历年全国初中数学联赛试题

1991年全国初中数学联合竟篓试题

第一试

一、选择题

本题共有8个4@,每小题都给出了（A）、（B）（C\（D）四个答薪论，其中只有一是

正确的.请把正藏论的代表字母写在题后的圆括号内.

1、设等式曲（x-a）+-a）=Jx-a-也在实数范围内成立,其中ax,y

是两两不同的实数，则竺乂二A-的值是

工・_g+j・

(A)3；(B)-；(C)2；

3

2,如图，ABtlEFKCD,已知心20,

(A)10；(B)12；

(C)16；(D)18.

3、方程/一忖一1=0的解是

(A)1^5；(B)

2

1+、历—1+~Js-1+

(C)上上或上士":(D)士7,.

222

答()

Iii____

4、己⑪x=3199「-1991-)(n是自然数).那么(x-J1+/),的值是

(A)199T1；2(B)-199T1；

(C)(-1)1991(D)(-l)T991T.

答（）

5、Slx2x3x-x99xl00=12其中M为自然数，n为使得等式成立的最大的自

臧则“

（A）能被2整除，但不能被3整除；

（B）能被3整除，但不能被2整除；

（C）能被4整除，但不能被3整除；

（D）不育饿3整除，也不能被2整除.

答（）

6、若与gd是整数，方是正整数，且满足a+2=c,b+c=d,c+d=a,那么

a+b+c+d的最大值是

(A)-1；(B)-5；(C)0；(D)1.

7.如图，正方形限讷接干△值已知A4K△况却JACRQ的面积分别是耳=1，$=3

和S)=1,那么，正方形皿?的边长是

(A)72;(B)V3；(C)2；(D)3.

8、在猊角△胸中，AC=l,AB=c,ZX=60,△痴的夕暖圆半径RWL则

(A)-<c<2(B)0<c<-；

2

(C)。>2；(D)c=2.

二、填空题

1.立是平行四边形故，中比■边的中点，期交对角线即千G,如果△质■的面积是1,

则平行四边形皿的面积是.

2.已知关于x的一元二次方程双：+bx+c=0没有实数解.甲由干看错了二次项系

数，误求得两根为2和4；乙由干看错了某一项系数的符号，误求得两根为一1和4,那么,

2」r._。_____________

2b+3c

3.设mnRg为非负类5且对一切x>0,"9_一1=生匕匕恒成立，则

(nj:+2«+.

4.四边形被加中，Z这=135,/血=120,但石，5-73,

。=6,贝I］心二

120

135°

ALP

第二试

x+3x-y>xy>一

四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（X,JT）.

二、中，A8<AC<BC,刀点在比上瓦点在朋的延长线上，且

8D=ff£=AC,△雌的外接圆与A破7的外接圆交千F点（如图）.

求证：BF=AF-YCF

三、将正方形皿分割为小个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点4，染施I

色，把兄D染成篮色，其他交点任意染彪I、蓝两色中的一种颜色.证明：恰有三个顶点

同色的小方格的数目必是偶数.

1992年全国初中教学寐合竞募通题

第T

一.迭阳8

本越共有8个题,每小意都给出T(A),(B),(6,(D)四个结论，算中只有一个是正确的靖杷正箍结论的代

表字母写在双后的圆括号内.

1浦足卜一耳+说?=1的非负整数(&⑼的个数足

(A)l;(B)2;(CJ3;(D)4.

12

2.若x0是一元二次方程ax+bx+c=0(aw0)的根，则判别式A=b-4ac与平方■式

M=(2ax0+8)2的关系是

(A)A>M(B)A=M(C)A>M;(D)不确定.

3.ex2-13x+1=0,则x4+x~i的个位数字是

(A)l;(B)3;(C)5;Q)7.

