初中数学实数与向量相乘强化练习

初中数学实数与向量相乘强化练习

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一、单选题

1.如图，四边形A8C。是平行四边形，下列说法正确的是（）

A.而与股是相等向量B.而与反是相等向量

C.而与丽是相反向量D.而与就是平行向量

2.已知单位向量。与非零向量a、b,下列四个选项中，正确的是（）

__11-1

A.\a\e=aB.\e\b=bC.7T；«=7r7^D.—a=e

\a\\b|\a\

3.已知々工和最都是非零向量，在下列选项中，不能判定力/「的是（）

al/c,b//cB.|a|=|IC.a=-3b

—>।>—>

D.a=—c,b=2c

2

4.如果点C、。在线段AB上，HC=|8q,那么下列结论中正确的是（）

A.衣与丽是相等向量B.而与而是相等向量

C.高与丽是相反向量D.而与丽是平行向量

5.如图，已知向量工员"，那么下列结论正确的是

a

A.a+b=cB.a+b=-cC.a-h=-cD.h+c=a

6.如果市=前，那么下列结论正确的是（）

A.AC*=DB-,B.AC*=DB；C.AD=BC；D.AD=CB.

7.下列判断正确的是（）

A.如果m=i5i，那么或i=-5

B.若％=0,则|%羽=0

C.0-a=0

D.表示〃个1相乘

8.下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）

①任一向量与它的相反向量都不相等；

②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

③平行且模相等的两个向量是相等向量：

④若a处，贝”“用知

⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同.

A.0B.1C.2D.3

二、填空题

9.向量所与一2成的方向.

10.；（力）-2（£-另=

11.化简：-3（£-24+2（£+24=.

12.如图，D,E分别是AABC的边BA,C4延长线上的点，DE//BC,

EA:AC=\:2,如果历=2,那么向量元=（用向量值表示）.

13.如果向量1与单位向量e方向相反，长度为那么向量不用单位向量e表示为

__一1UU1UU_

14.若er02不共线，a=-et+3e2,b-4et+2e2,c=-3q+1羽，贝!j用向量各，c表示

15.如图，在AABC中，D是边BC上一点，BD=3DC,BA=a,BC=b,那么

AD（用向量2、5来表示）.

DC

16.计算：3Ca-2b)-2(a-3b)=.

三、解答题

17.已知在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，求证：(1)诙〃福;

⑵=祠；(3)AD+BE+CF=0.

18.设向量万、5且2(*6)=a+5.试判别向量G与5是否平行？

19.作图题：

(1)已知向量2、b,求作向-2伍-5).

(2)已知两个不平行的向量万，b,求作向量W+B)-(；5+3万

20.若向量日、6、元满足2(£-1)-3卜-25)=0,求向量1.(结果用0、5表示).

21.如图，平行四边形ABC£＞中，点E是BC边的中点，联结短E并延长，与A8的延

长线交于点F.设次=7,DF=b.

(1)写出所有与反相等的向量：；

(2)试用向量M、5表示向量前，则砺=；

⑶在图中求作：3+。。.(不要求写作法，但要写出结果)

22.如图，已知两个不平行的向量£,6.先化简，再求作：(1+35卜(|万+5).(不

要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量)

参考答案：

1.B

【解析】

【详解】

解：•••四边形A8C。是平行四边形，

：.AB=DC,AB//DC,

...而与反是等向量.

故选：B.

根据等向量的定义判断即可.

本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中

考常考题型.

2.B

【解析】

【分析】

根据平面向量的定义，平面向量模的定义以及共线向量的定义进行判断即可.

【详解】

A.当单位概率&与非零向量行的方向相同时才成立，故该选项不正确，不符合题意；

B.\e\h=b,故该选项正确，符合题意；

C.当非零向量5的方向相同时才成立，故该选项不正确，不符合题意；

D.当单位概率2与非零向量。的方向相同时才成立，故该选项不正确，不符合题意；

故选B

【点睛】

本题考查了平面向量知识，理解单位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，单位向

量具有确定的方向是解题的关键.

