新教材2024年高中数学第七章随机变量及其分布列7.3离散型随机变量的数字特征7.3.2离散型随机变量的方差素养作业新人教A版选择性必修第三册

第七章7.37.3.2A组·素养自测一、选择题1．(多选)已知0<a<eq\f(1,4)，随机变量ξ的分布列如下.ξ－101Peq\f(3,4)eq\f(1,4)－aa当a增大时，(AD)A．E(ξ)增大 B．E(ξ)减小C．D(ξ)减小 D．D(ξ)增大[解析]0<a<eq\f(1,4)，由随机变量ξ的分布列，得：E(ξ)＝a－eq\f(3,4)，∴当a增大时，E(ξ)增大；D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－a＋\f(3,4)))2×eq\f(3,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－a＋\f(3,4)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－a＋\f(3,4)))2×a＝－a2＋eq\f(5,2)a＋eq\f(3,16)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(5,4)))2＋eq\f(7,4)，∵0<a<eq\f(1,4)，∴当a增大时，D(ξ)增大，故选AD．2．(2024·浙江宁海中学月考)小智参与三次投篮竞赛，投中得1分，投不中扣1分，已知小智投篮命中率为0.5，记小智投篮三次后的得分为随机变量ξ，则D(|ξ|)为(B)A．eq\f(3,8) B．eq\f(3,4)C．eq\f(3,2) D．3[解析]由题意可得ξ＝－3，3，－1，1，其中P(ξ＝－3)＝P(ξ＝3)＝0.53，P(ξ＝－1)＝P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(2,3)(0.5)3＝3×0.53故随机变量|ξ|的分布列为|ξ|13P6×0.532×0.53故E(|ξ|)＝6×0.53＋3×2×0.53＝1.5D(|ξ|)＝(1.5－1)2×6×0.53＋(3－1.5)2×2×0.53＝0.75故选B．3．(2024·浙江东阳中学月考)已知随机变量X的取值为0，1，2，若P(X＝0)＝eq\f(1,4)，E(X)＝1，则D(X)＝(B)A．eq\f(3,2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,4) D．1[解析]设P(X＝1)＝a，则P(X＝2)＝eq\f(3,4)－a，从而随机变量X的分布列为X012Peq\f(1,4)aeq\f(3,4)－a所以E(X)＝0×eq\f(1,4)＋1×a＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)－a))＝eq\f(3,2)－a，因为E(X)＝1，所以eq\f(3,2)－a＝1，所以a＝eq\f(1,2)，故D(X)＝(0－1)2×eq\f(1,4)＋(1－1)2×eq\f(1,2)＋(2－1)2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)－\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，故选B．4．(2024·浙江省台州中学高三月考)已知某8个数据的期望为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数据的期望记为E(X)，方差记为D(X)，则(B)A．E(X)＝5，D(X)>3 B．E(X)＝5，D(X)<3C．E(X)<5，D(X)>3 D．E(X)<5，D(X)<3[解析]由题意可知，E(X)＝eq\f(5×8＋5,9)＝5，D(X)＝eq\f(3×8＋5－52,9)＝eq\f(8,3)<3，故选B．5．已知离散型随机变量ξ1，ξ2的分布列为ξ1135Paeq\f(1,2)bξ21245Pbeq\f(1,4)eq\f(1,4)a则下列说法肯定正确的是(D)A．E(ξ1)>E(ξ2) B．E(ξ1)<E(ξ2)C．D(ξ1)>D(ξ2) D．D(ξ1)<D(ξ2)[解析]由题可得a＋b＝eq\f(1,2)，E(ξ1)＝1×a＋3×eq\f(1,2)＋5×b＝a＋5b＋eq\f(3,2)＝4－4a＝2＋4b，E(ξ2)＝1×b＋2×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,4)＋5×a＝5a＋b＋eq\f(3,2)＝4a＋2，则E(ξ1)和E(ξ2)的大小不确定．又因为D(ξ1)＝(1－2－4b)2a＋(3－2－4b)2×eq\f(1,2)＋(5－2－4b)2×b＝－(4b－1)2≤0，又∵D(ξ1)≥0，∴b＝eq\f(1,4)，把b＝eq\f(1,4)代入a＋b＝eq\f(1,2)得a＝eq\f(1,4)可得D(ξ1)＝2，D(ξ2)＝2.5，∴D(ξ1)<D(ξ2)．故选D．二、填空题6．若某事务在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事务在一次试验中发生的概率为_0.5__.[解析]事务在一次试验中发生次数记为X，则X听从两点分布，则D(X)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.7．(2024·浙江宁波高三联考)已知随机变量X的分布列如下表：X－101Pabc其中a，b，c>0.若X的方差D(X)≤eq\f(1,3)对全部a∈(0，1－b)都成立，则b的范围为_eq\f(2,3)≤b<1__.[解析]由X的分布列，可得X的期望为E(X)＝－a＋c，a＋b＋c＝1，所以X的方差D(X)＝(－1＋a－c)2a＋(a－c)2b＋(1＋a－c)2c＝(a－c)2(a＋b＋c)－2(a－c)2＋a＋c＝－(a－c)2＋a＋c＝－(2a－1＋b)2＋1－b＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1－b,2)))2＋1－b.因为a∈(0，1－b)，所以当且仅当a＝eq\f(1－b,2)时，D(X)取最大值1－b.又D(X)≤eq\f(1,3)对全部a∈(0，1－b)都成立，所以只需1－b≤eq\f(1,3)，解得b≥eq\f(2,3)，所以eq\f(2,3)≤b<1.8．