4在半径为1的圆中有一内镂多边形,若它的边长皆大于1且小干、W,则这个多边形的边教必为

(A)7;(B)6,(C)5;(D)4.

k

5.如现正比例函数y=为和丫="(a>0)的国像与反比例函数y=—(兀>0)的图像分别相交

x

于A点和C点考R1LAOB和ACOD的面积分别为Si和S»则Si与的关系是

(A)SI>$2(B)SI=$2

(C)$I<$2(D)不确定

6.在一个由8x8个方格组唳的边长为8的正方形根盘内放一个半役为4的圆,若杷圆周经过的所有小

方格的圆内部分的面枳之和记为用,杷圆周经过的所有小方格的圆内邻分的面枳之和记为$2,则”的整

赦部分足

(A)0,(B)l;(C)2;(DJ3.

7如瓯在寻腰梯形ABCD中，ABIICD,AB=2CD,NR=60°,又E足底边延上一点，且FE=FB=AC>

FA=AB.

则4£:EB专子

(A)l:2(B)l:3

©2:5(D)3:10

一-Xpx2,演均为正整数，且

用＜x2＜•••＜演，勺+x?+•••+西=220，则当々+与+覆+々+%的伯最大时,勺-勺的

最小馆是

(A)8;(B)9;(C)1O;(D)ll.

二.填空遨

1.若一等展三角形的底边上的高等于1双科腰上的中线空15c科则这个与腰三角形的面积与于

.J1+，+-4-J1+/

2.若xk0，则--------------------的腋大值足.

x

3.在A4EC中，NC=9。°,/月和N3的平分线相交千户点,又PELA3千E热,若

BC=2tAC=3.则月££E=.

4.若都是正实数,a-----^―=0.M(-)3+(-)3=

aba+bab

第二优

一、设与腰三:角形的一腰与底边的长分别是方■程五2一6彳+。=。的断根.当这样的三角形只有一个

时,求白的取值疤围.

二、如图，在A4EC中，AB=AC,D法底达BC上一点,,£是线段AD_E一点,且

^BED=2^CED=^A.

求证：BD=2CD.

三、某个信封上的厮个邮政编码M和N均由0,1,2,3.5.6这六个不同赦字组成,观有四个编

码如下；

A,320651B,105263

C：612305D：316230

已知编码A、B、C、D各恰有晰个敷字的位通与M和N相冏.D恰有三个数字的位就与M和N相同.

试轧M和N.

1993年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一.选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了(A),(B),(C),①)四个结论，其中只有一个是正确的.

请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.多项式J?2-x"5+1除以--1的余式是

(A)l;(C)x-l;(D)x+1;

2.对千命题

I.内角相等的圆内接五边形是正五边形.

II.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是

(A)I,II都对(B)I对,H错(C)I错,II对.(D)I,II都错.

3.设x是实数，y=|x-l|+\x+1|•下列四个结论：

I.y没有最小值；

H.只有一个x使y取到最小值：

III.有有限多个彳邛止一个)使y取到最大值；

IV.有无穷多个x使y取到最小值.

其中正确的是

(A)I(B)II(C)III(D)IV

4.实数公,工?,巧,勺，勺满足方程组

々+叼+勺=。1；

x2+x3+x4=a2;

<x3+x4+x5=a3;

+石+X]=a4;

x5+xT+x2=a5.

其中%,电,%,4,%是实常数，且%>a2>a3>a4>0,则x19x2,x3,x4,它的大

小顺序是

(A)x1>x2>x3>x4>x5;(B)x4>x2>Xj>x3>x5;

(C)x3>Xi>x4>x2>x5;(D)x5>x3>x1>x4>x2.

5.不等式x-l<3x+7的整数解的个解

(A)等于4(B)小于4(C)大于5(D)等干5

6.在中，N月是钝角，碧垂心,月。=BC,

则cos(NO5c+ZOCB)的值是

7.锐角三角ABC的三边是ab,c,它的外心到三边的距离分别为孙匕尸,那么等

(B)(7：b:c

(C)CQSA:COS5:COSC(D)sinA.sinB:sinC*.

