2025届新高考数学冲刺复习 突破爪型三角形的八大妙手

2025届新高考数学冲刺复习突破爪型三角形的八大“妙手”目录CONTENTS爪型三角形的几何特征01中线公式与向量方法02为角平分线：角平分线定理03斯特瓦尔特定理04张角定理05等面积思想06三角形相似0708坐标法基本原理01爪型三角形的几何特征PART爪型三角形的几何特征基本几何特征:如图，

例1．（2022全国甲卷）已知

中，点

在边

上，

，

，

．当

取得最小值时，_____．解析：设

，

，在三角形

中，

，可得：

，在三角形

中，

，可得：

，要使得

最小，即

最小，

，其中

，此时

，当且仅当

时，即

时取等号，故答案为：

．例2.（2021新高考1卷）记

是内角

的对边分别为

.已知

，点

在边

上，

.（1）证明：

；（2）若

，求解析：（1）由题设，

，由正弦定理知：

，即

，∴

，又

，∴

，得证.（2）由题意知：

，∴

，同理

，∵

，∴

，整理得

，又

∴

，整理得

，

解得

或

，由余弦定理知：

当时

，

不合题意；当

时

，

；综上，

.例3．（23年新高考2卷17题）记

的内角

的对边分别为

，已知

的面积为

，

为

中点，且

．(1)若

，求

；(2)若

，求

．【详解】（1）在

中，因为

为

中点，

，

，

则

，解得

，在

中，

，由余弦定理得

，即

，解得

，则

，

，所以

.（2）在

与

中，由余弦定理得

，整理得

，而

，则

，又

，解得

，而

，于是

，所以

.02中线公式与向量方法PART若已知顶角

的大小，且

时，可利用向量共线的基本结论求得.例4（广州市2023届高三一模）在

中，内角

的对边分别为

，

.（1）求

；（2）若

的面积为

，求

边上的中线

的长.解析：（1）因为

，所以

，所以

，即

，所以

，由余弦定理

及得：

，又

，所以

，即，

，所以

.（2）由

，所以

，由（1）

，所以

，因为

为边

上的中线，所以

，所以，所以

，所以

边上的中线

的长为：

.例5．（湖北省七市（州）2023届高三下学期3月联合统一调研测试）记

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

．

（1）求B；（2）设

，若点M是

边上一点，

，且

，求

的面积．【详解】（1）

．（2）如图所示：因为

，所以

，

．又

，所以

．在

中，由余弦定理得

，即

．①又

，所以

，两边平方得

，即

，所以

．②，②－①得

，所以

，代入①得

，在

中，

，所以

是以

为直角的三角形，所以

的面积为

．例6.（23年甲卷12题）己知椭圆

，

为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，

，则

（

）A．

B．

C．

D．解析：因为

①，

，即

②，联立①②，解得：

，由中线定理可知，

，易知

，解得：

．故选：B．

例7．（23年新高考2卷17题）记

的内角

的对边分别为

，已知

的面积为

，

为

中点，且

．(1)若

，求

；(2)若

，求

．【详解】（1）在

中，因为

为

中点，

，

，

则

，解得

，在

中，

，由余弦定理得

，即

，解得

，则

，

，所以

.（2）在

与

中，由余弦定理得

，整理得

，而

，则

，又

，解得

，而

，于是

，所以

.03为角平分线：角平分线定理PART如图，可设

，这样可得

.另一方面，设

的高为

，则

，联立上面两式可得：

，即角平分线性质定理.例8.（2015全国2卷）

中，

是

上的点，

平分

，

面积是

面积的2倍．（1）求

；（2）若

=1，

=

求

和

的长.解析：（1）

，.因为

，

，所以

，由正弦定理可得（2）因为

，所以

，在

和

中，由余弦定理知

，故

，由（1）知

，所以

.04斯特瓦尔特定理PART斯特瓦尔特定理：设

为

的

边上异于

的任一点，则有证明：由余弦定理，可得：

①

②，将上述两式分别乘

后相加整理，可得.注：可以看到，斯特瓦尔特定理的证明关键是利用爪型三角形中两角互补，即：这个隐含条件，而这个条件是处理爪型三角形的一个重要技巧.推论1.当设

为

的

边中点时，

.注：该结论还可由

证得.推论2.当设

为

的角平分线时，

.推论3.当设

满足

时，

.例9.记

是内角

的对边分别为

.已知

，点

在边

上，

.（1）证明：

；（2）若

，求解析：（2）由斯特瓦特定理，得