3.B

【解析】

【分析】

据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】

答案第1页，共11页

解：''a//c,b//c<-',a//b,故本选项不合题意；

B、：日|=可|的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；

C、：二=一3防二力/出故本选项不合题意；

->1->—>—>

D、a=—c,b=2c,故本选项不合题意.

故选：B.

【点睛】

本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键.

4.D

【解析】

【详解】

解：•・•点C、Z）在线段A8上，|4。=忸4，

A、衣与丽方向相反，.•./*丽，故本选项错误：

2、•.•布与前方向相反，.•.而w肥，故本选项错误；

&11I

ACDB

C、・••相反向量是方向相反，模相等的两向量，而|AO|=|BC|>|8。，,而与而不是相反

向量，故本选项错误；

。、•.•而与南共线，.•.而与丽是平行向量，故本选项正确.

故选：D.

由点C、。在线段A8上，wq=|叫，可得|叫=忸。，然后根据相等向量、相反向量与

平行向量的定义，即可求得答案.注意排除法的应用.

此题考查了平面向量的知识.解此题的关键是熟记相等向量、相反向量与平行向量的定义

与数形结合思想的应用.

5.B

【解析】

【详解】

答案第2页，共11页

根据向量加法的三角形法则，£,/；向量首尾顺次相连，所以根据图形可知，2+5与向量工

反向且相等，所以故选择B.

6.B

【解析】

【详解】

本题考查了平行四边形的性质和相等向量的定义.长度相等且方向相同的向量叫做相等向

量.由而=而，可知四边形A8C。是平行四边形，根据相等向量的定义即可作出判断.

解：-.AB=CD>

四边形ABCD是平行四边形，

A长度相等，方向相反，不相等，故本选项错误；

B.长度相等且方向相同，相等，正确；

C.长度不一定相等，方向不同，不相等，故本选项错误；

。.长度不一定相等，方向不同，不相等，故本选项错误.

故选8.

7.B

【解析】

【分析】

根据向量的模，实数与向量的简单计算，逐项分析判断即可.

【详解】

A.如果|洲=|方则两个向量的模相等，并不能说明两个向量共线，则1=5或

不一定正确，故该选项不正确，不符合题意；

B.若k=0,则|kG|=0,故该选项正确，符合题意；

C.0-5=0,故该选项不正确，不符合题意；

D.”々表示"个1相加，故该选项不正确，不符合题意；

故选B

【点睛】

本题考查了向量的模，实数与向量的简单计算，理解向量的意义是解题的关键.

8.B

【解析】

答案第3页，共11页

【详解】

根据相等向量的概念逐一判断可得选项.

解：零向量与它的相反向量相等，①错；

由相等向量的定义知，②正确；

两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错；

叶b,可能两个向量模相等而方向不同，④错；

两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点

不一定相同，⑤错.

所以正确的命题的个数为1,

故选：B.

9.相反

【解析】

【分析】

根据负号代表方向相反解答.

【详解】

历与一2所符号相反，因此放小相反，

故答案为：相反.

【点睛】

本题考查向量的意义，要理解符号的含义.

2r5r

10.-b--a

33

【解析】

【分析】

根据向量运算的法则先去括号，然后合并即可得出答案.

【详解】

-（a-b\-2[a-—i\=-a-—b—2a+b=-b--a,

3\，（2）3333

故答案为:2-5

【点睛】

本题考查向量的运算，熟练掌握去括号法则是解题关键.

11.-a+\0h

答案第4页，共11页

【解析】

【分析】

根据向量的加减运算法则进行计算即可得解.

【详解】

-3（“-2五）+2（a+2b^

~—3a+6b+2a+4b

--a+Wb

故答案为：-a+10B.

【点睛】

本题考查了平面向量的计算，括号前面是减号，去括号时要注意改变运算符号.

12.2a

【解析】

【分析】

由。后〃3C,E4:4C=1:2可得VDfiA:V8C4且相似比为1：2,故£>E：BC=1：2,又因为

就和加方向相同，故前=2而=21.

