决胜2020中考数学压轴题全揭秘下11四边形问题试题

专题11四边形问题

【典例分析】

【考点1】多边形的内角和与外角和

［例1］（2021•云南中考真题）一个十二边形的内角和等于（）

A.2160°B.2080°C.1980°D.1800°

【答案】D

【解析】

【分析】

根据多边形的内角和公式进行求解即可.

【详解】

多边形内角和公式为5-2）x180。，其中〃为多边形的边的条数，

十二边形内角和为（12—2）x180。=1800°,

应选I）.

【点睛】

此题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键.

【变式1-1］（2021•福建中考真题）正多边形的一个外角为36°,那么该正多边形的边数为（）.

A.12B.10C.8D.6

【答案】B

【解析】

【分析】

利用多边形的外角和是360。，正多边形的每个外角都是36°,即可求出答案.

【详解】

解：360°+36°=10,所以这个正多边形是正十边形.

应选：B.

【点睛】

此题主要考查了多边形的外角和定理.是需要识记的内容.

【变式「2】（2021•四川中考真题）如图，六边形4BCD比'的内角都相等，AD//BC,那么

_______°•

【答案】60°.

【解析】

【分析】

先根据多边形内角和公式（〃-2）x180°求出六边形的内角和，再除以6即可求出08的度数，由平行线的性

质可求出NDAB的度数.

【详解】

解：在六边形ABCDE/中，

（6-2）x180°=720°,

:.Z.B=120°»

TADHBC.

，ND4B=180°-ZB=60°，

故答案为：60°.

【点睛】

此题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质等，解题关键是能够熟练运用多边形内角和公式及平行线

的性质.

【考点2】平行四边形的判定与性质的应用

【例2】（2021•四川中考真题）如图，oABCO中，对角线AC、BO相交于点0,交AO于

点£,连接8E,假设CJABCZ）的周长为28,那么AABE的周长为（）

A.28B.24C.21D.14

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质和中垂线定理，再结合题意进行计算，即可得到答案.

【详解】

解：：四边形ABQD是平行四边形，

：,OB=OD,AB=CD，AD=BC,

♦.•平行四边形的周长为28,

二AB+AD=14

­：OE±BD,

：.0E是线段8。的中垂线，

BE=ED，

：.AABE的周长=AB+8£+AE=/W+AZ)=14，

应选：D.

【点睛】

此题考查平行四边形的性质和中垂线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和中垂线定理.

【变式2-1](2021•山东中考真题)如图，在四边形4BC/)中，E是边8C的中点，连接DE并延长，交4B的

延长线于点R4E=BF.添加一个条件使四边形4BCC为平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是

()

A.AD=BCB.CD=BFC.z/1=ZCD.乙F=^CDF

【答案】D

【解析】

【分析】

把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项.添加D选项，即可证明ADEC岭△FEB,

从而进一步证明DC=BF=AB,且DC〃AB,那么四边形ABCD是平行四边形.

【详解】

VZF=ZCDE,

/.CD/7AF,

在△口£(：与△FEB中，

Z.DCE=乙EBF,

CE=BE

“ED=Z.BEF

/.△DEC^AFEB(ASA),

，DC=BF,ZC=ZEBF,

AAB//DC,

VAB=BF,

ADC=AB,

四边形ABCD为平行四边形.

应选D.

【点睛】

此题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.平

行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是

平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤.

两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

【变式2-2](2021•江苏中考真题)如图，在QABCD中，点M,N分别是边AB,CD的中点.

求证：AN=CM.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质：平行四边的对边相等，可得A3〃CD,AB^CD,根据一组对边平行且相等的

四边形是平行四边形，可得AN=aw.

【详解】

,••四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,AB=CD.

VM,N分别是AB、CD的中点,

.•.CN=L：D,AM=—AB,

22

VCN/7AM,

.•.四边形ANCM为平行四边形，

.*.AN=CM.

【点睛】

此题考查了平行四边形的判定与性质，根据条件选择适当的判定方法是解题关键.

【变式2-3](2021•江苏中考真题)如图，矩形四0中，£是助的中点，延长龙，胡交于点尸，连接4G

DF.

(1)求证：四边形4aA是平行四边形；

(2)当行■平分NA力时，写出比■与切的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)证明见解析；(2)BC=2CD,理由见解析.

