山东省青岛市名校2025届数学九上期末联考模拟试题含解析

山东省青岛市名校2025届数学九上期末联考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图所示，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B=65°，则∠ADE=（）A．20° B．25° C．30° D．35°2．如图，与正六边形的边分别交于点，点为劣弧的中点.若.则点到的距离是（）A． B． C． D．3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．4．将一副三角尺（在中，，，在中，，）如图摆放，点为的中点，交于点，经过点，将绕点顺时针方向旋转（），交于点，交于点，则的值为（）A． B． C． D．5．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表：利用该二次函数的图象判断，当函数值y＞0时，x的取值范围是（）A．0＜x＜8 B．x＜0或x＞8 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞46．下列各式计算正确的是（）A．2x•3x=6xB．3x-2x=xC．（2x）2=4xD．6x÷2x=3x7．某公司一月份缴税40万元，由于公司的业绩逐月稳步上升，假设每月的缴税增长率相同，第一季度共缴税145.6万元，该公司这季度缴税的月平均增长率为多少？设公司这季度缴税的月平均增长率为x，则下列所列方程正确的是（）A． B．C． D．8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．9．已知点E在半径为5的⊙O上运动，AB是⊙O的一条弦且AB=8，则使△ABE的面积为8的点E共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．410．已知圆锥的底面半径为5，母线长为13，则这个圆锥的全面积是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝30°，∠APD＝65°，则∠B＝_____．12．已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为cm．（结果保留π）13．如图，，，△A2B2B3是全等的等边三角形，点B，B1，B2，B3在同一条直线上，连接A2B交AB1于点P，交A1B1于点Q，则PB1∶QB1的值为___．14．如图,将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°,B点落在B'位置,A点落在A'位置,若AC⊥A'B',则∠BAC的度数是__.

15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG、AF分别交DE于点M和点N，则线段MN的长为_____．16．如图，点A的坐标为（4，2）．将点A绕坐标原点O旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，则过点A′的正比例函数的解析式为_____．17．如图，，，则的度数是__________.18．若、是关于的一元二次方程的两个根，且，则，，，的大小关系是_____________．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为6，∠BAC=60°，则DE=________．20．（6分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点逆时针旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．求证：EF＝BC．21．（6分）某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获取更多利润,商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件;若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数.(1)试求y与x之间的函数关系式;(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本).22．（8分）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有又∵∠PCD＝∠△∽△∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝1，则AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)(3)拓展延伸：如图1，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝1．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．23．（8分）如图，的顶点坐标分别为，，．(1)画出关于点的中心对称图形；(2)画出绕原点逆时针旋转的，直接写出点的坐标为_________；(3)若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，则的坐标为____________．(用含，的式子表示)24．（8分）正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标为1．（1）求m的值；（2）请结合图象求关于x的不等式2x≤的解集．25．（10分）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线y=−x−(k+1)在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．（1）求这两个函数的解析式．（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．26．（10分）如图，在中，，点是中点.连接.作，垂足为，的外接圆交于点，连接.（1）求证：；（2）过点作圆的切线，交于点.若，求的值；（3）在（2）的条件下，当时，求的长.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】根据旋转的性质可得AC=CD，∠CED=∠B，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，∴AC=CD，∠CED=∠B=65°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，由三角形的外角性质得：．故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．2、C【分析】连接OM，作，交MF与点H，根据正六边性的性质可得出，，得出为等边三角形，再求OH即可.【详解】解：∵六边形是正六边形，∴∵点为劣弧的中点∴连接OM，作，交MF与点H∵为等边三角形∴FM=OM，∴故答案为：C.【点睛】本题考查的知识点有多边形的内角与外角，特殊角的三角函数值，等边三角形的性质，理解题意正确作出辅助线是解题的关键.3、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4、C【解析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD=AD=DB，则∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，由于∠EDF=90°，可利用互余得∠CPD=60°，再根据旋转的性质得∠PDM=∠CDN=α，于是可判断△PDM∽△CDN，得到=，然后在Rt△PCD中利用正切的定义得到tan∠PCD=tan30°=，于是可得=．【详解】∵点D为斜边AB的中点，∴CD=AD=DB，∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，∵∠EDF=90°，∴∠CPD=60°，∴∠MPD=∠NCD，∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），∴∠PDM=∠CDN=α，∴△PDM∽△CDN，∴=，在Rt△PCD中，∵tan∠PCD=tan30°=，∴=tan30°=．故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．5、C【分析】观察表格得出抛物线顶点坐标是(1，9)，对称轴为直线x=1，而当x=-2时，y=0，则抛物线与x轴的另一交点为(1，0)，由表格即可得出结论．【详解】由表中的数据知，抛物线顶点坐标是(1，9)，对称轴为直线x=1.当x＜1时，y的值随x的增大而增大，当x＞1时，y的值随x的增大而减小，则该抛物线开口方向向上，所以根据抛物线的对称性质知，点(﹣2，0)关于直线直线x=1对称的点的坐标是(1，0)．所以，当函数值y＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜1．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解答本题的关键是要认真观察，利用表格中的信息解决问题．6、B【解析】计算得到结果，即可作出判断【详解】A、原式=6x2，不符合题意；B、原式=x，符合题意；C、原式=4x2，不符合题意；D、原式=3，不符合题意，故选B【点睛】考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7、D【分析】根据题意，第二月获得利润万元，第三月获得利润万元，根据第一季度共获利145.6万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】设二、三月份利润的月增长率为，则第二月获得利润万元，第三月获得利润万元，

