人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题20平面直角坐标系中的正方形(原卷版+解析)

专题20平面直角坐标系中的正方形1．如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），点B的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（）A．（﹣2，4），（1，3） B．（﹣2，4），（2，3）C．（﹣3，4），（1，4） D．（﹣3，4），（1，3）2．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，若顶点A，B的坐标分别为，，则顶点D的坐标为（

）A． B． C． D．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、C、F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C的坐标为(3，0)，则点D的坐标为（

）A．(1,3) B．(1，) C．(1，) D．(，)4．如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，则点B的纵坐标为（

）A． B． C． D．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（0，8），点M是正方形OABC的对称中心，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），将△ABD沿AD折叠，点B的对应点为点E，连接EM，当EM的值最小时，点D的坐标为（

）A．（4﹣4，8） B．（8﹣8，8） C．（16﹣8，8） D．（4，8）6．如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点D的坐标为______．7．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2）．点D、E分别在AB、BC边上，BD=BE=1．沿直线DE将△BDE翻折，点B落在点B′处．则点B′的坐标为_____．8．如图，在平面直角坐标系中，点D的坐标为，过点D的直线交x轴、y轴于点M、N，四边形、、，…均为正方形．（1）正方形的边长为______；（2）若如此连续组成正方形，则正方形的边长为______．9．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边做正方形，再以正方形的对角线为边做正方形……以此类推，则正方形的边长是_____________10．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D为AB中点，点P为OB上的一个动点，连接DP、AP，当点P满足DP+AP的值最小时，点P的坐标为___________．三、解答题(共0分)11．在平面直角坐标系中，点的坐标是，过点作直线轴于，作直线轴于，点、分别是直线和直线上的点，且．(1)如图，当点、分别在线段和线段上时，求的周长；(2)如图，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，猜想线段、和之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若，直接写出的长．12．从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如，我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．(1)如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，且，点E是线段延长线上一点，M是线段上一动点（不包括点O、B），作，垂足为M，且．设，请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标（用含a的代数式表示）；(2)基本经验有利有弊，当基本经验有利于新问题解决的时候，这是基本经验的正迁移；当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考，让新问题解决不出来的时候，这是基本经验的负迁移．例如，如果（1）的条件去掉“且”，加上“交的平分线于点N”，如图2，求证：．如何突破这种定势，获得问题的解决，请你写出你的证明过程．(3)如图3，请你继续探索：连接交于点F，连接，下列两个结论：①的长度不变；②平分，请你指出正确的结论，并给出证明．13．如图，正方形的各边都平行于坐标轴，点、分别在直线和轴上，若点在直线上运动．(1)当点运动到横坐标时，请求出点的坐标．(2)求出当点的横坐标时，直线的函数解析式．(3)若点横坐标为，且满足时，请你求出对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积．14．如图1，已知正方形ABCD的顶点A，B分别在y轴和x轴上，边CD交x轴的正半轴于点E．（1）若A（0，a），且，求A点的坐标；（2）在（1）的条件下，若3AO=4EO，求D点的坐标；（3）如图2，连接AC交x轴于点F，点H是A点上方y轴上一动点，以AF、AH为边作平行四边形AFGH，使G点恰好落在AD边上，试探讨BF，HG与DG的数量关系，并证明你的结论．15．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，以为边在右侧作正方形（1）当点在轴正半轴上运动时，求点的坐标（用表示）；（2）当时，如图2，为上一点，过点作，，连交于点，求的值；（3）如图3，在第（2）问的条件下，、分别为、上的点，作轴交于，作轴交于，是与的交点，若，试确定的大小，并证明你的结论．16．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上，连接CO，CD，CE．(1)线段OC的长为_____；(2)求证：△CBD≌△COE；(3)将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中点O，B，D，E的对应点分别为点O1，B1，D1，E1，连接CD，CE，设点E的坐标为（a，0），其中a≠2，△CD1E1的面积为S．①当1＜a＜2时，请直接写出S与a之间的函数表达式；②在平移过程中，当S=时，请直接写出a的值．17．阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．如图1，在，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题：(1)若已知平面两点，，则的距离为__________；(2)若平面内三点，，，请运用给出的公式，试判断的形状，并说明理由；(3)如图2，在正方形中，，点D在边上，且，直线l经过O，C两点，点E是直线l上的一个动点，请直接写出的最小值．专题20平面直角坐标系中的正方形1．如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），点B的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（）A．（﹣2，4），（1，3） B．（﹣2，4），（2，3）C．（﹣3，4），（1，4） D．（﹣3，4），（1，3）答案：A分析：作CD⊥x轴于D，作AE⊥x轴于E，作BF⊥AE于F，由AAS证明△AOE≌△OCD，得出AE=OD，OE=CD，由点A的坐标是（﹣3，1），得出OE=3，AE=1，∴OD=1，CD=3，得出C（1，3），同理：△AOE≌△BAF，得出AE=BF=1，OE﹣BF=3﹣1=2，得出B（﹣2，4）即可．【详解】解：如图所示：作CD⊥x轴于D，作AE⊥x轴于E，作BF⊥AE于F，则∠AEO=∠ODC=∠BFA=90°，∴∠OAE+∠AOE=90°．∵四边形OABC是正方形，∴OA=CO=BA，∠AOC=90°，∴∠AOE+∠COD=90°，∴∠OAE=∠COD．在△AOE和△OCD中，∵，∴△AOE≌△OCD（AAS），∴AE=OD，OE=CD．∵点A的坐标是（﹣3，1），∴OE=3，AE=1，∴OD=1，CD=3，∴C（1，3）．同理：△AOE≌△BAF，∴AE=BF=1，OE﹣BF=3﹣1=2，∴B（﹣2，4）．故选A．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．2．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，若顶点A，B的坐标分别为，，则顶点D的坐标为（

