三角形的证明（提高篇）专项练习

专题1.2三角形的证明（提高篇）专项练习

一、单选题

1.如图，一次函数y=-2X+4的图象与X轴、y轴分别交于点A、B,点C是0A的中点,

过点C作C£>J_OA于C交一次函数图象于点。，P是。8上一动点，则PC+PD的最小值为

C.272D.20+2

2.如图，在CIABC中，AB=AC,点。、尸是射线上两点，且AD_LAF，若AE=AD，

N84O=NC4E=15°；则下列结论中正确的有（）

①CE_LBF；②△A6Z)9/\ACE；③4从%=S四边形皿e@——EF=2AD—CF

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，以AABC的边48、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE,连接8E交DC于

SAF

点F,下列结论：①CD=BE：②协平分NQFE；③NBFC=120。；其中正

建EFC"。

确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

1

4.如图，点A的坐标为（8,0）,点B为y轴负半轴上的一动点，分别以OB,AB为直角

边在第三、第四象限作等腰直角三角形OBF,等腰直角三角形ABE,连接EF交y轴与P

点，当点B在y轴上移动时，则PB的长度是（）

C.不是已知数的定值D.PB的长度随点B的运动而变化

5.如图，长方形纸片ABC。（长方形的对边平行且相等，每个角都为直角），将纸片沿ER

折叠，使点C与点A重合，下列结论：①AE=A£,②CL4BE旬AGP,③AF=CE,

@ZA£F=60°,其中正确的（）

C.①②③D.①②③④

6.如图，已知AD为□ABC的高线，AD^BC,以AB为底边作等腰用AABE,且点

E在UABC内部，连接ED,EC,延长CE交于F点，下列结论:①/EBD=ZDAE；

②△ADE丝ZkBCE；③BD=AF；④S-=S^ACE，其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图所示，直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D、E分

2

别是直线AB、y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是（)

A.377B.3MC.277D.25/10

8.如图，已知口筋。和口人£坦都是等腰三角形，Z5AC=ZZME=90°,BD,CE交于

点E连接AE,下列结论：①BD=CE；②BFLCF；③AE平分N。。；④

NAEE=45°.其中正确结论的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.如图，/408=30。，点:P是/A08内的定点，且0P=3.若点M、N分别是射线。4、

0B上异于点。的动点，则△*1/代周长的最小值是（）

B

10.如图，AABC、AADE、△。/七均为等边三角形，C、E、尸三点共线，且E是CF的

中点，下列结论：①HDGwAEDF；②八4£。为等腰三角形；@DF^AD+GE；④

3

/BAG=NBCE⑤NGEB=6。°，其中正确的个数为（)

A.2B.3C.4D.5

11.乐乐发现等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40。，则这个等腰三角形底角的度数

为（）

A.50°B.65°C.65°或25°D.50°或40°

12.如图，中，AB=AC=W,BC=2回,点。是4B上一点，连接CO，

将CLBCD沿CO翻折得到△BCD,若B'D_LAC于点E,则E到。。的距离为（）.

46口675

A.6B.8

55

二、填空题

13.如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=26，点P是AC上的动点，连

接BP,以BP为边作等边△BPQ,连接CQ,则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值

是.

4

B.

14.如图，AC,BO在AB的同侧，AC=\0,BD=3,A8=8,点"为AB的中点，若NCMD

=120。，则C£）的最大值是一.

15.如图，在口人台。中，已知乙4=60°,AC于点M,CN_LAB于点N,P为BC

边的中点，连接PM,PN,则下列结论：①BC=2PN；②PM=PN；③口PMN为等边

三角形：④当NABC=45°时，BN2=2PC2.其中正确的是（填写序号）.

16.如图，ZVU5C为等边三角形，AB=6,4。，3。，点七为线段49上的动点，连接。石,

以CE为边作等边ACEF,连接。E，则线段。E的最小值为.

17.如图，△ABC是等边三角形，4。是高，且AD=7,E是4B边的中点，点P是A。上一

5

动点，贝ljP8+PE的最小值是

18.如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB,BC为直角边向△ABC外作等

腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中NABM=NNBC=90。，连接MN,则BD

与MN的数量关系是.