【解析】

分析：(1)利用矩形的性质，即可判定AFAE且ACDE,即可得到CD=FA,再根据CD〃AF,即可得出四边形

ACDF是平行四边形；

(2)先判定4CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE,再根据E是AD的中点，可得AD=2CD,依据AD=BC,即

可得到BC=2CD.

详解：(1)•••四边形ABCD是矩形,

；.AB〃CD,

ZFAE=ZCDE,

：E是AD的中点，

，AE=DE,

又，:ZFEA=ZCED,

.,.△FAE^ACDE,

.*.CD=FA,

XVCD/7AF,

二四边形ACDF是平行四边形；

(2)BC=2CD.

证明：：CF平分/BCD,

/.ZDCE=45°,

VZCDE=90°,

...△CDE是等腰直角三角形，

；.CD=DE,

•；E是AD的中点，

.\AD=2CD,

VAD=BC,

；.BC=2CD.

点睛：此题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角

相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是

平行四边形到达上述目的.

【考点3】矩形的判定与性质的应用

【例3】（2021•内蒙古中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD=8,对角线AC与相交于点0,

AE±BD,垂足为点E,且4E平分"AC,那么4?的长为.

【答案】逋.

3

【解析】

【分析】

由矩形的性质可得A0=C0=B0=D0,可证aABE/AAOE,可得AO=AB=BO=DO,由勾股定理可求AB的长.

【详解】

解：•..四边形A88是矩形

AO=CO-BO=DO>

,•1AE平分NA4O

/.ZBAE=ZEAO,且AE=AE，ZAEB=ZAEO.

：.AABE〈A4QE（ASA）

AAO^AB,且40=08

AO-AB=BO—DO-

：-BD=2AB，

,­,AD2+AB2=BD2，

.,.64+AB2=4AB2.

..D8百

••AB=----

3

故答案为：述.

3

【点睛】

此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质是此题的关键.

【变式3-1］（2021•湖北中考真题）在RhABC中，ZC=90°,ZA=30°,D,E,尸分别是

AC,AB,BC的中点，连接££）,EF.

（1）求证：四边形DE”>是矩形；

（2）请用无刻度的直尺在图中作出48c的平分线（保存作图痕迹，不写作法）.

【答案】(1)证明见解析；(2)作图见解析.

【解析】

【分析】

(1)首先证明四边形DEFC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断.

(2)连接EC,DF交于点0,作射线30即可.

【详解】

(1)证明：E,尸分别是AC,AB,的中点，

•••四边形DE尸C是平行四边形，

二四边形。瓦C是矩形

(2)连接EC,。尸交于点。，作射线B0.射线30即为所求.

【点睛】

此题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌

握根本知识.

【变式3-2](2021•山东中考真题)如图，在二仙CD中，对角线AC与BD相交于点0,点E,F分

别为OB,0D的中点，延长AE至G,使EG=AE，连接CG.

(1)求证：△ABEg^CDF;

(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由.

【答案】[1)见解析；(2)AC=248时，四边形EGCF是矩形，理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)由平行四边形的性质得出AB=CD,AB//CD,0B=0D,0A=0C,由平行线的性质得出ZABE=NCDF,证出

BE=DF,由SAS证明aABE丝Z\CDF即可；

(2)证出AB=0A,由等腰三角形的性质得出AG_L0B,Z0EG=90°,同理：CF±0D,得出EG〃CF,由三角形

中位线定理得出0E〃CG,EF〃CG,得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论.

【详解】

(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

；.AB=CD,AB/7CD,0B=0D,0A=0C,

.,.ZABE=ZCDF,

♦.•点E,F分别为OB,OD的中点,

11

；.BE=-OB,DF=-OD,

22

，BE=DF,

在AABE和4CDF中，

(2)当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：

VAC=2OA,AC=2AB,

；.AB=OA,

YE是0B的中点,

AAG1OB,

/.Z0EG=90°,

同理：CF±OD,

/.AG//CF,

，EG〃CF,

VEG=AE,OA=OC,

AOE是4ACG的中位线，

，OE〃CG,

AEF/7CG,

二四边形ECCF是平行四边形，

VZ0EG=90°,

二四边形EGCF是矩形.

【点睛】

此题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题

的关键是灵活运用所学知识解决问题.

