2025届山西省乡宁县九上数学期末综合测试模拟试题含解析

2025届山西省乡宁县九上数学期末综合测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图,在中，是的直径,点是上一点，点是弧的中点，弦于点，过点的切线交的延长线于点，连接,分别交于点，连接．给出下列结论:①；②；③点是的外心；④．其中正确的是()A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④2．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：年龄(单位：岁)1415161718人数15321则这个队队员年龄的众数和中位数分别是()A．15，16 B．15，15 C．15，15.5 D．16，153．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0 B．（x﹣5）（x+2）＝0C．x2﹣x+1＝0 D．x2＝14．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（）A．（6，4） B．（6，2） C．（4，4） D．（8，4）5．一元二次方程x2﹣3x+5=0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根6．如图，点O是△ABC内一点、分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是（）A．6 B．15 C．24 D．277．抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数能被3整除的概率为（）A． B． C． D．8．若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定还经过点（）A． B． C． D．9．下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；其中真命题共有()A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，P是OD的中点，过点P作PM⊥BC于点M，交于点N′，则PN-MN′的值为（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知线段，点是它的黄金分割点，，设以为边的正方形的面积为，以为邻边的矩形的面积为，则与的关系是__________．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝1．现分别以点A、点B为圆心，以大于AB相同的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若将△BDE沿直线MN翻折得△B′DE，使△B′DE与△ABC落在同一平面内，连接B′E、B′C，则△B′CE的周长为_____．13．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：种子粒数100400800100020005000发芽种子粒数8531865279316044005发芽频率0.8500.7950.8150.7930.8020.801根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为___________（精确到0.1）．14．小明同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，他此时测得旗杆在同一地面的影长为12米，那么旗杆高为_________米．15．若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是.16．如图，将Rt△ABC（其中∠B＝30°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点B、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于_____．17．二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为_______________________18．如图，在平面直角坐标系中有两点和，以原点为位似中心，相似比为，把线段缩短为线段，其中点与点对应，点与点对应，且在y轴右侧，则点的坐标为________.三、解答题(共66分)19．（10分）国家教育部提出“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”.万州区某中学对九年级部分学生进行问卷调查“你最喜欢的锻炼项目是什么？”，规定从“打球”，“跑步”，“游泳”，“跳绳”，“其他”五个选项中选择自己最喜欢的项目，且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.最喜欢的锻炼项目人数打球120跑步游泳跳绳30其他（1）这次问卷调查的学生总人数为，人数；（2）扇形统计图中，，“其他”对应的扇形的圆心角的度数为度；（3）若该年级有1200名学生，估计喜欢“跳绳”项目的学生大约有多少人？20．（6分）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，（1）求点C到直线AB的距离；（2）求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）21．（6分）如图，点D是AC上一点，BE//AC，AE分别交BD、BC于点F、G，若∠1=∠2，线段BF、FG、FE之间有怎样的关系？请说明理由.22．（8分）如图，AB为⊙O的弦，若OA⊥OD,AB、OD相交于点C,且CD=BD．(1)判定BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)当OA=3，OC=1时，求线段BD的长.23．