初中数学竞赛教程解题手册 竞赛热点精讲 九年级

目录

热点1一元二次方程及其应用.......................................................2

热点2一元二次方程根的判别式.....................................................6

热点3一元二次方程根与系数关系...................................................9

热点4配方法......................................................................12

热点5二次函数...................................................................14

热点6二次函数最值...............................................................18

热点7解直角三角形...............................................................21

热点8圆的基本性质...............................................................24

热点9直线与圆...................................................................27

热点10与圆相关的计算............................................................30

热点11三角形的“五心”..........................................................33

热点12投影与三视图..............................................................36

热点13统计与概率................................................................41

热点14组合问题..................................................................46

热点15生活中的数学..............................................................49

竞赛热点精讲

热点1一元二次方程及其应用

1.（2001年山东省初中数学竞赛题）方程［2+x-i）*3=］的所有整数解的个数是（）

A.2B.3C.4D.6

2.（1998年山东省初中数学竞赛题）方程国-9=型的实根的个数为（）

XX

A.lB.2C.3D.4

3.（2006年太原市初中数学竞赛题）己知2x-3而-2y=0（x>0）,则孙-16学的值是（）

2x+孙一9y

A.2B.lC.3DU

392527

4.（2006年武汉竞赛题）已知。、b、2分别为三角形三边的边长，且。、b为方程

（3/-4%-1）（3/一4%-5）=12的根.那么，三角形的周长只可能为（）

A10-814.10"16-14卜16—20

A.—或一B.—或一C.—或一D.—或一

33333333

5.（2004年荆州初中数学竞赛题）方程组'：-5凶+3=°，在实数范围内解的组数为（）

y2-5|y|+|x|=0

A.多于5组B.5组C.3组D.1组

6.（2007年山东省竞赛题）如图1-1所示，在正AABC的边8C,C4上分别有点£,F,且满足

BE=CF=a,EC=FA=b（a>b）,当3F平分时，则：的值为（）

7.（2002年重庆市初中数学竞赛题）方程/+以+/7=0与f+B+dnO（awe）有相同的根c,

则a=.

2

8.（2007年山东省竞赛题）若实数。满足/+/—3。+2=二—与-；,则a+±=.

acraa

9.（第16届江苏省初中数学竞赛题）方程立1+山=土+山的解是.

x+2x+9x+3x+8

10.（第17届江苏省数学竞赛题）方程一一+^-1——=2的解为.

A-"+X—2x~+7工+10

11.（2007年山东省竞赛题）如图1-4,在AABC中N1MC=45。，AD工BC于点D,若BD=3,CD=2,

则SAABC=----------

12.（2005年全国联赛题）从1,2,…，10中选取3个不同的数“、力、c•作为一元二次方程or?+康=c

的系数，则具有不同的方程个数为.

13.（重庆市竞赛题）解方程：X2-|2X-1|-4=0.

12

14.（第4届美国数学邀请赛题）方程扳=的解之和是多少？

7-坂

40

15.

~9

16.（2005年四川省竞赛题）二次三项式/一万一2"能分解为两个整系数一次因式的乘积.

（1）若14”430,且"是整数，则这样的〃有多少个？

（2）当〃42005时，求最大整数

17.（第19届江苏省竞赛题）对于实数%只有一个实数值x满足等式言+岩+/竽=。,

试求所有这样的实数〃的和.

3

18.（山东省竞赛题）当x为何整数时，代数式9x2+23*-2的值恰为两个连续正偶数的乘积.

19.（1997年陕西省初中数学竞赛题）解方程47次KT+4^厉1=右（”>0）

并就正数a的取值，讨论此方程解的情况.

20.（第9届育英杯数学竞赛题）解方程2及/+2》一0+1=（）.

21.（2005年全国竞赛题）已知关于x的一元二次方程（6T）（9-k）x2-（117-15Z:）x+54=0的两个

根均为整数，求所有满足条件的实数%的值.

22.（2003年全国初中数学联赛题）已知实数0、6、'、”互不相等,且4+上=6+上=,+上="+上=》，

bcda

试求x的值.

