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文档简介
2025届江苏省苏州昆山、太仓市九上数学期末检测试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1.如图,抛物线y=﹣(x+m)2+5交x轴于点A,B,将该抛物线向右平移3个单位后,与原抛物线交于点C,则点C的纵坐标为()A. B. C.3 D.2.已知函数y=(k-1)x2-4x+4的图象与x轴只有一个交点,则k的取值范围是()A.k≤2且k≠1 B.k<2且k≠1C.k=2 D.k=2或13.如图,在边长为的小正方形网格中,点都在这些小正方形的顶点上,相交于点,则()A. B. C. D.4.如图,以点为位似中心,把放大为原图形的2倍得到,则下列说法错误的是()A.B.C.,,三点在同一直线上D.5.已知x=-1是关于x的方程2ax2+x-a2=0的一个根,则a的值是()A.1 B.-1 C.0 D.无法确定6.在如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,的三个顶点都是网格线的交点.已知,,将绕着点顺时针旋转,则点对应点的坐标为()A. B. C. D.7.老师设计了接力游戏,用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”,规则如下:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成解答.过程如图所示:接力中,自己负责的一步出现错误的是()A.只有丁 B.乙和丁 C.乙和丙 D.甲和丁8.在中,,,下列结论中,正确的是()A. B.C. D.9.如图1,一个扇形纸片的圆心角为90°,半径为1.如图2,将这张扇形纸片折叠,使点A与点O恰好重合,折痕为CD,图中阴影为重合部分,则阴影部分的面积为()A. B. C. D.10.如图所示,AB是⊙O的直径,点C为⊙O外一点,CA,CD是⊙O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=30°,则∠DBA的大小是()A.15° B.30° C.60° D.75°二、填空题(每小题3分,共24分)11.若正六边形的内切圆半径为2,则其外接圆半径为__________.12.如图,在中,,,,点D、E分别是AB、AC的中点,CF是的平分线,交ED的延长线于点F,则DF的长是______.13.点A(﹣2,y1),B(0,y2),C(,y3)是二次函数y=ax2﹣ax(a是常数,且a<0)的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为_____(用“<”连接).14.若二次函数的图象与x轴的两个交点和顶点构成等边三角形,则称这样的二次函数的图象为标准抛物线.如图,自左至右的一组二次函数的图象T1,T2,T3……是标准抛物线,且顶点都在直线y=x上,T1与x轴交于点A1(2,0),A2(A2在A1右侧),T2与x轴交于点A2,A3,T3与x轴交于点A3,A4,……,则抛物线Tn的函数表达式为_____.15.在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字0,1,2,3,4的小球,它们除数字不同外其余全部相同.现从盒子里随机摸出一个小球(不放回),设该小球上的数字为m,再从盒子中摸出一个小球,设该小球上的数字为n,点P的坐标为,则点P落在抛物线与x轴所围成的区域内(含边界)的概率是________.16.小芳参加图书馆标志设计大赛,他在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE,并与正方形的对角线交于F、G点,制成了图中阴影部分的标志,则这个标志AFEGD的面积是_____.17.数据1、2、3、2、4的众数是______.18.某企业2017年全年收入720万元,2019年全年收入845万元,若设该企业全年收入的年平均增长率为x,则可列方程____.三、解答题(共66分)19.(10分)如图,BD、CE是的高.(1)求证:;(2)若BD=8,AD=6,DE=5,求BC的长.20.(6分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=且经过A,C两点,与x轴的另一交点为点B.(1)求抛物线解析式.(2)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.21.(6分)已知:如图,在中,D是AC上一点,联结BD,且∠ABD=∠ACB.(1)求证:△ABD∽△ACB;(2)若AD=5,AB=7,求AC的长.22.(8分)如图,抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点A(-1,0).