2018年高考数学二轮复习 13 立体几何中的向量方法教学案 理

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专题13立体几何中的向量方法

空间向量及其应用一般每年考一道大题，试题一般以多面体为载体，分步设问，既考查综合几何也考

查向量几何，诸小问之间有一定梯度，大多模式是：诸小问依次讨论线线垂直与平行一线面垂直与平行一

面面垂直与平行一异面直线所成角、线面角、二面角一体积的计算.强调作图、证明、计算相结合.考查

的多面体以三棱锥、四棱锥(有一条侧棱与底面垂直的棱锥、正棱锥)、棱柱(有一侧棱或侧面与底面垂直的

棱柱，或底面为特殊图形--如正三角形、正方形、矩形、菱形、直角三角形等类型的棱柱)为主.

卜重点知识梳理

1.共线向量与共面向量

(D共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(bWO),a〃人的充要条件是存在实数4,使a=46.

(2)共面向量定理：如果两个向量a、6不共线，则向量0与向量a、6共面的充要条件是存在唯一实数

对(x,y)，使°=松+地

2.两个向量的数量积

向量a、6的数量积：a,b—\a||Z||cos(a,b).

向量的数量积满足如下运算律：

①(久a)•b=4(a•方)；

②a-b—b-a(交换律)；

③a,(b+c)—a•b+a•c(分配律).

3.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量0,存在唯一有序实数组｛x,y,z｝,使p=xa+

yb+zc.

—►

推论：设。、力、B、C是不共面的四点，则对空间任一点尸，都存在唯一的有序实数组｛x,%力，使。

—►―♦-►

=xOA+yOB+zOC.

4.空间向量平行与垂直的坐标表示

设a=(a,329a。，b=(th,bz,bs),

则a〃2a=久修句=改=入也,53=A&(AGR)；

a上ga•6=0=a】6i+&^+&&=0.

5.模、夹角和距离公式

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(1)设a=(5i>a”加，b—(b\,bi>bs),贝!j

Ia\=y/a•+上+W,

//、a•b_______+

cosy,0〉=^^=^==^J===

(2)距离公式

设力(xi,yi,zi),6(x2,j2,Z2),则

-A

IAB\=«~X1—X2~旺——%~阡Zi~Z2~5.

(3)平面的法向量

如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面a,记作a_L。.

如果a_L。，那么向量a叫做平面。的法向量.

6.空间角的类型与范围

(1)异面直线所成的角，：0<

(2)直线与平面所成的角0,owew5；

(3)二面角0-OW

7.用向量求空间角与距离的方法

(D求空间角：设直线Z、4的方向向量分别为a、b,平面。、£的法向量分别为仄m.

①异面直线，与人所成的角为0,则cos。=上々.

②直线Z与平面。所成的角为9,则Sinn=上二4.

③平面a与平面月所成的二面角为0,则|cos"=亍+.

(2)求空间距离

①直线到平面的距离，两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离.

—►

n\

点尸到平面a的距离：d=।(其中〃为。的法向量，材为。内任一点).

②设〃与异面直线2b都垂直，力是直线a上任一点，6是直线少上任一点，则异面直线a、力的距离

卜高频考点突破

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考点一向量法证明平行与垂直

例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥尸一4腼中，必，底面/a9E,F分别是尸C,如的中点，PA

=AB=\,BC=2.

(1)求证：EF〃平面臼IB；

(2)求证：平面为〃1平面如C

【证明】以力为原点，AB,AD,4尸所在直线分别为“轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系力一犯它如

图所示，则4(0,0,0),6(1,0,0),<7(1,2,0),〃(0,2,0),尸(0,0,1),

所以£，1，；),(0,1,3),

0,0),尻(0,0,1),~AD=(0,2,0),加=(1,0,0),萍(1,0,0).

(1)因为蒜二一毒，所以嬴〃益,

^EFIIAB.

又枯口平面取8,呼口平面加B,

所以韶4平面及S.

。因为月P-DC=(0,(M>a0,0)=0,

J1D-SC=(0,2,0)-(1,070)=0,

所以SP1DC,AD1DC,

即/P1DC,AD1DC.

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又因为4/T1助=4/Mt平面力〃，4底平面均。，

【方法规律】利用空间向量证明平行与垂直的步骤

(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；

(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；

(3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系；

(4)根据运算结果解释相关问题.