23.（2005年重庆市竞赛题）在一次活动课中，老师请每位同学自己做一个如图L6所示的有盖的长

方体纸盒.长方体的长、宽、高分别为xcm、ycm、zcm,小明在展示自己做的纸盒时，告诉同学们

说：“我做的纸盒的长、宽、高都是正整数，且经测量发现它们满足孙=应+3,yz=xy+xz-1：）

请同学们算一算，做一个这样的纸盒至少需要多少平方厘米的纸板（接缝不算）？

图1-6

4

24.（2000年全国联赛题）设美元》的二次方程,2-6Z+8）f+（2/—6%-4卜+42=4的两根都是整

数，求满足条件的所有实数出的值.

25.（2005年全国初中数学联赛题）T^x=a+b-c,y=a+c-b,z=b+c-a,其中6、c是

待定的质数，如果f=y,«-6=2,试求积He所有可能的值.

5

热点2一元二次方程根的判别式

1.（2006年广东初中数学竞赛题）如果一直角三角形的三边长分别为。、b、c,ZB=90。，那么，

关于X的方程小2-1）-25+蛆2+1）=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

2.（2004年全国联赛题）过点P（-l,3）作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5.这样的直线

可以作（）

A.4条B.3条C.2条D.1条

2

3.（2006年全国初中数学竞赛题）关于x的方程工仅有两个不同的实根，则实数。的取值范

X-1

围是（）

A.tz>0B.a>4C.2<a<4D.0<a<4

4.（2006年太原市初中数学竞赛题）当a<0时，方程工凶+忖-%-“=（）的解为.

5.（2004年我爱数学初中生夏令营竞赛题）能使关于x的方程

只有一个实根的所有。的值的总和等于.

6.（2001年全国竞赛题）已知实数a,b满足/+帅+。2=1,且r=-尸.那么，的取值范围是

7.（2005年太原市竞赛题）如图2-1所示，直线/：y=kx+2-4k（女为实数）.

（1）求证：不论人为任何实数，直线/都过定点M,并求点M的坐标；

（2）若直线/与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，求AAOB面积的最小值.

2

8.（2001年广西竞赛题）己知关于x的方程+1=0有实根.

（1）求。的取值范围；

（2）若原方程的两个实数根为玉，x2,且不\+含=\,求a的值.

6

9.（2004年四川省初中数学竞赛题）已知三个整数a、b、c之和为13,且？=£,求a的最大值和

ab

最小值，并求出此时相应的b与C的值.

10.（2007年山东省竞赛题）某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长.元旦时，该宿舍

里的每位学生互赠一张贺卡，并用每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回

赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡.问这间宿舍里住有多少位学生？

11.（2004年全国初中数学联赛题）已知方程f-6x-4〃2_32〃=0的根都是整数.求整数”的值.

12.（2006年全国初中数学联赛题）已知关于x的一元二次方程Y+2（a+给+3）X+,2+/+99）=0

无相异实根，则满足条件的有序正整数组（a力）有多少组？

13.（2004年全国初中数学竞赛题）已知a<0,b<0,c>0,且

yJb2—4ac=b—2ac,

求b2-4ac的最小值.

14.（2006年全国竞赛题）设a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式

b2+c2=2a2+16«+14①

及hc=a2-4a-5,②

求。的取值范围.

7

15.(2000年全国竞赛题)设机是不小于-1的实数，使得关于x的方程f+2(山-2)x+〃『-3W+3=O

有两个不相等的实数根不，x2.

(1)若x：+x；=6,求n?的值；

22

(2)求应+3•的最大值.

