青岛版初中八年级数学上册专项素养综合练(一)与全等三角形相关的四大模型课件

专项素养综合全练(一)与全等三角形相关的四大模型类型一一线三等角模型1.(2024湖南株洲二中期中)如图,D、E、F分别为△ABC的边

AC、AB、BC上的点,∠A=∠1=∠C,DE=DF,下面的结论一

定成立的是

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A.AE=FC

B.AE=DEC.AE+FC=AC

D.AD+FC=ABC解析因为∠CDE=∠1+∠CDF=∠A+∠AED,∠A=∠1,所以

∠CDF=∠AED.在△ADE和△CFD中,

所以△ADE≌△CFD(AAS),所以AE=CD,AD=CF,所以AE+FC=

CD+AD=AC,故选C.2.(2023浙江杭州外国语学校期中)如图,在△ABC中,∠BAC=

90°,AB=AC,AE是经过点A的一条直线,且B,C在AE的两侧,BD

⊥AE于D,CE⊥AE于E,CE=2,BD=6,则DE的长为

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A.2B.3C.5D.4D解析因为BD⊥AE,CE⊥AE,所以∠ADB=∠CEA=90°,所以

∠BAD=90°-∠ABD,因为∠BAC=90°,所以∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAD=90°-∠CAE,所以∠ABD=∠CAE.又∠ADB=∠CEA,AB=CA,所以△ABD≌△CAE,所以BD=AE,AD=CE.所以DE=AE-AD=BD-CE=6-2=4.故选D.3.课间,小明拿着老师的等腰直角三角尺玩,不小心三角尺掉

到两堆砖块之间,如图所示,AD⊥DE,BE⊥DE.(1)求证:△ADC≌△CEB.(2)已知DE=35cm,请你帮小明求出一块砖的厚度a(每块砖的

厚度相同).

解析(1)证明:由题意得AC=BC,∠ACB=90°,∵AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∵∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BCE=∠DAC.在△ADC和△CEB中,

∴△ADC≌△CEB(AAS).(2)∵一块砖的厚度为a,∴AD=4a,BE=3a,由(1)得△ADC≌△CEB,∴DC=BE=3a,AD=CE=4a,∴DE=DC+CE=3a+4a=7a=35cm,∴a=5cm.答:一块砖的厚度为5cm.类型二手拉手模型4.(2024湖南株洲二中期中)已知:如图,在△ABC、△ADE中,

∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C、D、E在同一直线

上,连接BD.(1)求证:△BAD≌△CAE.(2)请判断BD、CE有何数量、位置关系,并证明.解析(1)证明:因为∠BAC=∠DAE=90°,所以∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,所以∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,

所以△BAD≌△CAE(SAS).(2)BD=CE,BD⊥CE,证明如下:由(1)知△BAD≌△CAE,所以BD=CE,∠ABD=∠ACE.因为∠BAC=90°,AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=45°,所以∠ABD+∠DBC=45°,所以∠ACE+∠DBC=45°,所以∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°,所以∠BDC=90°,即BD⊥CE.类型三半角模型5.在四边形ABDC中,∠B=∠C=90°,DB=DC,∠BDC=120°,以D

为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点,

连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证

明.

解析结论:EF=BE+CF.证明如下:如图,延长AB到M,使BM=CF,

因为∠ABD=90°,所以∠MBD=90°,因为∠C=90°,所以∠MBD=∠C.在△BDM与△CDF中,

所以△BDM≌△CDF(SAS),所以DM=DF,∠BDM=∠CDF,所以∠EDM=∠EDB+∠BDM=∠EDB+∠CDF=∠CDB-∠

EDF=120°-60°=60°,所以∠EDM=∠EDF.在△DEM与△DEF中,

所以△DEM≌△DEF(SAS),所以EF=EM,因为EM=BE+BM=BE+CF,所以EF=BE+CF.类型四对角互补模型6.(1)问题情境:如图1,∠AOB=90°,OC平分∠AOB,把三角尺

的直角顶点放在OC的任意一点P上,并使三角尺的两条直角

边分别与OA、OB相交于点E、F,PF与PE相等吗?请你给出

证明.(2)变式拓展:如图2,已知∠AOB=120°,OC平分∠AOB,P是OC

上一点,∠EPF=60°,PE与OA相交于点E,PF与射线OB的反向

延长线相交于点F,PE与PF还相等吗?为什么?图1

图2解析(1)相等.证明:过点P作PM⊥OB于M,PN⊥OA于N,如图,

所以∠PMO=∠PMF=∠PNO=90°.因为OC平分∠AOB,所以∠POM=∠PON.在△POM和△PON中,

所以△POM≌△PON(AAS),所以PM=PN.因为∠PMO=∠PNO=∠MON=90°,所以∠MPN=360°-3×90°=90°,因为∠MPN=∠EPF=90°,所以∠MPF=∠NPE.在△PMF和△PNE中,

所以△PMF≌△PNE(ASA),所以PF=PE.(2)相等.理由如下:如图,过点P作PM⊥OB于M,PN⊥OA于N,∴∠PMF=∠PNE=∠PNO=90°.同(1)可得△POM≌△PON(AAS),所以PM=PN.因为∠PMO