【考点4】菱形判定与性质的应用

【例4】(2021•辽宁中考真题)如图，在菱形的?中，E,尸分别是9留的中点，假设劭=4,EF=3,

那么菱形物》的周长为

【答案】4V13.

【解析】

【分析】

连接AC,利用三角形的中位线定理求得AC的长，从而利用菱形的性质求得A0和B0的长，利用勾股定理求

得边长后即可求得周长.

【详解】

解：如图，连接4G

,:E,尸分别是比'的中点，£尸=3,

:.AC=2EF=6,

,四边形4加力为矩形，如=4,

：.ACVBD,也3,Bg2,

:"B=^AO2+BO2=V13，

.,•周长为4旧，

故答案为：45/13.

【点睛】

考查了菱形的性质，解题的关键是了解菱形的对角线互相垂直平分，难度不大.

【变式4-1］（2021•广西中考真题）如图，在菱形488中，对角线AC,B。交于点。，过点A作

AH_L5C于点”，B0=4,S差形码=24,那么AH=—.

24

【答案】y

【解析】

【分析】

根据菱形面积=对角线积的一半可求AC,再根据勾股定理求出8C,然后由菱形的面积即可得出结果.

【详解】

•.•四边形A8CD是菱形，

BO—DO=4,AO—CO,AC_LBD.

BD=8，

,**S奏形ABCD=2ACxBD=24,

AC=6，

：.OC=-AC=3,

2

BC=\JOB2+OC2=5-

iniABCD=BCxAH=24,

•■A…H=—24；

5

24

故答案为：

【点睛】

此题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式.熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出6C是解题的

关键.

【变式4-2](2021•浙江中考真题)如图，矩形瓦G”的顶点E,G分别在菱形ABCO的边AO,BC

上，顶点尸、”在菱形ABCO的对角线BO上.

(1)求证：BG=DE；

(2)假设E为AO中点，FH=2,求菱形ABC。的周长。

【答案】(1)证明见解析；(2)8.

【解析】

【分析】

(1〕根据矩形的性质得到EH=FG,EH〃FG,得到NGFH=NEHF,求得NBFG=NDHE,根据菱形的性质得到AD/7BC,

得到NGBF=NEDH,根据全等三角形的性质即可得到结论;

(2)连接EG,根据菱形的性质得到AD=BC,AD〃BC,求得AE=BG,AE〃BG,得到四边形ABGE是平行四边形,

得到AB=EG,于是得到结论.

【详解】

(1)•.•四边形EFGH是矩形,

，EH=FG,EH/7FG,

ZGFH=ZEHF,

VZBFG=1800-ZGFH,ZDHE=180°-NEHF,

,NBFG=NDHE,

•.•四边形ABCD是菱形,

；.AD〃BC,

.".ZGBF=ZEDH,

.-.△BGF^ADEH(AAS),

.\BG=DE；

(2)连接EG,

・・•四边形ABCD是菱形，

AAD=BC,AD〃BC,

・・・E为AD中点，

AAE=ED,

VBG=DE,

AAE=BG,AE/7BG,

，四边形ABGE是平行四边形，

AAB=EG,

VEG=FH=2,

・・・AB=2,

・・・菱形ABCD的周长=8.

【点睛】

此题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键.

【变式4-3](2021•辽宁中考真题)如图，切是。的?的对角线，按以下步骤作图：①分别以点8和点〃

为圆心，大于L劭的长为半径作弧，两弧相交于反尸两点；②作直线珏；分别交加，BC于同M,N,连

2

接BM,DN.假设切=8,MN=6,那么。的?的边纪上的高为—.

24

【答案】y-

【解析】

【分析】

由作法得MN垂直平分BD,那么MB=MD,NB=ND,再证明△BMN为等腰三角形得到BM=BN,那么可判断四边形

BMDN为菱形，利用菱形的性质和勾股定理计算出BN=5,然后利用面积法计算nA5CD的边BC上的高.

【详解】

由作法得加，垂直平分BD,

NB=ND,

•四边形/及力为平行四边形，

：.AD//BC,

...Z.W=NNBD,

而MB=MD,

：.4MBD=AMDB,

：.NMBD=/NBD,

而BDVMN,

...△8的•'为等腰三角形，

:.BkBN,

：.BM=BN=ND=MD,

：.四边形BMDN为菱形,

BN=\j*+42=5，

设力箭的边6c上的高为h,

'：MN・BD=2BN・h,

,6x824

/.h=----=——，

2x55

24

即口ABCD的边纥上的高为一.