随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝_eq\f(2,5)__.[解析]设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋a＋b＝1，,a＋2b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,5)，,b＝\f(1,5)，))所以D(ξ)＝eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)×0＋eq\f(1,5)×1＝eq\f(2,5).三、解答题9．从4名男生和2名女生中任选3人参与演讲竞赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的方差．[解析]由题意，X的可能取值为0，1，2，P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,2)C\o\al(3－k,4),C\o\al(3,6))，k＝0，1，2，X的分布列为：X012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)所以X的均值为E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1.所以X的方差为D(X)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)2×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).10．甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中环数与次数如下表：环数5678910次数111124乙射击的概率分布如下表：环数78910概率0.20.3p0.1(1)若甲、乙各打一枪，求击中环数之和为18的概率及p的值；(2)比较甲、乙射击水平的优劣．[解析](1)由0.2＋0.3＋p＋0.1＝1得p＝0.4.设甲，乙击中的环数分别为X1，X2，则P(X1＝8)＝eq\f(1,10)＝0.1，P(X1＝9)＝eq\f(2,10)＝0.2，P(X1＝10)＝eq\f(4,10)＝0.4，P(X2＝8)＝0.3，P(X2＝9)＝0.4，P(X2＝10)＝0.1，所以甲，乙各打一枪击中环数之和为18的概率为：P＝0.1×0.1＋0.3×0.4＋0.2×0.4＝0.21.(2)甲的均值为E(X1)＝5×0.1＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.4＝8.4，乙的均值为E(X2)＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.4＋10×0.1＝8.4，甲的方差为D(X1)＝(5－8.4)2×0.1＋(6－8.4)2×0.1＋(7－8.4)2×0.1＋(8－8.4)2×0.1＋(9－8.4)2×0.2＋(10－8.4)2×0.4＝3.04，乙的方差为D(X2)＝(7－8.4)2×0.2＋(8－8.4)2×0.3＋(9－8.4)2×0.4＋(10－8.4)2×0.1＝0.84.因为D(X1)>D(X2)，所以乙比甲技术稳定．B组·素养提升一、选择题1．(多选)已知随机变量X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)a则下列式子正确的是(ABC)A．P(X＝0)＝eq\f(1,3) B．a＝eq\f(1,6)C．E(X)＝－eq\f(1,3) D．D(X)＝eq\f(23,27)[解析]由分布列可知，P(X＝0)＝eq\f(1,3)，a＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)；D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9).2．(多选)编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则(BCD)A．ξ的全部取值是1，2，3 B．P(ξ＝1)＝eq\f(1,2)C．E(ξ)＝1 D．D(ξ)＝1[解析]ξ的全部可能取值为0，1，3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种状况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(ξ＝0)＝eq\f(2,A\o\al(3,3))＝eq\f(1,3)；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),A\o\al(3,3))＝eq\f(1,2)；ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，则P(ξ＝3)＝eq\f(1,A\o\al(3,3))＝eq\f(1,6).所以ξ的分布列为ξ013Peq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(1,6)E(ξ)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,6)＝1.D(ξ)＝eq\f(1,3)×(0－1)2＋eq\f(1,2)×(1－1)2＋eq\f(1,6)×(3－1)2＝1.3．随机变量X的分布列如下：X123P0.5xy若E(X)＝eq\f(15,8)，则D(X)等于(D)A．eq\f(7,32) B．eq\f(9,32)C．eq\f(33,64) D．eq\f(55,64)[解析]由题意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1×0.5＋2x＋3y＝\f(15,8)，,0.5＋x＋y＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,8)，,y＝\f(3,8).))∴D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(15,8)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(15,8)))2×eq\f(1,8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(15,8)))2×eq\f(3,8)＝eq\f(55,64).4．