高考数学微专题集第01节导数与三角函数交汇问题初探(原卷版+解析)

第01节导数与三角函数交汇问题初探第一节导数与三角函数交汇问题初探2019年全国卷Ⅰ理科和文科第20题均考查与三角函数交会的导数问题，让人眼前一亮．这类试题可谓别出心裁，由于三角函数的独特性，当表达式中含有三角函数时，无论怎么求导，导函数仍含有三角函数，这就是解题的难点．题型一：三角函数与多项式函数组合例1已知函数．（1）若在区间不单调，求a的取值范围；（2）当时，恒成立，求a的取值范围．解析（1）由已知，得，当时，．当时，恒成立，在上单调递增，不符合题意；当时，恒成立，在上单调递减，不符合题意；当时，由，可得，则存在，使得．此时，在上单调递减，在上单调递增，即在不单调．综上，a的取值范围为．（2）由（1）知，当时，，即当时，，从而．令，则．当时，，则在上单调递减，，满足题意．当时，设，则当时，，从而在上单调递减，于是，下面分情况讨论．当时，，即，则在上单调递增，，不满足题意．当时，一定存在，使得，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，不满足题意．综上，a的取值范围是．点评本题第（1）问利用导数研究函数的单调性，由于导函数中含有参数，所以需要对参数进行讨论，根据，得到对a讨论的分界点，下面的求解就不难了．第（2）问充分地利用当时，这个不等式，从而有，在进行放缩变形的同时，实现“超越式”到“非超越式”的转化，突破了难点．一般地，当时，要充分利用“”这个不等式．题型二：三角函数与对数型函数组合例2已知函数为的导数．证明：有且仅有2个零点．解析，由（1）知在有唯一极大值点．当时，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点．当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，所以存在，使得，且当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减．又，所以当时，．从而在没有零点．当时，，所以在单调递减，而，所以在有唯一零点．当时，，所以，从而在没有零点．综上，有且仅有2个零点．名师点评：利用导数确定函数零点问间题的解题思路是对函数求导，研究函数单调性、极值，得到函数的大致图象，再利用数形结合得到零点个数，本题求导后发现函数有一个零点，再考虑三角函数在各个区间的不同符号，从而不能直接把看成一个整体来研究，要把它分成与两个部分，再逐个区间分析，使导函数在的零点全部解出，从而破解了本题的难点．由于三角函数在各象限符号的变化及周期性，研究三角函数的零点问题常用逐个区间分析法．题型三：三角函数与指数型函数组合例3已知函数，当时，，求a的取值范围．解析当时，，符合题意．当时，设函数与的图象在点处有公切线（其中），则则，此时，故．当时，设函数与的图象在点处有公切线（其中），同理可得．综上，a的取值范围为．名师点评：本题若直接研究函数的单调性及最值，较难求解．因此要把问题转化为函数的图象在的图象上方，进而对a进行讨论，考虑的有界性及图象特征，研究两个函数图象的公切线，从而得到a的最值，求得范围．一般地，两个函数的图象分别被某条直线隔离，这种图形特征与不等式恒成立问题有着非常密切的联系，若直接证明比较复杂，可以利用导数的几何意义得到曲线的切线方程，对欲证式子进行放缩，再利用不等式的传递性进行证明．例4已知函数．（1）求的单调递减区间：（2）记，若，试讨论在上的零点个数（参考数据：）．解析：（1）的单调递减区间为．（2）由已知，所以．令，则．因为，所以当时，；当时，，则在上单调递增，在上单调递减．又．当，即时，，则存在，使得，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．因为，所以．又，则由零点存在性定理可得，此时在上仅有1个零点．若时，，又在上单调递增，在上单调递减，而，所以存在，使得，且当和时，；当时，，则在和上单调递减，在上单调递增．因为，所以．因为，所以．又因为，由零点存在性定理可得，在和内各有1个零点，即此时在上有2个零点．综上所述，当时，在上仅有1个零点；当时，在上有2个零点．名师点评本题难点在于研究函数的零点，故先求导研究其单调性，由于一阶导函数比较复杂，故求二阶导函数，通过研究图象的大致特征，确定参数a的分界点，再结合零点存在性定理分析，突破了本题的难点．题型四：三角函数与对数型、指数型函数组合例5已知函数．若函数，求证：函数存在极小值．解析依题意，，令，则；而，可知当时，，故函数在上单调递增，当时，；当时，函数单调递增，而．又因为，故存在，使得，所以存在，使得，即函数单调递增；所以当时，，则函数在单调递减，在单调递增，所以时，函数有极小值．名师点评根据三角函数的有界性，易知，，本题第（1）问即利用这个性质，判断出，从而轻松获解．一般地，研究函数单调性或判断导函数的符号时，必须关注三角函数的有界性，以便于判断符号．本题第（2）问先构造函数，由逐个区间分析法易得当时，，从而，进而研究在的符号，显然，直观感知当时，，但如何取函数在的零点是一个难点，这里仍需关注三角函数的有界性，取一个接近的数，如取可得，从而突破了本题的难点．题型五：多个三角函数与其他函数组合1．已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．第01节导数与三角函数交汇问题初探第一节导数与三角函数交汇问题初探2019年全国卷Ⅰ理科和文科第20题均考查与三角函数交会的导数问题，让人眼前一亮．这类试题可谓别出心裁，由于三角函数的独特性，当表达式中含有三角函数时，无论怎么求导，导函数仍含有三角函数，这就是解题的难点．