全国版2024年高考数学一轮复习第11章11.2古典概型与几何概型讲义文

§11.2古典概型与几何概型考试要求1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事务所含的基本领件的个数及事务发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.4.了解几何概型的意义．学问梳理1．古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：试验中全部可能出现的基本领件只有有限个；②等可能性：每个基本领件出现的可能性相等．(2)古典概型的概率计算的基本步骤：①推断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事务为A；②分别计算基本领件的总数n和所求的事务A所包含的基本领件的个数m；③利用古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事务A的概率．(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同名称不同点相同点频率计算公式频率计算中的m，n均随随机试验的改变而改变，但随着试验次数的增多，它们的比值渐渐趋近于概率值都计算了一个比值eq\f(m,n)古典概型的概率计算公式eq\f(m,n)是一个定值，对同一个随机事务而言，m，n都不会改变2．几何概型(1)概念：假如每个事务发生的概率只与构成该事务区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)几何概型的基本特点：①试验中全部可能出现的结果(基本领件)有无限多个；②每个基本领件出现的可能性相等．(3)计算公式：P(A)＝eq\f(构成事务A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).3．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必定事务的概率：P(A)＝1.(3)不行能事务的概率：P(A)＝0.(4)概率的加法公式：若事务A与事务B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事务的概率：若事务A与事务B互为对立事务，则A∪B为必定事务．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．常用结论若事务A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．思索辨析推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(√)(2)在一个正方形区域内任取一点的概率为0.(√)(3)“在相宜条件下，种下一粒种子视察它是否发芽”属于古典概型，其基本领件是“发芽与不发芽”．(×)(4)两个互斥事务的概率和为1.(×)教材改编题1．袋中装有大小、形态完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)答案B2．在数轴的[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．1答案B解析坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为eq\f(1,3).3．抛掷一枚骰子，记A为事务“出现点数是奇数”，B为事务“出现点数是3的倍数”，则P(A∪B)＝______，P(A∩B)＝______.答案eq\f(2,3)eq\f(1,6)解析抛掷一枚骰子，全部基本领件是1,2,3,4，5,6，事务A∪B包括出现的点数是1,3,5,6这4个基本领件，故P(A∪B)＝eq\f(2,3)；事务A∩B包括出现的点数是3这1个基本领件，故P(A∩B)＝eq\f(1,6).题型一古典概型例1(1)(2024·昆明模拟)2024年，云南省人民政府发布《关于命名“云南省漂亮县城”“云南省特色小镇”的通知》，命名16个“云南省漂亮县城”和6个“云南省特色小镇”，其中这6个云南省特色小镇分别是安静温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇．某人安排在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中随意选两个去旅游，则其中一个是安静温泉小镇的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)答案A解析6个云南省特色小镇分别为a，b，c，d，e，f，其中a为安静温泉小镇，则从6个云南特色小镇中随意选两个的基本领件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)共15个，其中一个是安静温泉小镇有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)共5个，所以要求的概率为P＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).(2)(2024·全国甲卷)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8答案C解析把3个1和2个0排成一行，共有10种排法，分别是00111,10011,11001,11100,01011,01101,01110,10101,10110,11010，其中2个0不相邻的排法有6种，分别是01011,01101,01110,10101,10110,11010，所以所求概率P＝eq\f(6,10)＝0.6.老师备选1．甲、乙、丙三位客人在参与中国科技城国际科技博览会期间，安排到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点参观的概率为()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,2)答案B解析因为三人去2个景点参观，每人只选择其中一个景点，所以每个人都有2种选法，共有23＝8(种)可能结果，其中三人恰好到同一景点有2种可能结果，所以三人恰好到同一景点参观的概率P＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).2．某学校主动开展“服务社会，提升自我”的志愿者服务活动，九年级的五名同学(三男两女)成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是________．答案eq\f(3,5)解析三名男生分别记为1,2,3，两名女生分别记为4,5，则从该小分队中任选两名同学的全部基本领件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个．设“恰是一男一女”为事务A，则A包含的基本领件为(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，共6个．故所求的概率为P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).思维升华利用公式法求解古典概型问题的步骤跟踪训练1(1)(2024·深圳模拟)五一国际劳动节放假期间，甲、乙两名同学安排在5月1日到5月3日期间去敬老院做志愿者，若甲同学在三天中随机选一天，乙同学在前两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案B解析甲同学在三天中随机选一天共有3种方法，乙同学在前两天中随机选一天共有2种方法，所以一共有6种方法，他们在同一天去共有2种状况，所以他们在同一天去的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)(2024·郑州模拟)皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发觉了：若p是质数，且a，p互质，那么a的(p－1)次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理，若在数集{2,3,5,6,8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为()A.eq\f(3,5)B.eq\f(9,20)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,2)答案B解析在数集{2,3,5,6,8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，基本领件总数为20，所取两个数(p，a)符合费马小定理包含的基本领件有(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,5)，(3,8)，(5,2)，(5,3)，(5,6)，(5,8)，共9个，∴所取两个数符合费马小定理的概率为P＝eq\f(9,20).