）A． B． C． D．答案：B分析：过D作DM⊥x轴于M，根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠ABO=∠DAO，根据全等三角形的性质得到DM=OA，AM=OB，于是得到结论．【详解】解：如图所示，过D作DM⊥x轴于M，四边形ABCD是正方形，AB=AD，∠BAD=90°，∠AOB=∠AMD=90°，∠BAO+∠DAM=∠ABO+∠BAO=90°，∠ABO=∠DAM，

，DM=OA，AM=OB，点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，b)，OA=a，OB=b，DM=a，AM=b，OM=b-a，顶点D的坐标为(a-b，-a)，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、C、F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C的坐标为(3，0)，则点D的坐标为（

）A．(1,3) B．(1，) C．(1，) D．(，)答案：A分析：过D作DH⊥y轴于H，根据矩形和正方形的性质得到AO=BC，DE=EF=BF，∠AOC=∠DEF=∠BFE=∠BCF=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】过D作DH⊥y轴于H，∵四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，∴AO=BC，DE=EF=BF，∠AOC=∠DEF=∠BFE=∠BCF=90°，∴∠OEF+∠EFO=∠BFC+∠EFO=90°，∴∠OEF=∠BFO，∴△EOF≌△FCB（ASA），∴BC=OF，OE=CF，∴AO=OF，∵E是OA的中点，∴OE=OA=OF=CF，∵点C的坐标为（3，0），∴OC=3，∴OF=OA=2，AE=OE=CF=1，同理△DHE≌△EOF（ASA），∴DH=OE=1，HE=OF=2，∴OH=2，∴点D的坐标为（1，3），故选A．【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．4．如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，则点B的纵坐标为（

）A． B． C． D．答案：B分析：连接，作轴，根据正方形的性质可得，根据勾股定理可得，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可．【详解】解：连接，作轴，如下图：由正方形的性质可得，，，则，由题意可得：，∴，∴，∴点B的纵坐标为，故选：B【点睛】此题考查了正方形的性质，坐标与图形，勾股定理以及含30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，作出辅助线．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（0，8），点M是正方形OABC的对称中心，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），将△ABD沿AD折叠，点B的对应点为点E，连接EM，当EM的值最小时，点D的坐标为（