1—%)1一巧

8

热点3一元二次方程根与系数关系

1.（1999年江苏省初中数学竞赛题）已知关于x的二次方程-5x-。=0（其中。为常数）.若两

根之比七:巧=2:3,则々-％的值为（）

13

A.-B.lC.-D.2

22

2.（1994年黄冈地区初中数学竞赛题）已知b、。是满足c>b>0的整数，方程f一法+。=0有2

个不等的实根不、勺，在尸='+-!-，。=疗+€，R=«+l）（x,+l）的值中，最大及最小的分别

国x2

是（）

A.P,RB.Q,RC.R,PD.Q,P

3.（2005年全国联赛题）已知a=3+20,/=3-2夜.若沙°+夕。是一个正整数，则它的末位数

字是（）

A.2B.4C.6D.8

4.（1996年全国初中数学竞赛题）设/、修是二次方程V+x-3=0的2个根，那么x；-4K+19的

值等于（）

A.TB.8C.6D.0

5.（1997年安徽省初中数学竞赛题）已知。为整数，方程一+（2。-1）》+“2=0的两实根为玉、电，

则|"i'一'7^]=------

6.（1998年江苏竞赛题）已知关于x的二次方程笈+。=0没有实数根，甲由于看错了二次项系

数误求得两根为2和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为-1和4,则妇史的值为

7.（2002年山东省初中数学竞赛题）设不、/是方程--2伙+1卜+/+2=0的两个不同的实根，

K（X,+1）（X2+1）=8,则/的值是.

8.（2004年全国初中数学竞赛天津赛区初赛题）若14〃420,144410,且方程4产-px+q=0的

两根均为奇数，则此方程的根为.

9.（2003年北京市中学生数学竞赛题）已知曲2=1,x+y+z=2,x2+y2+z2=16,则

111

-------1--------1-------=_______.

xy+2zyz+2xzx+2y

10.（2007年全国联赛题）对于一切不小于2的自然数〃，关于x的一元二次方程f—5+2）x-2/=o

9

的两个根记作%，b（n>2）,则-—+-一—+…+———-=

n（〃2一2）（与一2）（%一2）（4一2）（外007一2）（/?2007一2）

11.（1996年江苏省初中数学竞赛题）设x2-px+q=0的两实根为a、尸，

（1）求以a?、尸为根的一元二次方程；

（2）若以a?、尸3为根的一元二次方程仍是x2-px+q=（）,求所有这样的一元二次方程.

12.（1997年山东省初中数学竞赛题）已知a、b为整数,且a>6,方程3—+3（a+b）x+4,浴=0的

2个根£、4满足关系式

a（ct+1）+/?（>?+1）=（a+1）（^+1）,

试求所有的整数点对（aS）.

13.（1996年四川省初中数学竞赛题）已知一元二次方程/+阳；一机+1=0（〃?是整数）有2个不相

等的正整数根，求m的值.

14.（全国初中联赛题）设％,X2是二次方程d+x-3=0的两个根，求x"4x；+19的值.

15.（2005年全国竞赛题）在直角坐标系中，抛物线）,=/+,玄-?"2（"7>0）与x轴交于A、8两点.

若点A、8到原点的距离分别为Q4、OB,且满足一!—则机的值为.

OBOA3

16.（2000年全国联赛题）求所有的正整数a,b,c使关于x的方程f-3ar+23=0,x2-3bx+2c=0,

x2-3cx+2a=0的所有根都是正整数.

10

17.（2005年全国初中数学竞赛题）已知〃、“都是质数，且使得关于x的二次方程

f_（8〃-104）1+5〃4=0至少有一个正整数根，求所有的质数对（p,q）.

18.（2000年全国初中数学竞赛题）设加是不小于T的实数，使得关于x的方程

2

x+2（机一2）工+疝-3加+3=0有2个不相等的实数根再、x2.

（1）若X：+,=6,求团的值;

92

（2）求4+少-的最大值.

[-%]1一%

「-（2。+7）

19.（2001年全国竞赛题）+1=0有实数根.

（1）求。的取值范围;

x_3

（2）若原方程的两个实数根为玉、々，且2求a的值.

x2-l~H

II

热点4配方法

1.（2001年希望杯数学竞赛题）已知x,y,z为实数，且满足=那么产+y+z2的最

卜-y+2z=3,

小值是.

