甘肃省嘉峪关市酒钢三中高二下学期期中考试数学（理）试题

市酒钢三中2017~2018学年第二学期期中考试高二数学试卷（理科）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.）1复数(，i是虚数单位)，则的值为()．A．0B．1C．2D．－12下面几种推理是合情推理的是()．①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③④C．①②④ D．②④3个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数为（）A．B．C．D．4计算的结果为（）.A．1B．C．D．5观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，按此规律，则第100项为()A．10B．14C．13 D．1006已知复数，满足，那么在复平面上对应的点的轨迹是()．A．圆B．椭圆C．双曲线 D．抛物线7用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为()．A．(5k－2k)＋4×5k－2k B．5(5k－2k)＋3×2kC．(5－2)(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k8若，则的值为()A．1 B．－1C．0 D．29从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为，，共可得到的不同值的个数是()A．9B．10C．18 D．2010世界杯参赛球队共32支,现分成8个小组进行单循环赛,决出16强(各组的前2名小组出线),这16个队按照确定的程序进行淘汰赛,决出8强,再决出4强,直到决出冠、亚军和第三名、第四名,则比赛进行的总场数为()A.64 B.72 C.60 D.5611在的展开式中，记项的系数为，则＋＋＋＝()A．45B．60C．120 D．21012如图所示,花坛内有五个花池,有五种不同颜色的花卉可供栽种,每个花池内只能种同种颜色的花卉,相邻两池的花色不同,则最多的栽种方案有()A.180种B.240种C.360种 D.420种第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13已知，且，则中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_______________．14=_____________________________________________________________________15在平面几何中，的内角平分线分所成线段的比，把这个结论类比到空间：在三棱锥中(如图所示)，面平分二面角且与相交于，则得到的类比的结论是_______________________________________________．16一只电子蚂蚁在如图所示的格线上由原点出发,沿向上或向右方向爬至点,记可能的爬行方法总数为,则_________.(用组合数作答)三、解答题（本大题6小题，共70分）17(10分)用综合法或分析法证明：(1)如果，则；(2).18（12分）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)排成前后两排，前排3人，后排4人；(2)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(3)全体站成一排，女生必须站在一起；(4)全体站成一排，男生互不相邻．（用数字作答）19（12分）已知二项式展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，(1)求；(2)求展开式中含项的系数；(3)求展开式中所有含的有理项．20（12分）从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m接力赛．试求满足下列条件的参赛方案各有多少种？(用数字作答)(1)甲不能跑第一棒和第四棒；(2)甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒21（12分）在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足.(1)求(2)由(1)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．22（12分）若某一等差数列的首项为,公差为展开式中的常数项,其中是除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值.市酒钢三中2017~2018学年第二学期期中考试座位号高二数学答题卷（理科）座位号二、填空题(本大题4小题，每小题5分，共20分)13、14、_____15、________16、________．三、解答题(共70分，解答应写出文字说明和计算推理过程。)17.（本小题满分10分）18.(本小题满分12分)19（本小题满分12分）20（本小题满分12分）21（本小题满分12分）22（本小题满分12分）高二数学（理科）答案1—12:DCCBBDBACACD13.,都大于114.15.16（或）17（略）18(1)种．(2)种．(3)种．(4)种．19(1)由已知得：4n－2n＝240,2n＝16，n＝4……….4分(2)二项展开式的通项为：Ceq\o\al(r,4)(5x)4－r(－eq\f(1,\r(x)))r＝Ceq\o\al(r,4)54－r(－1)rx4－eq\f(3,2)r，令4－eq\f(3,2)r＝1⇒r＝2所以含x项的系数：Ceq\o\al(2,4)52(－1)2＝150…………………8分(3)由(2)得：4－eq\f(3,2)r∈Z，(r＝0,1,2,3,4)，即r＝0,2,4.所以展开式中所有含x的有理项为：第1项625x4，第3项150x，第5项x－2……………12分20(1)(法一)Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,5)＝240种(法二)Aeq\o\al(4,6)－2Aeq\o\al(3,5)＝240种．(2)(法一)第1类，乙跑第一棒有Aeq\o\al(1,1)Aeq\o\al(3,5)＝60种排法；第2类，乙不跑第一棒有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)＝192种排法．故共有60＋192＝252种．(法二)共有Aeq\o\al(4,6)＝360种参赛方案，其中不合要求的有：①甲跑第一棒，乙跑第四棒，有Aeq\o\al(1,1)Aeq\o\al(1,1)Aeq\o\al(2,4)＝12种排法；②甲跑第一棒，乙不跑第四棒，有Aeq\o\al(1,1)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)＝48种排法；③甲不跑第一棒，乙跑第四棒，有Aeq\o\al(1,1)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)＝48种排法．综上知有360－12－48－48＝252种参赛方案21(1)S1＝a1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(1,a1)))，得aeq\o\al(2,1)＝1，∵an>0，∴a1＝1.S2＝a1＋a2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))，得aeq\o\al(2,2)＋2a2－1＝0，∴a2＝eq\r(2)－1，S3＝a1＋a2＋a3＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a3＋\f(1,a3))).得aeq\o\al(2,3)＋2eq\r(2)a3－1＝0，∴a3＝eq\r(3)－eq\r(2).…………4分(2)猜想an＝eq\r(n)－eq\r(n－1)(n∈N*)．证明如下：①n＝1时，a1＝eq\r(1)－eq\r(0)命题成立….6分②假设n＝k时，ak＝eq\r(k)－eq\r(k－1)成立，则n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋1＋\f(1,ak＋1)))－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋\f(1,ak)))，即ak＋1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋1＋\f(1,ak＋1)))－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(k)－\r(k－1)＋\f(1,\r(k)－\r(k－1))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋1＋\f(1,ak＋1)))－eq\r(k).∴aeq\o\al(2,k＋1)＋2eq\r(k)ak＋1－1＝0.∴ak＋1＝eq\r(k＋1)－eq\r(k).即n＝k＋1时，命题成立…10分