8.仍(g-4+微”可以化简成,

(A)V3(V2+1);(B)班(痣-1)(C)版-1(D)V^+1

二填空题

1.当x变化时，分式：°的最小值是.

2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球，且每四

个相邻的盒里共有30个小球，那么最右面的盒里有个小球.

3.若方程(--1)(--4)=上有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距

车列，贝11后=.

4.锐角三角形ABC中,NR=30。.以BC边为直径作圆，与4B,4c分别交于D,E,连接

)段把三角形ABC分成三角形ADE与四边形EDEC,设它们的面积分别为S\,当，则

江身.

第二试

一.设H是等腰三角形相C垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC

狗距离变小，这时乘积S®*"S4您0的值变小，变大，还是不变?证明你的结论.

二AA3C中，BC=5,AC=12,止13,在边48/C上分别取点D,E,使线段DE将

年1方。分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.

A£

芋

三.已知方程x2+bx+c=。及/+cx+b=0分别各有两个整数根孙孙及芯,石，且

>0,X。；>0.

(1戌证:X]<0,x2<0,x[<0,芯<0;

(2球证:人1WcW2+l;

(3戌立。所有可能的值

1994年全国初中数学联赛试题

第一试

本试共两道大量，满分80分.

一、选择题（本题满分48分，每小题6分）

本题共有8个小题都给出了A,B、C,D,四个结论，其中只有一个是正确的,

请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；

不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得。分.

1.若OVaVL则产+斗_2-（l+：）x

可化简为

2.设qb,c是不全相等的任意实数，若*=&2上（:，7=132-鸣2=©2毋13,则*,%2

A.都不小千0B.都不大干0

C.至少有一个小。干D.至少有一个大干0

3.如图1所示，半圆。的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC,

CD,DA相切，若BC=2,DA=3,则AB的长

A.等干4B.等于5

C.等于6D.不能确定

4.当/=1+-J9^~时,多项式(4x3-1997x

的值为

A.1B.-1C.22001D.-22001

5.若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD相交

成如图2所示的图形，则共得同旁内角

A.4对B.8对

C.12对D.16对

6.若方程斤6=x有两个不相等的实根,

数p的取值范围是

A.p40B.p<-

4

D.p*

c.o<P<2

A4

7.设睨角三角形ABC的三条高AD,BE,CF相交千H。若BC=a>AC=hAB=c,

则AH-AD+BH•BE+CH•CF的值是

A.(ab+be+ca)

2

2a

C.(ab+be+ca)r>.5g2♦b♦J)

8.若ax=b，=19942（其中a,b是自然数），且

有工+工=1.则2a+b的一切可能的取值是

xyz

A.1001B.1001,3989

C.1001,1996D.1001,1996,3989

二、填空题（本题满分32分，每小题8分）

各小题只要求在所给横线上直接填写结果.

1.若在关于x的恒等式学士丝==_-二中，珠x+N为最简分式,且有

a>b,aE尸c,则独......

2.当卜+1|<6时，函数y=x|x|-2x+1的最大值是..........

3.在△ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6,CA=7,AB=8,则

DE=.

4.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，

若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半

径等千.

第二试

本试共三道大题，满分60分.

一、（本题满分20分）

如图所示，在△ABC中，AB=AC.任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ.

求证：

△ABC的外心。与ARQ四点共圆。

二、（本题满分20分）

周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存

在，请证明共有几个？

三、（本题满分20分）

某次数学竞赛共有15个题下表是对于做对n（n=0,1,2,……,15）个题的人数的一

个统计.

n0123.........12131415

做对n个题的人数781021……15

如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题

和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人？

1994年全国初中数学联赛参考答案

第一试答案

一、选择题；

小题号1234567g

答案ADBBDCBC

二、填空题：

第二试答案.

一、连结OA,OC,OP,0Q.证明AOCPgZiOAQ,干是

ZCPO=ZAQO,所以。，A,P.Q四点共圆.

