2021-2022学年北京市门头沟区九年级（上）期末数学试卷（学生版+解析版）

2021-2022学年北京市门头沟区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个。

1.（2分）已知2a=36（浦W0）,则下列比例式成立的是（)

a3aba2

A.­=-B.-=-C.­=一

2b32b3

2.（2分）抛物线y=（x-3）2+1的顶点坐标是（）

A.（3,1）B.（3,-1）C.（-3,1）D.(-3,-1)

3.（2分）已知OO的半径为5,点P到圆心。的距离为8,那么点P与00的位置关系是

（）

A.点尸在。。上B.点尸在。。内C.点尸在OO外D.无法确定

4.（2分）在△ABC中，ZC=90°,tanA=2,则sinA的值是（）

21275

A•一B,-C.----

335

5.（2分）如图，线段48是。0的直径，弦于E,如果NC4B=20°,那么NA。。

等于（）

A.120°B.140°C.150°D.160°

6.（2分）如果将抛物线y=2?先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到一条新的

抛物线，这条新的抛物线的表达式是（）

A.y=2（x-2）2+3B.y=2（x+2）2-3

C.y=2（x-2）2-3D.y=2（x+2）2+3

Lr—1

7.（2分）如果A（I,yi）与8（2,”）都在函数），=方之的图象上，且户>"，那么火的

取值范围是（）

A.&>1B.k<\C.21D.任意实数

8.（2分）如图，抛物线y=32-4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0,3）为圆心，2

为半径的圆上的动点，。是线段出的中点，连接则线段。。的最大值是（)

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

X2X+V

9.（2分）如果一=一，那么---的值是_______.

y3x

10.（2分）颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、

苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园.该园有一个六角亭，如果它的地基是半径

为2米的正六边形，那么这个地基的周长是米.

11.（2分）如果两个相似三角形的相似比是1：3,那么这两个相似三角形的周长比是

12.（2分）如图，扇形的圆心角NAO8=60°,半径为3c/n.如果点C、。是AB的三等分

点，图中所有阴影部分的面积之和是cm2.

13.（2分）把二次函数y=7-2x+3化成y=a（x-〃）的形式为.

14.（2分）写出一个图象位于第一、三象限的反比例函数的表达式：

15.（2分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步,

股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）

长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”

答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是步.

16.（2分）函数），=%2+/的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量x的取值范围

311

是x#0；②该函数有最小值：；③方程有三个根；④如果（xi,尹）和（也，

”）是该函数图象上的两个点，当xi<x2<0时一定有yi<yi,所有正确结论的序号

三、解答题（本题共68分，第17〜22题每小题5分，23〜26题每小题5分，第27〜28题

每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（5分）计算：2sin60°+履+|-5|-（TC+A/2）°.

18.（5分）己知：如图，在△A8C中，点。在BC上，点E在AC上，Z）E与AB不平行.添

加一个条件,使得△CDES^CAB,然后再加以证明.

19.（5分）己知：如图1,在△ABC中，AB=AC.

求作：OO，使得。。是△ABC的外接圆.

作法：①如图2,作/BAC的平分线交BC于Q；

②作线段AB的垂直平分线EF；

③EF与AD交于点0；

④以点0为圆心，以0B为半径作圆.

。。就是所求作的AABC的外接圆.

根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图2(保留作图痕迹)：

(2)完成下面的证明.

证明：\'AB=AC,NBAD=NDAC,

'：AB的垂直平分线EF与AD交于点0,

：.OA=OB,OB=OC.(______)(填推理的依据)

：.OA=OB=OC.

・•・OO就是△ABC的外接圆.

,A图1图2

20.(5分)已知二次函数)，=如2+法+(：•图象上部分点的横坐标；i、纵坐标y的对应值如下表:

x01234

y…-3-4-305…

(1)求该二次函数的表达式；

(2)直接写出该二次函数图象与x轴的交点坐标.

