新教材高中物理第四章运动和力的关系专题四模型构建-连接体问题导学案新人教版必修第一册

专题四模型构建——连接体问题课题任务整体法、隔离法在连接体问题中的应用1．“连接体”问题所谓“连接体”，是指运动中的几个物体或上下叠放在一起或前后挤靠在一起或通过细绳、轻弹簧等连在一起的物体组。在求解连接体问题时常常用到整体法与隔离法。2．整体法与隔离法(1)整体法：在分析连接体问题时，将整个物体系统作为整体分析探讨的方法。在分析整体所受外力状况时常采纳整体法。(2)隔离法：在分析连接体问题时，从探讨问题的便利性动身，将物体系统中的某一部分物体隔离出来，单独分析探讨的方法。3．整体法、隔离法的选用(1)整体法、隔离法的选取原则当连接体内各物体具有相同的加速度(或运动状况一样)时，可以采纳整体法；当连接体内各物体加速度不相同(或运动状况不一样)时，采纳隔离法。一般来说，求整体的外力时优先采纳整体法，整体法分析时不须要考虑各物体间的内力；求连接体内各物体间的内力时只能采纳隔离法。(2)整体法、隔离法的交替运用①若连接体内各物体具有相同的加速度，且求物体之间的作用力，可以先用整体法求出加速度，然后再用隔离法选取合适的探讨对象，应用牛顿其次定律求作用力，即“先整体求加速度，后隔离求内力”。②若连接体内各物体具有相同的加速度，且求整体所受的外力，可以先用隔离法选取合适的探讨对象，分析受力且用牛顿其次定律求加速度，然后再用整体法求外力，即“先隔离求加速度，后整体求外力”。例1如图所示，在光滑的水平地面上，质量分别为m1和m2的木块A和B之间用轻弹簧相连，在拉力F作用下，A、B共同以加速度a做匀加速直线运动，某时刻突然撤去拉力F，撤去瞬间A和B的加速度大小为a1和a2，则()A．a1＝a2＝0B．a1＝a，a2＝0C．a1＝eq\f(m1,m1＋m2)a，a2＝eq\f(m2,m1＋m2)aD．a1＝a，a2＝eq\f(m1,m2)a[规范解答]在拉力F作用下，A、B和轻弹簧组成的整体的加速度为：a＝eq\f(F,m1＋m2)，隔离A，对A分析得，弹簧的弹力为：F弹＝m1a＝eq\f(Fm1,m1＋m2)；撤去F瞬间，隔离A，对A分析，有：a1＝eq\f(F弹,m1)＝a，隔离B，对B分析，有：a2＝eq\f(F弹,m2)＝eq\f(m1,m2)a，D正确，A、B、C错误。[答案]D模型点拨连接体中力的“安排协议”如下列各图所示，对于一起做加速运动的物体系统，m1和m2间的弹力或中间绳的拉力F12的大小遵守以下力的“安排协议”：(1)若外力F作用于m1上，则F12＝eq\f(m2F,m1＋m2)。(2)若外力F作用于m2上，则F12＝eq\f(m1F,m1＋m2)。留意：①此“安排协议”与有无摩擦无关(若有摩擦，两物体与接触面间的动摩擦因数必需相同)；②两物体间若有连接物，连接物的质量必需很小，可忽视(如轻绳、轻杆、轻弹簧)；③物体系统在水平面、斜面或竖直方向上一起加速运动时，此“安排协议”都成立。eq\a\vs4\al([变式训练1])如图所示，质量为M、中间为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑凹槽内有一质量为m的小铁球，现用一水平向右的推力F推动凹槽，小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽球心和小铁球的连线与竖直方向成α角。则下列说法正确的是()A．小铁球受到的合外力方向水平向左B．F＝(M＋m)gtanαC．系统的加速度为a＝gsinαD．F＝Mgtanα答案B解析隔离小铁球受力分析，得F合＝mgtanα＝ma，且合外力方向水平向右，故小铁球的加速度为gtanα，因为小铁球与凹槽相对静止，故系统的加速度也为gtanα，A、C错误；对整体受力分析，得F＝(M＋m)a＝(M＋m)·gtanα，故B正确，D错误。课题任务动力学的临界问题在动力学问题中，常常会遇到某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的状况(如恰好滑动、刚好脱离)，这类问题称为临界问题。临界状态是物理过程发生变更的转折点，在这个转折点上，系统的某些物理量达到极值，临界点的两侧，物体的受力状况、运动状态一般要发生变更。