二、这样的三角形存在，恰有一个，两条直角边为三丘与

3

土也，斜边为号

33

三、这个表至少统计了200人.

199/全国初中数学联褰试题

第一试

一、选择题

1.已知a=355,b=4M,c=533,则有[]

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

2.方程组「7+"=63•的正整数解的组数是

[xz-yx=23

（]

A.1B.2C.3D.4

3.如果方程仪-1）伏2—2*—01）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那

么实数m的取值范围是（）

A・OMmMlB.mN?

33

U•--<mM1D・---MtnM1

AA

4.如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一扇，那么此圆的周长为

[]

A.62兀B.63xC.64兀D.65兀

5.设AB是00的一条弦，CD是00的直径，且与弦ABt目交，记乂=IS/^AB

-SADABI,N==2SAOAB,则[】

A.NANB.M=NC.M<ND.M、N的大小关系不确定

6.设实数a、牖是不等式IIaI-（a+b）I<Ia-a+bII,则[]

A.a>0且b>0B.aVO且b>0

C.2>0且1><0D.2<0且1><0

二、埴空题

1.在I2,2M32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有_个.

2.己知a是方程x'+x-：=0的根，则

3.设x为正实数，则函数y=x'-x+」的最小值

X

是—.

4.以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O,C是半圆周上的点,且OC2=AC・BC,

则NCAB=.

第二试

一、已知NACE=NCDE=90°,点说ECE上，CA=CB=CD,经A、C、D

三点的扇交AB于F(如图)求证F为△CDE的内心.

二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数

的点称为整点.试在二次函数y=磊-堤+三

的图象上找出满足y<IXI的所有整点(x,y).并明理由.

三、试证：每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之

和.

199炜全国初中数学联褰参考答案

第一试

一、选择题

1.讲解：这类指数幕的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化

为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有

c=(53)n=125n

<24311=(35)11=a

<25611=(44)11=b.选C.

禾ij用lg2=0.3010,lg3=0.4771计算Iga、Igb、1g他可以，但没有优越性。

2.讲解：这类方程是熟知的.先由第二个方程确定z=l,进而可求出两个解：

(2,21,1)、(20,3,1).也可以不解方程组

产+y=63,①

x+y=23,

直接判断：因为xWy(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照

选择支，选B.

3.讲解：显然，方程的一个根为1,另两根之和为XI+X2=2>1。三根能作为

一个三角形的三边，须且只须Ix1一X2IVI又

IXJ-XJI==4-4m-l,

IaI

有0W4-4mV1.

解得

A

但作为选择题，只须取m记代入.得方程的根

4

为1.不能组成三角形,故包括之的A.B.

224

D均可否定.选C.

4.讲解：四个选择支表明，II的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一.又

W+AD2

=252+602

=52X(52+122)

=52X132

=(32+42)X132

=392+522

=BC2+CD2

故可取BD=65为直径，得周长为65兀，选D.

5.讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理由

是错误的.比如有的考生取AB为直径，则M=N=O,于是就选B.其实，这只能排

除A、C,不能排除D.

图2

不失一般性，设CEMED,在CE上取CF=ED,则有OF=OE,且S△AC£-S

△ADE=SAAEF=2SAAOE-同理，SABCE-SABDE=2SABOE-相加，得$也

ABC-SADAB=2SAOAB,即M=N・选B.

若过C、D、8别作AB的垂线(图3),CE_LAB、DF_LAB、OL±AB,垂足分

别为E、F、L.连CF、DE,可得梯形CEDF.又由垂径分弦定理，知L是EF的中点.根

据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一

半，有

ICE-DFI=20L.

两边乘以gAB,可得

II=

即乂=2选B.

6.讲解：取a=-l、b=2可否定A、C、D,选B.一殷地，对已知不等式平方,

有

IaI(a+b)>aIa+bI.

显然IaII(a+b)I>0(若等于0,则与上式矛盾)，有

a+b〉a

Ia+bIlai,

两边都只能取1或-1，故只有1>-1,即

_d±_=i,-2_=-i,

Ia+bllai

有aVO且a+b>0,从而b>-a>0.选B.