（8分）如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点.(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若的半径为2，，，求图中阴影部分的周长.24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．（1）求证：△DOB∽△ACB；（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．25．（10分）已知关于x的方程x2-6x+k＝0的两根分别是x1、x2.（1）求k的取值范围；（2）当+=3时，求k的值．26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x2+(m-1)x+4m的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），已知点E（0，1）．（1）求m的值及点A的坐标；（2）如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连结A′B、BE′．①当点E′落在该二次函数的图象上时，求AA′的长；②设AA′=n，其中0＜n＜2，试用含n的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；③当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】①由于与不一定相等，根据圆周角定理可判断①；

②连接OD，利用切线的性质，可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，可判断②；

③先由垂径定理得到A为的中点，再由C为的中点，得到，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，可判断③；

④正确．证明△APF∽△ABD，可得AP×AD=AF×AB，证明△ACF∽△ABC，可得AC2=AF×AB，证明△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ×CB，由此即可判断④；【详解】解：①错误，假设，则，，，显然不可能，故①错误．②正确．连接．是切线，，，，，，，，，故②正确．③正确．，，，，，，是直径，，，，，，，点是的外心．故③正确．④正确．连接．，，，，，，，，可得，，，，可得，．故④正确，故选：．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确现在在相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．2、C【分析】由题意直接根据众数和中位数的定义求解可得．【详解】解：∵这组数据中15出现5次，次数最多，∴众数为15岁，中位数是第6、7个数据的平均数，∴中位数为=15.5岁，故选：C．【点睛】本题考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．3、C【分析】分别计算出各选项中方程的判别式或方程的根，从而做出判断．【详解】解：A．方程x2﹣2x﹣3＝0中△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等的实数根，不符合题意；B．方程（x﹣5）（x+2）＝0的两根分别为x1＝5，x2＝﹣2，不符合题意；C．方程x2﹣x+1＝0中△＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，没有实数根，符合题意；D．方程x2＝1的两根分别为x1＝1，x2＝﹣1，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．4、A【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴，∵BG＝12，∴AD＝BC＝4，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴∴解得：OA＝2，∴OB＝6，∴C点坐标为：（6，4），故选A．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO的长是解题关键．5、A【解析】Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×5=9-20=-11<0，所以原方程没有实数根，故选A.6、C【解析】根据三边对应成比例，两三角形相似，得到△ABC∽△DEF，再由相似三角形的性质即可得到结果．【详解】∵AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，∴＝＝＝，∴△ABC∽△DEF，∴＝＝，∵△ABC的面积是3，∴S△DEF＝27，∴S阴影＝S△DEF﹣S△ABC＝1．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．7、B【解析】抛掷一枚骰子有1、2、3、4、5、6种可能，其中所得的点数能被3整除的有3、6这两种，∴所得的点数能被3整除的概率为，故选B．【点睛】本题考查了简单的概率计算，熟记概率的计算公式是解题的关键.8、A【分析】根据反比例函数的定义，得，分别判断各点的乘积是否等于，即可得到答案.【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴；∵，故A符合题意；∵，，，故B、C、D不符合题意；故选：A.【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟记定义，熟练掌握.9、A【分析】由等弧的概念判断①，根据不在一条直线上的三点确定一个圆，可判断②；根据圆心角、弧、弦的关系判断③，根据垂径定理判断④.