1．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都示意了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。2．临界问题的常见类型及临界条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体间的弹力恰好为零。(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力。(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断裂的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是张力为零。(4)加速度最大与速度最大的临界条件：当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度。当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值。3．解决临界问题的三种方法极限法把物理问题(或过程)推向极端状况(例如使物体的加速度特别大)，分析在极端状况下可能出现的状态，从而找出临界条件，解决问题假设法有些物理问题没有明显的临界线索，一般用假设法，即假设出现某种临界状态(如假设两物体间不滑动)，分析物体的受力状况与题设是否相同，然后再依据实际状况处理数学法将物理量间的关系用代数式表达出来，结合已知量的取值范围和其他物理条件，依据代数表达式解出临界值例2如图所示，在水平向右运动的小车上，有一倾角为α的光滑斜面，质量为m的小球被平行于斜面的细绳系住并静止在斜面上，当小车加速度发生变更时，为使小球相对于小车仍保持静止，求小车加速度的允许范围。[规范解答]解法一(数学法)：如图所示，对小球进行受力分析有：水平方向：FTcosα－FNsinα＝ma①竖直方向：FTsinα＋FNcosα－mg＝0②由②式知，当FT最小为0时，FN有最大值，当FN最小为0时，FT有最大值，分别对应两种临界状态。结合①②可知，当FN＝0时，加速度a1＝eq\f(g,tanα)当FT＝0时，a2＝－gtanα负号表示加速度方向与速度方向相反，小车向右做减速运动。故小车加速度的允许范围为：向右时最大为eq\f(g,tanα)，向左时最大为gtanα。解法二(极限法)：小车加速度的方向可能向右，也可能向左。(1)当小车加速度向右时，若加速度足够大，小球将脱离斜面。设小球恰好不离开斜面时小车向右的加速度为a1，则此时斜面对小球的支持力FN＝0，设细绳对小球的拉力为FT，则水平方向：FTcosα＝ma1竖直方向：FTsinα＝mg解得a1＝eq\f(g,tanα)。(2)当小车加速度向左时，若加速度足够大，小球将相对斜面对上运动。设小球恰好与斜面保持相对静止时小车向左的加速度为a2，则此时FT＝0，水平方向：FNsinα＝ma2竖直方向：FNcosα＝mg解得a2＝gtanα。[答案]小车加速度的允许范围为：向右时最大为eq\f(g,tanα)，向左时最大为gtanα模型点拨挖掘临界条件是解题的关键，本题中小车向右运动时，小球相对小车静止的一种临界状况是小球恰好不离开斜面，斜面弹力刚好为零；另一种临界状况是绳子刚好没有弹力，绳子对小球的拉力为零。两种方法比较可知，极限法较简洁。对于假设法的运用，见专题五滑块—木板问题。eq\a\vs4\al([变式训练2])如图，粗糙水平地面与两滑块间的动摩擦因数相同，均为0.4，两滑块A、B的质量分别为M＝5kg、m＝1kg，起先时两滑块静止，细线伸直但无拉力。现用水平向右的恒力F作用在A滑块上，设滑块与水平地面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：(1)在保证细线中不产生拉力的状况下，F允许的最大值为多少？(2)当拉力F＝30N时，两滑块贴着地面运动的加速度大小为多少？(3)要使B滑块能离开地面，拉力F至少要多大？