21.(5分)己知：如图，在中，ZACB=90°CC是AB边上的高.

(1)求证：MABCsXCBD；

(2)如果AC=4,BC=3,求8。的长.

C

DB

22.（5分）如图，在平面直角坐标系x。），中，一次函数y=-2%的图象与反比例函数y=1的

图象的一个交点为A（-1,〃）.

（1）求反比例函数）=1的解析式；

23.（6分）“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某数学兴趣小组进行了测量它高度的社会

实践活动.如图，他们先在点D处用高1.5米的测角仪AD测得塔顶M的仰角为30°,

然后沿DF方向前行70,"到达点E处，在点E处测得塔顶M的仰角为60。.求永定楼

MF（结果保留根号）

24.（6分）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边DC和

D4足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围A3和BC两边）.设

AB=xm,S矩形ABCD=ym.

（1）求y与x之间的关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）当矩形花园的面积为192层时,求AB的长；

（3）如果在点尸处有一棵树（不考虑粗细），它与墙0c和DA的距离分别是15/n和6m,

如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出矩形花园面积的最大值.

^/TTTTTTTtTT

25.(6分)如图，4B为。。的直径，C为BA延长线上一点，CD是。。的切线，。为切点,

。尸_L4。于点E,交CD于点凡

26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=o？-2ax+4(a>0).

(1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标(用含。的代数式表示)；

(2)如果该抛物线的顶点恰好在x轴上，求它的表达式：

(3)如果ACm-1,yi),B(m,>2),C(m+2,y?)三点均在抛物线y—ax2-2ax+4上,

且总有结合图象，直接写出机的取值范围.

27.(7分)在△ABC中，/8AC=45°,C£)_LA8于点。，AE_L8c于点E,连接。£

(1)如图1,当AABC为锐角三角形时，

①依题意补全图形，猜想N8AE与/BC。之间的数量关系并证明：

②用等式表示线段AE,CE,DE的数量关系，并证明；

(2)如图2,当NABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE,CE,DE的数量

关系.

28.(7分)如图，在平面直角坐标系xOy中，C(0,2),OC的半径为1.如果将线段AB

绕原点。逆时针旋转a(0°<a<180°)后的对应线段Ab所在的直线与0c相切，且

切点在线段A'B'上，那么线段AB就是0C的“关联线段”，其中满足题意的最小a

就是线段48与OC的“关联角”.

(1)如图1,如果42,0),线段0A是OC的“关联线段”，那么它的“关联角”为

(2)如图2,如果Ai(-3,3)、Bi(-2,3),A2(1,1)、Bi(3,2),43(3,0)、

83(3,-2).

那么OC的“关联线段”有(填序号，可多选).

①线段431

②线段A2B2

③线段A3B3

(3)如图3,如果B(l,0)、D(/,0),线段BQ是0c的“关联线段”，那么/的取值

范围是.

(4)如图4,如果点M的横坐标为〃?，且存在以M为端点，长度为国的线段是0C的

“关联线段”，那么”的取值范围是.

图3图4

2021-2022学年北京市门头沟区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个。

1.（2分）已知2a=36（浦W0）,则下列比例式成立的是（)

a3aba2b3

A•一=-B.-=-C・一=一D.

2b32b3a2

a3

【解答】解：A、由；=工得彷=6,故本选项错误；

2b

ab

B、由一=一得2a=3。，故本选项正确；

32

a2

C>由工=二得3。=28，故本选项错误；

b3

D、由e=2得3a=2b,故本选项错误.

a2

故选：B.

2.（2分）抛物线y=（x-3）2+1的顶点坐标是（）

A.（3,1）B.（3,-1）C.（-3,1）D.(-3,-1)

【解答】解：・・・>=（x-3）2+1,

・・・此函数的顶点坐标为（3,1）,

故选：A.