）A．（4﹣4，8） B．（8﹣8，8） C．（16﹣8，8） D．（4，8）答案：C分析：如图，连接AC．当点E落在CM上时，EM的值最小．证明CE=DE=DB，利用参数构建方程求出CD即可．【详解】解：如图，连接AC．，当三点共线时，即当点E落在CM上时，EM的值最小．∵C（0，8），∴OC=8，∵四边形OABC是正方形，∴∠B=90°，∠DCE=45°，OC=BC，由翻折的性质可知∠DEA=∠B=∠DEC=90°，DB=DE，∴EC=DE，设EC=DE=DB=x，则CD=x，∴x+x=8，∴，∴CD=，∴D（，8）．故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质，中心对称，翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．6．如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点D的坐标为______．答案：分析：先求出，再利用正方形的性质确定点，由题意可得每4次一个循环，由于，所以第次旋转结束时，相当于与正方形组成的图形绕点O顺时针旋转2次，由此求出点D坐标即可．【详解】解：，，，∵四边形为正方形，，，∵每次旋转，，∴每旋转4次一个循环，，∴第次旋转结束时，相当于与正方形组成的图形再绕点O顺时针旋转2次，每次旋转，∴第1次旋转后，点D的坐标为，第2次旋转后，点D的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形变化−−旋转，正方形的性质，解答本题的关键是找出D点坐标变化的规律．7．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2）．点D、E分别在AB、BC边上，BD=BE=1．沿直线DE将△BDE翻折，点B落在点B′处．则点B′的坐标为_____．答案：（2，1）．分析：由四边形OABC是矩形，BE=BD=1，易得△BED是等腰直角三角形，由折叠的性质，易得∠BEB′=∠BDB′=90°，又由点B的坐标为（3，2），即可求得点B′的坐标．【详解】解：∵四边形OABC是矩形，∴∠B=90°，∵BD=BE=1，∴∠BED=∠BDE=45°，∵沿直线DE将△BDE翻折，点B落在点B′处，∴∠B′ED=∠BED=45°，∠B′DE=∠BDE=45°，B′E=BE=1，B′D=BD=1，∴∠BEB′=∠BDB′=90°，∴四边形是正方形，∵点B的坐标为（3，2），∴点B′的坐标为（2，1）．故答案为（2，1）．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及坐标与图形的性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．8．如图，在平面直角坐标系中，点D的坐标为，过点D的直线交x轴、y轴于点M、N，四边形、、，…均为正方形．（1）正方形的边长为______；（2）若如此连续组成正方形，则正方形的边长为______．答案：