19.如图①，点。为一等腰直角三角形纸片的斜边AB的中点，E是BC边上的一点，将这

张纸片沿。E翻折成如图②，使2E与AC边相交于点F,若图①中A2=2,则图②中△CEF

的周长为

图②

20.如图，DABC中，AB^AC,ZB=40°,O为线段BC上一动点（不与点B,C重

合），连接A。，作NA£>E=4O。，DE交线段AC于E.以下四个结论：

C

6

①/CDE=4BAD；

②当。为8C中点时，DEIAC；

③当口ADE为等腰三角形时，NBA。=20°；

④当NS4£）=30。时，BD=CE.

其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上），

21.如图，在△4BC和△£>3C中,24=40°,AB=AC=2,ZBDC=140°,BD=CD,以点。

为顶点作NM£W=70。，两边分别交AB,AC于点M,N,连接MM则AAMN的周长为

22.如图，直线40的解析式为y=x+l与x轴交于点M,与>轴交于点A,以OA为边

作正方形ABCO,点B坐标为（1,1）.过点B作交于点E,交x轴于点。1,

过点O,作x轴的垂线交MA于点4以O,A,为边作正方形,点B,的坐标为

（5,3）.过点与作交加4于巴，交》轴于点。2,过点。2作x轴的垂线交M4于

7

2

23.如图，在锐角ZV3C中，AC=8cm,S^BC=lScm,A£＞平分44C,M、N济

别是AD和A3上的动点，则3M+MN的最小值是cm.

24.在平面直角坐标系中，RSOAB的顶点A在x轴上，点A的坐标为(4,0),ZAOB=30°,

点E的坐标为(1,0),点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PE的最小值为.

三、解答题

25.如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90。,

得到线段CQ,连接BP,DQ.

(1)如图a,求证：△BCPgZXDCQ；

(2)如图，延长BP交直线DQ于点E.

①如图b,求证：BE1DQ；

②如图c,若ABCP为等边三角形，判断ADEP的形状，并说明理由；

③若正方形ABCD的边长为10,DE=2,PB=PC,直接写出线段PB的长.

8

26.(12分)如图1,已知RSABC中，AB=BC,AC=2,把一块含30。角的三角板DEF的

直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),点C在DE

上，点B在DF上.

(1)求重叠部分△BCD的面积；

(2)如图2,将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30度，DE交BC于点M,DF交

AB于点N.

①求证：DM=DN；

②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，请求出重叠部分的面积，若不发

生变化，请说明理由；

(3)如图3,将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转a度(0<a<90),DE交BC于点M,

DF交AB于点N,则DM=DN的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？(请直接写出结

论，不需要说明理由)

27.如图1,在平面直角坐标系中，^ABC的顶点A(—3,0)、B(0,3),ADLBC交BC于

D点，交y轴正半轴于点E(0,t)

(1)当t=l时，求C点的坐标；

(2)如图2,求NADO的度数；

(3)如图3,已知点P(0,2),若PQLPC,PQ=PC,求Q的坐标(用含t的式子表示).

图1图2图3

9

参考答案

1.c

【分析】

作点C关于）•轴的对称点C，，连接CO交y轴于点P,此时尸C+PQ取得最小值，利用一次

函数图象上点的坐标特征可得出点A的坐标，由点C是OA的中点可得出点C的坐标，由

点C,。关于y轴对称可得出CC的值及PC=PC,再利用勾股定理即可求出此时CD（即

PC+PD）的值，此题得解.

解：作点C关于y轴的对称点C，，连接CC交y轴于点P,此时PC+尸。取得最小值，如图

所示.

当y=0时，-2x+4=0,解得：x=2,

•••点A的坐标为（2,0）.

•••点C是OA的中点，

；.OC=1,点C的坐标为（1,0）.

当x=l时，y=-2x+4=2,

：.CD=2.