3.（2分）已知。0的半径为5,点P到圆心。的距离为8,那么点P与00的位置关系是

（）

A.点尸在。。上B.点尸在。。内C.点尸在OO外D.无法确定

【解答】解：・・・OP=8>5,・,•点P与的位置关系是点在圆外.

故选：C.

4.（2分）在△ABC中，ZC=90°,tanA=2,则sinA的值是（）

212遥V5

A.-B.-C.-----D.—

3355

【解答】解：・・・NC=90°,

tanA=箓=2,

设AC=x,则5C=2x,

>\AB=\]BC2+AC2=

...BC2x2/5

-SinA=AB=7^c=^

故选：c.

5.（2分）如图，线段4?是O。的直径，弦COL45于E,如果NCA3=20°,那么N4OO

等于（）

A.120°B.140°C.150°D.160°

【解答】解：,・,线段A8是。。的直径，弦。。J_A8,

：.CB=BD,

•・・NCAB=20°,

・・・N800=40°,

・・・NAO£>=140°.

故选：B.

6.（2分）如果将抛物线y=2?先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到一条新的

抛物线，这条新的抛物线的表达式是（）

A.y=2(x-2)2+3B.y=2(x+2)2-3

C.y=2(x-2)2-3D.y=2(x+2)2+3

【解答】解：抛物线y=2》2先向左平移2个单位得到解析式：y=2（x+2）2,再向上平

移3个单位得到抛物线的解析式为：y=2（x+3）2+3.

故选：D.

7.（2分）如果A（1,y\）与B（2,”）都在函数y=以廿的图象上，且）“>”，那么/的

取值范围是（)

A.k>lB.k<lC.kWlD.任意实数

【解答】解：,.,A(1,2)与B(2,>2)都在函数y=与」的图象上，且yi>”,

：.k-KO,

“<1,

故选：B.

8.(2分)如图，抛物线y=1?-4与x轴交于A、B两点，P是以点C(O,3)为圆心，2

为半径的圆上的动点，。是线段出的中点，连接OQ,则线段OQ的最大值是()

7

C.一D.4

2

【解答】解：连接8P,如图，

当y=O时，一/-4=0,解得xi=4,X2=-4,则A(-4,0),B(4,0),

4

丁。是线段力的中点，

・•・。。为△A8P的中位线，

1

/.OQ=专BP,

当3户最大时，OQ最大，

而3尸过圆心。时;PB最大,如图,点尸运动到P'位置时，BP最大,

•:BC=办+42=5,

:.BP'=5+2=7,

7

・・・线段OQ的最大值是3

故选：C.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

X2v4-v5

9.（2分）如果一=一，那么一上的值是-.

y3x-2-

【解答】解：由题意设x=2攵，y=3k,

.x+y2k+3k5

••x2k2

故答案为：|.

10.（2分）颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、

苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园.该园有一个六角亭，如果它的地基是半径

为2米的正六边形，那么这个地基的周长是」米.

【解答】解：如图所示：

•••正六边形的半径为2米，

；.OA=OB=2米，

正六边形的中心角乙408=嗒=60°,

是等边三角形，

：.AB=OA=OB,

；.4B=2米，

正六边形的周长为6X2=12（米）；

故答案为：12.

ED

C

11.(2分)如果两个相似三角形的相似比是1：3,那么这两个相似三角形的周长比是1：

3.

【解答】解：・・•两个相似三角形的相似比是1：3,

・••这两个相似三角形的周长比是1：3,

故答案为：1：3.

12.(2分)如图，扇形的圆心角NAOB=60°,半径为如果点C、拉是A8的三等分

I

点，图中所有阴影部分的面积之和是丁

-2

2

【解答】解：S扇形0A8=6°著3=航(cm2),

□OUL

_13_12\

3c阴影=@3扇形38=耳X2^-2n(cm).

1

故答案为：-n.