24

故答案为—.

【点睛】

此题考查了作图-根本作图：熟练掌握根本作图（作一条线段等于线段；作一个角等于角；作线段的垂直平

分线；作角的角平分线；过一点作直线的垂线）.也考查了平行四边形的性质.

【考点5】正方形的判定与性质的应用

【例5】（2021•上海中考真题）如果一个正方形的面积是3,那么它的边长是=.

【答案】■

【解析】

【分析】

正方形的面积公式：S=a2,所以a=JS,求出这个正方形的边长，即可解答.

【详解】

设正方形的边长为a,那么有

界3

•••边匕为a=y/3

故答案为百

【点睛】

此题考查正方形的面积，掌握运算公式是解题关键

【变式5-1］（2021•山东中考真题）如图，E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8,

AE=CF=2,那么四边形BEO尸的周长是.

【答案】8石

【解析】

【分析】

连接3。交AC丁点。，那么可证得OE=O尸，OD=OB,可证四边形BEOb为平行四边形，且

BD上EF，可证得四边形尸为菱形；根据勾股定理计算。E的长，可得结论.

【详解】

如图，连接8。交AC于点O，

•.•四边形ABCD为正方形，

BDLAC，OD=OB=OA=OC,

'：AE=CF=2,

：.OA-AE=OC-CF,即OE=O尸，

二四边形BEOF为平行四边形，且BDLEF，

二四边形BED尸为菱形，

:.DE=DF=BE=BF，

8-4

,:AC=BD=8，OE=OF=-----=2,

2

由勾股定理得：DE=yloif+OE2=A/42+22=2V5-

四边形BEDF的周氏=4DE=4x25=8石，

故答案为：875.

【点睛】

此题考查了正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解

题的关键.

【变式5-2](2021•湖北中考真题)如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点。为正方形ABC。的中心,

点C,O分别在OE和O尸上，现将AOEF绕点。逆时针旋转0角(0°<a<90°),连接4厂，DE(如

图②).

(1)在图②中，(用含a的式子表示)

(2)在图②中猜测与OE的数量关系，并证明你的结论.

【答案】(1)90°-«；(2)AF=DE.理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)如图②，利用旋转得NDOb=NCOE=a，再利用四边形ABCD为正方形，求出NA0D,从而求出

ZA0F;

(2)如图②，利用四边形ABCD为正方形，得到NAOD=NCOD=90°,OA=OD,又因为△€)石尸为

等腰三.角形，所以0F=0E,再证明AAOEgADOE即可.

【详解】

解：(1)如图②，

\OEF绕点。逆时针旋转a角，

Z.DOF=Z.COE--a，

•••四边形A5C。为正方形，

.,400=90°,

ZAOF=90°-er：

故答案为90。—。；

(2)AF=DE.

理由如下：

如图②，•••四边形ABC。为正方形，

..NAOD=NCQD=90°,OA=OD,

•;/D0F=4C0E=a,

：.ZAOF=NDOE，

♦.♦AOEE为等腰直角三角形，

:.OF=OE,

在AAO/7和ADOE中

AO^DO

<ZAOF=乙DOE,

OF=OE

..^AOF^ADOE（SAS）,

;.AF=DE.

【点睛】

此题考查的是等腰直角三角形和正方形的综合运用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

【达标训练】

一、单项选择题

1.（2021♦辽宁中考真题）如图，某人从点4出发，前进8必后向右转60°,再前进8卬后又向右转60°,

按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点力时，共走了（）

A.24卬B.32/zzC.40mD.48卬

【答案】D

【解析】

【分析】

从A点出发，前进8m后向右转60°,再前进8m后又向右转60°,…，这样一直走下去，他第一次回到出

发点A时，所走路径为正多边形，根据正多边形的外角和为360°,判断多边形的边数，再求路程.

【详解】

解：依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为〃，

那么60〃=360,解得〃=6,

故他第一次回到出发点/时，共走了：8X6=48（/»）.

应选：D.

【点睛】

此题考查了多边形的外角和，正多边形的判定与性质.关键是根据每一个外角判断多边形的边数.