【变式探究】在直三棱柱中，ZABC=90Q,BC=2,冤=4,点£在线段能上，且宓=1,

D,F,G分别为制，CB,G4的中点.

求证：(1)平面

(2)平面比广〃平面ABD.

证明：⑴以8为坐标原点，BA,BC,阳所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系8—

则5(0,0,0),2(0,2,2),5(0,0,4),设加=a,则4(a,0,0),

-►—►—>

所以的=(a,0,0),劭=(0,2,2),月A(0,2,-2),

―►—►—►-►

RD*BA=Q,劣。•做=0+4—4=0,

即台〃_L物，&D1BD.

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又BACBIXB,BA,8上平面ABD,

因此J_平面ABD.

(2)由(1)知，£(0,0,3),屐，1,4j,/(0,1,4),

则属=仔,1,1)原=(0,1,1),

―►—►―►―►

RD，EG=0+2—2=0,台〃•以=0+2—2=0,

即BxDLEG,BxDLEF.

又EGCEF=E,EG,夕七平面a'E因此台〃_L平面灰K

结合(1)可知平面附〃平面ABD.

考点二、向量法求空间角

例2、(2017•全国卷H)如图，四棱锥"一四切中，侧面21〃为等边三角形且垂直于底面AB=

BC=《AD,NBAg/ABC=9G。,£■是阳的中点.

(1)证明：直线龙〃平面门外

(2)点M在棱％上，且直线6V与底面4腼所成角为45°,求二面角那/层〃的余弦值.

【解析】⑴证明：取序的中点凡连接防BF.

因为后是阳的中点，所以EF〃加,EF=^AD.

由N&4QN4比=90。得比〃4。，

XBC^AD,所以哥'触6G

四边形比)3是平行四边形，CE//BF.

又厥:平面为8,阳平面以8,故四〃平面必8.

(2)由已知得的以4为坐标原点，石的方向为x轴正方向，I藕I为单位长，建立如图所示的空间

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直角坐标系4一灯z,则4(0,0,0),8(1,0,0),(7(1,1,0),2(0,1,”=(1,0,一m),48=(1,0,0).

设y>z）（g<i）,贝ij

BM=（x-lfy,z）,Pggy-l,z一3）.

因为刀M与底面右CD所成的角为45。，

而Ji=（0Ol）是底面ABCD的法向量，

所以|8S〈BA/,|=sin45o,

即。―1>+炉-z=o①

又“在棱PC上，设P*APC,则

x=l+冬g邛，

由①②解得〈¥=1,

（舍去），或<v=b

1=4142，

所以11邛,1,坐）,从而嘉（1-冬1,坐）.

设卬=（荀，Jb,Zo）是平面力氏犷的法向量，则

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Iin,/LI/==Of即］—y［2xo+2yo+y［&ZQ=O9

'［照=0,

〔必•A9=0,

所以可取9=（0,一乖,2）.

工且I\m'n巫

十是cos\m,n）=--------

inn5

因此二面角正4?•〃的余弦值为手.

□

［方法技巧］（1）利用空间向量求空间角的一般步骤

①建立恰当的空间直角坐标系.

②求出相关点的坐标，写出相交向量的坐标.

③结合公式进行论证、计算.

④转化为几何结论.

【变式探究】（2017•北京卷）如图，在四棱锥P—四切中，底面465为正方形，平面为平面四切,

点"在线段以上，阳〃平面物C,PA=PD=#,43=4.

（1）求证：必为阳的中点；

（2）求二面角行杨4的大小；

（3）求直线，吃'与平面应W所成角的正弦值.

解析：（1）证明：如图，设/G被交于点反连接朗

因为阳〃平面MAC,平面例CA平面PDB=ME,

所以PD//ME.

因为四边形血切是正方形，

所以£为物的中点，

所以M为处的中点.

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4万?

E、

(2)取的中点。，连接相0E.

因为用=阳，所以。_L49.

又因为平面为〃_L平面ABCD,且。/七平面PAD,

所以勿U平面ABCD.

因为OEu平面ABCD,所以OPVOE.