•••点C,C关于），轴对称，

.*.CC=2OC=2,PC=PC',

PC+PD=PC+PD=C'D=ylcD2+CC'2=2&■

【点拨】本题考查了一次函数图象匕点的坐标特征、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及

轴对称一最短路线问题，利用两点之间线段最短，找出点P所在的位置是解题的关键.

2.D

【分析】由ADLAF,NBAD=NCAF,得出NBAC=90。，由等腰直角三角形的性质得出

ZB=ZACB=45°,由SAS证得△ABDgZ\ACE（SAS）,得出BD=CE,NB=NACE=45°,

10

SAABC=S明彩ADCE,贝U/ECB=90°,即EC_LBF,易证/ADF=60°,ZF=30°,由含30°直角

三角形的性质得出EF=2CE=2BD,DF=2AD,则BD=—EF,由BC-BD=DF-CF,得出BC--

22

EF=2AD-CF,即可得出结果.

【详解】

VAD1AF,ZBAD=ZCAF,

/.ZBAC=90°,

VAB=AC,

••.ZB=ZACB=45°,

在^ABDfUAACE中，

AB=AC

</BAD=NCAE,

AD=AE

.,.△ABD^AACE(SAS),

**-BD=CE,ZB=ZACE=45°,SAABC=S四边形ADCE，

，ZECB=90°,

.,.EC1BF,

VZB=45°,ZBAD=15°,

・•・ZADF=60°,

ZF=30°,

AEF=2CE=2BD,DF=2AD,

ABD=—EF,

2

,.•BC-BD=DF-CF,

-EF=2AD-CF,

2

工①、②、③、④正确.

故选：D.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30。角直角三角

形的性质、外角的定义等知识，熟练掌握直角三角形的性质、证明三角形全等是解题的关键.

3.A

【分析】过点A作4M_LCO于M,4V_L8E于M过点。作于〃，证明△

11

可判断①，再证明AM=AN,结合于M,ANLBE于N,可判断②，证明

NACF+/8EC+NACE=120。,结合三角形的外角的性质可判断③，证明/加V=NFCH=30。,

利用含30。的直角三角形的性质与勾股定理可得：AN^—AF,HC^—FC,再利用三

22

角形的面积公式可判断④.

解：过点A作AA/_LCD于M,ANLBE于N,过点C作于"，

•：/\ABD,△ACE都是等边三角形，

：.AD=AB,AE=AC,NOA8=/E4C=60°,

NDAC=NBAE.

在AAOC和AABE中，

AD=AB

<ADAC=NBAE,

AC=AE

：.^ADC^/^ABE(SAS),

:.CABE,ZAEB^ZACD,故①正确

,//\ADC^^ABE,

：.AM=AN.

于M,AN_L8E于N,

；.AF平分NDFE,故②正确.

,/NAEB=/ACD,

：.ZAEC+ZACE=120°=ZAEB+ZBEC+ZACE,

：.ZACF+ZBEC+ZACE=120°,

ZfiFC^ZACF+ZBEC+ZACE^\20°,故③正确,

：.ZDFE=nO0,

：.ZDFA=Z£M=60°=ZCFE.

12

•:ANIBE,CHIEF,

：.ZFAN=ZFCH=30°f

・•・AF=2FN,AN=】AF?-FN?=&N,FC=2FH,HC=dFC?-FH?=&H,

：・AN=—AF,HC=—FC,

22

i巧

-xEFxAN-AF

SAEF2_AN_2

—故④正确.

q1zCHG

°EFC-xEr£F?xCHFCFC

22

故选：A-

【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定与性

质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键.

4.B

【分析】作EN，y轴于N,求出/NBE=/BAO,证△ABO丝△BEN,求出

ZOBF=ZFBP=ZBNE=90°,证△BFP也ANEP,推出BP=NP,即可得出答案.