【详解】

DE//BC

：.ZDEA=ZBCA,ZEDA=NCBA

：.VDEA:NBCA

又；EA:AC=1:2

故△DE4和VBC4相似比为1：2

则。E：BC=1：2

&LBC=2ED=2a

故答案为：21.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定及性质和向量.两角分别相等的两个三角形相似.数乘向

量：实数2和向量&的乘积是一个向量，记作而，且面的长I须1=1刈初.

13.a=--e

2

【解析】

答案第5页，共11页

【分析】

由向量£与单位向量工方向相反，且长度为根据向量的定义，即可求得答案.

【详解】

解：•••向量£与单位向量2方向相反，且长度为

.-_1一

••a一―万e

故答案为：a—e-

【点睛】

此题考查了平面向量的知识.此题比较简单，注意掌握单位向量的知识.

14.--—fe+—c

1827

【解析】

【分析】

设Z=+列出关于义和〃的二元一次方程组求出4和〃即可.

【详解】

解：设a=4+“c，

—q+3e、=/l(4^1+)+//(—361+12e,)=(44—32，)6+(24+12〃)e,,

.f42-3;/=-l

**[2A+12//=3'

解得

1-7

故答案为：b+—c.

1827

【点睛】

本题考查了向量的数乘运算，加法运算，以及基底的概念，熟练掌握平面向量基本定理是

解答本题的关键.

15.-b-a

4

答案第6页，共11页

【解析】

【分析】

由已知求得BD与BC的数量关系，进而由向量的线性运算可得到答案.

【详解】

■:BD=3DC,BD+DC=BC

3

・・・BD=-BC

4

;BA=ayBC=b

3

I.BD=-b

4

3--

・・.AD=4

4

故答案为：♦

4

【点睛】

本题考查向量的线性运算，熟练掌握相关知识是解题的关键.

16.a

【解析】

【分析】

直接利用实数的运算法则即可解答.

【详解】

3(,a-25)-2(5-3b)

=3a-6h-25+6/?

=(3-2)<?+(-6+6)b

=a.

故答案是：a.

【点睛】

此题考查了平面向量，解题关键在于熟练掌握平面向量的加法结合律即可解题，属于基础

计算题.

17.(1)详见解析；(2)详见解析；(3)详见解析

【解析】

【分析】

答案第7页，共11页

由D、E分别是BC、CA的中点，则口£〃人83^^人8,即可完成(1)(2)的证明；(3)利用

向量的平行四边形法则即可得出.

【详解】

解：•••□、E分别是BC、CA的中点，

，DE〃AB,DE=；AB

二(1)DE//AB,(2)|国=3网

(3)而=南+丽，通=*+也,两式相加得：

2AD=AB+AC+Bb+CD=AB+AC,

同理，2炭=阮+丽,2及=徐+恒

：.AD+BE+CF=O.

【点睛】

本题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，以及.向

量的平行四边形法则也是解答的关键.

18.a//b-

【解析】

【分析】

根据向量的运算法则及运算律对已知式子化简，可求得1=3人从而进行判断即可.

【详解】

解：平行，理由如下：

■/2^a-b^=a+b,

2a—2b=a+b>

'•2a-a=2h+h,

a=3万，

ab'

【点睛】

本题考查了向量的运算及向量平行的判断，明确实数与向量乘积的意义、向量的运算法则

是解题的关键.

答案第8页，共11页

19.（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）先将向量化简，然后根据三角形法则即可求出答案；

（2）先将向量化简，然后根据三角形法则即可求出答案.

【详解】

解：（1）原式=涕-21，

如图，AB=2b>BC=-2a<AC=AB+BC=2b-2a贝即为所求;

-1-

(2)原式+〃—b—3a,

2

1c-

=-b-r2a,

2

如图，DE=^b,EF=-2a,DF=DE+EF=^b-2a,则瓦即为所求.

【点睛】

本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算及三角形法则解题的关键.

20.x=6b-2a

【解析】

【分析】

数乘向量满足结合律、分配律，计算求出了即可.

【详解】

答案第9页，共11页

解：21-2M