2.（2021•贵州中考真题）如图，矩形A3C0,一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形（含三角形），

假设这两个多边形的内角和分别为M和N,那么M+N不可能是（）.

A.360°B.540°C.720°D.630°

【答案】D

【解析】

如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边（含三角形）的情况有以上三种，

①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点，

此时矩形分割为一个五边形和三角形，

，M+N=540°+180°=720°；

②当直线经过一个原来矩形的顶点，

此时矩形分割为一个四边形和一个三角形，

/.M+N=360°+180°=540°；

③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点，

此时矩形分割为两个三角形，

.*.M+N=180°+180°=360°.

应选D.

3.（2021•四川中考真题）四边形ABCO的对角线AC与8D相交于点O,以下四组条件中，一定能判定

四边形ABC。为平行四边形的是（）

A.AD//BCB.OA=OC,OB=OD

C.AD/IBC,AB=DCD.AC±BD

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行四边形的判定方法逐一进行分析判断即可.

【详解】

A.只有一组对边平行无法判定四边形是平行四边形，故错误；

B.OA=OC，OB=OD,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；

C.AD//BC,AB=DC,一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，

故错误；

D.对角线互相垂直不能判定四边形是平行四边形，故错误，

应选B.

【点睛】

此题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.

4.（2021•湖北中考真题）假设正多边形的内角和是540。，那么该正多边形的一个外角为（）

A.45°B.60°C.72°D.90°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据多边形的内角和公式（〃一2）・180°求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°,依此可

以求出多边形的一个外角.

【详解】

•••正多边形的内角和是540。,

多边形的边数为540°+180°+2=5,

•••多边形的外角和都是360°，

•••多边形的每个外角=360+5=72°.

应选C.

【点睛】

此题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适

中.

5.（2021•山东中考真题）如图，在平行四边形ABC。中，N是BD上两点,=连接AM、

MC、CN、NA,添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）

A.OM^-ACB.MB=MOC.BDA.ACD.NAMB=NCND

2

【答案】A

【解析】

【分析】

由平行四边形的性质可知：Q4=OC，OB=OD,再证明OM=ON即可证明四边形AMCN是平行四

边形.

【详解】

四边形A3CD是平行四边形，

OA-OC.OB=OD.

对角线8。上的两点M、N满足BM=DN,

：.OB—BM=OD—DN，即QW=ON,

/.四边形AMCN是平行四边形，

'：OM=-AC,

2

:'MN=AC，

二四边形AMCN是矩形.

应选：A.

【点睛】

此题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

6.（2021•湖北中考真题）如图，在AABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，NADE=65°,那么

NCFE的度数为（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三角形中位线的性质可得DE//BC,EE//AB,根据平行线的性质求出NCFE的度数即可.

【详解】

•:点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,

ADE//BC,EF//AB,

/.ZADE=ZB,ZB=ZCFE,

VZADE=65°,

.,.ZCFE=ZADE=65°,

应选B.

【点睛】

此题考查了三角形中位线的性质及平行线的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，

熟练掌握相关性质是解题关键.

7.（2021•四川中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AC,8。是对角线，E,E,G,”分别

是A28D,8cAe的中点，连接EF,FG,GH,HE,那么四边形EFG”的形状是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角形的中位线定理可得，EH平行且等于S的一半，bG平行且等于8的一半，根据等量代换

和平行于同一条直线的两直线平行，得到EH和尸G平行且相等，所以ERGH为平行四边形，又因为EF

等于A3的•半且A8=CD，所以得到所证四边形的邻边E”与EF相等，所以四边形EFG”为菱形.

【详解】

解：:E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点，

.•.在AA0C中，为△A0C的中位线，所以£”//8且EH=」CO；同理FG//CD且FG=LC。，

22

同理可得AB,

2

哪么EHIIFG豆EH=FG，

二四边形EFG”为平行四边形，又AB=CD,所以EF=EH,

二四边形EFGH为菱形.

应选：C.

【点睛】

此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是•道综合题.

8.（2021•贵州中考真题）如图，。是△板内一点，BDLCD,AD=1,BD=4,CD=3,E、F、G、〃分别是

AB、BD、CD、月。的中点，那么四边形班第的周长为（）

A.12B.14C.24D.21

【答案】A

【解析】

【分析】

利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG

=1BC,EF=GEAD,然后代入数据进行计算即可得解.

