2024年四川省宜宾市中考数学试卷（含详细解析）

2024年四川省宜宾市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（4分）（2024•宜宾）2的绝对值是（）A．2 B． C．﹣ D．﹣22．（4分）（2024•宜宾）下列计算正确的是（）A．a+a＝a2 B．5a﹣3a＝2 C．3x•2x＝6x2 D．（﹣x）3÷（﹣x）2＝x3．（4分）（2024•宜宾）某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（）A．方差为0 B．众数为75 C．中位数为77.5 D．平均数为754．（4分）（2024•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．（4分）（2024•宜宾）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（）A．5天 B．10天 C．15天 D．20天6．（4分）（2024•宜宾）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且6＝1+2+3，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（）A．8 B．18 C．28 D．327．（4分）（2024•宜宾）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（）A．B点 B．C点 C．D点 D．E点8．（4分）（2024•宜宾）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（）A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱9．（4分）（2024•宜宾）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，则的值为（）A． B． C．2 D．210．（4分）（2024•宜宾）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则的值为（）A． B． C． D．11．（4分）（2024•宜宾）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（）A．2+3 B．6+2 C．5 D．812．（4分）（2024•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C．以下结论：①a+b+c＝0；②a+3b+2c＜0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c＝；④当c＝3时，在△AOC内有一动点P，若OP＝2，则CP+AP的最小值为．其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．13．（4分）（2024•宜宾）分解因式：2a2﹣2＝．14．（4分）（2024•宜宾）分式方程﹣3＝0的解为．15．（4分）（2024•宜宾）如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是．16．（4分）（2024•宜宾）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E、F分别是边CD、AD上的动点，且CE＝DF．当AE+CF的值最小时，则CE＝．17．（4分）（2024•宜宾）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是（从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．18．（4分）（2024•宜宾）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若∠MAN＝45°，则MN的最小值为．三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（10分）（2024•宜宾）（1）计算：（﹣2）0+2sin30°﹣|2﹣|；（2）计算：÷（﹣）．20．（10分）（2024•宜宾）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组；B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：（1）本次共调查了名学生，并将条形统计图补充完整；（2）话剧组所对应扇形的圆心角为度；（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．21．（10分）（2024•宜宾）如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F．求证：AD＝BE．22．（10分）（2024•宜宾）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且AB∥CD）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西18.17°方向上，测得点D在北偏东21.34°方向上；在B处测得点C在北偏西21.34°方向上，测得点D在北偏东18.17°方向上，测得AB＝100米．求长江口的宽度CD的值（结果精确到1米）．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin21.34°≈0.36，cos21.34°≈0.93，tan21.34°≈0.39）23．（12分）（2024•宜宾）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（1，4）、B（n，﹣1）．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）利用图象，直接写出不等式ax+b＜的解集；（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．24．（12分）（2024•宜宾）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连结CD．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若tan∠ABE＝，求CD和DE的长．25．（14分）（2024•宜宾）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），其顶点为D．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点E在以点P（3，0）为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连结BF．求BF的取值范围．