二、填空题

1.讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试脸现察的能力.经计算

24…，102,知十位数字为奇数的只有42=16,62=36.然后，对两位数10a+b,

有

(10a+b)2=20a(5a+b)+b2.

其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有b=4或

6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1,2,95中个位数出现了几次4

或6,有2X9+1=19.

2.讲解：这类问题一般都先化蔺后代值，直接把a

=无代入将导致复杂的计算.

由已知，有a'+a=(,①

原武=年虻抨

a3(a-D(a+1)2

一中中=1^=2。.

(aa+a)a()

学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2+a作为整体

代入.这里关键是整体代入，抓住这一点，计辑可以灵活.比如，由①有

aJ+a2=J-a,②

4

5J

a+a*=la③

4

由②一①，得

aJ-a=-(a-1).④

4

由③一②并将④代入，得

a$+a-?=L(a—)=

416

⑤

于是,原式=；'7=16(a，+a+l)

1>7)

=16(1+1)=20.

还可由①得

a2+a+1=?,

4

⑥小⑤即得所求.

3.讲解：这个题目是将二次函数丫=x2-x与反比例函数

y=工作叠加.要求学生在掌握二次函数求最值

X

(配方法)的基础上，做综合性与灵活性的运用.

进行两次配方I

y=(x-l)2+(->4c-

或y=(x2T)(x-1)+］》.

因而x=l时，y有最小值1.

4.讲解：此题由笔者提供，原题是求sm

NCAB,让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值sm75°

sinl5.解法如下：

图5

首先NACB=9(T,进而OC=」AB,代入已

2

知条件,有

J

(^AB)=AC»BC,①

与AB2=AB2+AC2②

联立，可推出

AC+BC=J|AB.

而式①、③表明，AB、AC是二次方程

x2-J|ABx+岁=。的两个根，解得

i4

当BC=声+二AB时,

4

anZCAB=^=^^(ZCAB=7r)i

当BC=必/&AB时,

4

anZCAB=器=次;々NCAB=150).

改为求NCAB之后，思路更宽一些.如，由

SA«C=^AC-BC=2OC2,

S3=2SA皿=2•；oc%nZAOC.

得sinNAOC=g.

当NA0C=3(f时.ZCAB=^(180,-30,)

-75,।

当NA8=15(T时.NCAB=g(1800-150,)

»15*

第二试

一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是：在直角△

ABC中，斜边BC上的高，过aABD的内心与也人⑺的内心的直线分别交边AB和AC

于廊L,△AB询△AKL的面积分别记为S和T.求证2T.

在这个题目的证明中，要用到AK=AL=AD.

今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AK=AL=AD（斜边上的高），再求证

KL通过△ADC的内心（图7）.

其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：具一，连FC、FD、FE,然

后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后证明其中两条垂线

般相等.下面是几个有代表性的证法.

证法1：如图6,连DF,则由已知，有

ZCDF=ZCAB=45*=IZCDE.故DF为

2

NCDE的平分线.

连BD、CF,由CD=CB,知

NFBD=NCBD-45°

=NCDB-450=NFDB,

得FB=FD,即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等

膜三角形CBD的顶角平分线上，CF是NECD的平分线.

由于F是△口）£上两条角平分线的交点，因而就是△CDE的内心.

证法2：同证法1,得出NCDF=45°=90°—45°=NFDE之后，由于NABC=

NFDE,故有B、E^D、F四点共扇.连EF,在证得

NFBD=NFDB之后，立即有NFED=NFBD=NFDB=NFEB,即EF是NCED

的平分线.

本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共同把许多

已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂.

由这个证明可知，F是也阻的外心.

ZCDF=ZCAB=45*=g/CDE.知DF是

NCDE的平分线.故F为CDE的内心.