解：如图，作EN_Ly轴于N,

YNENB=/BOA=NABE=90。，

•,.ZOBA+ZNBE=90°,ZOBA+ZOAB=90°,

.,.ZNBE=ZBAO,

在AABOffABEN中，

ZAOB=ZBNE

<NBAO=NNBE,

AB=BE

.,.△ABO^ABEN(AAS),

.,.OB=NE=BF,

,/ZOBF=ZFBP=ZBNE=90°,

在ABFP^UANEP中，

ZFPB=NEPN

<NFBP=NENP,

BF=NE

13

.".△BFP^ANEP(AAS),

，BP=NP,

又丁点A的坐标为(8,0),

.*.OA=BN=8,

；.BP=NP=4,

故选：B.

【点拨】本题考查r全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考查

学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有

SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的对应角相等，对应边相等.

5.C

【分析】根据翻折的性质可得凡根据两直线平行，内错角相等可得

NCEF,然后求出尸E,根据等角对等边可得AE=4F；根据“L即可得到

AABE^AGF.根据等量代换即可得到AF=CE；根据△AE尸是等腰三角形，不一定是等边

三角形，即可得到/AE尸不一定为60。.

解：由翻折的性质得，NAEF=NCEF,

•.•矩形ABCD的对边AD//BC,

：.NAFE=ZCEF,

：.ZAEF^ZAFE,

：.AE=AF,故①正确，

在RtAABE和RtAAGF中，

AE=AF

AB=AG'

.♦.RtzMSE丝RtAAG尸（HL）,故②正确，

"：CE=AE,AE=AF,

：.CE=AF,故③正确:

14

"：AE=AF,

.•.△AE厂是等腰三角形，不一定是等边三角形，

...NAEF不一定为60。，故④错误；

故选C.

【点拨】本题考查/翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，解题时注意：折叠是一种

对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

6.D

【分析】由AD为△ABC的高线，可得NCBE+/ABE+NBAD=90。，RtZkABE是等腰直角

三角形，可得NA3E+N84£>+NZME=90°，从而可判断①；由等腰可得

AE=BE,结合AD=BC,ZDAE=ZCBE,可判断②；由△ADE丝ZXBCE,可得

ZADE=ZBCE,再证明NBDE=/AFE,结合/ERD=/DAE,AE=BE,证明

△AEF^ABED,可判断③：由△ADE丝Z\BCE,可得DE=CE,由4AEF丝ZXBED,

EF=DE,证明EF=CE,从而可判断④.

解：:AD为△ABC的高线，

ZCBE+ZABE+ZBAD=90°,

VRtAABE是等腰直角三角形，

ZABE+ZBAD+ZDAE=90°,

AZDAE=ZCBE,即NEBD=NDAE，故①正确；

VRtAABE是以AB为底等腰直角三角形，

；.AE=BE,

在4ADE和^BCE中，

AE=BE

<NDAE=NCBE,

AD=BC

/.△ADE^ABCE(SAS)；故②正确；

ADE^ABCE,

ZADE=ZBCE,

VZBDE=ZADB+ZADE,ZAFE=ZADC+ZECD,ZADB=ZADC=90°,

15

ZBDE=ZAFE,

在4AEFffABED中，

ZFAE=ZDBE

<ZAFE=NBDE,

AE=BE

.,.△AEF^ABED(AAS),

；.AF=BD;故③正确；

,/△ADE^ABCE,

/.DE=CE,

△AEF^ABED,

EF=DE,SAFF=SBFD，

/.EF=CE,

"v-<?

,•aAEF-uACE'

•**SBDE=SACE,故④正确；

综上：正确的有①②③④.

故选：D.

【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的中线与高的性质，三角形全等的判定

与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键.

7.D

【分析】如图(见解析)，先根据轴对称的性质可得

DF=CD,EG=CE,BF=BC,CF±AB,再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短

可得周长的最小值为FG的长，然后根据直线AB的解析式求出点B的坐标，从而

可得点C、G的坐标，最后根据等腰直角三角形的判定与性质可得点F的坐标，据此利用两

点之间的距离公式即可得出答案.

