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文档简介
专题12数列第38练等比数列1.(2023·北京育才学校模拟)设是等差数列,且,,则(
)A. B. C. D.2.(2023·四川·模拟(文))已知为数列的前n项和,若,则(
)A. B. C. D.3.(2023·福建泉州·模拟)记等比数列{}的前n项和为.若,则=(
)A. B.C. D.4.(2023·山东·济南市历城第二中学模拟)在等比数列中,已知,,则(
)A.20 B.12 C.8 D.45.(2023·上海奉贤·二模)若,,,成等比数列,则下列三个数列:①;②;③,必成等比数列的个数为(
)A. B. C. D.6.(2023·吉林·洮南市第一中学模拟(文))已知是等差数列,,公差,为其前n项和,若,,成等比数列,则________.7.(2023·北京市第十二中学三模)已知等比数列满足,且其前n项和,则数列的通项公式可以是___________.(写出一个符合条件的即可)8.(2023·河南开封·模拟(理))在等比数列中,为其前n项和,若,,则的公比为______.1.(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟(理))在数列中,若,,则(
)A. B.C. D.2.(2023·贵州·贵阳一中模拟(文))已知数列是等差数列,数列是等比数列,若则的值是(
)A. B.1 C.2 D.43.(2023·安徽·合肥市第六中学模拟(理))数列中,,对任意m,,,若,则(
)A.2 B.3 C.4 D.54.(2023·上海崇明·二模)已知无穷等比数列中,,它的前n项和为,则下列命题正确的是(
)A.数列是递增数列 B.数列是递减数列C.数列存在最小项 D.数列存在最大项5.(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟)已知正项等比数列满足,若存在、,使得,则的最小值为(
)A. B. C. D.6.(2023·上海青浦·二模)已知数列的通项公式为,数列是首项为,公比为的等比数列,若,其中,则公比的取值范围是_________.7.(2023·上海虹口·二模)已知等比数列的前项和为,公比,且为与的等差中项,.若数列满足,其前项和为,则_________.8.(2023·河南·开封市东信学校模拟(理))已知数列满足,则数列的前2022项的和为___________.9.(2023·上海闵行·二模)已知无穷等比数列的各项均为正整数,且,则满足条件的不同数列的个数为___________;10.(2023·湖北·华中师大一附中模拟)已知等比数列{an}各项均为正数,,若存在正整数,使得,请写出一个满足题意的k的值__________.1.(2023·上海青浦·二模)设各项均为正整数的无穷等差数列,满足,且存在正整数,使、、成等比数列,则公差的所有可能取值的个数为(
)A. B. C. D.无穷多2.(2023·浙江·模拟)已知是直角三角形,是直角,内角所对的边分别为,面积为.若,则下列选项错误的是(
)A.是递增数列 B.是递减数列C.数列存在最大项 D.数列存在最小项3.(2023·福建福州·三模)已知数列,的通项分别为,,现将和中所有的项,按从小到大的顺序排成数列,则满足的的最小值为(
)A.21 B.38 C.43 D.444.(2023·湖北武汉·模拟)(多选题)已知数列满足,,则下列说法正确的是(
)A. B. C. D.5.(2023·江苏省滨海中学模拟)(多选题)已知数列的前n项和为,,且(,2,…),则(
)A. B. C. D.6.(2023·上海徐汇·二模)已知定义在上的函数满足,当时,.设在区间上的最小值为.若存在,使得有解,则实数的取值范围是______________.7.(2023·陕西西安·二模(理))“0,1数列”在通信技术中有着重要应用,它是指各项的值都等于0或1的数列.设A是一个有限“0,1数列”,表示把A中每个0都变为1,0,1,每个1都变为0,1,0,所得到的新的“0,1数列”,例如,则.设是一个有限“0,1数列”,定义,k=1,2,3,….若有限“0,1数列”,则数列的所有项之和为______.8.(2023·湖南益阳·一模)已知数列中,,若,则数列的前n项和_______.9.(2023·吉林吉林·模拟(文))如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差都大于2,则称这个数列为“数列”.已知数列满足:,,则数列的通项公式___________;若,,且数列是“数列”,则t的取值范围是___________.10.(2023·江苏苏州·模拟)任何一个复数(其中a、,i为虚数单位)都可以表示成:的形式,通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现:,我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息,若,时,则________;对于,________.专题12数列第38练等比数列1.(2023·北京育才学校模拟)设是等差数列,且,,则(