过点A作直线y=x+c与抛物线交于点D,动点P在直线y=x+c上,从点A出发,以每秒个单位长度的速度向点D运动,过点P作直线PQ∥y轴,与抛物线交于点Q,设运动时间为t(s).(1)直接写出b,c的值及点D的坐标;(2)点E是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△CBE的面积为6时,求出点E的坐标;(3)在线段PQ最长的条件下,点M在直线PQ上运动,点N在x轴上运动,当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请求出此时点N的坐标.23.(8分)解下列方程:(1)x2﹣2x﹣2=0;(2)(x﹣1)(x﹣3)=1.24.(8分)在学习概率的课堂上,老师提出问题:一口袋装有除颜色外均相同的2个红球1个白球和1个篮球,小刚和小明想通过摸球来决定谁去看电影,同学甲设计了如下的方案:第一次随机从口袋中摸出一球不放回;第二次再任意摸出一球,两人胜负规则如下:摸到“一红一白”,则小刚看电影;摸到“一白一蓝”,则小明看电影.同学甲的方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明;你若认为这个方案不公平,那么请你改变一下规则,设计一个公平的方案.25.(10分)数学活动课上,张老师引导同学进行如下探究:如图1,将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上,一端A固定在桌面上,图2活动一如图3,将铅笔AB绕端点A顺时针旋转,AB与OF交于点D,当旋转至水平位置时,铅笔AB的中点C与点O重合.数学思考(1)设CD=xcm,点B到OF的距离GB=y①用含x的代数式表示:AD的长是_________cm,BD的长是________cm;②y与x的函数关系式是_____________,自变量x的取值范围是____________.活动二(2)①列表:根据(1)中所求函数关系式计算并补全表格.x(6543.532.5210.50y(00.551.21.581.02.4734.295.08②描点:根据表中数值,描出①中剩余的两个点(x,y).③连线:在平面直角坐标系中,请用平滑的曲线画出该函数的图象.数学思考(3)请你结合函数的图象,写出该函数的两条性质或结论.26.(10分)某配餐公司有A,B两种营养快餐。一天,公司售出两种快餐共640份,获利2160元。两种快餐的成本价、销售价如下表。A种快餐B种快餐成本价5元/份6元/份销售价8元/份10元/份(1)求该公司这一天销售A、B两种快餐各多少份?(2)为扩大销售,公司决定第二天对一定数量的A、B两种快餐同时举行降价促销活动。降价的A、B两种快餐的数量均为第一天销售A、B两种快餐数量的2倍,且A种快餐按原销售价的九五折出售,若公司要求这些快餐当天全部售出后,所获的利润不少于3280元,那么B种快餐最低可以按原销售价打几折出售?
参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】将抛物线y=﹣(x+m)2+5向右平移3个单位后得到y=﹣(x+m﹣3)2+5,然后联立组成方程组求解即可.【详解】解:将抛物线y=﹣(x+m)2+5向右平移3个单位后得到y=﹣(x+m﹣3)2+5,根据题意得:,解得:,∴交点C的坐标为(,),故选:B.【点睛】考查了抛物线与坐标轴的交点坐标等知识,解题的关键是了解抛物线平移规律,并利用平移规律确定平移后的函数的解析式.2、D【分析】当k+1=0时,函数为一次函数必与x轴有一个交点;当k+1≠0时,函数为二次函数,根据条件可知其判别式为0,可求得k的值.【详解】当k-1=0,即k=1时,函数为y=-4x+4,与x轴只有一个交点;当k-1≠0,即k≠1时,由函数与x轴只有一个交点可知,∴△=(-4)2-4(k-1)×4=0,解得k=2,综上可知k的值为1或2,故选D.【点睛】本题主要考查函数与x轴的交点,掌握二次函数与x轴只有一个交点的条件是解题的关键,解决本题时注意考虑一次函数和二次函数两种情况.3、B【分析】通过添加辅助线构造出后,将问题转化为求的值,再利用勾股定理、锐角三角函数解即可.【详解】解:连接、,如图:∵由图可知:∴,∴∵小正方形的边长为∴在中,,∴∴.故选:B【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的判定、勾股定理以及锐角三角函数.此题难度适中,解题的关键准确作出辅助线,注意转化思想与数形结合思想的应用.4、B【分析】直接利用位似图形的性质进而得出答案.【详解】∵以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△ABC,
∴△ABC∽△A′B′C′,A,O,A′三点在同一直线上,AC∥A′C′,
无法得到CO:CA′=1:2,