【详解】如图，作点C关于AB的对称点F,关于A0的对称点G,连接DF、EG、BF,

由轴对称的性质得：DF=CD,EG=CE,BF=BC,CFAB,

・••△CDE^^为CD+DE+CE=DF+DE+EG，

16

由两点之间线段最短得：当点£2E,G在同一直线上时一，OF+0E+EG取得最小值,

最小值为FG的长，

对于一次函数y=x+4,

当y=o时，x+4=0,解得X=Y,即8(—4,0),

当x=0时，＞=4,即A(0,4),

..OA=OB=4,

•••点C为OB的中点，

C(-2,0),BC=L()B=2,

2

•••点G为点C关于A0的对称点，

G(2,0),

又OA-OB=41

：.ZOBA=45°,

ZBCF=90°-/OBA=45°,

•:BF=BC=2,

..ZBFC=ZBCF=45°,

.•□3b是等腰直角三角形，NC3E=90°，即即_Lx轴,

/.F(-4,2),

则FG=J(2+4)2+(0-2)2=2V10-

即△CDE周长的最小值是2厢，

故选：D.

【点拨】本题考查了一次函数的几何应用、坐标与轴对称、等腰直角三角形的判定与性质、

17

两点之间的距离公式等知识点，利用两点之间线段最短找出△CDE周长的最小值是解题关

键.

8.C

【分析】①证明ABAD丝Z\CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由ABAD丝4CAE

可得/ABF=/ACF,再由/ABF+/BGA=90。、/BGA=/CGF证得/BFC=90。即可判定；

③分别过A作AMLBD、ANLCE,根据全等三角形面积相等和BD=CE,证得AM=AN,即

AF平分NBFE,即可判定；④由AF平分NBFE结合BEJ_CF即可判定.

解：VZBAC=ZEAD

ZBAC+ZCAD=ZEAD+ZCAD,HPZBAD=ZCAE

在^BAD和4CAE中

AB=AC,/BAD=/CAE,AD=AE

/.△BAD^ACAE

；.BD=CE

故①正确；

,/△BAD^ACAE

，NABF=NACF

VZABF+ZBGA=90%ZBGA=ZCGF

.,.ZACF+ZBGA=90°,

ZBFC=90°

故②正确；

18

B

D

分别过A作AM_LBD、AN_LCE垂足分别为M、N

VABAD^ACAE

,,SABAD=SZICAE,

：.-BDAM=-CE-AN

22

VBD=CE

，AM=AN

.♦.A/平分NBFE,无法证明AF平分NCAD.

故③错误；

D

平分NBFE,BFLCF

ZAFE=45。

故④正确.

故答案为C.

19

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，

其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键.

9.D

【分析】根据题意，作点P关于OA、0B的对称点E、D,连接DE,与0A相交于点M,

与0B相交于点N,则此时APMN周长的最小值是线段DE的长度，连接OD、OE,由NA08

=30°,得至IJ/DOE=60。，由垂直平分线的性质，得至OD=OE=OP=3,则△ODE是等边三

角形，即可得到DE的长度.

解：如图：作点P关于OA、OB的对称点E、D,连接DE,与OA相交于点M,与OB相

交于点N,则此时△PMN周长的最小值是线段DE的长度，连接OD、OE,

由班直平分线的性质，得DN=PN,MP=ME,OD=OE=OP=3,

周长的最小值是：PN+PM+MN=DN+MN+ME=DE,

由垂直平分线的性质，得/DON=/PON,ZPOM=ZEOM,

，/DOE=/DOP+/EOP=2(ZPON+ZPOM)=2/MON=60°,

.,△ODE是等边三角形，

.•.DE=OD=OE=3,

丛PMN周长的最小值是：PN+PM+MN=DE=3；

故选：D.

【点拨】本题考查了等边三角形的判定，垂直平分线的性质，轴对称的性质，以及最短路径

问题，解题的关键是正确作出辅助线，确定点M、N的位置，使得APMN周长的最小.

10.B

【分析】

根据等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质证明AADGgaEDF,

△ABG^ABCE,然后——判断即可.