2.（第17届五羊杯竞赛题）设"是正整数，且是15的倍数，〃=15帆.已知机是完全平方数，120*〃

是完全立方数，36X”是完全5次方数.则n的最小值是.

3.（2001年全国竞赛题）销售某种商品，如果单价上涨加％,则售出的数量就将减少”-.为了使该

150

商品的销售总金额最大，那么m的值应该确定为.

4.（2007年全国联赛题）若l00a+64和20S+64均为四位数，且均为完全平方数，则整数“的值是

5.（2002年全国联赛题）设N=23x+92y为完全平方数，且N不超过2392.则满足上述条件的一切

正整数对（左），）共有对.

6.（2006年国际城市竞赛题）把1,2,30这三十个数分成上个小组（每个数只能恰在一个小组

中出现），使得每一个小组中任意两个不同的数的和都不是完全平方数，求上的最小值.

7.（2005年全国竞赛题）某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列.如果原

队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队

列.问原长方形队列有多少名同学？

8.（2007年全国竞赛题）（1）是否存在正整数加、n,使得加（〃?+2）=〃（〃+1）?

（2）设女住23）是给定的正整数，是否存在正整数加、n,使得〃?（胆+%）=〃（”+1）?

9.（2002年全国竞赛题）如果对一切%的整数值，x的二次三项式依2十法+。都是平方数（即整数

的平方）.求证：

（1）2a、26都是整数；

12

(2)a、b、c都是整数，并且c是平方数.

反过来，如果(2)成立，是否对一切x的整数值，a^+fev+c的值都是平方数?

10.(2003年全国联赛题)已知四边形AB8的面积为32,AB、CD、AC的长都是整数，且它们

的和为16.

(1)这样的四边形有几个？

(2)求这样的四边形边长的平方和的最小值.

11.(2002年全国竞赛题)如图4-2所示，在RfAABC中，ZBCA=9O°,8是高，已知/&AABC的

三边长都是整数，且80=113,求用MCD与用AAC。的周长之比.

图4-2

12.(2001年全国联赛题)在直角坐标系中有三点4(0,1),8(1,3),C(2,6)；已知直线y=or+b上

横坐标为0、1、2的点分别为£＞、E、P.试求。、b的值使得+B炉+C产达到最小值.

13

热点5二次函数

1.（2005年四川初中数学竞赛题）如图5-1所示，直线x=l是二次函数二加+以+c的图像的对称

轴.则有（）

A..a+b+c>0B.b>a+cC.c>2bD.abc<0

2.（1997年学习报公开赛题）如图5-2所示，A3是定长线段，圆心。是A5的中点，AE,BF为

切线，满足隹=3/，在E尸上取动点G,过G作切线交AE,8歹的延长线于。，C.则当G运动

时，4）与所满足的函数关系为（）

A.正比例函数y=B.反比例函数y=8

C.一次函数3=心-〃。工0）D.二次函数y="2+bx+c

H

O8

图5-2

3.（2005年全国初中数学联赛题）在坐标平面上，横坐标与纵坐标都是整数的点（毛），）称为整点.如

果将二次函数y=-x2+8x-1与x轴围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的

整点的个数有（）

A.16个B.20个C.25个D.30个

4.（2005年全国联赛题）己知二次函数”x）=ox2+bx+c的图像如图5-3所示，记

p=\a-b+<\+\la+,q=\a+b+c\+\2a-b\,贝I］（）

p>qB.p—q

C.p<qD.ps夕的大小关系不能确定

14

图5-3

5.（第35届美国中学数学考试题）设“、c是固定的正数，对任何实数r,令（%,yj是抛物线

y=ax2+rx+c的顶点，对所有的实数f,把点（X,,必）的集合画在平面上，得到的图形是（）

A.一条直线B.一条抛物线

C.抛物线的一部分，但不是全部D.不同于上面的答案

6.（2006年太原市初中数学竞赛题）不论根取任何实数，抛物线y=x2+2mx+机2+枕-1的顶点都

在一条直线上，则这条直线的函数解析式是.