22

【详解】

,:BD1.CD,放=4,⑺=3,

•••BC=《BD2+CD?==5-

,:E、F、G、〃分别是47、CD、勿的中点,

EH=FG="C,EF=GH=1AD,

22

：.四边形EFGH的局长=EmG出F&rEF=AI"BC,

又.：AD=1,

.,•四边形EFGH的周长=7+5=12.

应选4

【点睛】

此题考查三角形中位线定理，勾股定理，解题关键在于求出BC的值

9.(2021•广东中考真题)菱形A8CD,E,F是动点,边长为4,BE=AF,ZBAD=120°,那么以下

结论正确的有几个()

①ABEC丝AAFC；②\ECF为等边三角形

GF1

③NAGE=NAFC④假设A/=1，那么左=二

GE3

A.1B.2C.3D.4

【答案】I)

【解析】

【分析】

①易证AABC为等边三角形，得AC=BC,ZCAF=ZB,结合条件BE=AF可证ABEC丝△AFC；②得FC=EC,ZFCA=

ZECB,得/FCE=NACB,进而可得结论；③证明/AGE=/BFC那么可得结论；④分别证明△AEGsz^FCG和

△FCG^AACF即可得出结论.

【详解】

在四边形ABCD是菱形中，

4B4O=12()。，

ZZMC=60°

ZB=60°

二AB=ADAC

.'.△ABC为等边三角形，

/.AC^BC

又BE=AF,

；.MEC名MFC,故①正确;

:.FC=EC,NFCA=NECB

/.ZFCE=ZACB=60°,

...AECF为等边三角形，故②正确：

VZAGE+ZGAE+ZAEG=180°,ZBEC+ZCEF+ZAEG=180",

又^.^NCEF=NCAB=60°,

二NBEC=NAGE,

由①得，ZAFC=ZBEC,

AZAGE=ZAFC,故③正确；

ZAEG=ZFCG

.".△AEG^AFCG,

.GEGC

"TE-7c'

ZAGE=ZFGC,ZAEG=ZFCG

，ZCFG=ZGAE=ZFAC,

.,.△ACF^AFCG,

.FCAF

"GC

.GFAF

"G£-

VAF=1,

/.BE=1,

/.AE=3,

GF1

故④正确.

GE3

应选D.

【点睛】

此题主要考查了运用菱形的性质求解，主要的知识点有：全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与

性质以及相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，是一道好题.

10.(2021•内蒙古中考真题)如图，在口A3C。中，ZBDC=47°42\依据尺规作图的痕迹，计算&的

度数是()

A.67°29'B.67"9'C.66°29'D.66"9'

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平行四边形性质，角平分线性质和线段垂直平分线性质可求出结果.

【详解】

四边形ABCD为平行四边形，

二ABHCD,

ZABD=ZBDC=47°42'，

由作法得上E垂直平分8。，BE平分NABD，

：.EF±BD,NABE=ZDBE=-ZABD=23°51',

2

,:NBEF+NEBD=90"，

二ZBEF=90°-23°51°=66°9‘，

：.a的度数是66°9'.

应选：D.

【点睛】

考核知识点：线段垂直平分线，平行四边形性质.理解作图的意义是关键.

11.（2021•广西中考真题）如图，在A48C中，2E分别是AB,6c的中点，点口在DE延长线上，添

加一个条件使四边形ADEC为平行四边形，那么这个条件是（）

A.ZB=ZFB./B=/BCFC.AC=CFD.AD=CF

【答案】B

【解析】

【分析】

利用三角形中位线定理得到DE||AC,DE=|AC,结合平行四边形的判定定理进行选择.

【详解】

在AABC'I',D,E分别是A6,8C的中点，

OE是AABC的中位线,

DEII-AC.

=2

A、根据N8=N/不能判定AC//。？，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误.

B、根据N8=N8C户可以判定CF7/AB，即B//A。，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”

得到四边形ADbC为平行四边形，故本选项正确.

C、根据4。=。”不能判定AC〃DF,即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误.

D、根据4O=CF,ED//AC不能判定四边形AOR7为平行四边形，故本选项错误.

应选：B.

【点睛】

此题三角形的中位线的性质和平行四边形的判定.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且

等于第三边的一半.