因为四边形4版是正方形，所以施工

—►—►

如图，建立空间直角坐标系。一xyz,则P(0,0,⑫,〃(2,0,0),5(-2,4,0),劭=(4,-4,0),PD=

(2,0,

设平面网的法向量为A=(x,y,z),

n•BD=0,’4x—4y=0,

•PD=0,

令x=1,则y=L

于是n=(1,1,4)

平面必〃的法向量为0=(0,1,0),

所以COS〈A,p)=

(3)由题意知］，一1,2,,C(2,4,0),MC=

设直线,"与平面应d所成角为%则

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—►

/二।n•MC\2加

sina-cos",MC)=-------=一

~*19

\n|MC\

所以直线,必与平面狼所成角的正弦值为平.

考点三探索性问题

要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立.“是否存在”

的问题的命题形式有两种情况：如果存在，找出一个来；如果不存在，需要说明理由，这类问题常用“肯

定顺推”的方法.

例3、(2016•北京)如图，在四棱锥一一被力中，平面必平面4龙PALPD,PA=PD,ABLAD,

(1)求证：平面为公

(2)求直线处与平面也?所成角的正弦值；

(3)在棱阳上是否存在点肌使得5M〃平面尸切？若存在，求制J值；若不存在，说明理由.

【解析】⑴证明：因为平面总区L平面46(力，ABYAD,

所以/员L平面用。，阳c平面为。，所以4反L&Z

又因为PALPD,

所以HZL平面PAB.

(2)取力〃的中点。，连接户0,CO.

因为用=如，所以即_!_◎

又因为小:平面处〃，平面为〃_L平面侬74

所以尸。_L平面ABCD.

如图，建立空间直角坐标系0-xyz.

由题意得,由0,1,0),由1,1,0),由2,0,0),4(0,-1,0),由0,0,1).

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设平面RN的法向量为A=(X,y,z),则

,阳二0,-y-z=0,

即，

1元=0,2x—z--0.

令z=2,贝ijx=l,y=-2.

所以N=(1,-2,2).

—>

又晶-1),所以COS<N,晶)二唔二J.

同冏

⑶设”是棱身上一点，

则存在X€[0,1]使得京匕晶

因此点m0,1一九4,尾匕(一1,-z,z).

因为平面PCD,所以要使5M7/平面汽3当且仅当嬴H=0,即(一1,一3④-Q,-22)=0.

解得所以在棱PA上存在点“使得BA*平面PCD,此日瞪=：一

•Jxr-+

【方法技巧】空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无须进行复杂的作图、论证、

推理，只需通过坐标运算进行判断；解题时:把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否

存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效,

应善于运用这一方法解题.

【变式探究】如图所示，已知正三棱柱4?。一4归G中，AB=2,44=十，点〃为4C的中点，点£的线

段段上.

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⑴当丝£4尸时，求证：DE1BQ；

(2)是否存在点反使二面角〃的4等于60°?若存在，求力i1的长；若不存在，请说明理由.

解析：(1)证明：连接〃G,

因为力比-4出G为正三棱柱，所以△♦比为正三角形.

又因为。为4。的中点，所以劭，〃：

又平面平面/CG4,所以切J_平面力CG4.

所以BDVDE.

因为力£分产12,AB=2,44=事,所以［《=算，49=1.

所以在RtZ\/〃£中，N49£=30°.在Rt△〃制中，NC、DC=60°.

所以/劭G=90°,即血LOG.

所以〃_L平面BDG.

又因为8Gu平面劭G,

所以EDVBQ.

(2)假设存在点。满足条件，设AE=h.

取4G的中点〃，连接加”则如，平面/比所以加」力〃，DIXLBD.

如图，分别以"I,DB,如所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系。一xyz,

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则力(1,0,0),8(0,y[3,0),£(1,0,A).

―►—►―►—►

所以m=(0,小,0),DE=(l,0,揖,43=(—1,小,0),1£=(0,0,/?).

设平面腌的一个法向量为9=(为，％,Zi)则

I/71•DB=0,即""一"

1/71•DE=3〔吊+力©=0.

令©=1,得n=(一力,0,1).

同理，设平面力应'的一个法向量为麽=（火2,度，勿），

n>,AB=Q,

f—矛2+{5%=0,

[力Z2=0.

{m,AE=0,

得([5,1,0).