答案(1)20N(2)1m/s2(3)69N解析(1)细线刚好不产生拉力时，A滑块受到地面的摩擦力刚好达到最大静摩擦力，则：Fmax＝μMg＝0.4×5×10N＝20N，所以在保证细线中不产生拉力的情況下，F的最大值为20N。(2)对两滑块组成的整体，依据牛顿其次定律：F－μ(M＋m)g＝(M＋m)a解得：a＝1m/s2。(3)B滑块刚要离开地面时，细线拉力FT的竖直分力等于B滑块的重力，即FTcos37°＝mg，水平方向：FTsin37°＝ma′联立解得：a′＝eq\f(3,4)g；对两滑块组成的整体，依据牛顿其次定律：Fmin－μ(M＋m)g＝(M＋m)a′解得：Fmin＝69N。1．如图所示，物块A、B质量相等，在水平恒力F的作用下，在水平面上做匀加速直线运动，若水平面光滑，物块A的加速度大小为a1，物块A、B间的相互作用力大小为FN1；若水平面粗糙，且物块A、B与水平面间的动摩擦因数μ相同，物块B的加速度大小为a2，物块A、B间的相互作用力大小为FN2，则以下推断正确的是()A．a1＝a2 B．FN1＝FC．FN1＝FN2 D．FN1＜FN2答案C解析设物块A、B的质量均为m，接触面光滑时，对A、B组成的整体分析，依据牛顿其次定律得a1＝eq\f(F,2m)，对物块B分析，由牛顿其次定律得FN1＝ma1＝eq\f(F,2)；接触面粗糙时，对A、B组成的整体分析，依据牛顿其次定律得a2＝eq\f(F－μ·2mg,2m)＝eq\f(F,2m)－μg，可知a1＞a2，对物块B分析，由牛顿其次定律得FN2－μmg＝ma2，解得FN2＝eq\f(F,2)，FN1＝FN2，C正确，A、B、D错误。2.如图所示，A、B两物体用细绳连接后放在斜面上，斜面倾角为α，假如两物体与斜面间的动摩擦因数都为μ，则在它们下滑过程中，()A．它们的加速度a＝gsinαB．它们的加速度a＞gsinαC．细绳中的张力FT＝0D．细绳中的张力FT＝mAg(sinα－cosα)答案C解析对A、B组成的系统整体运用牛顿其次定律有(mA＋mB)gsinα－μ(mA＋mB)gcosα＝(mA＋mB)a，解得a＝(sinα－μcosα)g＜gsinα，A、B错误；对A进行隔离，运用牛顿其次定律有mAgsinα－μmAgcosα－FT＝mAa，解得FT＝0，C正确，D错误。3．(多选)两个叠在一起的滑块，置于固定的、倾角为θ的斜面上，如图所示，滑块A、B的质量分别为M、m，A与斜面间的动摩擦因数为μ1，B与A之间的动摩擦因数为μ2，已知两滑块都从静止起先以相同的加速度从斜面滑下，滑块B受到的摩擦力()A．等于0 B．方向沿斜面对上C．大小等于μ1mgcosθ D．大小等于μ2mgcosθ答案BC解析把A、B两滑块作为一个整体，设其下滑的加速度为a，由牛顿其次定律得(M＋m)gsinθ－μ1(M＋m)·gcosθ＝(M＋m)a，得a＝g(sinθ－μ1cosθ)。由于a<gsinθ，可见B随A一起下滑过程中，必受到A对它沿斜面对上的摩擦力，设摩擦力为FB，对B受力分析如图所示，由牛顿其次定律得mgsinθ－FB＝ma，解得FB＝mgsinθ－ma＝mgsinθ－mg(sinθ－μ1cosθ)＝μ1mgcosθ，B、C正确，A、D错误。4.如图所示，质量为m2的物块B放置在光滑水平桌面上，其上放置质量为m1的物块A，A通过跨过定滑轮的细线与质量为M的物块C连接，释放C，A和B一起以加速度a从静止起先运动，已知A、B间的动摩擦因数为μ1，则细线中的拉力大小为()A．Mg B．Mg＋MaC．Mg－Ma D．m1a＋μ1m1g答案C解析对物块C，由牛顿其次定律得Mg－FT＝Ma，解得FT＝Mg－Ma，A、B错误，C正确；对物块A，由牛顿其次定律得FT－f＝m1a，解得FT＝m1a＋f，因f为静摩擦力，故不肯定等于μ1m1g，D错误。5.(多选)如图所示，a、b两物体的质量分别为m1、m2，由轻质弹簧相连。当用恒力F竖直向上拉着a，使a、b一起向上做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为x1，物体的加速度大小为a1；当用大小仍为F的恒力沿斜面对上拉着a，使a、b一起沿光滑斜面对上做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为x2，物体的加速度大小为a2。