10

分析：（1）过D作轴于P，轴于Q，由的坐标得出与的长，在正方形中的四个角为直角，四条边相等，由“同角的余角相等”得到一对角相等，再由一对直角相等，且，利用证得，由该全等三角形的对应边相等得到，，求出与的长，在中，利用勾股定理求出的长，即为正方形的边长；（2）由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得到与相似，由相似得比例，将各自的值代入求出的长，即为正方形的边长，同理求出的边长，以此类推，即可得到正方形的边长．【详解】解：（1）过D作轴于P，轴于Q，∵，∴，，∵四边形正方形，∴，，∴，又∵，∴，∵在和中，，∴，∴，，在中，根据勾股定理得：，∴正方形的边长为10；（2）∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，即，又∵，∴；同理得到，．故答案是：（1）10；（2）．【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，锻炼了学生归纳总结的能力．9．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边做正方形，再以正方形的对角线为边做正方形……以此类推，则正方形的边长是_____________答案：分析：首先先求出的长度，找出正方形边长的变化规律，然后根据规律获得答案即可．【详解】解：根据题意可知，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，……可知正方形的边长为，所以，正方形的边长是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及一个循环规律归纳的题目，解答此题的关键是确定每次正方形的边长变为原来的倍．10．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D为AB中点，点P为OB上的一个动点，连接DP、AP，当点P满足DP+AP的值最小时，点P的坐标为___________．答案：分析：根据正方形的性质可得点A，C关于直线对称，连接交于P，连接，则此时，的值最小，求得直线的解析式为，直线的解析式为，联立求得．【详解】∵四边形是正方形∴点A，C关于直线对称连接交于P，连接，则此时，的值最小∵∴∵D为的中点∴∴设直线的解析式为：∴解得∴直线的解析式为：∵直线的解析式为联立得解得∴，故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最小值，正方形的性质，一次函数交点问题，掌握以上知识是解题的关键．11．在平面直角坐标系中，点的坐标是，过点作直线轴于，作直线轴于，点、分别是直线和直线上的点，且．(1)如图，当点、分别在线段和线段上时，求的周长；(2)如图，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，猜想线段、和之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若，直接写出的长．答案：(1)8(2)，证明见解析(3)或分析：（1）在线段的延长线上取一点D，使，连接．由题意知四边形是边长为4的正方形，先证，再证，通过等量代换可得；（2）在线段上取一点E，使，连接．同（1）可证，，通过等量代换可得；（3）分点在线段上和在线段的延长线上两种情况，利用（1）（2）结论，通过勾股定理解即可．【详解】（1）解：如图，在线段的延长线上取一点D，使，连接．点的坐标是，直线轴于，直线轴于，，，四边形是边长为4的正方形，，在和中，，，，．，，

，，在和中，，，．，即的周长是8；（2）解：，理由如下：如图，在线段上取一点E，使，连接．在和中，，，，．，，，，在和中，，，．；（3）解：当点在线段上时，如图：