2

7.（2004年太原市竞赛题）设二次函数y=f+2ar+]＞（“＜（））的图像顶点为A,与x轴交点为8、

C,当A/WC为等边三角形时，a的值为.

8.（2006年我爱数学初中生夏令营数学竞赛题）设。、〃为常数，并且b＜0,抛物线

y=ax2+bx+a2+J5a-4的图像为图5-6中的四个图像之一，则°=.

9.（2000年新世纪杯复赛题）已知抛物线y=/nx2_（3m+g）x+4与x轴交于两点A,B,与y轴交

丁C点，若AABC是等腰三角形，求抛物线的解析式.

10.（第9届祖冲之杯初中数学邀请赛试题）是否存在实数3使二次方程/+（2&-1卜-（34+2）=0

有2个实数根，且两根都在2与4之间？如果有，试确定々的取值范围；如果没有，试说明理由.

15

11.(2004年四川省初中数学联赛题)已知二次函数〃x)=x2+px+q,且方程〃x)=0与“2x)=0

有相同的非零实根.

(1)求4的值；

P

(2)若/⑴=28,解方程〃x)=0.

12.(2008年辽宁省竞赛题)己知抛物线丫=/+(2"-1)》+〃2-1"为常数).

(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时.，求出它所对应的函数关系式.

(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过点A作龙轴的

平行线，交抛物线于另一点。，再作于点B,£>CJ_Q;于点C.

①当BC=1时，求矩形ABC/)的周长；

②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，试求出这个最大值，并指出此时点A的坐标;

如果不存在，试说明理由.

13.(2007年浙江省竞赛题)已知抛物线4:y=g?++2〃?+i(a>0,,〃>0)的顶点为A,

抛物线/2的顶点B在y轴上，且抛物线4和抛物线/2关于点尸(1,3)成中心对称.

(1)当a=l时，求4的解析式和，”的值；

(2)设，2与X轴正半轴的交点是C,当AABC为等腰三角形时，求a的值.

14.(1997年广西初中数学竞赛题)已知抛物线y=-Y+2(优+l)x+机+3与x轴有2个交点A、B,

且点4在》轴的正半轴上，点8在x轴的负半轴上，设|。川=〃，|0同=从

(1)求加的取值范围；

(2)如果。、人满足a:A=3:l,求，”的值，写出此时抛物线的函数解析式，并在直角坐标系中作出

图像；

(3)由(2)所得的抛物线与y轴交于点C,问在抛物线上是否存在一点P,使M4&A04C.如

果存在，求P点的坐标；如果不存在，请说明理由.

16

15.（2007年全国竞赛题）如图5-12所示，已知点用、N的坐标分别为（0,1）、（0,-1）,点尸是抛物

线y=-x2上的一个动点.

4

（1）判断以点P为圆心，为半径的圆与直线y=-l的位置关系；

（2）设直线PM与抛物线y=1x2的另一个交点为Q,连接NP、NQ,求证：NPNM=NQNM.

16.（2004年全国初中数学联赛题）已知点A（0,3）、8（-2,-1）、C（2,-l）,土可为抛物线y=x?上

位于AABC内（包含边界）的一动点，8尸所在直线交AC于点E,CP所在直线交AB于点尸，将尤

CE

表示为自变量f的函数.

17

热点6二次函数最值

1.（2004年荆州初中数学竞赛题）二次函数y=o?+公+c（a#0）图像的顶点在第一象限，且过点

（0,1）和点（-1,0）.则5=4+3+。的值的变化范围是（）

A.O<S<1B.0<5<2C.1<S<2D.-1<5<1

2.（2005年天津市竞赛题）已知a、b都是正整数，且抛物线了=这2+加+1与x轴有两个不同的交

点A、民若4、3到原点的距离都小于1,则4+8的最小值等于（）

3.（2003年全国初中数学竞赛天津赛区初赛题）已知x、y、z为3个非负实数,且满足3x+2y+z=5,

x+y-z=2.若s=2x+y-z,则s的最大值与最小值的和为（）

时取最小值-0〃，则AABC是（）

A.等腰三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形

5.（第17届江苏省数学竞赛题）已知实数。、b、c满足a+b+c=O,/+层+。2=6,则。的最

大值为.