所以|cos5,nhI—।2~/^——cos60°_1

qzr+i•2=5

解得h=,故存在点后满足条件.

当力£=平时，二面角3比二力等于60°.

,真题感悟，

1.【2017课标1,理18］如图，在四棱锥产力及力中，AB//CD,且N84P=NCOP=90.

（1）证明：平面必反L平面EL9；

（2）若用=。仍〃C,ZAPD=90,求二面角上陟。的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）.

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【解析】(1)由已知N6A尸=NC0P=9O°,得皿”,CDLPD.

由于四〃微散ABLPD,从而｛员L平面处〃

又ABU平面PAB,所以平面必81.平面PAD.

(2)在平面PA。内做PE_LA。，垂足为F,

由(1)可知，A3,平面PAD,故ABJ.PF,可得平面ABC。.

以尸为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，,司为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系

F-xyz.

由(D及已知可得K

所以PC=^=(0,1,0).

设是平面PCB的法向量，则

nCB=Q

可取”=仅「一④).

设团=(x,y,z)是平面PA8的法向量，则

V2

2

可取〃=(1,0,1卜

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则c°sg力端=一5

所以二面角A-PB-C的余弦值为—-

3

2.【2017山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABC。（及其内部）以A3边所在

直线为旋转轴旋转120。得到的，G是。产的中点.

（I）设P是CE上的一点，且求NCBP的大小;

（H）当AB=3,AD=2,求二面角E—AG—C的大小.

【答案】(I)ZCBP=30°.(II)60°.

【解析】

(I)因为APLBE,AB1BE,

AB,APu平面ABP,ABr>AP=A,

所以平面A8P,

又BPu平面ABP,

所以BE，BP,又NE8C=120。，

因此/CBP=30°

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（II）以B为坐标原点，分别以BE,BP,A4所在的直线为x,y,z轴，建立如图所示的空

间直角坐标系.由题意得A（0,0,3）石（2,0,0）,G（l,6,3）,C（-l,V3,0）,故A£=（2,0,—3）,

AG=（l,6,0），CG=（2,0,3）,设加=（%，x，zj是平面AEG的一个法向量.

m-AE=02%-3Z1=0,

由｛可得｛

mAG=0%+上义=0,

取4=2,可得平面AEG的一个法向量加=9,一百,2卜

设〃=（9,必*2）是平面ACG的一个法向量.

由｛〃"G=°可得产+32=。，

“•CG=02X2+3Z2=0,

取Z2=—2,可得平面ACG的一个法向量”=（3,—百,—2卜

所以3。加彘4

因此所求的角为60。.

3.12017北京，理16】如图，在四棱锥片46（笫中，底面46（力为正方形，平面序。，平面48切，点"

在线段加上，必平面物C,PA=PD=m,AB=4.

（I）求证：M为阳的中点；

（II）求二面角介物力的大小；

（III）求直线眈■与平面叱所成角的正弦值.

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【答案】(I)详见解析：(II)三；(III)会坦

39

【解析】

(I)设AC,8。交点为E,连接ME.

因为PO平面MAC,平面MACc平面=所以POME.

因为ABC。是正方形，所以E为8。的中点，所以“为尸8的中点.

(II)取&的中点。，连接OP,0E.

因为尸d=PD,所以。PJ.4O.

又因为平面PAD1•平面ABCD，且。Pu平面PAD,所以0P，平面ABCD.

因为OEu平面/BCD,所以。尸_LOE.

因为加CD是正方形，所以ON_LK。.

如图建立空间直角坐标系0-冲2,则尸(0,0,亚)，D(ZO,O),£(-2,4,0),

丽=(4T0),PD=(2,0-^)-

/、〃•BD=O4x-4y=0

设平面BOP的法向量为〃=(%,y,z),贝心，即｛/

-7n-PD=02x-&=0

令X=l,则y=l,Z=V^.于是〃=0」,五｝

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〃・p1

平面PAD的法向量为p=(0,1,0),所以cos(〃,p)=

Hid2,

TT

由题知二面角3-PO-A为锐角，所以它的大小为一.

3

2A/6

~9~

?[7

所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为幺

9

4.【2017天津，理17】如图，在三棱锥F/f阳中，为，底面18GN8AC=9O°.点〃，E,川分别为棱

PA,PC,比1的中点，〃是线段力〃的中点，PA=A<=4,AB=2.

