高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第38练等比数列(原卷版+解析)

专题12数列第38练等比数列1．(2023·北京育才学校模拟）设是等差数列，且，，则（

）A． B． C． D．2．(2023·四川·模拟（文））已知为数列的前n项和，若，则（

）A． B． C． D．3．(2023·福建泉州·模拟）记等比数列{}的前n项和为.若，则=（

）A． B．C． D．4．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟）在等比数列中，已知，，则（

）A．20 B．12 C．8 D．45．(2023·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（

）A． B． C． D．6．(2023·吉林·洮南市第一中学模拟（文））已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________．7．(2023·北京市第十二中学三模）已知等比数列满足，且其前n项和，则数列的通项公式可以是___________.（写出一个符合条件的即可）8．(2023·河南开封·模拟（理））在等比数列中，为其前n项和，若，，则的公比为______．1．(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟（理））在数列中，若，，则（

）A． B．C． D．2．(2023·贵州·贵阳一中模拟（文））已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（

）A． B．1 C．2 D．43．(2023·安徽·合肥市第六中学模拟（理））数列中，，对任意m，，，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．54．(2023·上海崇明·二模）已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（

）A．数列是递增数列 B．数列是递减数列C．数列存在最小项 D．数列存在最大项5．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．(2023·上海青浦·二模）已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是_________．7．(2023·上海虹口·二模）已知等比数列的前项和为，公比，且为与的等差中项，.若数列满足，其前项和为，则_________.8．(2023·河南·开封市东信学校模拟（理））已知数列满足，则数列的前2022项的和为___________.9．(2023·上海闵行·二模）已知无穷等比数列的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列的个数为___________；10．(2023·湖北·华中师大一附中模拟）已知等比数列{an}各项均为正数，，若存在正整数，使得，请写出一个满足题意的k的值__________.1．(2023·上海青浦·二模）设各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使、、成等比数列，则公差的所有可能取值的个数为（

）A． B． C． D．无穷多2．(2023·浙江·模拟）已知是直角三角形，是直角，内角所对的边分别为，面积为．若，则下列选项错误的是（

）A．是递增数列 B．是递减数列C．数列存在最大项 D．数列存在最小项3．(2023·福建福州·三模）已知数列，的通项分别为，，现将和中所有的项，按从小到大的顺序排成数列，则满足的的最小值为（

）A．21 B．38 C．43 D．444．(2023·湖北武汉·模拟）（多选题）已知数列满足，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．5．(2023·江苏省滨海中学模拟）（多选题）已知数列的前n项和为，，且（，2，…），则（

）A． B． C． D．6．(2023·上海徐汇·二模）已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是______________．7．(2023·陕西西安·二模（理））“0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A是一个有限“0，1数列”，表示把A中每个0都变为1，0，1，每个1都变为0，1，0，所得到的新的“0，1数列”，例如，则．设是一个有限“0，1数列”，定义，k=1，2，3，…．若有限“0，1数列”，则数列的所有项之和为______．8．(2023·湖南益阳·一模）已知数列中，，若，则数列的前n项和_______.9．(2023·吉林吉林·模拟（文））如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“数列”.已知数列满足：，，则数列的通项公式___________；若，，且数列是“数列”，则t的取值范围是___________.10．(2023·江苏苏州·模拟）任何一个复数（其中a、，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则________；对于，________．专题12数列第38练等比数列1．(2023·北京育才学校模拟）设是等差数列，且，，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】解：由题意得：设的公差为又又，故选：D2．(2023·四川·模拟（文））已知为数列的前n项和，若，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为，所以数列为等比数列，公比，所以，解得：，所以故选：D3．(2023·福建泉州·模拟）记等比数列{}的前n项和为.若，则=（

）A． B．C． D．答案：C【解析】因为，所以，因为，所以，所以公比，所以故选：C4．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟）在等比数列中，已知，，则（

）A．20 B．12 C．8 D．4答案：C【解析】设的公比为q，则，解得，所以，故选：C．5．(2023·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】若，，，为，则不为等比数列，①不符合；由，，，必非零且公比为，则也非零且公比为，②符合；若，，，为，则不为等比数列，③不符合；故选：B6．(2023·吉林·洮南市第一中学模拟（文））已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________．答案：【解析】因为，，成等比数列，即解得或（舍）故答案为：7．(2023·北京市第十二中学三模）已知等比数列满足，且其前n项和，则数列的通项公式可以是___________.（写出一个符合条件的即可）答案：（符合条件的一个即可）【解析】由题意知，设等比数列的公比为，由，得，若，则，由得，所以，则可满足上述条件.故答案为：.8．(2023·河南开封·模拟（理））在等比数列中，为其前n项和，若，，则的公比为______．答案：１或.【解析】解：当时，满足，，此时；当时，由，，可得：，解得，此时.综上所述：公比的值为：１或.

故答案为：１或.1．(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟（理））在数列中，若，，则（

）A． B．C． D．答案：C【解析】令，则，又，所以是以3为首项，为公比的等比数列，所以，得．故选：C．2．(2023·贵州·贵阳一中模拟（文））已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（

）A． B．1 C．2 D．4答案：B【解析】由等差中项的性质可得，由等比中项的性质可得，因此，.故选：B.3．(2023·安徽·合肥市第六中学模拟（理））数列中，，对任意m，，，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：C【解析】解：在等式，中，令，可得，∴，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，∴，∴，则，解得故选：C.4．(2023·上海崇明·二模）已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（