6.（2006年浙江初中数学竞赛题）边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1：2的两部

分.那么，所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是.

7.（2005年我爱数学初中生夏令营数学竞赛题）已知：

（1）a>0i

（2）当-UW1时，满足|加+6x+c]4l；

（3）当一14x41时，依+。有最大值2.

8.（2004年江苏省数学竞赛题）已知函数丫=（〃+2）/-2（/一1b+1,其中自变量x为正整数，。是

正整数，求x为何值时，函数值最小.

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9.（1993年太原市初中数学竞赛题）求二次函数y=/+加r+机（-34x4-1）的最大值与最小值.

10.（2005年太原市初中数学竞赛题）已知两个二次函数以=/+3g-2和知=2/+63-2,其

中〃z>0.构造函数y：当力>为时，设丫=力；当以4yB时，设丫=力•若自变量x在-24x41的

范围内变化，求函数y的最大值与最小值.

11.（1997年荆州市初中数学竞赛题）已知二次函数），=（/-〃+1卜2+汝++?的图像与*轴的交点

为A（X],0）、8（々，。），其顶点横坐标为;，设，=x：+g.

（1）试用。把f表示出来；

（2）问实数。取何值时，f取最小值，最小值是多少？

12.（2006年全国初中数学竞赛题）设。、6、c为互不相等的实数，且满足关系式

b1+c2=2a2+16tz+14,①

hc=a2-4a-5.②

求。的取值范围.

13.（2000年全国初中数学联赛题）设p是实数，二次函数y=f-2px-p的图像与大轴有2个不同

的交点4（百,0）,B（X2,0）.

（1）求证：2Pxe+3〃>0；

（2）若A、6两点之间的距离不超过|2〃-3|,求〃的最大值.

19

14.（1996年全国初中数学联赛题）已知a、b、c都是正整数，且抛物线>="2+法+。与）轴有2

个不同的交点A、B,若A、8到原点的距离都小于1,求a+6+c的最小值.

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热点7解直角三角形

1.（2004年山东省初中数学竞赛题）在A4BC中，。、b、c分别为44、NB、/C的对边.若々=60。,

则」_+，_的值为（）

a+bc+b

i/

A.-B.—C.lD.V2

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2.（2004年荆州初中数学竞赛题）已知A4BC是非等腰直角三角形，NR4c=90。，在3C所在直线

上取两点。、E使DB=BC=CE,联结4）、AE.已知NBAO=45。.那么，tanNC4E=.

3.（2005年上海市初中数学竞赛题）如图7-3所示，在口AB8中，M.N分别是边BC、ZX?的

中点，AN=1,AM=2,且NM4N=60。.则AB的长是.

4.（1997年天津市初中数学竞赛题）在梯形43CD中，AD//BC,ZB=30°,ZC=60°,E、M、

F、N分别是4?、BC、CD、1M的中点，已知BC=9,MN=4,则七尸=.

5.（第19届江苏省初中数学竞赛题）如图7-5所示，在AABC中，BC=a,AC=b,M=c.若AC、

BC上的中线BE、4）垂直相交于点。，则c可用。、方的代数式表示为.

6.(2004年山东省竞赛题)如图7-6所示，已知AA3c中，BC=a,AC=b,AB=c,^.2b=a+c,

延长。1到。，使AZ)=他，连接3D

(1)求证：2ND=N&4C；

(2)tan-ZBAC-tan-ZBCAWit.

7.（2006年黄冈市调研考试）随着科学技术的发展，机器人早已能按照设计的指令完成各种动作.在

21

坐标平面上，根据指令卜旬（520,（）。<£<18（）。）机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度a,

再朝其面对的方向沿直线行走距离s.

（1）填空：如图7-7所示，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到

点4（2,2）,则给机器人发出的指令应是.