【详解】①同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，故①是假命题；②不在一条直线上的三点确定一个圆,若三点共线，则不能确定圆，故②是假命题；③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故③是假命题；④圆两条直径互相平分，但不垂直，故④是假命题；所以真命题共有0个，故选A.【点睛】本题考查圆中的相关概念，熟记基本概念才能准确判断命题真假.10、A【分析】根据正方形的性质可得点O为AC的中点，根据三角形中位线的性质可求出PN的长，由PM⊥BC可得PM//CD，根据点P为OD中点可得点N′为OC中点，即可得出AC=4CN′，根据MN′//AB可得△CMN′∽△CBA，根据相似三角形的性质可求出MN′的长，进而可求出PN-MN′的长.【详解】∵四边形ABCD是正方形，AB=4，∴OA=OC，AD=AB=4，∵N是AO的中点，P是OD的中点，∴PN是△AOD的中位线，∴PN=AD=2，∵PM⊥BC，∴PM//CD//AB，∴点N′为OC的中点，∴AC=4CN′，∵PM//AB，∴△CMN′∽△CBA，∴，∴MN′=1，∴PN-MN′=2-1=1，故选：A.【点睛】本题考查正方形的性质、三角形中位线的性质及相似三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；熟练掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定定理是解题关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】根据黄金分割比得出AP，PB的长度，计算出与即可比较大小．【详解】解：∵点是AB的黄金分割点，，∴，设AB=2，则，∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割比的应用，熟知黄金分割比是解题的关键．12、3【分析】根据线段垂直平分线的性质和折叠的性质得点B′与点A重合，BE＝AE，进而可以求解．【详解】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝1．根据勾股定理，得：BC＝2．连接AE，由作图可知：MN是线段AB的垂直平分线，∴BE＝AE，BD＝AD，由翻折可知：点B′与点A重合，∴△B′CE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝6+2＝3故答案为3．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理和折叠的性质，通过等量代换把△B′CE的周长化为AC+BC的值，是解题的关键.13、1．2【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在1.2左右，从而得到结论．【详解】∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在1.2左右，∴该玉米种子发芽的概率为1.2，故答案为1.2．【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．14、9【解析】设旗杆高为x米，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式，求解即可．【详解】设旗杆高为x米，根据题意得，解得：x=9，故答案为：9【点睛】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查利用所学知识解决实际问题的能力．15、且．【解析】试题分析：∵，.∴一元二次方程为.∵一元二次方程有实数根，∴且.考点:（1）非负数的性质；（2）一元二次方程根的判别式.16、180°【分析】根据旋转的性质可直接判定∠BAB1等于旋转角，由于点B、A、B1在同一条直线上，可知旋转角为180°．【详解】解：由旋转的性质定义知，∠BAB1等于旋转角，∵点B、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB1为平角，∴∠BAB1＝180°，故答案为：180°．【点睛】此题考查是旋转的性质，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．17、3【分析】根据解析式求出A、B、C三点的坐标，即△ABC的底和高求出，然后根据公式求面积．【详解】根据题意可得：A点的坐标为(1,0)，B点的坐标为(3,0)，C点的坐标为(0,3)，则AB=2，所以三角形的面积=2×3÷2=3.考点：二次函数与x轴、y轴的交点.18、【分析】根据位似变换的性质计算即可．【详解】∵以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩短为线段CD，B（6，3），∴点D的坐标为：，即，故答案为：．【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．三、解答题(共66分)19、（1）300，90；（2）10，18；（3）120人【分析】（1）根据打球人数占总人数的40%可求出总人数，再根据比例关系求出游泳人数，再用总人数减去打球、游泳、跳绳的人数即为的值；（2）用跳绳人数除以总人数，得到n%的值，即可求出n，求出其他所占比例，再乘以360°即可得到圆心角度数；（3）用1200人乘以跳绳所占比例即可得出答案.【详解】解：（1）总人数=（人）游泳人数（人）∴（人）故答案为：300，90；（2）n%=∴n=10，∴m%=1-40%-25%-20%-10%=5%∴“其他”对应的扇形的圆心角的度数为360°×5%=18°故答案为：10，18；（3）由于在调查的300名学生中，喜欢“跳绳”项目的学生有30名，所占的比例为.所以该年级1200名学生中估计喜欢“跳绳”项目的有人.【点睛】本题考查统计图，解题的关键是找到表格数据与扇形图中数据的对应关系.20、（1）40海里；（2）小时．【分析】（1）作CD⊥AB，在Rt△ACD中，由∠CAD＝30°知CD＝AC，据此可得答案；（2）根据BC＝求得BC的长，继而可得答案．