13.(2分)把二次函数y=W-2x+3化成y=a(x-/?)?+：的形式为y=(x-1)2+2

=2

【解答】解：yx-2x+3f

=7-2x+1+2f

=(x-1)2+2,

所以，y=(x-1)2+2.

故答案为：y=(x-1)2+2.

14.(2分)写出一个图象位于第一、三象限的反比例函数的表达式：v=).

【解答】解；设反比例函数解析式为)=：,

•.•图象位于第一、三象限,

">0,

...可写解析式为）=3

故答案为：）=*

15.（2分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，

股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：”如图，现有直角三角形，勾（短直角边）

长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”

答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是6步.

CB

在RtZXABC中，AC=8,BC=15,/ACB=90°,

：.AB=\!AC2+BC2=V82+152=17,

11

ASAABC=*AC・3C=*x8X15=60,

设内切圆的圆心为。，分别连接圆心和三个切点，及04、OB、0C,

设内切圆的半径为r,

1、

•9•S^ABC=S^AOB+S^BOC^S^AOC=2Xr（48+BC+AC）=20r,

A20r=60,解得r=3,

，内切圆的直径为6步.

故答案为：6.

16.（2分）函数）=//+］的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量x的取值范围

311

是x#0；②该函数有最小值不③方程：;/+7=3有三个根；④如果（xi,yi）和（X2,

22%

是该函数图象上的两个点，当月<整<0时一定有yi<”,所有正确结论的序号是_®

①函数），=；/+［中，分母不能为o,所以函数自变量X的取值范围是x¥0,故①符合题

-«*»*-

忌.

②如图所示，函数没有最大值，没有最小值，故②不符合题意.

③如图所示，函数^=1?+：的图象与直线y=3有3个交点，所以方程；/+《=3有三个

根，故③符合题意.

④如图所示，当x<0时，y随x的增大而减小，故④不符合题意.

综上所述，正确的结论有①③个.

故答案为：①③.

三、解答题（本题共68分，第17〜22题每小题5分，23〜26题每小题5分，第27〜28题

每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（5分）计算：2sin60°+V12+|-5|-（n+V2）0.

【解答】解：原式=2x苧+26+5-1

=V3+2V3+5-1

=3遍+4.

18.（5分）已知：如图，在△ABC中，点。在3c上，点E在AC上，OE与A8不平行.添

加一个条件NCDE=NA,使得△COEsACAB,然后再加以证明.

E

D

A1-------------'B

【解答】解：添加条件为：ZCDE=ZA,

理由：VZC=ZC,

NCDE=NA,

：./\CDE^^CAB.

故答案为：ZCDE-ZA.

19.（5分）己知：如图1,在△ABC中，AB=AC.

求作：。0，使得OO是△ABC的外接圆.

作法：①如图2,作NBAC的平分线交BC于。；

②作线段AB的垂直平分线EF；

③EF与AO交于点0；

④以点。为圆心，以为半径作圆.

•••O。就是所求作的△A8C的外接圆.

根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）：

（2）完成下面的证明.

证明：；AB=AC,NBAD=NDAC,

AZ）是BC的垂直平分线.

'：AB的垂直平分线EF与AD交于点0,

：.OA=OB,0B=0C.（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）（填推理的依据）

：.0A=0B=0C.

：.OO就是△ABC的外接圆.

(2)证明：'：AB=AC,ZBAD=ZDAC,

是8c的垂直平分线.

'：AB的垂直平分线EF与AD交于点0,

：.OA=OB,OB=OC(垂直平分线上的点到线段两端的距离相等),

：.OA=OB=OC.

，。。就是aABC的外接圆.

故答案为：AO是BC的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

20.(5分)已知二次函数y=n/+6x+c图象上部分点的横坐标X、纵坐标y的对应值如下表:

x…01234-

y…-3-4-305…

(1)求该二次函数的表达式；

(2)直接写出该二次函数图象与x轴的交点坐标.