12.（2021•山东中考真题）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且NEAF=45°,AE、

BE

AF分别交BD于瓜N,连按EN、EF、有以下结论：①AN=EN,②当AE=AF时，一=2-0,③BE+DF

EC

=EF,④存在点E、F,使得NF>DF,其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

①如图1,证明△AMNS/^BME和△AMBsZiNME,可得NNAE=/AEN=45°,那么4AEN是等腰直角三角形可作

判断;

②先证明CE=CF,假设正方形边长为1,设CE=x,那么BE=l-x,表示AC的长为A0+0C可作判断；

③如图3,将aADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH,证明AAEF丝AAEH（SAS）,那么EF=EH=BE+BH=BE+DF,

可作判断；

④在△ADA中根据比拟对角的大小来比拟边的大小.

【详解】

①如图1,

•.•四边形ABCD是正方形，

ZEBM=ZADM=ZFDN=ZABD=45°,

•.•/MAN=NEBM=45°,ZAMN=ZBME,

.-.△AMN^ABME,

.AM_MN

••嬴―前'

VZAMB=ZEMN,

AAAMB^ANME,

AZAEN=ZABD=45°

AZNAE=ZAEN=45°,

•••△AEN是等腰直角三角形，

AN=EN,

故①正确；

②在4ABE和AADF中，

AB=AD

NABE=NADF=90°,

AE=AF

ARtAABE^RtAADF(HL),

，BE=DF,

,ZBC=CD,

；.CE=CF,

假设正方形边长为1,设CE=x,那么BE=l-x,

如图2,连接AC,交EF于H,

,.•AE=AF,CE=CF,

...AC是EF的垂直平分线，

.\AC±EF,OE=OF,

]/?

RtZ\CEF中，OC=-EF=—x,

22

△EAF中，ZEA0=ZFA0=22.5°=ZBAE=22.5°,

；.OE=BE,

VAE=AE,

ARtAABE^RtAAOE(HL),

/.AO=AB=1,

.，.AC=5/2—AO+OC,

1+^1-x=5/2>

2

x=2-72，

.BE_1_（2-扬_（向1）（2+扬_近

"EC2-V22V'

故②不正确；

③如图3,

.•.将AADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH,那么AF=AH,ZDAF=ZBAH,

VZEAE=45°=ZI）AF+ZBAE=ZHAE,

VZABE=ZABH=90°,

AH.B、E三点共线，

在AAEF和△AEH中，

AE=AE

<ZFAE=ZHAE,

AF=AH

.,.△AEF^AAEH（SAS）,

EF=EH=BE+BH=BE+DF,

故③正确；

④Z\ADN中，ZFND=ZADN+ZNAD>45°,

NFDN=45°,

.*.DF>FN,

故存在点E、F,使得NF>DF,

故④不正确；

应选B.

【点睛】

此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性

质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形.

二、填空题

13.(2021•四川中考真题)一个多边形的每一个内角都等于108°,那么这个多边形的边数是.

【答案】5

【解析】

试题分析：：多边形的每一个内角都等于108。，,每一个外角为72°.

•••多边形的外角和为360。，.•.这个多边形的边数是：3604-4-72=5.

14.(2021•辽宁中考真题)如图，在矩形的?中，AD=5,AB=3,点£从点4出发，以每秒2个单位

长度的速度沿池向点，运动，同时点尸从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿第向点8运动，当点

£到达点〃时，点£,尸同时停止运动.连接应；EF,设点£运动的时间为大，假设ABEF是以龙为底的

等腰三角形，那么t的值为.

［答案］注目

4

【解析】

【分析】

过点〃作EG±BCT-G,可得AB=EG=3,AE=BG=2t,山勾股定理可求t的值.

【详解】

如图，过点£作EG_L3C于6,

二四边形465是矩形，

AAB=EG=3,AE=BG=2t,

■：BF=EF=5-t,FG=\2t-(5-t)h|3r-5|,

•••EF2=FG2+EG2，

(5-z)2=(3r-5)2+9,

.,5±S

••t=--------

4

故答案为：徒且.

4

【点睛】

此题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，利用勾股定理列出方程是此题的关键.

15.(2021•四川中考真题)如图，QABCD的对角线AC、BD相交于点0,点E是AB的中点，MEO的周长

是8,那么ABCD的周长为.

【答案】16.

