人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)：3 . 4 函数的应用(一)

3.4函数的应用(一)

课标要求

素养要求

1.理解函数模型是描述客观世界中变量通过本节课的学习，使学生体会常见函

关系和规律的重要性.数的变化异同，提升学生数学抽象、数

2.会利用已知函数模型解决实际问题.学建模、数据分析等素养.

课前预习知识探究

教材知识探究

A情境引入

随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽

车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：

年份201520162017

销量/万辆81830

结合以上三年的销量及人们生活的需栗，2018年初，该汽车销售公司的经理提

出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2018年实际销

售44万辆，圆满完成销售目标.

问题1在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观

信息？

问题2如果我们分别将2015,2016,2017,2018年定义为第一、二、三、四

年，现在有两个函数模型：二次函数型八=+6x+c(aW0),一次函数模型

g(x)=ax+6(aW0),哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系?

问题3依照目前的形势分析，你能预测一下2019年，该公司预销售多少辆汽

车吗？

提示1.建立函数模型2通过计算二次函数能更好地反映该公司中的年销

量32019年，该公司预销售60万辆汽车.

A新知梳理

1.常见的函数模型

常见一次函数模型y=kx+b（k,b为常数,左力0）

函数二次函数模型y=ax2-hbx-hc（a,b,c为常数，

模型嘉函数模型y=axa+b（a,6为常数，aWO,aWl）

2.解决函数应用问题的步骤

⑴利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行:

(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.

⑵这些步骤用框图表示如图：

分析、联想、

实际问题建立函数模型

抽象、转化

数

问

学

题

解

解

答

决

转译

实际问题结论数学问题结论

教材拓展补遗

『微判断』

1.当X每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.(♦)

2.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间/(min)变化的情况由计

算机记录后显示的图象如图所示.判断下列说法的正误：

5i/min

(1)前5分钟温度增加越来越快.(X)

(2)前5分钟温度增加越来越慢.(V)

(3)5分钟后温度保持匀速增加.(X)

(4)5分钟后温度保持不变.(V)

『微训练』

1.一个矩形的周长是40,矩形的长y关于宽x的函数『解析』式为.

『解析』由题意可知2y+2x=40,即y=20—x,易知0<xW10.

『答案』y=20-x(0<x<10)

2.某工厂生产某种产品的固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本

增加10万元.又知总收入K是单位产品数。的函数，K(Q)=40Q—则总利

润L(Q)的最大值是万元.

『解析』L(Q)=40Q—泉2_IOQ_2000=一泉2+30。-2000=-^(Q-

300)2+2500,当Q=300时，L(。)的最大值为2500万元.

『答案』2500

『微思考』

一次函数模型、二次函数模型、募函数模型的选取的标准是什么？它们的增长

速度是如何变化的？

提示一次函数模型丁=依+。(左>0)增长特点是直线上升，增长速度不变.

二次函数模型y=af+0x+c(aW0)的最值容易求出，常常用于最优、最省等最

值问题，嘉函数y=ay+0(x>0,n>Q,a>0)随x的增大而增大，但增长的速度相

对平稳，图象随〃的变化而变化.

课堂互动题型剖析

题型一一次函数模型函数的图象确定了函数的类型

『例1』为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费

方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话

时间式分)与通话费用M元)的关系如图所示.

8(30,35)

4040

3()30

2()2(1

1010

2。44)双分)2044)双分)

如意卡便民卡

⑴分别求出通话费用P，”与通话时间X之间的函数『解析』式；

(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.

解由图象可设了=依尤+30(+W0),”=比於2象0),把点5(30,35),C(30,15)

分别代入yi=hx+30,yz=kvc,得而=:，攵2=去

yi=30(x^0),y2=]x(x20).

(2)令yi=y2,即差+30=卧,则x=90.

当x=90时，yi=y2,两种卡收费一致；当x<90时，yi>yi,使用便民卡便宜；

当x>90时，yi<y2,使用如意卡便宜.

规律方法在用函数刻画实际问题时，除了用函数『解析』式刻画外，函数图

象也能够发挥很好的作用，因此，应注意提高读图的能力.

『训练1』某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则

每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数『解析』式为

『解析』设『解析J式为y=kx+b(k于0),

’30=左X80+。，1

由彳,解得％=—不b=5Q,

[20=^X120+0,4

.*.y=—+50(0<x<200).

『答案』y=—：x+50(0<x<200)

题型二幕函数与二次函数模型

『例2』(1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药

品利润y(万元)存在的关系为y=x"(。为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投

入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预

计今年药品利润为万元.

⑵商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越

高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格

为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格

(标价)出售.问：

①商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？

②通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利

润的75%,那么羊毛衫的标价为每件多少元？

(1)『解析』由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y

=产中，即3。=27,解得a=3,故函数关系式为y=炉.所以当x=5时，y=125.

『答案』125

(2)解①设购买人数为“人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，

则xG(100,300J,n=kx-\-b(k<0),'：0=300k+b,即》=—300左，：.n=k(x~

300).