参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．【解答】解：∵2＞0，∴|2|＝2．故选：A．2．【解答】解：A、a+a＝2a，故A不符合题意；B、5a﹣3a＝2a，故B不符合题意；C、3x•2x＝6x2，故C符合题意；D、（﹣x）3÷（﹣x）2＝﹣x，故D不符合题意；故选：C．3．【解答】解：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80中，平均数＝（65+67+75+65+75+80+75+88+78+80）＝74.8，65，67，75，65，75，80，75，88，78，80按从小到大的顺序排序为65，65，67，75，75，75，78，80，80，88，∴中位数＝＝75，众数为75，方差＝[（65﹣74.8）2×2+（67﹣74.8）2+（75﹣74.8）2×3+（78﹣74.8）2+（80﹣74.8）2×2+（88﹣74.8）2]≈61，故选：B．4．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CDB＝60°，∴∠A＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，故选：A．5．【解答】解：设快马追上慢马的天数是x天，根据题意得：240x＝150（x+12），解得：x＝20，∴快马追上慢马的天数是20天．故选：D．6．【解答】解：A．8的因数有：1，2，4，8；1+2+4＝7，8不是“完美数”，故A错误；B．18的因数有1，2，3，6，9，18；1+2+3+6+9＝21，18不是“完美数”，故B错误；C．28的因数有：1，2，4，7，14，28；1+2+4+7+14＝28，28是“完美数”，故C正确；D．32的因数有：1，2，4，8，16，32，1+2+4+8+16＝31，32不是“完美数”，故D错误；故选：C．7．【解答】解：把图形围成立方体如图所示：所以与顶点A距离最远的顶点是C，故选：B．8．【解答】解：设可以装x箱大箱，y箱小箱，根据题意得：4x+3y＝32，∴x＝8﹣y，又∵x，y均为自然数，∴或或，∴x+y＝8或9或10，∴所装的箱数最多为10箱．故选：C．9．【解答】解：如图，连接BD、CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴BD＝CD，在四边形ABDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ACD+∠ABD＝180°，∴△ADC绕D点逆时针旋转90°，则A，B，A'三点共线，如图所示，∴AB+AC＝AB+A′B＝AA′，∵由旋转可知∠A′DB＝∠ADC，A′D＝AD，∴∠A′DA＝∠A′DB+∠BDA＝∠ADC+∠BDA＝∠BDC＝90°，∴在等腰直角三角形A′DA中，，∴．故选：A．10．【解答】解：作过A作BC的垂线垂足为D，BC与y轴交于E点，如图，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，D是BC中点，设，，由BC中点为D，AB＝AC，在等腰三角形ABC中，∴BD＝DC＝a﹣b，∴，∵AC的中点为M，∴，即，由M在反比例函数上得，∴，解得：b＝﹣3a，由题可知，AD∥NE，∴，故选：B．11．【解答】解：如图，将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，∴BE＝AB，∠ABE＝90°，∴AE＝AB＝6，∵∠DBC＝90°＝∠EBA，∴∠DBE＝∠CBA，又∵BD＝BC，AB＝BE，∴△DBE≌△CBA（SAS），∴DE＝AC＝2，在△ADE中，AD＜AE+DE，∴当A，D，E三点共线时，AD有最大值，∴AD的最大值＝6+2＝8，故选：D．12．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点B（1，0），∴a+b+c＝0，故①正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），∴﹣＝＝﹣1，∴b＝2a，∵a+b+c＝0，∴c＝﹣3a，∴a+3b+2c＝a+6a﹣6a＝a，∵a＜0，∴a+3b+2c＜0，故②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴AC≠BC，∵A（﹣3，0）、B（1，0），C（0，c），∴AB＝4，当AC＝AB＝4时，则AC2＝OA2+OC2，∴42＝32+c2，解得c＝或c＝﹣（不合题意，舍去），当AB＝BC＝4时，BC2＝OB2+OC2，∴42＝12+c2，解得c＝（负数舍去），综上，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c＝或c＝，故③错误；当c＝3时，C（0，3），则OC＝3，如图所示，取点H（﹣，0），连接PH，则OH＝，∴＝，∵，∴，∵∠HOP＝∠POA，∴△HOP∽△POA，∴＝，∴PH＝PA，∴CP+AP＝CP+PH，当C、P、H共线时，CP+PH的值最小，即此时CP+AP的最小，最小值为CH，在Rt△CHO中，CH＝＝＝，故④正确；故选：C．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．13．【解答】解：2a2﹣2＝2（a2﹣1）＝2（a+1）（a﹣1），故答案为：2（a+1）（a﹣1）．14．【解答】解：去分母得：x+1﹣3（x﹣1）＝0，解得x＝2，检验：当x＝2时，x﹣1＝1≠0，∴x＝2是原方程的解．故答案为：x＝2．15．