，，由（1）知的周长是8，，在中，，，解得，；当点在线段的延长线上时，如图：同（2）可证，，，，在中，，，解得，，综上，的长为或．【点睛】本题考查坐标与图形，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，难度较大，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形．12．从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如，我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．(1)如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，且，点E是线段延长线上一点，M是线段上一动点（不包括点O、B），作，垂足为M，且．设，请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标（用含a的代数式表示）；(2)基本经验有利有弊，当基本经验有利于新问题解决的时候，这是基本经验的正迁移；当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考，让新问题解决不出来的时候，这是基本经验的负迁移．例如，如果（1）的条件去掉“且”，加上“交的平分线于点N”，如图2，求证：．如何突破这种定势，获得问题的解决，请你写出你的证明过程．(3)如图3，请你继续探索：连接交于点F，连接，下列两个结论：①的长度不变；②平分，请你指出正确的结论，并给出证明．答案：(1)；(2)见解析；(3)结论②平分成立，见解析．分析：（1）如图1，作于G，求出，利用证明，可得，，进而可得点N的坐标；（2）如图2，在上取，连接，求出，证明，即可得到，进而得出结论；（3）结论②平分成立．如图3，在延长线上取，证明，可得，，求出，证明，可得，然后过M作于P，可得，，根据，，可得，进而得出结论．【详解】（1）解：如图1，作于G，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∵，，∴，，∴，∴点N坐标为，故答案为：；（2）证明：如图2，在上取，连接，∵，，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（3）结论②平分成立．证明：如图3，在延长线上取，在和中，，∴，∴，，由（2）知，，，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，过M作于P，则，∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，即平分．（由证明过程可知，显然的长度是变化的，故的长度是变化的，结论①错误）．【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形，记住一些基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，使解题事半功倍．13．如图，正方形的各边都平行于坐标轴，点、分别在直线和轴上，若点在直线上运动．(1)当点运动到横坐标时，请求出点的坐标．(2)求出当点的横坐标时，直线的函数解析式．(3)若点横坐标为，且满足时，请你求出对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积．答案：(1)C（9，0）(2)y＝−x＋3(3)24分析：（1）把x＝2代入y＝2x求出A的坐标，根据正方形性质求出B、C的坐标；（2）求出A、C的坐标，设直线AC的函数解析式为y＝kx＋b，把A、C的坐标代入得出方程组，求出方程组的解即可；（3）根据图形得出面积是一个梯形EFCA的面积，分别求出△OEF和△OAC的面积，相减即可求出答案．【详解】（1）当x＝3时，y＝2x＝6，则A（3，6）∴B（9，6）∴C（9，0）．（2）当x＝1时，y＝2x＝2，∴A（1，2），∴B（3，2），∴C（3，0），设直线AC的函数解析式为：y＝kx＋b，∴，解得：，∴y＝−x＋3，即AC的函数表达式为：y＝−x＋3．（3）如图，对角线AC扫过的四边形的形状为梯形为梯形EFCA，当1≤m≤3时，由（2）得m＝1∴A（1，2），即E（1，2），此时C（3，0），即F（3，0），又由（1）知：m＝3时，A（3，6），C（9，0）△AOC的面积＝×9×6＝27，△OEF的面积＝×3×2＝3扫过的面积S梯形EFCA＝27−3＝24，答：对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积是24．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，点的坐标，正方形的性质等知识点的运用，综合运用性质进行计算是解此题的关键，题目综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．14．如图1，已知正方形ABCD的顶点A，B分别在y轴和x轴上，边CD交x轴的正半轴于点E．（1）若A（0，a），且，求A点的坐标；（2）在（1）的条件下，若3AO=4EO，求D点的坐标；（3）如图2，连接AC交x轴于点F，点H是A点上方y轴上一动点，以AF、AH为边作平行四边形AFGH，使G点恰好落在AD边上，试探讨BF，HG与DG的数量关系，并证明你的结论．答案：（1）A（0，4）或（0，）；（2）D（4，2）或（4，）；（3）2HG2＋DG2＝4BF2，详见解析分析：（1）由，得出a=±4，即可得出结果；（2）当A（0,4）时，作DN⊥OE于N，作AM⊥DN于M，连AE，由AAS证得△AOB≌△AMD，得出AM＝AO＝4，求出EO＝3，在Rt△AOE中，AE2＝AO2＋EO2＝25，在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，设D（4，m），代入求出m＝2，即可得出结果；同理当A（0,-4）时，可求出D点坐标；（3）作FP⊥AD于P，连DF，在Rt△AFP中，得到HG＝AF＝PF，证明BF＝DF与BF＝GF，得出点P是DG的中点，在Rt△PDF中，PF2＋DP2＝DF2，即（）2＋（）2＝BF2，即可得出结果．