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质可得50=。0=!%>,进而可得0E是AABC的中位线，由三角形中位线定理得出

2

BC=20E,再根据平行四边形的性质可得AB=CD,从而可得A8S的周长=AB£O的周长x2.

【详解】

解：：QABa）的对角线AC、BD相交于点0,

/.BO=DO=-BD,BD=2OB,

2

...0为BD中点,

♦.•点E是AB的中点，

四边形ABCD是平行四边形，

•.♦AfiEO的周长为8,

.,.△BCD的周长是16,

故答案为16.

【点睛】

考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及线段中点的定义.关键是掌握平行四边形的性质：①边:

平行四边形的对边平行且相等.②角：平行四边形的对角相等；③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

16.（2021•江苏中考真题）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形

BEFG,连接DF,M、N分别是DC、DF的中点，连接MN.假设AB=7,BE=5,那么MN=.

13

【答案】—

2

【解析】

【分析】

连接FC,根据三角形中位线定理可得FC=2MN,继而根据四边形ABCD,四边形EFGB是正方形，推导得出G、

B、C三点共线，然后再根据勾股定理可求得FC的长，继而可求得答案.

【详解】

连接FC,VM,N分别是DC、DF的中点，

.\FC=2MN,

♦.•四边形ABCD,四边形EFGB是正方形，

AZFGB=90°,ZABG=ZABC=90°,FG=BE=5,BC=AB=7,

二ZGBC=ZABG+ZABC=180°,

即G、B、C三点共线，

.,.GC=GB+BC=5+7=12,

•■•FC=7FG2+GC2=13>

13

2

13

故答案为：—.

2

【点睛】

此题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用

相关知识是解题的关键.

17.（2021•天津中考真题）如图，正方形纸片ABCD的边长为12,E是边CZ）上一点，连接AE.折叠

该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B,得到折痕8尸，点尸在AD上.假设DE=5,那

么GE的长为.

49

【答案】百

【解析】

【分析】

先根据勾股定理得出AE的长，然后根据折叠的性质可得BF垂直平分AG,再根据AABM~AADE,求出AM

的长，从而得出AG,继而得出GE的长

【详解】

解：在正方形ABCD中，ZBAD=ZD=90°，

NBAM+NFAM=90"

在Rt^ADE中，AE=A/AD2+DE2=7122+52=13

山折叠的性质可得AABFMAGBF

，AB=BG,NFBA=/FBG

，BF垂直平分AG,

，AM=MG,ZAMB=90"

ZBAM+ZABM=90°

/.ZABM=ZFAM

/.AABM-AADE

AMABAM12

DEAE513

…60120

.•AM——,•♦AG=-----

1313

12049

AGE=5------

1313

【点睛】

此题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关

的知识是解题的关键

18.（2021•湖南中考真题）如下图，过正五边形越CDE的顶点3作一条射线与其内角的角平分线

相交于点P,且NABP=60°,那么度.

【答案】66

【解析】

【分析】

首先根据正五边形的性质得到NE43=108度，然后根据角平分线的定义得到NP45=54度，再利用三角

形内角和定理得到NA/归的度数.

【详解】

解：：五边形ABCDE为正五边形,

/.NE4B=108度，

AP是NE48的角平分线，

二NPAB=54度，

ZABP=60°，

：.ZAPB=180°-60°-54°=66°.

故答案为：66.

【点睛】

此题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理.

19.（2021•山东中考真题）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压

平就可以得到如图2所示的正五边形A8CDE.图中，ZBAC=—度.

【答案】36°.

【解析】

【分析】

利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题.

【详解】

VZABC=（5-2^xl80_=108°,AABC是等腰三角形，

..N54c=ZBC4=36度.

【点睛】

此题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质.解题关键在于知道"边形的内角和为：180°

In-2）.

20.（2021•江苏中考真题）如图，正方形ABCO的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,F为AB边

上的一个动点，连接石尸，以所为边向右侧作等边AERS,连接CG,那么CG的最小值为.

【答案】-

2

【解析】

【分析】

由题意分析可知，点尸为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨

迹，之后通过垂线段最短构造直角一角形获得CG最小值.

【详解】

由题意可知，点尸是主动点，点G是从动点，点尸在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动

将AEEB绕点£旋转60°，使ER与EG重合，得到AEFB三AEHG,

从而可知^EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上,

作CM，HN,那么CM即为CG的最小值，

作EP±CM,可知四边形H