故选:B.【点睛】此题考查了位似变换,正确掌握位似图形的性质是解题关键.5、A【分析】根据一元二次方程解的定义,把x=-1代入2ax2+x-a2=0得到关于a的方程,然后解此方程即可.【详解】解:∵x=-1是关于x的方程2ax2+x-a2=0的一个根,∴2a-1-a2=0∴1-2a+a2=0,∴a1=a2=1,∴a的值为1故选:A【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程,解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义,本题属于基础题型6、D【分析】由,,确定坐标原点的位置,再根据题意画出图形,即可得到答案.【详解】如图所示:∴点对应点的坐标为.故选:D.【点睛】本题主要考查平面坐标系中,图形的旋转变换和坐标,根据题意,画出图形,是解题的关键.7、D【分析】观察每一项的变化,发现甲将老师给的式子中等式右边缩小两倍,到了丁处根据丙的式子得出了错误的顶点坐标.【详解】解:,可得顶点坐标为(-1,-6),根据题中过程可知从甲开始出错,按照此步骤下去到了丁处可得顶点应为(1,-3),所以错误的只有甲和丁.故选D.【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标和配方法,解题的关键是掌握配方法化顶点式的方法.8、C【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案.【详解】∵,,∴,∴,故选项A,B错误,∵,∴,故选项C正确;选项D错误.故选C.【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系,熟练掌握锐角三角函数关系是解题关键.9、C【解析】连接OD,根据勾股定理求出CD,根据直角三角形的性质求出∠AOD,根据扇形面积公式、三角形面积公式计算,得到答案.【详解】解:连接OD,在Rt△OCD中,OC=OD=2,∴∠ODC=30°,CD=∴∠COD=60°,∴阴影部分的面积=,故选:C.【点睛】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理,掌握扇形面积公式是解题的关键.10、D【详解】连接OD,∵CA,CD是⊙O的切线,∴OA⊥AC,OD⊥CD,∴∠OAC=∠ODC=90°,∵∠ACD=30°,∴∠AOD=360°﹣∠C﹣∠OAC﹣∠ODC=150°,∵OB=OD,∴∠DBA=∠ODB=∠AOD=75°.故选D.考点:切线的性质;圆周角定理.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】根据题意画出草图,可得OG=2,,因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA.【详解】解:如图,连接、,作于;则,∵六边形正六边形,∴是等边三角形,∴,∴,∴正六边形的内切圆半径为2,则其外接圆半径为.故答案为.【点睛】本题主要考查多边形的内接圆和外接圆,关键在于根据题意画出草图,再根据三角函数求解,这是多边形问题的解题思路.12、4【分析】勾股定理求AC的长,中位线证明EF=EC,DE=2.5即可解题.【详解】解:在中,,,∴AC=13(勾股定理),∵点、分别是、的中点,∴DE=2.5(中位线),DE∥BC,∵是的平分线,∴∠ECF=∠BCF=∠EFC,∴EF=EC=6.5,∴DF=6.5-2.5=4.【点睛】本题考查了三角形的中位线,等角对等边,勾股定理,中等难度,证明EF=EC是解题关键.13、y1<y3<y1【分析】求出抛物线的对称轴,求出C关于对称轴的对称点的坐标,根据抛物线的开口方向和增减性,即可求出答案.【详解】y=ax1﹣ax(a是常数,且a<0),对称轴是直线x,即二次函数的开口向下,对称轴是直线x,即在对称轴的左侧y随x的增大而增大,C点关于直线x=1的对称点是(1,y3).∵﹣1<1,∴y1<y3<y1.故答案为:y1<y3<y1.【点睛】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用,主要考查学生的观察能力和分析能力,本题比较典型,但是一道比较容易出错的题目.14、【分析】设抛物线T1,T2,T3…的顶点依次为B1,B2,B3…,连接A1B1,A2B1,A2B2,A3B2,A3B3,A4B3…,过抛物线各顶点作x轴的垂线,由△A1B1A2是等边三角形,结合顶点都在直线y=x上,可以求出,A2(4,0),进而得到T1的表达式:,同理,依次类推即可得到结果.【详解】解:设抛物线T1,T2,T3…的顶点依次为B1,B2,B3…,连接A1B1,A2B1,A2B2,A3B2,A3B3,A4B3…,过抛物线各顶点作x轴的垂线,如图所示:∵△A1B1A2是等边三角形,∴∠B1A1A2=60°,∵顶点都在直线y=x上,设,∴OC1=m,,∴,∴∠B1OC1=30°,∴∠OB1A1=30°,∴OA1=A1B1=2=A2B1,∴A1C1=A1B1•cos60°=1,,∴OC1=OA1+A1C1=3,∴,A2(4,0),设T1的解析式为:,则,∴,∴T1:,同理,T2的解析式为:,T3的解析式为:,…则Tn的解析式为:,故答案为:.