2023学年华中师大一附中高一数学（下）期末考试卷附答案详析

2023学年华中师大一附中高一数学（下）期末考试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虛部为（）A． B． C． D．2．某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球．事件A=“取出的小球编号为奇数”，事件B=“取出的小球编号为偶数”，事件C=“取出的小球编号小于6”，事件D=“取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（）A．A与B互斥 B．A与B互为对立事件C．C与D互为对立事件 D．B与D相互独立3．已知m，n是不同的直线，，，是不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则4．甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响．若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（）A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.95．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C对应的边，则“”是“△ABC为直角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．如图，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，，E为下底面上的一点，且，则直线CE与平面ABCD所成角的正切值为（）A．2 B． C． D．7．掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（）A． B． C． D．8．在平行四边形ABCD中，，，．P是以C为圆心，为半径的圆上一动点，且，则的最大值为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，判断可能出现了点数6的是（）A．中位数为3，极差为3B．平均数为2，第80百分位数为4C．平均数为3，中位数为4D．平均数为3，方差为110．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④．则下列结论正确的是（）A．若，，则B．若，则C．D．11．如图所示，在直角梯形BCEF中，，A，D分别是BF，CE上的点，且，，将四边形ADEF沿AD向上折起，连接BE，BF，CE．在折起的过程中，下列结论正确的是（）A．平面BEFB．BE与AD所成的角先变大后变小C．几何体EFABCD体积有最大值D．平面BCE与平面BEF不可能垂直三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆锥体积为，表面积是底面积的3倍，则该圆锥的母线长为______．13．已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则______．14．在正三棱柱中，，E为线段上动点，D为BC边中点，则三棱锥A-BDE外接球表面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人，求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率．16．（15分）如图，四边形PDCE为矩形，直线PD垂直于梯形ABCD所在的平面．，F是线段PA的中点，，．（1）求证：平面DEF；（2）求点F到平面BCP的距离．17．（15分）在△ABC中，a，b，c为角A，B，C对应的边，S为△ABC的面积．且．（1）求A；（2）若，求△ABC内切圆半径的最大值．18．（17分）如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，D、E分别是线段AC、的中点，点在平面ABC内的射影为点D．（1）求证：平面BDE；（2）设G为棱上一点，，．①若，请在图中作出三棱柱过G、B、D三点的截面，并求该截面的面积；②求二面角G-BD-E的取值范围．19．（17分）对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”．（1）若，，是的“迷你向量”，求实数x的取值范围；（2）一只蚂蚁从坐标原点沿最短路径爬行到点处（且）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i次后停留的位置记为，设．记事件T=“蚂蚁经过的路径中至少有n个使得是的迷你向量”。（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的）①当时，求；②证明：；华中师大一附中2023--2024学年度下学期期末检测高一年级数学试题（解析版）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】，故选B．