已知斜面的倾角为θ，则有()A．x1＝x2B．x1>x2C．a1＝a2D．a1<a2答案AD解析设弹簧的劲度系数为k，当用恒力F竖直向上拉时，对a、b和弹簧组成的整体分析有F－(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a1，对b分析有kx1－m2g＝m2a1，解得x1＝eq\f(m2F,km1＋m2)，加速度a1＝eq\f(F,m1＋m2)－g；当用恒力F沿光滑斜面对上拉时，对整体分析有F－(m1＋m2)·gsinθ＝(m1＋m2)a2，对b分析有kx2－m2gsinθ＝m2a2，解得x2＝eq\f(m2F,km1＋m2)，加速度a2＝eq\f(F,m1＋m2)－gsinθ，由以上分析可知，x1＝x2，a1<a2，A、D正确，B、C错误。6．(多选)如图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端系一个质量为m的小球A，小球被水平挡板P托住使弹簧长度恰为自然长度(小球与挡板不粘连)，然后使挡板P以恒定的加速度a(a＜g)起先竖直向下做匀加速直线运动，则()A．小球与挡板分别的时间为t＝eq\r(\f(ka,2mg－a))B．小球与挡板分别的时间为t＝eq\r(\f(2mg－a,ka))C．小球从起先运动直到最低点的过程中，小球速度最大时弹簧的伸长量x＝eq\f(mg,k)D．小球从起先运动直到最低点的过程中，小球速度最大时弹簧的伸长量x＝eq\f(mg－a,k)答案BC解析小球与挡板之间弹力为零时分别，此时小球的加速度仍为a，由牛顿其次定律得mg－kx0＝ma，由匀变速直线运动的位移时间关系式得x0＝eq\f(1,2)at2，解得t＝eq\r(\f(2mg－a,ka))，故A错误，B正确；小球速度最大时所受合力为零，即mg－kx＝0，故弹簧的伸长量x＝eq\f(mg,k)，C正确，D错误。7.如图所示，质量相等的长方体钢铁构件A、B叠放在卡车的水平底板上，卡车底板和B之间的动摩擦因数为μ1，A和B之间的动摩擦因数为μ2，μ1＞μ2，卡车刹车的加速度大小最大为a，a＞μ1g，可以认为最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等。卡车沿平直马路行驶途中遇到紧急状况时，要求其刹车后在s0距离内能平安停下，则卡车行驶的速度不能超过()A.eq\r(2as0) B.eq\r(2μ1gs0)C.eq\r(2μ2gs0) D.eq\r(μ1＋μ2gs0)答案C解析设A、B的质量均为m，A和B恰好相对静止时A、B的加速度为a1，则对A有：f1＝μ2mg＝ma1，得a1＝μ2g，对A、B整体分析，卡车底板对B的摩擦力f2＝2ma1＝2μ2mg<2μ1mg<2ma，故B相对于卡车静止，可知卡车平安停下的最大刹车加速度大小为a1＝μ2g。由题意知，x＝eq\f(v2,2a1)≤s0，得v≤eq\r(2a1s0)＝eq\r(2μ2gs0)，C正确。8．(多选)如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上，A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为eq\f(1,2)μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现对B施加一水平拉力F，则()A．当F＜2μmg时，A、B相对地面静止B．当F＝eq\f(5,2)μmg时，A的加速度为eq\f(1,3)μgC．当F＞3μmg时，A相对B滑动D．无论F为何值，A的加速度都不会超过μg答案BD解析A、B之间的最大静摩擦力为fmax＝μmAg＝2μmg，A、B恰好发生滑动时A的加速度为a0＝eq\f(fmax,2m)＝μg，B与地面间的最大静摩擦力为fmax′＝eq\f(1,2)μ(mA＋mB)g＝eq\f(3,2)μmg，故A、B恰好发生相对滑动时有F0－fmax′＝(m＋2m)a0，解得F0＝eq\f(3,2)μmg＋3ma0＝eq\f(9,2)μmg。