题型一：三角函数与多项式函数组合例1已知函数．（1）若在区间不单调，求a的取值范围；（2）当时，恒成立，求a的取值范围．解析（1）由已知，得，当时，．当时，恒成立，在上单调递增，不符合题意；当时，恒成立，在上单调递减，不符合题意；当时，由，可得，则存在，使得．此时，在上单调递减，在上单调递增，即在不单调．综上，a的取值范围为．（2）由（1）知，当时，，即当时，，从而．令，则．当时，，则在上单调递减，，满足题意．当时，设，则当时，，从而在上单调递减，于是，下面分情况讨论．当时，，即，则在上单调递增，，不满足题意．当时，一定存在，使得，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，不满足题意．综上，a的取值范围是．点评本题第（1）问利用导数研究函数的单调性，由于导函数中含有参数，所以需要对参数进行讨论，根据，得到对a讨论的分界点，下面的求解就不难了．第（2）问充分地利用当时，这个不等式，从而有，在进行放缩变形的同时，实现“超越式”到“非超越式”的转化，突破了难点．一般地，当时，要充分利用“”这个不等式．题型二：三角函数与对数型函数组合例2已知函数为的导数．证明：有且仅有2个零点．解析，由（1）知在有唯一极大值点．当时，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点．当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，所以存在，使得，且当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减．又，所以当时，．从而在没有零点．当时，，所以在单调递减，而，所以在有唯一零点．当时，，所以，从而在没有零点．综上，有且仅有2个零点．名师点评：利用导数确定函数零点问间题的解题思路是对函数求导，研究函数单调性、极值，得到函数的大致图象，再利用数形结合得到零点个数，本题求导后发现函数有一个零点，再考虑三角函数在各个区间的不同符号，从而不能直接把看成一个整体来研究，要把它分成与两个部分，再逐个区间分析，使导函数在的零点全部解出，从而破解了本题的难点．由于三角函数在各象限符号的变化及周期性，研究三角函数的零点问题常用逐个区间分析法．题型三：三角函数与指数型函数组合例3已知函数，当时，，求a的取值范围．解析当时，，符合题意．当时，设函数与的图象在点处有公切线（其中），则则，此时，故．当时，设函数与的图象在点处有公切线（其中），同理可得．综上，a的取值范围为．名师点评：本题若直接研究函数的单调性及最值，较难求解．因此要把问题转化为函数的图象在的图象上方，进而对a进行讨论，考虑的有界性及图象特征，研究两个函数图象的公切线，从而得到a的最值，求得范围．一般地，两个函数的图象分别被某条直线隔离，这种图形特征与不等式恒成立问题有着非常密切的联系，若直接证明比较复杂，可以利用导数的几何意义得到曲线的切线方程，对欲证式子进行放缩，再利用不等式的传递性进行证明．例4已知函数．（1）求的单调递减区间：（2）记，若，试讨论在上的零点个数（参考数据：）．解析：（1）的单调递减区间为．（2）由已知，所以．令，则．因为，所以当时，；当时，，则在上单调递增，在上单调递减．又．当，即时，，则存在，使得，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．因为，所以．又，则由零点存在性定理可得，此时在上仅有1个零点．若时，，又在上单调递增，在上单调递减，而，所以存在，使得，且当和时，；当时，，则在和上单调递减，在上单调递增．因为，所以．因为，所以．又因为，由零点存在性定理可得，在和内各有1个零点，即此时在上有2个零点．综上所述，当时，在上仅有1个零点；当时，在上有2个零点．名师点评本题难点在于研究函数的零点，故先求导研究其单调性，由于一阶导函数比较复杂，故求二阶导函数，通过研究图象的大致特征，确定参数a的分界点，再结合零点存在性定理分析，突破了本题的难点．题型四：三角函数与对数型、指数型函数组合例5已知函数．若函数，求证：函数存在极小值．解析依题意，，令，则；而，可知当时，，故函数在上单调递增，当时，；当时，函数单调递增，而．又因为，故存在，使得，所以存在，使得，即函数单调递增；所以当时，，则函数在单调递减，在单调递增，所以时，函数有极小值．名师点评根据三角函数的有界性，易知，，本题第（1）问即利用这个性质，判断出，从而轻松获解．一般地，研究函数单调性或判断导函数的符号时，必须关注三角函数的有界性，以便于判断符号．本题第（2）问先构造函数，由逐个区间分析法易得当时，，从而，进而研究在的符号，显然，直观感知当时，，但如何取函数在的零点是一个难点，这里仍需关注三角函数的有界性，取一个接近的数，如取可得，从而突破了本题的难点．题型五：多个三角函数与其他函数组合1．已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．参考答案：1．（1）见解析；（2）.分析：（1）求导得到导函数后，设为进行再次求导，可判断出当时，，当时，，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，，和的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围.【详解】（1）令，则当时，令，解得：当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减又，，即当时，，此时无零点，即无零点

，使得又在上单调递减

为，即在上的唯一零点综上所述：在区间存在唯一零点（2）若时，，即恒成立令则，由（1）可知，在上单调递增；在上单调递