（2）机器人在完成上述指令后，发现在尸（6,0）处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动.已知小球

的滚动速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转的时间，请你给机器人发一个指令，

使它能最快截住小球（图中点C为机器人最快截住小球的位置）.（角度精确到度；参考数据：

sin49°a0.75,cos37°弓0.80,tan370-0.75,cot51°«0.80）

8.（2004年广西竞赛题）某片绿地形状如图7-8所示，其中NA=60。，ABLBC,ADLCD,

A3=200m,CD=100m,求4）、3c的长（精确到Im,6=1.732）.

分析本题的关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破坏所以连接AC不行.

甲的探究延长4）和3c交于一点E,这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊角Z4.

乙的探究过。作矩形43EF（如图7-9所示）来求解.

9.（2000年全国联赛题）如图7-10所示，EFG”是正方形的内接四边形，两条对角线EG和

FH所夹的锐角为。，且N8EG与NCFH都是锐角，已知EG=A,FH=c,四边形EFG〃的面积

为S.

（1）求证：sin6=—；

kl

（2）试用Z,/,S来表示正方形43co的面积.

22

AHD

图7-10

10.(第20届江苏省初中数学竞赛题)已知RrAABC和RfAADC有公共斜边AC,M.N分别是AC、

瓦)的中点，且M、N不重合.

(1)线段MN与比)是否垂直？请说明理由.

(2)若Nfi4C=3O。，ZCAD=45°,AC=4,求MN的长.

图7-11

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热点8圆的基本性质

1.（1998年江苏省初中数学竞赛题）如图8・1所示，O。的半径为2,0。内的点尸到圆心O的距离

为1,过点P的弦A3与劣弧组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为（）

A24/T

A.-----F,3

3

C”一拒嗒-6

3

2.（2005年全国联赛题）圆内接四边形四边长顺次为5、10、11、14,则这个四边形的面积为（）

A.78-B.97-

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3.（1995年全国初中数学联赛题）以线段43为直径作一个半圆，圆心为O,C是半圆周上的点，

SLOC1=ACBC,则/C4B=.

4.（1999年黄冈市竞赛题）如图8-4所示，已知OO是A48C的外接圆，。为劣弧BC的中点，H为

劣弧A8的中点.连接CH交AB于E,连接4）交C”于点G,延长CH到点M,使MH=HG,延

长八4到K,使AK=4G,C4的延长线交于点尸.求证：

（1）ZMGK=NMKG;（2）ME=MF.

图8-4

5.（第18届江苏省初中数学竞赛题）如图8-5所示，0c通过原点，并与坐标轴分别交A、。两点.

已知NO84=30。，点。的坐标为（0,2）,求点A、C的坐标.

Ox

图8-5

6.（江苏省竞赛题）如图8-6所示，已知45是OO的一条弦，C是劣弧上的一个动点（点C与A、

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B及AB的中点均不重合），作直径CD,交他于点P.作CE1.AB于E,于尸.设

DF-CE=a,则〃值是否随点C的移动而改变？若不改变，请加以证明；若改变，请说明理由.

7.（2006年第21届江苏省竞赛题）如图8-7所示，四边形ABCD为正方形，O。过正方形的顶点A

和对角线的交点尸，分别交口、4）于点尸、E.

（1）求证：DE=AF；

（2）若OO的半径为且，AB=0+1,求处的值.

2ED

8.（2004年天津市竞赛题）已知直线/与OO交于不同的两点£、F,是0O的直径，CAA.I,

DBVI,垂足分别为A,B.若AB=7,BD-AC=\.A£=l.试问：在线段AB上是否存在点尸，

使得以点尸、A、C为顶点的三角形与点P、B、。为顶点的三角形相似？若存在，求出AP的长;

若不存在，请说明理由.

图8-8

9.（第26届独联体数学奥林匹克试题）在中心为O的圆周上有点A,8.点P在劣弧48上，点。与

P关于直线OA对称，点R与尸关于直线03对称，P'是线段AR与8Q的交点.

证明：点尸与户关于直线对称.