【解答】解：(1):抛物线经过点(0,-3),(2,-3),(1,-4),

.••抛物线的对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,-4),

设抛物线解析式为y=a(x-1)2-4,

把(0,-3)代入得a(0-1)2-4=-3,解得a—1,

.•.抛物线解析式为y=(x-1)2-4；

（2）•.•抛物线与x轴的一个交点坐标为（3,0）,

而抛物线的对称轴为直线x=1,

.•.抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1,0）,

即该二次函数图象与x轴的交点坐标为（-1,0）,（3,0）.

21.（5分）已知：如图，在Rt/LABC中，ZACB=90°,CO是AB边上的高.

（1）求证：AABCSACBD；

（2）如果AC=4,BC=3,求8。的长.

【解答】解：(1)VZACfi=90°,8是A3边上的高,

NAC8=NC£>B=90°

又,：NB=NB,

：.XABCsXCBD

（2）在RtzXABC中，ZACB=90Q,AC=4,BC=3.

由勾股定理得45=5

/XABCs^CBD,

.ABBC

"CB~BD

.or,_BC2_32_9

一祠一号一百

22.（5分）如图，在平面直角坐标系x。），中，一次函数尸-2x的图象与反比例函数.尸例

图象的一个交点为A（-1,n）.

（1）求反比例函数y=（的解析式；

（2）若尸是坐标轴上一点，且满足=直接写出点尸的坐标.

【解答】解：(1)...点A(-1,〃)在一次函数y=-2%的图象上.

：.n=-2X(-1)=2

，点A的坐标为(-1,2)

•.•点A在反比例函数的图象上.

：.k=-2

二反比例函数的解析式是尸-p

(2)方法一：

VA(-1,2),

0A=7(-1)2+22=V5,

•.•点P在坐标轴上，

当点P在x轴上时设P(x,0),

"：PA=OA,

.•.J(x+1)2+(0-2)2=遍，解得x=.2；

当点尸在y轴上时，设P(0,>'),

.*.J(0+l)2+(y-2分=*,解得y=4；

当点P在坐标原点，则P(0,0).

...点P的坐标为(-2,0)或(0,4)或(0,0).

方法二：过点A作A8_Lx轴，ACLy轴，如图，

①当P在原点时，满足以=。4,则P点(0,0)：

②当P在x轴上时，

'：PA=OA,ABLOP,A点坐标为(-1,2)

；.OB=1,OP=2OB=2,

：.P(-2,0),

③当P在y轴上时，

'：PA=OA,ACLOC,A点坐标为（-1,2）

；.0C=2,OP=2OC=4,

：.P（0,4）,

••.点P的坐标为（-2,0）或（0,4）或（0,0）.

23.（6分）“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某数学兴趣小组进行了测量它高度的社会

实践活动.如图，他们先在点D处用高1.5米的测角仪AD测得塔顶M的仰角为30°,

然后沿。尸方向前行70机到达点E处，在点E处测得塔顶M的仰角为60。.求永定楼

的高MF（结果保留根号）

【解答】解：由题意得：AB=70米，CF=1.5米，/M4C=30°,ZMBC=f）0°,

\'ZMAC=30°,ZMBC=60°,

AZAMB=30°,

ZAMB^ZMAB,

:.MB=AB=70米，

在RtzXBCM中，Z/WCfi=90°,NMBC=60°,

AZBMC=30°.

1

：.BC=^BM=35（米），

：.MC=V3BC=35V3（米）,

：.MF=CF+CM=（35V3+1.5）米.

即永定楼的高MF为（35g+1.5）米.

24.（6分）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边OC和

足够长），用28,”长的篱笆围成一个矩形花园ABC。（篱笆只围AB和BC两边）.设

AB=xm,Si&KABCD=ym2.