.由

及

，得

.化简变形，得

.因为

，所以

.即

.解得

或

.当

时，

.由余弦定理，得

（不合题意，舍去）.当

时，

.由余弦定理，得

.所以

.05张角定理PART在

中，D是BC上的一点，连结AD，那么

.证明：因为

，由三角形面积公式可得两边同除

，得到例10.（2018年江苏卷）在

中，角

的对边分别为

，

，

的平分线交

于点

，且

，则

的最小值为________.解由张角定理有

，即

，整理得

.所以

.当且仅当

，即

时取得最小值9.6等面积思想PART设

为

的平分线，则设

，那么有等面积可得：进一步可得：

，于是可以看到，倘若我们知道角

与角平分线

的长度，则可得到

的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题.例11.（2022成都一诊）在

中，已知角

，角A的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为___________.解析：

，依题意

是角

的角平分线，由三角形的面积公式得

，化简得

，

，当且仅当

，

时等号成立.故答案为：例12（江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试）在

中，

的对边分别为

.（1）若

，求

的值；（2）若

的平分线

交

于点

，求

长度的取值范围.解析：（1）已知

，由正弦定理可得

，

，

，

即

，

.（2）由（1）知

，由

，则

.设

，

，

，

，

.例13.（2021新高考1卷）在

中，

，点

在边

上，

.（1）证明：

；（2）若

，求

.解析：（1）设

的外接圆半径为R，由正弦定理，得

，因为

，所以

，即

．又因为

，所以

．方法2.（等面积思想）（2）如图，已知

，则

，即

，而

，即

，故有

，从而

．由

，即

，即

，即

，故

，又

，所以

，则

．例14．（23年甲卷16题）在

中

，

，

，D为BC上一点，AD为的平分线，则_________．【详解】如图所示：记

，由余弦定理可得，

，因为

，解得：

，由

可得，解得：

．故答案为：

．07三角形相似PART如图，在三角形

中，已知角

的大小，

为边

上一点.那么我们可利用初中的相似三角形来求解一些这种条件下的爪型三角形问题，简直妙！如下图，过点

做

的平行线交

延长线于

，则

，且由平行的性质可知：

，于是，已知角

的大小即可得

的大小，倘若我们进一步指导

的长度，以及点

为

边上的具体位置，那么在

中可以解决很多问题，下面通过例题来分析.例15.（2022成都一诊）在

中，已知角

，角

的平分线

与边

相交于

，

，则

的最小值为________.解析：如上图，由于

，故由

可得

，再加之

为角

的平分线，则

，于是

为等边，则

，最后由于

，可得：

.由于

，等号成立当且仅当

.注：用辅助线加相似的方法来做这些题目非常容易，比起向量法简单的多.前面的例题读者也可尝试能否用几何方法思考，此处不再赘述.08坐标法PART例16.记

是内角

的对边分别为

.已知

，点

在边

上，

.（1）证明：

；（2）若

，求解析：以D为坐标原点，

所在直线为x轴，过点D垂直于

的直线为y轴，

长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则

．由（1）知，

，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．设

，则

．⑤由

知，

，即

⑥，联立⑤⑥解得

或

（舍去），

，代入⑥式得

，由余弦定理得

．例17．（23年乙卷18题）在

中，已知

，

，

.(1)求

；(2)若D为BC上一点，且

，求

的面积.【详解】（1）由余弦定理可得：

，则

，

，

.（2）由三角形面积公式可得

，则

.例18．在

中，有

，其中

分别为角

的对边.(1)求角

的大小；(2)设点

是

的中点，若

，求

的取值范围.【详解】（1）

.（2）如图，延长

到

满足

，连接

则

为平行四边形，则

，

，

，

在

中，由余弦定理得：

，则

，可变形为

，即

，由基本不等式可得

，即

，可得

，当且仅当

时，等号成立，由三角形三边关系可得

，则

，故的取值范围是

.例19．已知

中内角

所对边分别为

，

．(1)求

；(2)若

边上一点

，满足

且

，求

的面积最大值．【详解】（1）（2）

，已知

，