证法4：如图8,只证CF为NDCE的平分线.由NAGC=NGBA+NGAB=45

°+N2,

ZAGC=ZADC=ZCAD=ZCAB-Z1

=450+Z1

得N1=N2.

从而NDCF=NGCF,

得CF为NDCE的平分线.

证法5：首先DF是NCDE的平分线，故

△CDE的外心I在直线DF上.

现以CA为、轴、CB为x轴建立坐标系，并记CA=CB=CD=d,则直线AB是一次

函数

y=-x+d①

的图冢(图9).若记内心I的坐标为(xi，yi),则

xi+yi=CH+lH

=CH+HB=CB=d

满足①，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点.由交点的唯一性

知I就是F,从而证得F为Rt^CDE的内心.

还可延长E眩0O于Pi，而CP为直径来证.

二、讲解：此题的原型由笔者提供.题目是：

坐标平面上纵、横坐标均为整数的点称为格点.

对二次函数y=：x2+gx-1995,请找出其位

于第一象限内，纵坐标小于横

坐标的格点.

这个题目的实质是解不等式

l<|x3+Ix-1995<x,

求正整数解.直接解，数字较繁.但有巧法，由

l+2+-+x=^^=1995+y

及lWyVx,

知1+2+…+(x-1)V1995<l+2+・“+x.

但1953=1+2+…+62V1995V1+2+…+62+63=2016,得x=63,从而y=

21,所求的格点为(21,63).

经过命题组的修改之后，数据更整齐且便于直接计算.

解法L已知即/飞+18<|xl,

有X2-X+18W101X1.

当x三0时，有X2-11X+18W0,

得2WxW9,代入二次函数，得合乎条件的4个整点：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);

当x〈0时，有

X2+9X+18W0,

得-6WXW-3,代入二次函数，得合乎条件的2个整点:

(-6,6),(-3,3).

解法2,由丫=x(x\；+18为整数,知*关于模io的

余数只能为2(或-8)、、7(55-3).9(35-1).

对x'O,取x=2,4,7912,14,…顺次代入，得(2,2)、(4,3)、(7,6)、(9,9),

且当x>9时，由

1“11x249]、1...II249.

y-x=-[(X-_)--]>—[(9__--]=

’10lr4110124」

0,知y〉-x,再无满足<IxI的解.

对x<0,取x=-l,-3,-6,-&…顺次代入，得(-3,3)、(-6,6),且当xv-6时，由

y-+-x=—[(x+—)2——]

‘1024」

1QQ

>—[-6+—)2--]=0.

104，4」

知户-x,再无满足yWIxI的解.

故一共有6个整点，图示略.

解法3：先找满足条件y=IxI的整点，即分别解方程

x2-11x4-18=0①

X2+9X+18=0②

可得Q,2)、(9,9)、(-6,6)、(-3,3).

再找满足yVIxI的整点，这时

2VxV9或-6VxV-3,

依次检验得(4,3)、(7,6).故共有6个整点.

三、讲解：直观上可以这样看，当11》倒，在2,3,…，n-2中,必有一个数

A与•质(2WAWn-2)>记

B=n—A三2,

有n=A+B.

此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d>L贝Ud也是n的约数,从而A与口有

大于1的公约数，与A、n互质矛盾.

但是，对于初中生来说，这个A的存在性有点抽象，下面分情况,把它具体找

出来.

(1)当n为奇数时，有

n=2+(n—2),

或n=口+也

不22,

(2)当n为偶数，但不是4的倍数时，有

n~l।n+4

~~2~,

由n>6知q>1,且士拦.宁均为奇数,

但A中尸(展，4)=1.

(3)当n为偶数，且又是4的倍数时，有

_n21n+2

由n>6知用2>1,且写工、牛均为奇数,

n—2n+2.）=（宁，2）=1.

22

1996年全国初中数学联褰试题

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1.实数a、b满足ab=L记M=——+—^―.