(I)求证：的V〃平面BDE；

(II)求二面角小£八"的正弦值；

(III)已知点〃在棱川上，且直线仍与直线跖所成角的余弦值为近，求线段的长.

21

【答案】(1)证明见解析(2)乂型(3)-或工

2152

【解析】如图，以4为原点，分别以AB,AC,AP方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角

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坐标系.依题意可得4(0，0,0),6(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),

M(0,0,1),/V(1,2,0).

(I)证明：DE-(0,2,0),DB~(2,0,-2),设“=(x,y,z),为平面应后的法向量,

n-DE^O2y=0,、

则｛，即｛?.不妨设z=l,可得〃=(1,0,1).又MN=(1,2,-1),可得

n-DB^O2x-2z=0')

MN-n=O.

因为平面切所以做W/平面觎：

(H)解：易知a=(1,0,0)为平面四V的一个法向量.设%=(x,y,z)为平面9V的法向量，则

%-EM=0-2y-z=0

因为=所以｛..不妨设丁=1,可得

n,MN=0/x+2y-z=0

%=(-4,1,—2).

4•%4..、VW5

因此有cosg心=丽=一而’于7ssm8'%)=丁

所以，二面角M的正弦值为乂变.

21

(1H)解：依题意，设月於从0W//K4),则〃(0,0"),进而可得NH=(T,—2,/?),=(-2,2,2).

I/\\NHBE\2h-2\币,8

1

由已知，得cos(NH,BE)=——n—='—=2LL,整理得10后一21〃+8=0,解得〃=?,

1'71NH\\BE际限2也215

T,1

或力=一.

2

O1

所以，线段/〃的长为2或一.

52

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5.【2017江苏，22］如图，在平行六面体中，44J_平面［及/,且4?=4>=2,44=百,

NBAD=120°.

（1）求异面直线46与所成角的余弦值;

（2）求二面角6T/T的正弦值.

74

［解析】在平面ABCD内，过点A作力£1AD,交6c于点£

因为44-L平面ABCD,

所以力4_L45；AAx1AD.

如图，以｛AE,AD,A4i｝为正交基底，建立空间直角坐标系止xyz.

因为AB=AD=2,44=百，NBAD=120°.

则A（0,0,0）,B（V3,-l,0）,£）（0,2,0）,E（若,0,0）,A（0,0,出）,£（后,1,吟.

（1）”=（6,-I,_G）,AG=M，L©，

则cosABAC-ABAG_（点TlG）.（®L6）__1

A'「河西7-7-

因此异面直线48与AG所成角的余弦值为

7

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（2）平面/期的一个法向量为存=（超,0,0）.

设m=（九y,z）为平面BAiD的一个法向蚩，

又不=（出「1「叫而=（一招,3,0）,

则产变二°，即（岳一Lb"。

mBD=0,~^x+3y=0.

不妨取A3,贝i]y=W，z=2,

所以阳=（3,用,2）为平面BAiD的一个法向量，

5,AEm（赤，。0（3,万2）3

从而cosAE,m=।一=----户--------=-,

\AE\h\m\岳44

3

设二面角比4。月的大小为。，则|cos6|=q

因为6e[0,4],所以sinO=,1-cos?。不

~T

因此二面角B-AxD-A的正弦值为~T

1.[2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以4,6,C0£尸为顶点的五面体中,面ABEF

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为正方形,AP-2FD,Z.AFD=90,且二面角。相^与二面角0版尸都是60.

(I)证明：平面/庞£L平面£77心；

(II)求二面角股册月的余弦值.

【答案】(I)见解析(II)---------

19

【解析】

(I)由已知可得NF1OF,AF1FE,所以平面ERDC.

又/Fu平面故平面Z8EF_L平面E/DC.

(II)过。作。GLEP,垂足为G，由(I)知OGL平面48EF.

以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，,尸|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G-乎.

由(I)知NOFE为二面角。—Ab—E的平面角，故ZDFE=60,则q=2,|Z)G|=3,可得

4(1,4,0),5(-3,4,0),E(-3,0,0),。(0,0,石).

由已知，AB//EF,所以AB〃平面EFOC.