【详解】（1）解：∵,∴a=±4，∴A点的坐标为（0，4）或（0，-4）；（2）当A点的坐标为（0，4）时作DN⊥OE于N，作AM⊥DN于M，连AE，如图1所示：则∠BAD＝∠OAM＝90°，即∠BAO＋∠OAD＝∠OAD＋∠DAM，∴∠BAO＝∠DAM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ADE＝90°，在△AOB与△AMD中，，∴△AOB≌△AMD（AAS），∴AM＝AO＝4，∴四边形AONM是正方形，∴MN＝ON＝4，∵3AO＝4EO，∴EO＝3，在Rt△AOE中，AE2＝AO2＋EO2＝42＋32＝25，在Rt△AMD中，AD2＝AM2＋DM2，在Rt△DNE中，ED2＝EN2＋DN2，在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，∴AM2＋DM2＋EN2＋DN2＝25，设D（4，m），则DM＝4−m，EN＝4−3＝1，DN＝m，∴42＋（4−m）2＋12＋m2＝25，∴m＝2，∴D（4，2）当A点的坐标为（0，-4）时，同理可得D（4，-2）（3）解：2HG2＋DG2＝4BF2，理由如下：过点F作FP⊥AD于P，连DF，如图2所示：∵四边形AFGH是平行四边形，∴HG＝AF，AH∥GF，∴∠FGA＝∠GAH，∴∠FGD＝∠OAG，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠CAD＝∠BCF＝∠DCF＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠ABC＝90°，∴△APF是等腰直角三角形，∴PF=AP,∴∴AF＝PF，∴HG＝AF＝PF，故PF＝，在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴BF＝DF，∠CBF＝∠CDF，∵∠FDG＝90°−∠CDF，∠ABO＝90°−∠CBF，∴∠FDG＝∠ABO，∵∠OAG＋∠OAB＝90°，∠ABO＋∠OAB＝90°，∴∠OAG＝∠ABO，∴∠FGD＝∠FDG，∴GF＝DF＝BF，∴点P是DG的中点，∴DP＝，在Rt△PDF中，PF2＋DP2＝DF2，即（）2＋（）2＝BF2，∴2HG2＋DG2＝4BF2．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键．15．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，以为边在右侧作正方形（1）当点在轴正半轴上运动时，求点的坐标（用表示）；（2）当时，如图2，为上一点，过点作，，连交于点，求的值；（3）如图3，在第（2）问的条件下，、分别为、上的点，作轴交于，作轴交于，是与的交点，若，试确定的大小，并证明你的结论．答案：（1）C（m+4，m）；（2）4；（3）45°，证明见解析分析：（1）如图1中，作CE⊥x轴于E．利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）如图2中，作ME⊥y轴于E，作MF∥OA交OD于F．构造平行四边形，全等三角形解决问题即可；（3）如图3中，延长CO到M，使得OM=DE．则△AOM≌△ADE．设AG=a，AH=b，由题意DE=a，OF=b，EK=DH=4-b，EC=OG=4-a，利用勾股定理想办法证明EF=OF+DE=FM，再证明△AFM≌△AFE，可得∠FAM=即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，作CE⊥x轴于E．∵∠AOB=∠ABC=∠CEB=90°，∴∠ABO+∠OAB=90°，∠ABO+∠CBE=90°，∴∠OAB=∠CBE，∵AB=BC，∴△ABO≌△BCE，∴CE=OB=m，BE=OA=4，∴C（m+4，m）．（2）如图2中，作ME⊥y轴于E，作MF∥OA交OD于F．∵∠MEP=∠MPC=∠COP=90°，∴∠MPE+∠PME=90°，∠MAE+∠CPO=90°，∴∠PME=∠CPO，∵PM=PC，∴△MEP≌△OPC，∴PE=OC=AO，EM=OP，∴OP=AE=EM，∴∠EAM=45°，∵∠AOD=45°，∴∠EAM=∠AOD，∴AM∥ON，∵OA∥MF，∴四边形AMFO是平行四边形，∴FM=OA=CD，MF∥CD，AM=OF，∴∠NDC=∠NFM，∵∠MNF=∠CND，∴△CDN≌△MFN，∴FN=DN，∴AM+2DN=OF+DF=OD=4．（3）如图3中，延长CO到M，使得OM=DE．则△AOM≌△ADE．设AG=a，AH=b，由题意DE=a，OF=b，EK=DH=4-b，EC=OG=4-a，∵S四边形KFCE=2S四边形AGKH，∴（4-a）（4-b）=2ab，∴16-4（a+b）+ab=2ab，∴ab=16-4（a+b），∴2ab=32-8（a+b），在Rt△EFC中，EF=∴EF=OF+DE=OF+OM=FM，∵AF=AF，AM=AE，∴△AFM≌△AFE，∴∠FAM=∠FAE，∵∠DAE=∠OAM，∴∠EAM=∠DAO=90°，∴∠EAF=45°．【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或特殊四边形解决问题，学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．16．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上，连接CO，CD，CE．(1)线段OC的长为_____；(2)求证：△CBD≌△COE；(3)将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中点O，B，D，E的对应点分别为点O1，B1，D1，E1，连接CD，CE，设点E的坐标为（a，0），其中a≠2