解：VAADE,△DFG,△ABC为等边三角形，

20

.,.DA=DE,DF=DG,ZADE=ZFDG=ZAED=ZACB=ZDAE=ZBAC=60°,

.\ZADG=ZEDF,ZDAB=ZCAE,

.,.△ADG^AEDF,故①正确，

:.AG=EF,

AAG=EC,

如下图，当D、G、E共线时，显然AGrAE,AGMB,

AEC#AE,ECMC,

・・・AA£C不是等腰三角形，故②错误,

AD+EG=DE+GE>DG,DG=DF

.'.AD+EODF,故③错误.

VAADG^AEDF,

AZDEF=ZDAG,

ZDEF+ZAED=ZEAC+ZACE=ZEAC+ZACB-ZBCE,

.,.ZEAC-ZDEF=ZBCE,

,/ZBAG=ZDAB-ZDAG=ZEAC-ZDEF,

/.ZBAG=ZBCE,故④正确，

VAADG^AEDF,

・・・AG=EF=EC,

VZBAG=ZBCE,AB=BC

AAABG^ABCE,

AZABG=ZEBC,BG=BE,

.".ZEBG=ZABC=60°，

・・・ABEG为等边三角形,

21

.\ZBEG=60.故⑤正确，

故选：B.

【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键

是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

11.C

【分析】在等腰△ABC中，AB=AC,BD为腰AC上的高，ZABD=40°,讨论：当BD在

ABC内部时，如图1,先计算出NBAD=50。，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可

计算出NACB；当BD在△ABC外部时，如图2,先计算出NBAD=50。，再根据等腰三角

形的性质和三角形外角性质可计算出/ACB.

【详解】在等腰△ABC中，AB=AC,BD为腰AC上的高，ZABD=40°,

当BD在△ABC内部时，如图1,

BD是高，

.•./ADB=90。，

.../BAD=90°-40°=50°,

VAB=AC,

/ABC=NACB=—(180°-50°)=65°；

2

当BD在△ABC外部时，如图2,

：BD是高，

.•.ZADB=90°,

ZBAD=90°-40°=50°,

VAB=AC,

.,.ZABC=ZACB,

,/ZBAD=ZABC+ZACB,

.,.ZACB=—ZBAD=25°,

2

综上，这个等腰三角形底角的度数为65。或25。.

故选：C.

22

A

图1

【点拨】此题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题中注意讨论思想的运用，这

是解此题的关键.

12.D

【分析】过点C作CF1.AB于F,过点A作AMLBC于M,利用三线合一和勾股定理求出

BM、AM,利用三角形的面积求出CF,从而求出BF、AF,再利用折叠的性质可得CE=CF=6,

DE=DF,设DE=DF=a,利用勾股定理即可求出a的值，从而求出DE、CD,求出ACDE的

面积即可求出结论.

解：过点C作CFLAB于F,过点A作AMLBC于M

；AB=AC=10,BC=2而，

.•.BM=cM=；8c=Vi5,AM=^IO2-(VIO)2=3710

根据三角形的面积可得,60AM='AB

22

即Lx2Vi5x3Vni=4xio-b

22

解得：CF=6

.".BF=7BC2-CF2=2

.\AF=AB-BF=8

23

---B'DYAC

.".ZCED=ZCFD=90°

由折叠的性质可得CE=CF=6,DE=DF

；.AE=AC-CE=4

设DE=DF=a,贝ijAD=8-a

在Rt^ADE中，AE2+DE2=AD2

•*.42+a2=(8—a)

解得：a=3

即DE=3

在Rt^CDE中，CD=JDE?+CE?=3也

：.ACDE的面积为—CEDE=9

2

到CD的距离为9x2-375=半

故选D.

【点拨】此题考查的是勾股定理与折叠问题，掌握利用勾股定理解直角三角形、三线合一和

折叠的性质是解题关键.

13.在

2

【分析】如图，取AB的中点E,连接CE,PE.由△QBC丝ZiPBE(SAS),推出QC=PE,

推出当EPJ_AC时，QC的值最小；

解：如图，取AB的中点E,连接CE,PE.