依题意，得：．

故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．求平均变化率的方法为：若变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．8、B【分析】根据最简二次根式概念即可解题.【详解】解：A.=,错误,B.是最简二次根式,正确,C.=3错误,D.=,错误,故选B.【点睛】本题考查了最简二次根式的概念,属于简单题,熟悉概念是解题关键.9、C【分析】根据△ABC的面积可将高求出，即⊙O上的点到AB的距离为高长的点都符合题意．【详解】过圆心向弦AB作垂线，再连接半径.设△ABE的高为h，由可求.由圆的对称性可知，有两个点符合要求；又弦心距=.∵3+2=5，故将弦心距AB延长与⊙O相交，交点也符合要求，故符合要求的点有3个．故选C．考点：（1）垂径定理；（2）勾股定理．10、B【分析】先根据圆锥侧面积公式：求出圆锥的侧面积，再加上底面积即得答案.【详解】解：圆锥的侧面积=，所以这个圆锥的全面积=.故选：B.【点睛】本题考查了圆锥的有关计算，属于基础题型，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解答的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、35°【分析】先根据三角形外角性质求出∠C的度数，然后根据圆周角定理得到∠B的度数．【详解】解：∵∠APD＝∠C+∠A，∴∠C＝65°﹣30°＝35°，∴∠B＝∠C＝35°．故答案为35°．【点睛】本题主要考查的是三角形的外角性质以及圆周角定理，这是一道综合性几何题，掌握三角形的外角性质以及圆周角定理是解题关键.12、8π【解析】试题分析：先求得正多边形的每一个内角，然后由弧长计算公式．解：方法一：先求出正六边形的每一个内角==120°，所得到的三条弧的长度之和=3×=8π（cm）；方法二：先求出正六边形的每一个外角为60°，得正六边形的每一个内角120°，每条弧的度数为120°，三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为8πcm．故答案为8π．考点：弧长的计算；正多边形和圆．13、【分析】根据题意说明PB1∥A2B3，A1B1∥A2B2，从而说明△BB1P∽△BA2B3，△BB1Q∽△BB2A2，再得到PB1和A2B3的关系以及QB1和A2B2的关系，根据A2B3=A2B2，得到PB1和QB1的比值.【详解】解：∵△ABB1，△A1B1B2，△A2B2B3是全等的等边三角形，∴∠BB1P=∠B3，∠A1B1B2=∠A2B2B3，∴PB1∥A2B3，A1B1∥A2B2，∴△BB1P∽△BA2B3，△BB1Q∽△BB2A2，∴,,∴，，∵，∴PB1∶QB1=A2B3∶A2B2=2：3.故答案为：.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键．14、70°【解析】由旋转的角度易得∠ACA′=20°，若AC⊥A'B'，则∠A′、∠ACA′互余，由此求得∠ACA′的度数，由于旋转过程并不改变角的度数，因此∠BAC=∠A′，即可得解．【详解】解：由题意知：∠ACA′=20°；

若AC⊥A'B'，则∠A′+∠ACA′=90°，

得：∠A′=90°-20°=70°；

由旋转的性质知：∠BAC=∠A′=70°；

故∠BAC的度数是70°．故答案是：70°【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．15、．【分析】根据三角形的面积公式求出BC边上的高＝3，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长为2，根据等于高之比即可求出MN．【详解】解：作AQ⊥BC于点Q．∵AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，∴BC＝AB＝6，∵AQ⊥BC，∴BQ＝QC，∴BC边上的高AQ＝BC＝3，∵DE＝DG＝GF＝EF＝BG＝CF，∴DE：BC＝1：3又∵DE∥BC，∴AD：AB＝1：3，∴AD＝，DE＝AD＝2，∵△AMN∽△AGF，DE边上的高为1，∴MN：GF＝1：3，∴MN：2＝1：3，∴MN＝．故答案为.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大，作辅助线AQ⊥BC是解题的关键．16、y=﹣x或y=-4x【解析】分析：直接利用旋转的性质结合平移的性质得出对应点位置，再利用待定系数法求出正比例函数解析式．详解：当点A绕坐标原点O逆时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，则A′（-3，4），设过点A′的正比例函数的解析式为：y=kx，则4=-3k，解得：k=-，则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-x，同理可得：点A绕坐标原点O顺时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，此时A′（1，-4），设过点A′的正比例函数的解析式为：y=k′x，则-4=k′，则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-4x.故答案为y=﹣x或y=-4x.点睛：此题主要考查了旋转的性质、平移的性质、待定系数法求出正比例函数解析式，正确得出对应点坐标是解题关键．17、【分析】根据三角形外角定理求解即可.【详解】∵，且∴故填：.【点睛】本题主要考查三角形外角定理，熟练掌握定理是关键.18、【分析】根据题意和二次函数性质，可以判断出的大小关系，本题得以解决．【详解】令，则该函数的图象开口向上，