【点睛】本题考查了等边三角形的性质,直角三角形中锐角三角函数值的应用,直线表达式的应用,图形规律中类比归纳思想的应用,顶点式设二次函数解析式并求解,掌握二次函数解析式的求解是解题的关键.15、【分析】采用画树状图法写出的所有可能出现的结果,画出函数图像,并描出在抛物线与x轴所围成的区域内(含边界)点,再用符合题意的点的个数除以总个数,即可求出答案.【详解】如图,由树状图可知共有20种等可能结果,由坐标系可知,在抛物线与x轴所围成的区域内(含边界)的点有(0,0)、(1,3),(2,0)、(3,3),(3,0),(4,0),共6种结果,∴点在抛物线上的概率是=,故答案为:.【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;注意概率=所求情况数与总情况数之比.16、6-3【解析】首先过点G作GN⊥CD于N,过点F作FM⊥AB于M,由在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE,即可求得△BEC与正方形ABCD的面积,由直角三角形的性质,即可求得GN的长,即可求得△CDG的面积,同理即可求得△ABF的面积,又由S阴影=S正方形ABCD-S△ABF-S△BCE-S△CDG,即可求得阴影图形的面积.【详解】解:过点G作GN⊥CD于N,过点F作FM⊥AB于M,∵在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE,∴AB=BC=CD=AD=BE=EC=2,∠ECB=60°,∠ODC=45°,∴S△BEC=×2×=,S正方形=AB2=4,设GN=x,∵∠NDG=∠NGD=45°,∠NCG=30°,∴DN=NG=x,CN=NG=x,∴x+x=2,解得:x=﹣1,∴S△CGD=CD•GN=×2×(﹣1)=﹣1,同理:S△ABF=﹣1,∴S阴影=S正方形ABCD﹣S△ABF﹣S△BCE﹣S△CDG=4﹣(﹣1)﹣﹣(﹣1)=6﹣3.故答案为:6﹣3.【点睛】此题考查了正方形,等边三角形,以及直角三角形的性质等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用.17、1【分析】根据众数的定义直接解答即可.【详解】解:数据1、1、3、1、4中,∵数字1出现了两次,出现次数最多,∴1是众数,故答案为:1.【点睛】此题考查了众数,掌握众数的定义是解题的关键,众数是一组数据中出现次数最多的数.18、720(1+x)2=1.【分析】增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),参照本题,如果该企业全年收入的年平均增长率为x,根据2017年全年收入720万元,2019年全年收入1万元,即可得出方程.【详解】解:设该企业全年收入的年平均增长率为x,则2018的全年收入为:720×(1+x)2019的全年收入为:720×(1+x)2.那么可得方程:720(1+x)2=1.故答案为:720(1+x)2=1.【点睛】本题考查了一元二次方程的运用,解此类题的关键是掌握等量关系式:增长后的量=增长前的量×(1+增长率).三、解答题(共66分)19、(1)见解析;(2)BC=.【分析】(1)、是的高,可得,进而可以证明;(2)在中,,,根据勾股定理可得,结合(1),对应边成比例,进而证明,对应边成比例即可求出的长.【详解】解:(1)证明:、是的高,,,;(2)在中,,,根据勾股定理,得,,,,,,,.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质.20、(1)抛物线的解析式为;(2)抛物线存在点M,点M的坐标或或或【分析】(1)根据自变量与函数值的对应关系,可得A、C点坐标,根据函数值相等的两点关于对称轴对称,可得B点坐标,根据待定系数法,可得函数解析式;(2)分两种情形分别求解即可解决问题;【详解】解:(1)当x=0时,y=2,即C(0,2),当y=0时,x+2=0,解得x=﹣4,即A(﹣4,0).由A、B关于对称轴对称,得B(1,0).将A、B、C点坐标代入函数解析式,得,解得,抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2;(2)①当点M在x轴上方时,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似,如图,设M(m,﹣x2﹣x+2),N(m,0).AN=m+4,MN=﹣m2﹣m+2,由勾股定理,得AC=,BC=,∵AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,当△ANM∽△ACB时,∠CAB=∠MAN,此时点M与点C重合,M(0,2).