2．【答案】C【解析】：，，故C与D不对立，故选C．3．【解析】对于A，m和n可以平行，也可以相交，也可以异面；对于B，和可以相交，也可以平行；对于C，有可能；D正确．故选D．4．【解析】设事件A=“两人中至少一人命中”，因为甲乙两人投篮相互独立，考虑对立事件“两人都不命中”，故选B．5．【解析】，由正弦定理得．，化简得又，，又，；充分性得证．若△ABC为直角三角形，则当时，结论不一定成立，故选A．6．【解析】过E作EH⊥AB，连接CH．ABCD为圆台的轴截面，平面AEB⊥平面ABCDEH⊥平面ABCD，直线CE与平面ABCD所成的角即∠ECH．且，求得，，，故选D．7．【解析】由题，三个点数之和大于14可能为15，16，17，18四种情况．又；；；．，故选B．8．【解析】（法一）（建系法）如图，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，写出其余各点坐标，，，，．，，，又，将各向量坐标代入得；．，所以最大值为．故选C．（法二）（等和线法）如图，过圆作平行于直线BD的切线l，求A到直线l距离与A到直线BD距离之比即为的最大值．，，，得，，故选C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【解析】对于A，满足题意；对于B，因为第80百分位数为4，若有点数6，则，故不可能平均数为2，故B错误；对于C，满足题意；对于D，，不符合题意，故选AC．10．【答案】ABD对于A，；故A正确；对于B，若，则，，．故B正确：对于C，，故C错误；对于D，设，则将，代入可得：故D正确．故选ABD．11．【答案】ACD【解析】对于A，延长EF与DA延长线交于H，连接AC，HB．，又AHBC为平行四边形，，平面BEF．故A正确；对于B，BC⊥CD，AD⊥DE，BC⊥DE，BC⊥平面CDE，BC⊥CE，随翻折角增大，EC逐渐变小，所以EB与AD所成角即EB与BC所成角逐渐变小，故B错误；对于C，（h为E到平面ABCD距离），故C正确．对于D，若平面BCE⊥平面BEF，过F作FG⊥BE，FG⊥平面BCE，BC⊥FG，又BC⊥AB；AD⊥AF，BC⊥平面ABFBC⊥BF，，BC⊥平面BEF，BC⊥EB又由B选项知BC⊥CE，与BC⊥EB矛盾，故平面BCE与平面BEF不垂直．故选ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【解析】设圆锥底面半径为r，高为h，由题；，解得，代入得，【答案】13．【解析】由题，，又，，【答案】14．【解析】如图，设，球心O到平面ABD距离为OF，设，，，当且仅当时即取“=”．，．故最小为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【答案】（1）40百分位数：83.3；平均数：84（单位：分） （2）【解析】（1）由题得，；．故40百分位数在层列式计算得40百分位数为平均数．（2）因为按比例分配的分层随机抽样，故，，三层中抽取的样本量分别为；；0．05+0．10+0．15从这6人中随机抽取两人，记中抽取的人编号为1，抽取的人编号为2、3，抽取的人编号为4、5、6，记事件A=“抽取的两人都及格”．{12，13，14，15，16，23，24．25，26，34，35，36，45，46，56}，所以；{23，24，25，26，34，35，36．45，．46，56}，所以；易得该试验为古典概型，（说明：用组合数公式计算样本空间及事件A的样本点个数，同样给分．但过程太简略，如没记事件等，酌情扣分）16．【答案】（1）详见解析 （2）【解析】（1）设CP与ED相交于O，连接OF，，，又平面DEF，平面DEF，平面DEF（注：没有说明线在面内或线在面外的，一处扣1分）（2）设A到平面PCB距离为h，，，，又PD⊥平面ABC，又；；，，又F为PA中点，故点F到平面BCP的距离17．【答案】（1） （2）【解析】（1）又又，；，又，（2），又，（法一），，，当且仅当时时取“=”，此时△ABC为等边三角形故内切圆半径最大值为（法二），所以当时，有最大值4．故内切圆半径最大值为．18．【答案】（1）详见解析； ②【解析】（1）平面ABC，，又△ABC为等边三角形，BD⊥AC又，BD⊥平面，又，，；，平面BDE（2）①截面图形为如图所示的直角梯形BGHD，其中H为上靠近的四等分点．平面平面，，又BD⊥平面，BD⊥DH，故截面为直角梯形BGHD又底面是边长为4的等边三角形且，;②BD⊥平面，BD⊥DE，过G作交于MBD⊥平面，DM⊥BD，又ED⊥BD，故二面角G-BD-E即为∠EDMG为棱上一点，且，，，，，令，故二面角G-BD-E的取值范围19．【解析】（1）是的“迷你向量”，，解得．（2）①如图，当时，能使得是的迷你向量的共有四个，即，要想使得经过的路线中至少有其中3个点，则路径必经过点故只需要考虑所有最短路径中经过点的条数即可．先考虑总共最短路径条数：最短路径一共6步，其中三步向上，三步向右，也即是在6步中选择三步向上，其余三步向右故可以用这样的样本点组成的样本空间描述最短路径