【解答】解：连接BE交AC于O，如图：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CBA＝∠BAC＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，BC＝AB＝AE，∴∠BCA＝∠BAC＝∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣108°）÷2＝36°，∴∠CBO＝∠ABC﹣∠ABE＝108°﹣36°＝72°，∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCA＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠CBO＝∠BOC＝72°，∴CO＝BC＝4，∵∠BAO＝∠CAB，∠ABO＝36°＝∠BCA，∴△ABO∽△ACB，∴＝，即＝，解得AC＝2+2或AC＝2﹣2（小于4，舍去），经检验，AC＝2+2符合题意；故答案为：AC＝2+2．16．【解答】解：如图，延长BC至H，使CH＝CD，连接EH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝2，AD∥BC，∴∠D＝∠DCH，又∵CD＝CH，DF＝CE，∴△CDF≌△HCE（SAS），∴CF＝EH，∴AE+CF＝AE+EH，∴当点A，点E，点H三点共线时，AE+CF有最小值，此时：∵CD∥AB，∴△CEH∽△BAH，∴，∴＝，∴CE＝，故答案为：．17．【解答】方法一：∵三次操作相同，且总得分是20+10+9＝39分．∴一次操作的总分，即三个球数字之后为39÷3＝13，则有以下情况：，其中只有1，4，8这一组能同时满足三个数组合相加得20，10，9；，∴第一次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为4，8，1；第二次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为8，1，1；第三次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为8，1，1；∴第二次操作计分最低的是乙槽．方法二：设乙第一，第二，第三次操作计分分别为x、y、z．则x+y+z＝10，x不可能为9，否则yz出现为0的情况，与题意矛盾．所以x最大为8，此时8+1+1＝10，1已经是最小了，所以第二次操作计分最小的是乙槽．故答案为：乙槽．18．【解答】解：如图，延长CD到点G，使DG＝BM．∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝BC，∠MAD＝∠ADM＝90°，∴∠ADG＝∠ADN＝90°＝∠ABM，又∵BM＝DG，AD＝BC，∴△ABM≌△ADG（SAS），∴∠BAM＝∠DAG，AM＝AG，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠DAG+∠DAN＝45°，即∠GAN＝45°，在△GAN和△MAN中，，∴△GAN≌△MAN（SAS），∴GN＝MN．设BM＝x，MN＝y，则GN＝y，DG＝x．∵BC＝CD＝1，∴CM＝1﹣x，CN＝x﹣y+1，在Rt△CMN中，由勾股定理得：MN2＝CM2+CN2，即y2＝（1﹣x）2+（x﹣y+1）2，整理可得：y＝＝＝x+1+﹣2，∵x+1+≥2＝2，∴y≥2﹣2，此时x＝﹣1．故：MN的最小值为2﹣2三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．【解答】解：（1）原式＝1+2×﹣2+＝；（2）原式＝÷＝•＝1．20．【解答】（1）此次调查的学生人数为：4÷10%＝40（人），“C”类兴趣课的人数为：40﹣4﹣16﹣12＝8（人），补全条形统计图如下：故答案为：40；（2）“C”类兴趣课所对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝72°；故答案为：72；（3）将1名女生记为A，3名男生分别记为B，C，D，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有：AB，AC，AD，BA，CA，DA，共6种，∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为．21．【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．22．【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥CD，垂足为F，∵AB∥CD，∴AE＝BF，由题意得：AB＝EF＝100m，设AE＝BF＝xm，在Rt△ACE中，∠CAE＝18.17°，∴CE＝AE•tan18.17°≈0.33x（m），在Rt△BDF中，∠DBF＝18.17°，∴DF＝BF•tan18.17°≈0.33x（m），在Rt△AED中，∠EAD＝21.34°，∴DE＝AE•tan21.34°≈0.39x（m），∵DE＝EF+DF，∴0.39x＝100+0.33x，解得：x＝，∴CD＝CE+DE＝0.33x+0.39x＝0.72x＝1200（m），∴长江口的宽度CD的值约为1200m．23．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4×1＝﹣n，解得：k＝4，n＝﹣4，即反比例函数的表达式为：y＝，点B（﹣4，﹣1）；将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得：，则一次函数表达式为：y＝x+3；（2）观察函数图象知，当0＜x＜1或x＜﹣4时，ax+b＜成立；（3）设点C的坐标为：（m，），点D（x，0），当AB为对角线时，由中点坐标公式得：4﹣1＝，解得：m＝，则点C（，3）；当AC或AD为对角线时，同理可得：4+＝﹣1或4＝﹣1，解得：m＝±，则点C（﹣，﹣5）或（，5），综上，点C的坐标为：（，3）或（﹣，﹣5）或（，5）．24．【解答】（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OB＝OC，∵AB＝AC，∴∠AOB＝∠AOC，∴∠FOB＝∠FOC，∴OF⊥BC，∵AE∥BC，∴∠OAE＝∠OFB＝90°，∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，