当时，，

当时，

，

即，

∵是关于的方程的两根，且，

∴，

故答案为：．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．三、解答题(共66分)19、（1）见解析；（2）见解析；（3）．【分析】（1）连接AD，由直径所对的圆周角度数及中点可证AD是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得结论；（2）连接OD，由中位线的性质可得OD∥AC，由平行的性质与切线的判定可证；（3）易知是等边三角形，由等边三角形的性质可得CB长及度数，利用直角三角形30度角的性质及勾股定理可得结果.【详解】（1）连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．又∵DC=BD，AD是BC的垂直平分线∴AB=AC．（2）连接OD．∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∵O为AB中点，D为BC中点，∴OD∥AC．∴∠ODE=∠CED=90°．∴DE是⊙O的切线．（3）由（1）得是等边三角形在中，根据勾股定理得【点睛】本题考查了圆与三角形的综合，涉及的知识点主要有圆的切线的判定、圆周角定理的推论、垂直平分线的性质、等边三角形与直角三角形的性质，灵活的将图形与已知条件相结合是解题的关键.20、见解析【分析】由旋转前后图形全等的性质可得AC＝AF，由“SAS”可证△ABC≌△AEF，可得EF＝BC．【详解】证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF，∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC＝AF，在△ABC与△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴EF＝BC；【点睛】本题主要考查的是旋转前后图形全等的性质以及全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键.21、（1）；（2）.【分析】（1）先利用待定系数法确定每月销售量y与x的函数关系式y=-30x+960；

（2）根据每月获得的利润等于销售量乘以每件的利润得到w=（-30x+960）（x-16），接着展开后进行配方得到顶点式P=-30（x-24）2+1920，然后根据二次函数的最值问题求解．【详解】(1)设y=kx+b，∵当x=20时，y=360；x=25时，y=210∴，解得∴y=-30x+960(16≤x≤32)；(2)设每月所得总利润为w元,则w=(x-16)y=(x-16)(-30x+960)=-30(x-24)2+1920.∵-30<0∴当x=24时，w有最大值.即销售价格定为24元/件时,才能使每月所获利润最大,每月的最大利润为1920元.22、（1）BCP，PCD，BCP，；（2）2；（3）作图与求解过程见解析，2PA+PB的最小值为．【分析】(1)连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即可求解；(2)在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，AB＝8，PB＝1，BF＝2，证明△ABP∽△PBF，当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，即可求解；(3)延长OC，使CF＝1，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，确定，且∠AOP＝∠AOP，△AOP∽△POF，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，即可求解．【详解】解：(1)如图1，连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝3，AF＝；∴DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，∴AD＝，∴AP+BP的最小值为；故答案为：；(2)如图2，在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，∵AB＝8，PB＝1，BF＝2，∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴，∴PF＝AP，∴AP+PC＝PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF＝，∴AP+PC的值最小值为2，故答案为：2；(3)如图3，延长OC，使CF＝1，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝1，FC＝1，∴FO＝8，且OP＝1，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF∴，∴PF＝2AP∴2PA+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝1，FM＝1，∴MB＝OM+OB＝1+3＝7∴FB＝，∴2PA+PB的最小值为．【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形..23、（1）详见解析；（2）图详见解析，点的坐标为；（3）的坐标为．【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出A2、B2、C2，从而得到C2点的坐标；

（3）利用（2）中对应点的坐标变换规律写出Q的坐标．【详解】解：(1)如图，为所作；(2)如图，为所作；点的坐标为(3)由（2）中的规律可知的坐标为．【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．24、（1）8；（2）x≤﹣2或0＜x≤2【分析】(1)先利用正比例函数解析式确定一个交点坐标，然后把交点坐标代入y＝中可求出m的值；(2)利用正比例函数和反比例函数的性质得到正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图的另一个交点坐标为（﹣2，﹣1），然后几何图像写出正比例函数图像不在反比例函数图像上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：(1)当y＝1时，2x＝1，解得x＝2，则正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图像的一个交点坐标为（2，1），把(2，1)代入