当F＜2μmg时，A、B之间不会发生相对滑动，B与地面间可能会发生相对滑动，A错误；当F＝eq\f(5,2)μmg＜eq\f(9,2)μmg时，A、B间不会发生相对滑动，由牛顿其次定律有a＝eq\f(F－fmax′,mA＋mB)＝eq\f(\f(5,2)μmg－\f(3,2)μmg,3m)＝eq\f(1,3)μg，B正确；当eq\f(9,2)μmg＞F＞3μmg时，A、B间不会发生相对滑动，C错误；B对A的最大摩擦力为2μmg，无论F为何值，A的加速度不会超过μg，D正确。9．如图所示，电梯(包括里面全部物体)的总质量为500kg，当其受到竖直向上的7000N拉力而运动时，电梯内一个质量为30kg的光滑球对倾角为30°的斜面的压力为________N，对竖直电梯壁的压力为________N。(g取10m/s2)答案280eq\r(3)140eq\r(3)解析电梯整体受到重力和拉力的作用，由牛顿其次定律得F－Mg＝Ma，所以电梯的加速度a＝eq\f(F－Mg,M)＝eq\f(7000－500×10,500)m/s2＝4m/s2。对光滑球进行受力分析，如图所示，由图可知，FN2沿竖直方向的分力与重力的合力供应加速度，则FN2·cos30°－mg＝ma，代入数据得FN2＝280eq\r(3)N，水平方向光滑球受到的合外力为0，所以有FN1＝FN2sin30°＝140eq\r(3)N。由牛顿第三定律得球对斜面和电梯壁的压力大小分别为280eq\r(3)N和140eq\r(3)N。10.如图所示，体积相同的两个小球A和B用1m长的细线相连，A的质量为m＝1kg，B的质量为A的质量的2倍。将它们都浸入水中后恰能处于静止状态(设水足够深，g取10m/s2)。求：(1)此时细线的张力FT的大小；(2)若细线被剪断，经时间2s后两球相距多远？(不计水的阻力)答案(1)5N(2)16m解析(1)因为A、B体积相同，且水足够深，故A、B所受浮力相同，设浮力大小均为F浮。对A、B及细线组成的整体进行受力分析，依据平衡条件有2F浮＝3mg，解得F浮＝15N，对A受力分析有F浮＝FT＋mg，解得FT＝5N。(2)若细线被剪断，因为水足够深，故在A、B运动过程中F浮可视为恒力。A向上做匀加速运动，依据牛顿其次定律有F浮－mg＝maA，解得A的加速度大小aA＝5m/s2，B向下做匀加速运动，依据牛顿其次定律有2mg－F浮＝2maB，解得B的加速度大小aB＝2.5m/s2，在t＝2s时间内，A向上的位移为xA＝eq\f(1,2)aAt2＝10m，B向下的位移为xB＝eq\f(1,2)aBt2＝5m，则2s后两球相距x＝xA＋xB＋l＝16m。11．如图所示，一块质量m＝2kg的木块放置在质量M＝6kg、倾角θ＝37°的粗糙斜面体上，木块与斜面体间的动摩擦因数μ＝0.8，二者静止在光滑水平面上。现对斜面体施加一个水平向左的作用力F，若要保证木块和斜面体不发生相对滑动，求F的大小范围。(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2)答案0≤F≤310N解析由于μ＞tanθ，故当F＝0时，木块静止在斜面上，即F的最小值为0。依据题意可知，当木块相对斜面恰不向上滑动时，F有最大值Fm。设此时两物体运动的加速度为a，两物体之间的摩擦力大小为f，斜面体对木块的支持力为FN。对整体和木块分别进行受力分析，如图甲、乙：对整体受力分析：Fm＝(m＋M)a，对木块受力分析：f＝μFN，水平方向：fcosθ＋FNsinθ＝ma，竖直方向：FNcosθ＝mg＋fsinθ，联立以上各式，代入数据解得Fm＝310N，故F的大小范围为0≤F≤310N。12．如图所示，质量为4kg的小球用细绳拴着吊在行驶的汽车后壁上，绳与竖直方向的夹角为37°。已知g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：(1)当汽车以a1＝2m/s2的加速度向右匀减速行驶时，细绳对小球的拉力大小和小球对车后壁的压力大小；(2)当汽车以a2＝10m/s2的加速度向右匀减速行驶时，细绳对小球的拉力大小和小球对车后壁的压力大小。答案(1)50N22N(2)40eq\r(2)N0解析(1)当汽车向右匀减速行驶时，设小球所受车后壁弹力为0时(临界状态)的加速度为a0，受力分析如图甲所示。由