1+a1+b

N-+则M、N的关系为[]

1+a1+b

A.M>NB.M=NC.M<ND.不确定

2.设正整数a.m、n-足Ja‘-=diT—ViT,

则这样的a、m、n的取值[]

A.有一组B.有二组C.多于二组D.不存在

3.如图，A是半径为1的圆0外的一点，0A=2,AB是圆0的切线，B是切点，弦BC

〃0A,连结AC,则阴影部分的面积等于[]

A2K_7T

4.设xi、X2是二次方程x2"3=0的两个根，那么xj4X22+19的值等于

[]

A.4B.8C.6D.0

5.如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个

三角形的[]

A.内心B.外心C.重心D.垂心

6.如果20个点将某同周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形

的个数有[]

A.4个B.8个C.12个D.24个

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

2

1.己知实数X。、y°是方程组〃的解，则

y=M+1

xo+y（>H-

2.如图，在△ABC中，AB=AC.ZABN=ZMBC,BM=NM,BN=a»则点N到边BC的距

离等于.

A

3.设1995x3=1996y3=1997Z3,xyz>0,且

41995x3+1996y3+1997/=V1995+V1996+V1997.

贝ljL+」+工=.

xyz------

4.如图，将边长为1的正方形ABCD绕蛙按逆时针方向旋转60°至AB'C，D，

的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是.

第二送

一、（本题满分20分）

某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与

乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等，都是（m-nWm+nn+145）元，已知每人的

捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数.

二、（本题满分25分）

设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M,过点M作AD的平行线分别交AB、CD

于点E、F,交BC的延长线于点0,P是以0为圆心0M为半径的圆上一点（位置如图所示），

求证：Z0PF=Z0EP.

二、（本题满分25分）

已知a、b、c都是正整数，且抛物线^a^+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B,

若A、B到原点的距离都小于1,求a+b+c的最小值.

1996年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题

1.B2.A3.B

4.D5.A6.C

二、填空题

J3

2.-2-

2-

第二试

解据题意m+11=nW,整除mn+9m+lln+145,而mn+9m+lln+145=(m+11)(nW)+46,

故m+11,n+9都整除46,由此得

产二产①或『"3②在①时，得每人捐款25元i在

[n=14[n=37

②时.每人捐款47元.

综上可知，每人捐款数为25元或47元.

证作AD、B0的延长线相交于G,.「OE

IIGA.，在2\8人中有黑=段，且在ZXBGA中.

港嘴，由此得森•而OM是圆。的半径.

OM

等于OP..,.需=震.APOFcnAPOENOPF

解据题意，方程ax2+bx+c=0有两个相异根，都在(1,0)中，故

a・b+c>0,£<1,fib2—4ac>00»可见a-b

a

+c>l②，且a>c③.所以a+c>b++

可得〉1,由③得“〉V^+l,，心*

4,又b>2疝>26H>4.现分别取a、b、c的

最小整数5.5.1.

经检验，符合题意，「.a+b+c=ll最小值

1997年全国初中教学联赛试题

第一试

一.选择题

本题共有6小题，每一个小题都给出了以（A）,（B）,（C）,（D）为代号的四个答案，其

中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号埴在各小题的括号内.

1.下述四个命题

（1）一个数的倒数等于自身，那么这个数是1;

（2）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；

（3）/的平方根是±同；

（4）大于直角的角一定是钝角.

（A）l个（B）2个；©3个；（D）4个.

答（）

44

2.已知<x<,那么满足上述不等式的整数X的个数是

J3+72格-不

答（）

（A）4;⑻5;（06;（D）7.

答（）

3.若实数a,b,c满足/+/=9,代数式（.一与2+。_cy+g一。尸的最

大值是

（A）27（B）18;（C）15;（D）12.

答（）

4.给定平面上万个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数力的

最小可能值是

（A）4;⑻5;（06;（D）7.答（）

5.在梯形438中，AD=DC,Z.B=30°,ZC=60°，5瓦F律分别为

题呢◎山的中点,已知比=7,廨3,则EF之