一个袋中放有大小、形态均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机取出小球，当有放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则(B)A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)B．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)[解析]ξ1的可能取值为0，1，2，ξ2的可能取值为0，1.P(ξ1＝0)＝eq\f(4,9)，P(ξ1＝2)＝eq\f(1,9)，P(ξ1＝1)＝1－eq\f(4,9)－eq\f(1,9)＝eq\f(4,9)，故E(ξ1)＝eq\f(2,3)，D(ξ1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))2×eq\f(4,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))2×eq\f(1,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq\f(4,9)＝eq\f(4,9).P(ξ2＝0)＝eq\f(2×1,3×2)＝eq\f(1,3)，P(ξ2＝1)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故E(ξ2)＝eq\f(2,3)，D(ξ2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，故E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)．故选B．二、填空题5．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为_0.4__0.1__0.5__.[解析]由题意知，－p1＋p3＝0.1，1.21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89.又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5.6．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则D(X)＝_3.36__.[解析]由题意得，随机变量X的可能取值为6，9，12.P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝9)＝eq\f(C\o\al(2,8)×C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝12)＝eq\f(C\o\al(1,8)×C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15)，则E(X)＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝7.8，D(X)＝eq\f(7,15)×(6－7.8)2＋eq\f(7,15)×(9－7.8)2＋eq\f(1,15)×(12－7.8)2＝3.36.7．变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a＋c＝2b，若E(ξ)＝eq\f(1,3)，则D(ξ)的值是_eq\f(5,9)__.[解析]由条件可知2b＝a＋c，又a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝eq\f(1,3)，a＋c＝eq\f(2,3).又E(ξ)＝－a＋c＝eq\f(1,3)，∴a＝eq\f(1,6)，c＝eq\f(1,2)，故ξ的分布列为ξ－101Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,2)∴D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9).三、解答题8．某商场经销某商品，依据以往资料统计，顾客采纳的付款期数的分布列为ξ12345P0.20.30.30.10.1商场经销一件该商品，顾客采纳1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元，η表示经销一件该商品的利润．(1)求事务A：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采纳1期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列、期望和方差．[解析](1)“购买该商品的3位顾客中至少有1位采纳1期付款”的对立事务是“购买该商品的3位顾客中无人采纳1期付款”．∵A表示事务“购买该商品的3位顾客中至少有1位采纳1期付款”，可知eq\x\to(A)表示事务“购买该商品的3位顾客中无人采纳1期付款”，P(eq\x\to(A))＝(1－0.2)3＝0.512，∴P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－0.512＝0.488.(2)依据顾客采纳的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，300元，400元，得到η对应的事务的概率，P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.2，P(η＝300)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3＋0.3＝0.6，P(η＝400)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，故η的分布列为η200300400P0.20.60.2∴期望E(η)＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300.∴方差D(η)＝(200－300)2×0.2＋(300－300)2×0.6＋(400－300)2×0.2＝4000.9．设盒子中装有6个红球，4个白球，2个黑球，且规定：取出一