)A. B. C. D.答案:D【解析】解:由题意得:设的公差为又又,故选:D2.(2023·四川·模拟(文))已知为数列的前n项和,若,则(
)A. B. C. D.答案:D【解析】因为,所以数列为等比数列,公比,所以,解得:,所以故选:D3.(2023·福建泉州·模拟)记等比数列{}的前n项和为.若,则=(
)A. B.C. D.答案:C【解析】因为,所以,因为,所以,所以公比,所以故选:C4.(2023·山东·济南市历城第二中学模拟)在等比数列中,已知,,则(
)A.20 B.12 C.8 D.4答案:C【解析】设的公比为q,则,解得,所以,故选:C.5.(2023·上海奉贤·二模)若,,,成等比数列,则下列三个数列:①;②;③,必成等比数列的个数为(
)A. B. C. D.答案:B【解析】若,,,为,则不为等比数列,①不符合;由,,,必非零且公比为,则也非零且公比为,②符合;若,,,为,则不为等比数列,③不符合;故选:B6.(2023·吉林·洮南市第一中学模拟(文))已知是等差数列,,公差,为其前n项和,若,,成等比数列,则________.答案:【解析】因为,,成等比数列,即解得或(舍)故答案为:7.(2023·北京市第十二中学三模)已知等比数列满足,且其前n项和,则数列的通项公式可以是___________.(写出一个符合条件的即可)答案:(符合条件的一个即可)【解析】由题意知,设等比数列的公比为,由,得,若,则,由得,所以,则可满足上述条件.故答案为:.8.(2023·河南开封·模拟(理))在等比数列中,为其前n项和,若,,则的公比为______.答案:1或.【解析】解:当时,满足,,此时;当时,由,,可得:,解得,此时.综上所述:公比的值为:1或.
故答案为:1或.1.(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟(理))在数列中,若,,则(
)A. B.C. D.答案:C【解析】令,则,又,所以是以3为首项,为公比的等比数列,所以,得.故选:C.2.(2023·贵州·贵阳一中模拟(文))已知数列是等差数列,数列是等比数列,若则的值是(
)A. B.1 C.2 D.4答案:B【解析】由等差中项的性质可得,由等比中项的性质可得,因此,.故选:B.3.(2023·安徽·合肥市第六中学模拟(理))数列中,,对任意m,,,若,则(
)A.2 B.3 C.4 D.5答案:C【解析】解:在等式,中,令,可得,∴,∴数列是以为首项,以为公比的等比数列,则,∴,∴,则,解得故选:C.4.(2023·上海崇明·二模)已知无穷等比数列中,,它的前n项和为,则下列命题正确的是(
)A.数列是递增数列 B.数列是递减数列C.数列存在最小项 D.数列存在最大项答案:C【解析】对AB,当公比为时,此时,此时既不是递增也不是递减数列;对CD,设等比数列公比为,当时,因为,故,故,此时,易得随的增大而增大,故存在最小项,不存在最大项;当时,因为,故,故,,因为,故当为偶数时,,随着的增大而增大,此时无最大值,当时有最小值;当为奇数时,,随着的增大而减小,故无最小值,有最大值.综上,当时,因为,故当时有最小值,当时有最大值综上所述,数列存在最小项,不一定有最大项,故C正确;D错误故选:C5.(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟)已知正项等比数列满足,若存在、,使得,则的最小值为(
)A. B. C. D.答案:D【解析】设等比数列的公比为,则,由可得,解得,因为,则,,可得,由已知、,所以,,当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为.故选:D.6.(2023·上海青浦·二模)已知数列的通项公式为,数列是首项为,公比为的等比数列,若,其中,则公比的取值范围是_________.答案:【解析】∵,即,则又∵,即,则∵,则,∴,则∴故答案为:.7.(2023·上海虹口·二模)已知等比数列的前项和为,公比,且为与的等差中项,.若数列满足,其前项和为,则_________.答案:【解析】由题可得,,而,解得:,所以,即,所以.故答案为:.8.(2023·河南·开封市东信学校模拟(理))已知数列满足,则数列的前2022项的和为___________.答案:【解析】由题意可知,满足,当时,,,以上各式累加得,.,当时,也满足上式,∴,则.∴数列的前n项和为,∴.