又平面A3C。平面EEDC=OC,AB//CD,CD//EF.

由BE//AF,可得BE_L平面EFDC,所以NCEF为二面角C—BE—/的平面角，

NCEF=60.从而可得C(—2,0,6).

所以EC=(l,0,G),E5=(0,4,0),ZC=(—3,-4,6)，^5=(-4,0,0).

设〃=(x,y,z)是平面BCE的法向量，则

n-EC-0\x+yj3z-0

<，即彳，

n-EB=0[4y=0

所以可取〃=(3,0,—6).

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mAC=O

设5是平面的法向量,则《

m•AB=0

n-m2V19

同理可取机=(0,6,4).则COS(M,JW)二

Hl/nl19

故二面角E-BC-A的余弦值为一2®.

19

2.12016高考新课标2理数】如图，菱形A8CD的对角线AC与8。交于点O,AB=5,AC=6,

点分别在A。,CO上，AE=CF=~,EF交8。于点”.将AOEF沿EF折到位置,

4

OD'=>/}0.

（I）证明：。'”，平面48。。；

（II）求二面角5-O'A—C的正弦值.

O，

【答案】（I）详见解析；（II）拽

25

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【解析】

（I）由已知得KC_LAD,AD=CD,又由空=CF得丝=上，故XC#即.

ADCD

因此EF±HD,从而EF由.四=5,4C=6得。。=50=y/AB2-AO2=4.

由即，，/C得丝=4?=L所以Off=l,D'H=DH=3.

DOAD4

于是。以2+。笈2=32+[2=]0=。,02,

故D，H工OH一

又DH_L即，而OHCEF=H,

所以DH_L平面4SCD.

（H）如图，以"为坐标原点，的方向为无轴正方向，建立空间直角坐标系”一砂z,则”（蝴）,

A（-3,-l,0）,B（0,-5,0）,C（3,-l,0）.£>'（0,0,3）,AB=（3,-4,0）,AC=（6,0,0）,AD'=（3,1,3）.

/、，m-AB-013x.-4%=0

设机=（埠y,zj是平面的法向量，则4，即'、八，所以可取〃2=（4,3,-5）.

m-AD'=0|3X|+y+3Z1=0

n-AC=06x,=0,

设”=（W，M,Z2）是平面ACD'的法向量，则，，即《c-c八，所以可取〃=（0,-3,1）.

n-AD'^03X2+y+3z=0'"

n-147J52J95

于是cos<m,n>=-.m~n—r=—7=——j==---,sin<m,n>=------.因此二面角B-D'A-C的正弦值

|w||n|V50xV102525

2A/95

25

3.12016高考天津理数】（本小题满分13分）如图，正方形4版的中心为“四边形如跖为矩形,

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平面值见1平面力及口，点G为46的中点，AB=BE=2.

(I)求证：属〃平面4%、；

(II)求二面角)所，的正弦值；

2

(III)设〃为线段4厂上的点，宜A*—HF,求直线掰和平面处所成角的正弦值.

3

【答案】(I)详见解析(II)—(III)—

321

【解析】依题意，。/_L平面-ABC。，如图，以。为点，分别以AO,8A的方向为x轴，y轴、z

轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得。(0,0,0),

A(-1,1,O),B(-1,-1,O),C(1,-1,O),£>(1,1,0),E(-l,-l,2),F(0,0,2),G(-l,0,0).

(I)证明：依题意，AZ)=(2,(),()),AF=(1,—1,2).设〃।=(x,y,z)为平面AOF的法向量，则

「，即{.不妨设Z=l,可得〃1=(o,2,l),又EG=(Q1I),可得EG•勺=0,

[x—y+2z=0

n}-AF=Q

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又因为直线EG<Z平面A。/7,所以EG//平面ADb.

(H)解：易证，Q4=(—1,1,0)为平面OEF的一个法向量.依题意，EF=(l,l,0),CF=(-l,l,2).

/、

设”=(“z)为平面叼的法向量’则In2-E-F=0即|{-y二=0+/。.不妨设E,可得

n2=(11,).

H山士CA0A・%V6

因止匕看cos<0A,几,〉二•；—；~~।~।-----于是sinvQA,%>=、，所以，二面角O—EF—C的正

网时3

弦值为由.