••・利润y=(x—100)-x—300)=-x—200)2—10000《xG(100,300J),

左<0,•*«x=200时，ymax=-100004，

即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.

②由题意得k(x-100)(%-300)=-10000^-75%,

X2-400X+37500=0,解得x=250或x=150,

所以，商场要获取最大利润的75%,每件标价为250元或150元.

规律方法1.赛函数应用的常见题型

⑴给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式.

(2)根据题意直接列出相应的函数关系式.

2.利用二次函数求最值的方法及注意点

⑴方法：根据实际问题建立函数模型『解析』式后，可利用配方法、判别式

法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最

大、用料最省等最值问题.

(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.

『训练2』据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，

月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，

月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次

函数的顶点.

(1)写出月总成本y(万元)关于月产量M吨)的函数关系；

(2)已知该产品销售价为每吨L6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？

解(1)设y=q(x—15)2+17.5(a#0),将龙=10,y=20代入上式，得20=25a+

17.5,解得a=

所以0=/(尤—15)2+17.5(10WXW25).

(2)设最大利润为Q(x),

则Q(x)=L6x—y=L6x一土(x—15)2+17.5

=-L(x—23>+12.9(10WxW25).

所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.

题型三分段函数模型

『例3』经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(件)

与价格(元)均为时间/(天)的函数，且日销售量近似满足g⑺=80—2/(件)，价格

15+y（0W/W10）,

近似满足于财=1（元）.

25一夕（10VW20）

⑴试写出该种商品的日销售额y与时间*0WtW20)的函数表达式；

日销售额等于价格乘以销售量⑵求该种商品的且销售额上的最大值与最小值.

解(1)由已知，由价格乘以销售量可得：

卜5+J](80-2r)(0W/W10),

(25—(80-2?)(10VW20),

'。+30)(40—f)(OWtWlO),

--<

—"50一7)(40—/)(10VW20),

T+l(k+1200(OWfWlO),

--<

-/-90Z+2000(10VW20).

(2)由⑴知①当0W/W10时，y=-?+10r+l200=

一(7—5>+1225,

函数图象开口向下，对称轴为/=5,该函数在£『0,5』单调递增，在/©(5,

10]单调递减，

/.ymax=1225(当t=5时取得)，ymin=l200(当t=0或10时取得)；

②当10VW20时，y=p—90f+2000=(7—45)2—25,

函数图象开口向上，对称轴为t=45,该函数在/©(10,20』单调递减，.'.ymax

1200(当r=10时取得)，ymin=600(当t=20时取得).

由①②知1ax=1225(当t=5时取得)，ymin=600(当t=20时取得).

规律方法应用分段函数时的三个注意点

(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.

(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.

(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.

『训练3』某种商品在30天内每件的销售价格P（元）与时间您GN+）（天）的函

数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q（件）与时间您©N

+）（天）之间的关系如下表：

〃天5102030

。/件35302010

（1）根据提供的图象（如图），写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系

式；

⑵根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式；

（3）求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第

几天（日销售金额=每件的销售价格X日销售量）.

f+20,0</<25,PN+,

解（1）由已知可得：P=<

.-r+100,25W/W30,PN+

⑵日销售量。与时间/的一个函数式为

Q=—/+40(0vW30,f@N+),

⑶由题意

(t+20)(—/+40),0</<25,f©N+,

'、(—?+100)(—/'+40),25W/W30,N+,

-<(r-10)2+900,0<t<25,PN+,

一.a—70)2-900,25WfW30,/GN+.

当0<<25,/=10时，ymax=900,

当25W/W30,t=25时，ymax=(25-70)2-900=1125.

・•.当第25天时，该商品日销售金额的最大值为1125元.

核心素养全面提升

一、素养落地

1.通过本节课的学习，学会用函数模型解决实际问题，重点提升学生的数学抽

象、数学建模、数据分析素养.

2.建立数学模型是解决数学问题的主要方法，数学建模一般分为识模、析模、

建模、解模、验模五个步骤.

二、素养训练

1.一辆匀速行驶的汽车90min行驶的路程为180km,则这辆汽车行驶的路程

y(km)与时间/(h)之间的函数关系式是()

A.y=2tB.y=120%

C.y=2%«20)D.y=120^^0)

『解析』因为90min=L5h,所以汽车的速度为180+1.5=120(km/h),则路

程y(km)与时间*力)之间的函数关系式是y=120/(/>0).

『答案』D

2.网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是

我们习惯称呼的“鞋号”

中国鞋码

实际标准220225230235240245250255260265

(mm)

中国鞋码

习惯叫法34353637383940414243

(号)

习惯称为“30号”的童期二，对应的脚S1际尺二「为多少毫米()

A.150B.200

C.180D.210

『解析』设脚的长度为ymm,对应的鞋码为x码.则y=5x+50,当x=30时，

y=5X30+50=200.故选B.

『答案』B

3.国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4

000元的按超过800元部分的14%纳