（1）求y与x之间的关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）当矩形花园的面积为192n?时，求A8的长；

（3）如果在点尸处有一棵树（不考虑粗细），它与墙0c和DA的距离分别是15初和6相，

如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出矩形花园面积的最大值.

【解答】解：⑴-：AB^x,

：.BC=2S-x,

'.y—x(28-x)=-X2+28X,

；28-x>0,

；.x<28,

与x的关系式为y=-/+28x(0<x<28).

⑵令y=192,则-W+28x=192,

解得x=16或x=12,

.'.AB长为16m或12m.

(3)\•点P在矩形内部,

.fx>6

,,l28-x>15'

解得6Wx<13.

-7+28x=-(x-14)2+196,

当x<14时，y随x增大而增大，

；.x=13时，y取最大值为-1+196=195,

答：花园面积最大值为195nA

25.(6分)如图，A3为。。的直径，。为比1延长线上一点，CO是。。的切线，D为切点、,

OEL4Q于点E,交CD于点F.

(1)求证：ZADC=ZAOF；

【解答】解：(1)连接。。，

,?OF1.AD,

・・・NA。/+NDAO=90°,

•・,CQ是。。的切线，D为切点,

：.ZCDO=90°,

AZADC+ZADO=9O0,

*：OA=OD9

：.ZDAO=ZADO,

：.ZAOF=ZADC；

(2)VOF//BD,AO=OB,

\AE=DEf

11

•・OE=^BD=^x8=4,

..OD1

­sinrC=oc=T

••设0£>=x,0C=3xf

\OB=x,

\CB=4x,

：OF//BD,

•.△COFs^CBD,

.OCOF

9BC~BD

.3xOF

4x8

OF=6f

26.(6分)在平面直角坐标系xO)，中，已知抛物线产--2or+4(<z>0).

(1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标(用含a的代数式表示)；

(2)如果该抛物线的顶点恰好在x轴上，求它的表达式；

(3)如果ACm-Lyi),B(.m,y2))C(/n+2,”)三点均在抛物线>,=ar2-2ax+4上,

且总有>|>>3>”，结合图象，直接写出机的取值范围.

【解答】解：(1)'.'y—ax2-2ax+4=a(x-1)2-a+4,

该抛物线的对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,4-«)；

(2)•••抛物线的顶点恰好在x轴上，

方程ar2-2以+4=0有两个相等的根，

二△=(-2a)2-4“X4=0,

解得〃=4或a=0(舍去)，

二抛物线的表达式为y=4?-8x+4；

(3)V«>0,

.•.抛物线开口向上,

•；A(m-1,yi)、B(m,”)、C(m+2,y?)为该抛物线上三点，且总有yi>y3>.y2.

抛物线的对称轴为直线x=l,

rm<lfm>l

.-.jm+2>l或卜一1<1,

(1-m<m+2-1(1-(m-i)>m-i

解得0<，7iWl或IVmV].

m的取值范围是0<,〃V].

27.(7分)在△ABC中，NBAC=45°,C£)_LAB于点。，AE_LBC于点E,连接。E.

(1)如图1,当△ABC为锐角三角形时，

①依题意补全图形，猜想N8AE与NBCD之间的数量关系并证明；

②用等式表示线段AE,CE,OE的数量关系，并证明；

(2)如图2,当/4BC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE,CE,OE的数量

关系.

【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1所示:

猜想NBAE=/BC£>,理由如下：

VCD±AB于点D,AELBC于点E,

：.NCDB=NCD4=NAEB=90°,

Z.ZB+ZBAE=ZB+ZBCD=90a,

ZBAE=/BCD；

®AE=CE+\[2DE,理由如下：

DGA.DE,交AE于G,如图1-1所示：

则/E£>G=90°=ZCDA,

：.ZADG=ZCDE,

VZBAC=45°,

.•.△AC。是等腰直角三角形，

：.AD^CD,

由①得：NDAG=NDCE,

(ZADG=/CDE

在△ADG和中，=CD