3

222,224、

(III)解：由A”=—“尸，得47=14F.因为⑵，所以A”=-Ab=一,一一,

35V75{555)

进而有小一2;$,从而6”=仁,§,3],因此cos<6",〃，>=।B”;也所以,直线即/

1555；1555；2网网21

和平面CEF所成角的正弦值为—.

21

4.【2016年高考北京理数】(本小题14分)

如图，在四棱锥尸一ABC。中，平面PAO1.平面A8CO,PA1PD,PA=PD,AB1AD,

48=1,AD=2,AC=CD=s/5.

(1)求证：PO_L平面P43；

(2)求直线PB与平面PC。所成角的正弦值；

(3)在棱PA上是否存在点M,使得8M//平面PC。？若存在，求2竺的值；若不存在，说明理

AP

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【答案】（1）见解析；（2）■；（3）存在，----=一

3AP4

【解析】⑴因为平面HID1•平面WCD,ABLAD,

所以平面H4D,所以H?_LPD,

又因为尸XJLPD,所以尸DJL平面尸.四；

（2）取/D的中点。，连结尸O,CO,

因为尸X=?D,所以尸。_1./£）.

又因为POu平面PAD,平面尸40_L平面ABCD,

所以尸。平面ABCD.

因为COu平面ABCD,所以PO1CO.

因为/C=CD,所以COA.AD.

如图建立空间直角坐标系。-xyz,由题意得，

4(0,1,0),5(1,1,0),C(2,0,0),£>(0-1,0),mo,1).

设平面PCD的法向量为7=(x,y,z),则

二而=0,卜y-z=O,

n-PC=O,[2x-z=0,

令Z=2,则x=l,y=-2.

所以九=（1,一2,2）.

—*-*--YI,PB

又PB=(1,L—1),所以cos<”,P8〉==^

nPB

所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为—.

3

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（3）设M是棱PA上一点，则存在/le[0,1]使得AM=/LAP.

因此点M（0,l—4/l）,丽=（―1,—4㈤.

因为平面PCO,所以8M〃平面PC。当且仅当丽G=0,

即（―1,—尢丸＞（1,—2,2）=0,解得2.

所以在棱PA上存在点M使得BM//平面PCD,此时——=

5.12016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，在三棱台ABC-OEF中，平面8CTE_L平面

ABC,ZACB=90,BE=Ef^FC=\,BC=2,AC=3.

（i）求证：阮1平面

（ID求二面角6-4。厂的平面角的余弦值.

【答案】（I）证明见解析；（口）

【解析】（I）延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.

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因为平面8CFEJ■平面ABC,且ACL3C,所以AC_L平面BCK,因此

又因为Ef7/BC,BE=EF=FC=T,BC=2,

所以△BCK为等边三角形，且尸为CK的中点，则BF_LCK.

所以BP_L平面ACF。.

(II)方法一：过点尸作/Q_LAK于Q,连结8Q.

因为BFJ.平面ACK,所以8F_LAK,则AKd.平面5QF,所以8QLAK.

所以NBQF是二面角B-AD-F的平面角.

在Rtz^ACK中，AC=3,CK=2,得/。=岑，.

在Rt^BQ/中，BF=6得cosNBQE=哼.

所以二面角3—AO—尸的平面角的余弦值为正.

4

方法二：如图，延长A。，BE,CT相交于一点K,则△BCK为等边三角形.

取BC的中点。，则KOLBC,又平面BC尸E_L平面ABC,所以，KOJ.平面ABC.

以点。为原点，分别以射线。8,0K的方向为x,z的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.

1/o1

由题意得8(1,(),0),C(-l,0,0),K(0,0,J§),A(—1,-3,0),£(-,0,y-),F(——,0,

因此，AC=(0,3,0),AK=(1,3,6),AB=(2,3,0).

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设平面ACK的法向量为6=（玉,y,zj,平面ABK的法向量为〃=（w，y2，Z2）・

ACm=Q

由«,得〈

AKm=O.二;+八尸。’取响®°T；

AB-〃=024+3%=0/i—\

由，,得彳-L，取〃=3,-2,6).

=。'

AK〃=Ox2+3%+V3Z2

mn_>/3

于是，cos(/n,〃)=