cm

5、解：过点E作EGLx轴，垂足为G,连接OE,则△(□£口是正三角

形

ZEOG=60U

.,.ZOEG=30D

又•..OE=2cm,ZOGE=90O

.,.OG=l/2OE=lcm

EG=JOE2-0G2=J22-l2=V3(cm)

.•.点E的坐标为(1,V3)

由题意知点D的坐标为(2,0)

结合正六边形的对称性可知A(-2,0),B(-l,-V3),C(l,-V3),

F(-l,V3)

故这个正六边形ABCDEF各个顶点的坐标分别为：

A(-2,0),B(-l,-V3),C(l,-V3),D(2,0),E(l,V3),

F(-l,V3)

6、解：Li和L2的关系是L=L2,理由如下：

设n个小半圆的直径分别为dl,d2,d3,…,dn,大半圆的直径为d

大,贝U有dl+d2+d3+…+dn=d大

L2=1/2(dln+d2JI+d3n+…+dnn)=

l/2(dl+d2+d3+---+dn)n=1/2d大”

又VU=l/2d大n

Li=\-2

7、解：由三角形内角和定理知NA+NB+NC=180。，设NA;a□,

ZB=B□,ZC=Y□

a+0+y=180°

，S阴二(axJI><0.52)/360+(6XJIX0.52)/360