）A．数列是递增数列 B．数列是递减数列C．数列存在最小项 D．数列存在最大项答案：C【解析】对AB，当公比为时，此时，此时既不是递增也不是递减数列；对CD，设等比数列公比为，当时，因为，故，故，此时，易得随的增大而增大，故存在最小项，不存在最大项；当时，因为，故，故，，因为，故当为偶数时，，随着的增大而增大，此时无最大值，当时有最小值；当为奇数时，，随着的增大而减小，故无最小值，有最大值.综上，当时，因为，故当时有最小值，当时有最大值综上所述，数列存在最小项，不一定有最大项，故C正确；D错误故选：C5．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】设等比数列的公比为，则，由可得，解得，因为，则，，可得，由已知、，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.6．(2023·上海青浦·二模）已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是_________．答案：【解析】∵，即，则又∵，即，则∵，则，∴，则∴故答案为：．7．(2023·上海虹口·二模）已知等比数列的前项和为，公比，且为与的等差中项，.若数列满足，其前项和为，则_________.答案：【解析】由题可得，，而，解得：，所以，即，所以．故答案为：．8．(2023·河南·开封市东信学校模拟（理））已知数列满足，则数列的前2022项的和为___________.答案：【解析】由题意可知，满足，当时，，，以上各式累加得，.，当时，也满足上式，∴，则.∴数列的前n项和为，∴.故答案为：.9．(2023·上海闵行·二模）已知无穷等比数列的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列的个数为___________；答案：13【解析】由题意得：此等比数列的公比，由得：，则，即，所以能整除，且因为，所以，解得：，经检验，均满足要求，故满足条件的不同数列的个数为13个.故答案为：1310．(2023·湖北·华中师大一附中模拟）已知等比数列{an}各项均为正数，，若存在正整数，使得，请写出一个满足题意的k的值__________.答案：9(9~12的正整数均可)【解析】在等比数列{an}中，设公比为，数列各项均为正数，所以由，则，解得或（舍），又，解得.则即，即当，即，也即时，有成立.又正整数，且又当时，，显然有成立.当时，也有成立.所以9～12的正整数均可满足条件.故答案为：91．(2023·上海青浦·二模）设各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使、、成等比数列，则公差的所有可能取值的个数为（

）A． B． C． D．无穷多答案：B【解析】根据题意可知，，化简可得，因为各项均为正整数，则，故是的倍数，且，因为、、成等比数列，则，分以下情况讨论：①若，则，可得，，解得，合乎题意；②若，则，可得，，解得，合乎题意；③若，则，可得，，解得，不合乎题意；④若，则，可得，，解得，不合乎题意；⑤若，则，可得，此时，是常数列，且每项均为，合乎题意.综上所述，公差的所有可能取值的个数为.故选：B.2．(2023·浙江·模拟）已知是直角三角形，是直角，内角所对的边分别为，面积为．若，则下列选项错误的是（

）A．是递增数列 B．是递减数列C．数列存在最大项 D．数列存在最小项答案：B【解析】由题意知，所以，所以，即，所以，则，故，，由，得，即，所以，则，而，故，则，所以，由于随着n的增大而减小，所以随着n的增大而增大，由题意可知，所以数列是递增数列，故选项A正确；同理随着n的增大而增大，数列是递增数列，故选项B错误；又，由于，且，所以数列是首项为7，公比为的等比数列，故，结合，可以解得，，所以，所以，其中所以，，其中所以，因为数列随着k的增大而减小，数列随着k的增大而增大，所以数列随着k的增大而减小，故为数列中所有正项中最大的，同理数列随着k的增大而增大，故为数列中所有负项中最小的．综上所述，数列的最大项为，最小项为．故选项C，选项D均正确．故选：B．3．(2023·福建福州·三模）已知数列，的通项分别为，，现将和中所有的项，按从小到大的顺序排成数列，则满足的的最小值为（

）A．21 B．38 C．43 D．44答案：C【解析】由题，，则数列为，……，则数列为，……设数列的前项和为，数列的前项和为，则，，当时，，，则，不符合条件；当时，，则，不符合条件；以此类推，因为，则前21项中，有的前16项，的前5项，且,当时，，不符合条件，故排除A；因为，则前38项中，有的前32项，的前6项，且,当时，，不符合条件，故排除B；因为，则前43项中，有的前37项，的前6项，且，当时，，符合条件，故选：C4．(2023·湖北武汉·模拟）（多选题）已知数列满足，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．答案：ACD【解析】，A正确；对于，有，两式相加得，C正确；由知，则，B错误；由偶数项均为可得为偶数时，，则，则，D正确.故选：ACD.5．(2023·江苏省滨海中学模拟）（多选题）已知数列的前n项和为，，且（，2，…），则（

）A． B． C． D．答案：AD【解析】由条件，两边同时除以，得，∴∴，∴，对于A选项，∵，∴，∴，故A选项正确；，，所以B选项错误；对于C选项，，等价于，由极限思想知，当时，，故C选项错误；对于D选项，，∴，又∵，所以D选项正确.故选：AD.6．(2023·上海徐汇·二模）已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是______________．答案：【解析】当时，，因为定义在上的函数满足，，令，则，所以，当时，有，所以，当时，，，令，则，，有，所以，当时，，同理可得，时，，根据规律，明显可见当，，且此时的必为增函数，又因为为在区间上的最小值，所以，，所以，若存在，使得有解，则有有解，进而必有，根据该函数的特性，明显可见，当时，有，所以，此时有故答案为：7．(2023·陕西西安·二模（理））“0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A是一个有限“0，1数列”，表示把A中每个0都变为1，0，1，每个1都变为0，1，0，所得到的新的“0，1数列”，例如，则．设是一个有限“0，1数列”，定义，k=1，2，3，…．若有限“0，1数列”，则数列的所有项之和为______．答案：【解析】因，依题意，，，显然，中有3项，其中2项为0，1项为1，由于每个0都变为1，0，1，每个1都变