故答案为:.9.(2023·上海闵行·二模)已知无穷等比数列的各项均为正整数,且,则满足条件的不同数列的个数为___________;答案:13【解析】由题意得:此等比数列的公比,由得:,则,即,所以能整除,且因为,所以,解得:,经检验,均满足要求,故满足条件的不同数列的个数为13个.故答案为:1310.(2023·湖北·华中师大一附中模拟)已知等比数列{an}各项均为正数,,若存在正整数,使得,请写出一个满足题意的k的值__________.答案:9(9~12的正整数均可)【解析】在等比数列{an}中,设公比为,数列各项均为正数,所以由,则,解得或(舍),又,解得.则即,即当,即,也即时,有成立.又正整数,且又当时,,显然有成立.当时,也有成立.所以9~12的正整数均可满足条件.故答案为:91.(2023·上海青浦·二模)设各项均为正整数的无穷等差数列,满足,且存在正整数,使、、成等比数列,则公差的所有可能取值的个数为(
)A. B. C. D.无穷多答案:B【解析】根据题意可知,,化简可得,因为各项均为正整数,则,故是的倍数,且,因为、、成等比数列,则,分以下情况讨论:①若,则,可得,,解得,合乎题意;②若,则,可得,,解得,合乎题意;③若,则,可得,,解得,不合乎题意;④若,则,可得,,解得,不合乎题意;⑤若,则,可得,此时,是常数列,且每项均为,合乎题意.综上所述,公差的所有可能取值的个数为.故选:B.2.(2023·浙江·模拟)已知是直角三角形,是直角,内角所对的边分别为,面积为.若,则下列选项错误的是(
)A.是递增数列 B.是递减数列C.数列存在最大项 D.数列存在最小项答案:B【解析】由题意知,所以,所以,即,所以,则,故,,由,得,即,所以,则,而,故,则,所以,由于随着n的增大而减小,所以随着n的增大而增大,由题意可知,所以数列是递增数列,故选项A正确;同理随着n的增大而增大,数列是递增数列,故选项B错误;又,由于,且,所以数列是首项为7,公比为的等比数列,故,结合,可以解得,,所以,所以,其中所以,,其中所以,因为数列随着k的增大而减小,数列随着k的增大而增大,所以数列随着k的增大而减小,故为数列中所有正项中最大的,同理数列随着k的增大而增大,故为数列中所有负项中最小的.综上所述,数列的最大项为,最小项为.故选项C,选项D均正确.故选:B.3.(2023·福建福州·三模)已知数列,的通项分别为,,现将和中所有的项,按从小到大的顺序排成数列,则满足的的最小值为(
)A.21 B.38 C.43 D.44答案:C【解析】由题,,则数列为,……,则数列为,……设数列的前项和为,数列的前项和为,则,,当时,,,则,不符合条件;当时,,则,不符合条件;以此类推,因为,则前21项中,有的前16项,的前5项,且,当时,,不符合条件,故排除A;因为,则前38项中,有的前32项,的前6项,且,当时,,不符合条件,故排除B;因为,则前43项中,有的前37项,的前6项,且,当时,,符合条件,故选:C4.(2023·湖北武汉·模拟)(多选题)已知数列满足,,则下列说法正确的是(
)A. B. C. D.答案:ACD【解析】,A正确;对于,有,两式相加得,C正确;由知,则,B错误;由偶数项均为可得为偶数时,,则,则,D正确.故选:ACD.5.(2023·江苏省滨海中学模拟)(多选题)已知数列的前n项和为,,且(,2,…),则(
)A. B. C. D.答案:AD【解析】由条件,两边同时除以,得,∴∴,∴,对于A选项,∵,∴,∴,故A选项正确;,,所以B选项错误;对于C选项,,等价于,由极限思想知,当时,,故C选项错误;对于D选项,,∴,又∵,所以D选项正确.故选:AD.6.(2023·上海徐汇·二模)已知定义在上的函数满足,当时,.设在区间上的最小值为.若存在,使得有解,则实数的取值范围是______________.答案:【解析】当时,,因为定义在上的函数满足,,令,则,所以,当时,有,所以,当时,,,令,则,,有,所以,当时,,同理可得,时,,根据规律,明显可见当,,且此时的必为增函数,又因为为在区间上的最小值,所以,,所以,若存在,使得有解,则有有解,进而必有,根据该函数的特性,明显可见,当时,有,所以,此时有故答案为:7.(2023·陕西西安·二模(理))“0,1数列”在通信技术中有着重要应用,它是指各项的值都等于0或1的数列.设A是一个有限“0,1数列”,表示把A中每个0都变为1,0,1,每个1都变为0,1,0,所得到的新的“0,1数列”,例如,则.设是一个有限“0,1数列”,定义,k=1,2,3,….若有限“0,1数列”,则数列的所有项之和为______.答案:【解析】因,依题意,,,显然,中有3项,其中2项为0,1项为1,由于每个0都变为1,0,1,每个1都变
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