青岛版初中八年级数学上册5-6几何证明举例第4课时直角三角形全等的判定课件

5.6几何证明举例第5章几何证明初步第4课时直角三角形全等的判定知识点7直角三角形全等的判定定理“HL”基础过关全练1.(2024山东泰安泰山期末)如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要

根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加一个条

件是

()A.AE=DF

B.∠A=∠DC.∠B=∠C

D.AB=DCD解析因为AE⊥BC,DF⊥BC,所以∠CFD=∠AEB=90°,在Rt

△ABE和Rt△DCF中,已知直角边BE=CF,若用“HL”证两

三角形全等,需添加条件AB=CD.故选D.2.(2024河北衡水故城期末)下列说法不正确的是

()A.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B.一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等C.斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等D.有两边相等的两个直角三角形全等D解析两条直角边对应相等的两个直角三角形全等,可根据

“SAS”来判断,选项A不符合题意;一锐角和斜边对应相等

的两个直角三角形全等,可根据“AAS”来判断,选项B不符

合题意;斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等,可

根据“HL”来判断,选项C不符合题意;如果第一个直角三角

形的两条直角边长分别为3,4,第二个直角三角形一条直角边

长为3,斜边长为4,那么这两个直角三角形不全等,选项D错

误,符合题意,故选D.3.(2024山东菏泽成武期中)如图,BE,CD是△ABC的高,且BD=

EC,判定△BCD≌△CBE的依据是“

”.HL解析因为BE,CD是△ABC的高,所以∠CDB=∠BEC=90°.

在Rt△BCD和Rt△CBE中,

所以Rt△BCD≌Rt△CBE(HL).4.如图,AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°,点D是EF上一点,AE⊥

EF于E,CF⊥EF于F,AE=CF,求证:Rt△ADE≌Rt△CDF.证明如图,连接BD,在Rt△ABD和Rt△CBD中,

所以Rt△ABD≌Rt△CBD(HL),所以AD=CD.因为AE⊥EF,CF⊥EF,所以∠E=∠F=90°.在Rt△ADE和Rt△CDF中,

所以Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).5.(方程思想)(新独家原创)如图,AD是△ABC的角平分线,DF

⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和38,求△EDF的面积.解析如图,过点D作DH⊥AC于H,因为AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,所以DF=DH.在Rt△DEF和Rt△DGH中,

所以Rt△DEF≌Rt△DGH(HL),所以S△EDF=S△GDH.同理Rt△ADF≌Rt△ADH,所以S△ADF=S△ADH.设S△EDF=S△GDH=S,所以38+S=50-S,解得S=6,即△EDF的面积是6.6.(2022山东聊城茌平期末)已知∠A=∠D=90°,AB=DC,点E,F

在直线BC上,位置如图所示,且BE=CF.(1)求证:AF=DE;(2)若PO平分∠EPF,求证:PO垂直平分线段BC.证明(1)∵BE=CF,∴BE+BC=CF+BC,∴CE=BF.在Rt△ABF与Rt△DCE中,

∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL),∴AF=DE.(2)∵Rt△ABF≌Rt△DCE,∴∠E=∠F,∴PE=PF,又∵PO平分∠EPF,∴PO⊥BC,EO=FO.又∵EB=FC,∴BO=CO,∴PO垂直平分线段BC.能力提升全练7.(2024北京二中教育集团期中,8,★★☆)如图,BN为∠MBC

的平分线,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,∠APC+∠ABC=1

80°,给出下列结论:①∠MAP=∠BCP;②PA=PC;③AB+BC=2

BD;④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍.其中正确的

结论有

()A.4个

B.3个

C.2个

D.1个A解析如图,过点P作PK⊥AB,垂足为点K.因为PK⊥AB,PD⊥

BC,BN为∠MBC的平分线,所以PK=PD.在Rt△BPK和Rt△

BPD中,

所以Rt△BPK≌Rt△BPD(HL),所以BK=BD.因为∠APC+∠ABC=180°,∠ABC+∠KPD=180°,所以∠

KPD=∠APC,所以∠APD+∠APK=∠APD+∠CPD,所以∠

APK=∠CPD,所以∠MAP=∠BCP,故①正确;在△PAK和△

PCD中,

所以△PAK≌△PCD(ASA),所以AK=CD,PA=PC,所以BK-AB=BC-BD,所以BD-AB=BC-BD,所以AB

+BC=2BD,故②③正确;因为Rt△BPK≌Rt△BPD,△PAK≌△

PCD,所以S△BPK=S△BPD,S△APK=S△PDC,所以S四边形ABCP=S四边形KBDP=2S△PBD,故④正确.故选A.8.(2023山东聊城东昌府期中,12,★★☆)已知:如图,BD为△

ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA,

过E作EF⊥AB,垂足为F.下列结论:①△ABD≌△EBC;②∠

BCE+∠BCD=180°;③AD=AE=EC;④BA+BC=2BF.其中正确

的是

()A.①②③

B.①③④C.①②④

D.①②③④D解析因为BD为△ABC的角平分线,所以∠ABD=∠CBD.在

△ABD和△EBC中,

所以△ABD≌△EBC(SAS),故①正确;因为BD=BC,BE=BA,所以∠BDC=∠BCD,∠

BEA=∠BAE.因为∠ABE=∠CBE,所以∠BCD=∠BDC=∠

BAE=∠BEA.因为△ABD≌△EBC,所以∠BCE=∠BDA,所以

∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°,故②正确;因为∠BCE

=∠BDA,∠BCE=∠BCD+∠DCE,∠BDA=∠DAE+∠BEA,∠BCD=∠BEA,所以∠DCE=∠DAE,所以△ACE为等腰三角形,

AE=EC.因为△ABD≌△EBC,所以AD=EC,所以AD=AE=EC,

故③正确;过E作EG⊥BC,交BC的延长线于点G,如图,因为E

是BD延长线上的点,EF⊥AB,且BD为△ABC的角平分线,所

以EF=EG,在Rt△BEG和Rt△BEF中,

所以Rt△BEG≌Rt△BEF(HL),所以BG=BF.在Rt△CEG和Rt△AEF中,

所以Rt△CEG≌Rt△AEF(HL),所以AF=CG,所以BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF,故④正确.

9.(2024北京二中教育集团期中,23,★★☆)如图,在△ABC中,

BD平分∠ABC,E是BD上一点,EA⊥AB,且EB=EC.(1)如果∠ABC=40°,求∠DEC的度数;(2)求证:BC=2AB.解析(1)因为BD平分∠ABC,所以∠EBC=

∠ABC=20°.因为EB=EC,所以∠ECB=∠EBC=20°.因为∠DEC是△EBC的一个外角,所以∠DEC=∠ECB+∠EBC=40°.(2)证明:如图,过点E作EF⊥BC于点F,因为BD平分∠ABC,EA⊥AB,所以EA=EF.在Rt△AEB和Rt△FEB中,

所以Rt△AEB≌Rt△FEB(HL),所以AB=FB(全等三角形的对应边相等).因为EB=EC,EF⊥BC,所以BC=2FB,所以BC=2AB.素养探究全练10.(推理能力)(2022山东潍坊潍城期末)已知△ABC是等边三

角形,点D在边BC上.【问题解决】如图1,以AD为一边作等边三角形ADE,连接

BE,求证:BE+BD=AB;【迁移运用】如图2,点F是AB边上一点,以DF为一边作等边

三角形DEF,连接BE,求证:BE+BD=BF;【类比探究】如图3,点F是AB延长线上一点,以DF为一边作

等边三角形DEF,连接BE,试探究BE,BD,BF三条线段之间存

在怎样的数量关系,请写出你的结论并说明理由.图1图2图3解析【问题解决】证明:∵△ABC和△ADE是等边三角形,∴AB=AC=BC,AE=AD,∠DAE=∠BAC=60°,∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD,即∠BAE=∠CAD.∴△BAE≌△CAD(SAS),∴BE=CD,∴BD+BE=BD+CD=BC.∵AB=BC,∴BE+BD=AB.【迁移运用】证明:如图1,过点D作DG∥AC,交AB于点G,图1∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠A=∠C=60°.∵DG∥AC,∴∠BGD=∠A=60°,∠BDG=∠C=60°.又∵∠ABC=60°,∴△BDG为等边三角形,∴BD=DG=BG.∵△DEF为等边三角形,∴DE=DF,∠EDF=60°.∵∠BDE=∠BDG-∠EDG=60°-∠EDG,∠FDG=∠EDF-∠EDG=60°-∠EDG,∴∠BDE=∠FDG.在△BDE与△GDF中,

∴△BDE≌△GDF(SAS),∴BE=GF,∴BE+BD=GF+BG=BF.【类比探究】BD+BF=BE,理由如下:如图2,过点D作DG∥AC,交AB于点G,图2∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠A=∠C=60°.∵DG∥AC,∴∠BGD=∠A=60°,∠BDG=∠C=60°