VZACB=90o,ZA=30°,

ZCBE=60°,

：BE=AE,

24

・・・CE=BE=AE,

•••△BCE是等边三角形，

:.BC=BE,

VZPBQ=ZCBE=60°,

・・・NQBC=NPBE,

•・・QB=PB,CB=EB,

AAQBC^APBE(SAS),

・・・QC=PE,

・••当EPJ_AC时,QC的值最小，

在RtAAEP中,・.,AE=g,NA=30。，

・D匚1A匚V3

..PE=—AE=-

22

；.CQ的最小值为走.

2

【点拨】本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角

三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问

题，学会用转化的思想思考问题.

14.17

【分析】如图，作点A关于CM的对称点A，，点B关于DM的对称点B\证明AA，MB，为

等边三角形，即可解决问题.

解：如图，作点A关于CM的对称点A，，点B关于DM的对称点B，.

•,.AZM=AM=—AB,B，M=BM=—AB,BD=BD,AC=AC

22

VZCMD=120°,

ZAMC+ZDMB=60°,

NCMA，+ZDMBz=60°,

.\/A'MB'=60°,

：MA，=MB，，

为等边三角形

VCD<CA,+A,B'+B,D=CA+AM+BD=10+4+3=17,

25

；.CD的最大值为：17,

故答案为：17.

【点拨】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的

关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考常考题型.

15.①②③©

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①②正确；

先根据直角三角形两锐角互余的性质求出NABM=/ACN=30。，再根据三角形的内角和定理

求出/BCN+NCBM=60。，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出

ZBPN+ZCPM=120°,从而得到/MPN=60。，又由①得PM=PN,根据有一个角是60。的等

腰三角形是等边三角形可判断③正确；

当/ABC=45。时，NBCN=45。，由P为BC边的中点，得出BN=&PB=0PC,判断④正

确.

【详解】•••BMLAC于点M,CNLAB于点N,P为BC边的中点，

11

；.PM=-BC,PN=—BC,

22

ABC=2PN,PM=PN,(D®正确；

•/ZA=60°,BM_LAC于点M,CN_LAB于点N,

.,.ZABM=ZACN=30°,

在△ABC中，ZBCN+/CBM=180°-60o-30ox2=60°,

:点P是BC的中点，BMXAC,CN±AB,

；.PM=PN=PB=PC,

；.NBPN=2NBCN,ZCPM=2ZCBM,

.\ZBPN+ZCPM=2(ZBCN+ZCBM)=2x60°=120°,

；./MPN=60°,

26

.•.△PMN是等边三角形，③正确；

当NABC=45。时,；CN_LAB于点N,

ZBNC=90°,ZBCN=45°,

；.BN=CN,

为BC边的中点，

APNIBC,△BPN为等腰宜角三角形，

Z.BN=V2PB=V2PC,

BN2=2PC2,④正确.

故答案为：①②③④.

【点拨】本题主要考查了直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角

形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握

性质是解题的关键.

,6,2

2

【分析】连接BF,由等边三角形的性质可得三角形全等的条件，从而可证4BCF^AACE,

推出/CBF=NCAE=30。，再由垂线段最短可知当DFLBF时，DF值最小，利用含30。的

直角三角形的性质定理可求DF的值.

【详解】

解：如图，连接BF

:△ABC为等边三角形，AD1BC,AB=6,

；.BC=AC=AB=6,BD=DC=3,ZBAC=ZACB=60°,ZCAE=30°

•..△CEF为等边三角形

；.CF=CE,ZFCE=60°

；./FCE=NACB

/.ZBCF=ZACE

.•.在△BCF^OAACE中

BC=AC,ZBCF=ZACE,CF=CE

/.△BCF^AACE(SAS)

.,.ZCBF=ZCAE=30°,AE=BF

27

.,.当DF_LBF时，DF值最小

此时NBFD=90。，ZCBF=30°,BD=3

.13

DF=-BD=-

22

3

故答案为：一.

2

【点拨】本题考查了构造全等三角形来求线段最小值，同时也考查了30。所对•直角边等于斜

边的一半及垂线段最短等几何知识点，具有较强的综合性.