当△ANM∽△BCA时,∠MAN=∠ABC,此时M与C关于抛物线的对称轴对称,M(﹣3,2).②当点M在x轴下方时,当△ANM∽△ACB时,∠CAB=∠MAN,此时直线AM的解析式为y=﹣x﹣2,由,解得或,∴M(2,﹣3),当△ANM′∽△BCA时,∠MAN=∠ABC,此时AM′∥BC,∴直线AM′的解析式为y=﹣2x﹣8,由,解得或,∴M(5,﹣18)综上所述:抛物线存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似,点M的坐标(﹣3,2)或(0,2)或(2,﹣3)或(5,﹣18).【点睛】本题主要考查了二次函数的综合,准确计算是解题的关键.21、(1)见详解;(2)【详解】(1)证明:∵∠A=∠A,∠ABD=∠ACB,∴△ABD∽△ACB.(2)解:∵△ABD∽△ACB,∴,∴,∴22、(1)b=2,c=1,D(2,3);(2)E(4,-5);(3)N(2,0),N(-4,0),N(-2.5,0),N(3.5,0)【分析】(1)将点A分别代入y=-x2+bx+3,y=x+c中求出b、c的值,确定解析式,再解两个函数关系式组成的方程组即可得到点D的坐标;(2))过点E作EF⊥y轴,设E(x,-x2+2x+3),先求出点B、C的坐标,再利用面积加减关系表示出△CBE的面积,即可求出点E的坐标.(3)分别以点D、M、N为直角顶点讨论△MND是等腰直角三角形时点N的坐标.【详解】(1)将A(-1,0)代入y=-x2+bx+3中,得-1-b+3=0,解得b=2,∴y=-x2+2x+3,将点A代入y=x+c中,得-1+c=0,解得c=1,∴y=x+1,解,解得,(舍去),∴D(2,3).∴b=2,c=1,D(2,3).(2)过点E作EF⊥y轴,设E(x,-x2+2x+3),当y=-x2+2x+3中y=0时,得-x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=-1(舍去),∴B(3,0).∵C(0,3),∴,∴,解得x1=4,x2=-1(舍去),∴E(4,-5).(3)∵A(-1,0),D(2,3),∴直线AD的解析式为y=x+1,设P(m,m+1),则Q(m,-m2+2m+3),∴线段PQ的长度h=-m2+2m+3-(m+1)=,∴当=0.5,线段PQ有最大值.当∠D是直角时,不存在△MND是等腰直角三角形的情形;当∠M是直角时,如图1,点M在线段DN的垂直平分线上,此时N1(2,0);当∠M是直角时,如图2,作DE⊥x轴,M2E⊥HE,N2H⊥HE,∴∠H=∠E=90,∵△M2N2D是等腰直角三角形,∴N2M2=M2D,∠N2M2D=90,∵∠N2M2H=∠M2DE,∴△N2M2H≌△M2DE,∴N2H=M2E=2-0.5=1.5,M2H=DE,∴E(2,-1.5),∴M2H=DE=3+1.5=4.5,∴ON2=4.5-0.5=4,∴N2(-4,0);当∠N是直角时,如图3,作DE⊥x轴,∴∠N3HM3=∠DEN3=90,∵△M3N3D是等腰直角三角形,∴N3M3=N3D,∠DN3M3=90,∵∠DN3E=∠N3M3H,∴△DN3E≌△N3M3H,∴N3H=DE=3,∴N3O=3-0.5=2.5,∴N3(-2.5,0);当∠N是直角时,如图4,作DE⊥x轴,∴∠N4HM4=∠DEN4=90,∵△M4N4D是等腰直角三角形,∴N4M4=N4D,∠DN4M4=90,∵∠DN4E=∠N4M4H,∴△DN4E≌△N4M4H,∴N4H=DE=3,∴N4O=3+0.5=3.5,∴N4(3.5,0);综上,N(2,0),N(-4,0),N(-2.5,0),N(3.5,0).【点睛】此题是二次函数的综合题,考查待定系数法求函数解析式;根据函数性质得到点坐标,由此求出图象中图形的面积;还考查了图象中构成的等腰直角三角形的情况,此时依据等腰直角三角形的性质,求出点N的坐标.23、(1)x1=+1,x2=﹣+1;(2)x1=5,x2=﹣1【分析】(1)用配方法解方程;(2)先化简为一元二次方程的一般形式,再用因式分解法解方程.【详解】解:⑴x2-2x+1=3,(x-1)2=3,x-1=±,,;⑵x2-x-3x+3=1x2-4x-5=0(x-5)(x+1)=0x1=5,x2=-1【点睛】本题考查用配方法和因式分解法解一元二次方程.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:①移项,将方程的右边化为0;②化积,把方程左边因式分解,化成两个一次因式的积;③转化,令每个因式都等于零,转化为两个一元一次方程;④求解,解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.24、(1)不公平,理由见解析;(2)拿出一个红球或放进一个蓝球,其他不变.游戏就公平了.【解析】(1)画出树状图,根据概率公式即可求出概率,比较概率即
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