【详解】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80海里，∴点C到直线AB距离CD＝AC＝40(海里）．（2）在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°﹣37°＝53°，∴BC＝≈＝50（海里），∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为：50÷40＝（小时）．【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知三角函数的定义.21、BF2=FG·EF.【解析】由题意根据BE∥AC，可得∠1=∠E，然后有∠1=∠2，可得∠2=∠E，又由∠GFB=∠BFE，可得出△BFG∽△EFB，最后可得出BF2=FG•FE．【详解】解：BF2=FG·EF.证明：∵BE∥AC，∴∠1=∠E.∵∠1=∠2，∴∠2=∠E.又∵∠BFG=∠EFB，∴△BFG∽△EFB.∴，∴BF2=FG·EF.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据BE∥AC，得出∠1=∠E，进而判定△BFG∽△EFB．22、（1）见解析；（2）1【分析】（1）连接OB，由BD=CD，利用等边对等角得到∠DCB=∠DBC，再由AO垂直于OD，得到三角形AOC为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到OB垂直于BD，即可得证；（2）设BD=x，则OD=x+1，在RT△OBD中，根据勾股定理得出32+x2=（x+1）2，通过解方程即可求得．【详解】解：（1）证明：连接OB，∵OA=OB，DC=DB，∴∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，∵AO⊥OD，∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，∵∠ACO=∠DCB=∠DBC，∴∠ABO+∠DBC=90°，即OB⊥BD，则BD为圆O的切线；（2）解：设BD=x，则OD=x+1，而OB=OA=3，在RT△OBD中，OB2+BD2=OD2，即32+x2=（x+1）2，解得x=1，∴线段BD的长是1．23、(1)直线与相切；理由见解析；(2).【分析】（1）连接OE、OD，根据切线的性质得到∠OAC=90°，根据三角形中位线定理得到OE∥BC，证明△AOE≌△DOE，根据全等三角形的性质、切线的判定定理证明；（2）根据切线长定理可得DE=AE=2.5，由圆周角定理可得∠AOD=100°，然后根据弧长公式计算弧AD的长，从而可求得结论．【详解】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OE、OD，如图，∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠OAC=90°，∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，∴OE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3，∵OB=OD，∴∠B=∠3，∴∠1=∠2，在△AOE和△DOE中∵OA=OD∠1=∠2OE=OE，∴△AOE≌△DOE（SAS）∴∠ODE=∠OAE=90°，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵DE、AE是⊙O的切线，∴DE=AE，∵点E是AC的中点，∴DE=AE=AC=2.5，∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，∴阴影部分的周长=．【点睛】本题考查的是切线的判定与性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线、切线长定理、弧长的计算，掌握切线的性质与判定、弧长公式是解题的关键．24、（1）证明见试题解析；（2）1；（3）．【解析】试题分析：（1）公共角和直角两个角相等，所以相似.(2)由（1）可得三角形相似比，设BD＝x，CD，BD，BO用x表示出来，所以可得BD长.(3)同（2）原理，BD＝B′D＝x,AB′，B′O，BO用x表示,利用等腰三角形求BD长.试题解析：（1）证明:∵DO⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠ACB＝∠DOB＝90°,又∵∠B＝∠B．∴△DOB∽△ACB．（2）∵AD平分∠CAB，DC⊥AC,DO⊥AB,∴DO＝DC,在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝,8，∴AB＝10,∵△DOB∽△ACB,∴DO∶BO∶BD＝AC∶BC∶AB＝3∶4∶1,设BD＝x，则DO＝DC＝x，BO＝x,∵CD＋BD＝8，∴x＋x＝8，解得x＝,1，即：BD＝1．（3）∵点B与点B′关于直线DO对称，∴∠B＝∠OB′D，BO＝B′O＝x，BD＝B′D＝x,∵∠B为锐角，∴∠OB′D也为锐角，∴∠AB′D为钝角,∴当△AB′D是等腰三角形时，AB′＝DB′,∵AB′＋B′O＋BO＝10，∴x＋x＋x＝10，解得x＝，即BD＝，∴当△AB′D为等腰三角形时，BD＝.点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.①垂两边：如图（1），已知平分，过点作，，则.②截两边：如图（2），已知平分，点上，在上截取，则≌.③角平分线+平行线→等腰三角形：如图（3），已知平分，，则；如图（4），已知平分，，则.(1)(2)(3)(4)④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）：如图（1），已知平分，且，则，.(1)25、（1）k≤9；（2）2【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ=(-6)2－4k=36－4k≥0，然后解不等式即可；（2）