17.7

【分析】先连接CE,再根据PB=PC,将EP+PB转化为EP+CP,最后根据两点之间线段

最短，求得CE的长，即为EP+PB的最小值.

【详解】连接CE,

•.•等边AABC中，AD是BC边上的中线

；.AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC

；.PB=PC,

当C、E、P三点共线时，EP+PC=EP+BP=CE,

•.•等边AABC中，E是AB边的中点，

；.AD=CE=7,

；.EP+BP的最小值为7,

故答案为：7.

【点拨】本题主要考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，熟练掌握和运

用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键.解题时注意，最小值问题一般需

要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论.

18.2BD=MN

【分析】延长BD到E,使DE=BD,连接CE,证明△ABD丝Z\CED,得到NABD=/E,

AB=CE,证出/BCE=NMBN,再证明△BCET/XNBM得到BE=MN,即可得出结论.

解：2BD=MN,理由是：

如图，延长BD到E,使DE=BD,连接CE,

,••点D是BC中点，

；.AD=CD,又DE=BD,ZADB=ZCDE,

/.△ABD^ACED,

；./ABD=/E,AB=CE,

•.•/ABM=NNBC=90。，

...NABC+NMBN=180°,

即NABD+NCBD+NMBN=180°,

ZE+ZCBD+ZBCE=180°,

ZBCE=ZMBN,

•.'△ABM和4BCN是等腰直角三角形，

；.AB=MB,BC=BN,

；.CE=MB,

在4BCE和4NBM中，

CE=BM

<NBCE=NMBN,

BC=NB

.'.△BCE<ZXNBM(SAS),

；.BE=MN,

；.2BD=MN.

故答案为：2BD=MN.

29

M

【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，有一定难度，解题的关

键是适当添加辅助线，找出一些较为隐蔽的全等三角形.

19.V2

【分析】如图，作DMLAC于M,DH_LBC于H,DNJ_EB于N,连接DF.首先证明

△DFB丝△DFC,推出CF=BF,可得CCEF=EF+CF+EC=（EF+FB）+EC=

EB+EC=EB'+EC=CB',再利用勾股定理求解B'C即可得到答案.

解：如图，作DM_LAC于M,DHJ_BC于H,DN_LEB于N,连接DF.

C4=CB',NAC8'=90。，AD=B'D，

,

：.CD=DB'=AD=DB,ZDCB'=ZDCA=45°,ZB=ZJB=45°.

DH=DM，

-UB'DE^BDE,

：.DH=DN,

：.DH=DM=DN,

：.ZDFM=ZDFN,

；/BFM=/EFC,

30

；./DFB=/DFC,

在^DFB和ADFC中，

ZB=ZDCF

<ZDFB=ZDFC,

DF=DF

.,.△DFB^ADFC,

；.CF=BF,

CCEF=EF+CF+EC=（EF+FB）+EC=EB+EC=EB'+EC=CB',

：W=2，

；•B'C2+AC2=4,

-.B'C^AC,

：,（负根舍去）

：,CCEF=

故答案为：近.

【点拨】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线

的判定，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

20.①②④

【分析】根据等腰三角形的性质得到NB=NC=40。，根据三角形的内角和定理与平角的定义

即可得到NBAD=/CDE；故①正确；根据等腰三角形的性质得到ADLBC,根据三角形

的内角和定理可得到DELAC,故②正确；③根据三角形外角的性质得到NAED>40。，求

得/ADEr/AED,可得AEHAD,所以△ADE为等腰三角形，分两种情况讨论：当

AE=DE时，当=时，再分别求解N&4D=6O°或30°,故③错误；证明

△ABD^ADCE,根据全等三角形的性质得到BD=CE；故④正确；

解：VAB-AC,

.,.ZB=ZC=40°,

NBAD=180°-40°-NADB,NCDE=180°-40°-ZADB,

31

，NBAD=/CDE；故①正确；

•・，D为BC中点，AB=AC,如图,

AAD1BC,

・・