题型二几何概型例2(1)在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋3)与圆x2＋y2＝1相交的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)答案C解析因为圆心(0,0)，半径r＝1，直线与圆相交，所以圆心到直线的距离d＝eq\f(|3k|,\r(1＋k2))<1，解得－eq\f(\r(2),4)<k<eq\f(\r(2),4)，所以相交的概率P＝eq\f(\f(\r(2),2),2)＝eq\f(\r(2),4).(2)刘徽是一个宏大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国珍贵的文化遗产，他提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到随意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是()A.eq\f(3\r(3),4π)B.eq\f(3\r(3),2π)C.eq\f(1,2π)D.eq\f(1,4π)答案B解析如图所示，设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，圆内接正六边形的边长为R，面积为6×eq\f(1,2)×R2×sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3)R2,2)，则所求的概率P＝eq\f(\f(3\r(3)R2,2),πR2)＝eq\f(3\r(3),2π).老师备选1．已知函数f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx，当x∈[0，π]时，f(x)≥1的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,2)答案D解析由f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≥1，x∈[0，π]，得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴所求概率P＝eq\f(\f(π,2),π)＝eq\f(1,2).2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________．答案eq\f(1,6)解析设事务M为“动点在三棱锥A－A1BD内”，则P(M)＝＝＝eq\f(\f(1,3)AA1·\f(1,2)S矩形ABCD,AA1·S矩形ABCD)＝eq\f(1,6).思维升华(1)求解几何概型概率的步骤(2)与体积有关的几何概型的解题策略对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事务的体积(事务空间)，对于某些较困难的问题也可利用其对立事务求解．跟踪训练2(1)(2024·全国乙卷)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取一个数，则两数之和大于eq\f(7,4)的概率为()A.eq\f(7,9)B.eq\f(23,32)C.eq\f(9,32)D.eq\f(2,9)答案B解析在区间(0,1)中随机取一个数，记为x，在区间(1,2)中随机取一个数，记为y，两数之和大于eq\f(7,4)，即x＋y>eq\f(7,4)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,1<y<2，,x＋y>\f(7,4).))在如图所示的平面直角坐标系中，点(x，y)构成的区域是边长为1的正方形区域(不含边界)，事务A“两数之和大于eq\f(7,4)”即x＋y>eq\f(7,4)中，点(x，y)构成的区域为图中阴影部分(不含边界)，由几何概型计算公式得P(A)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2×\f(1,2),1×1)＝eq\f(23,32).(2)阳马是中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，且两个三角形侧面与底面垂直的四棱锥．在阳马P－ABCD中，PC为阳马P－ABCD中最长的棱，AB＝1，AD＝2，PC＝3.若在阳马P－ABCD的外接球内部随机取一点，则该点位于阳马内的概率为()A.eq\f(1,27π)B.eq\f(4,27π)C.eq\f(8,27π)D.eq\f(4,9π)答案C解析依据题意，得PA⊥平面ABCD，PC的长等于阳马P－ABCD外接球的直径．∵PC＝eq\r(PA2＋AB2＋AD2)，∴PA＝2.∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)×1×2×2＝eq\f(4,3).又V球＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9π,2)，∴该点位于阳马内的概率P＝eq\f(\f(4,3),\f(9π,2))＝eq\f(8,27π).题型三概率的基本性质例3某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示．人数01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出医生至多2个的概率；(2)求派出医生至少2个的概率．解设“不派出医生”为事务A，“派出1名医生”为事务B，“派出2名医生”为事务C，“派出3名医生”为事务D，“派出4名医生”为事务E，“派出5名及5名以上医生”为事务F，事务A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.(1)“派出医生至多2个”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)方法一“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.方法二“派出医生至少2个”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.老师备选1．抛掷一枚质地匀称的骰子，事务A表示“向上的点数是奇数”，事务B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,6)D．1答案B解析方法一A包含向上点数是1,3,5的状况，B包含向上的点数是1,2,3的状况，所以A∪B包含了向上点数是1,2,3,5的状况，故P(A∪B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).方法二P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(2,6)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).2．已知甲袋中有1个红球和1个黄球，乙袋中有2个红球和1个黄球，现从两袋中各随机选取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)答案D解析从两袋中各随机选取一个球，基本领件总数为6，取出的两球中至少有1个红球的对立事务是取出的两球都是黄球，所以利用对立事务概率计算公式得，取出两球中至少有1个红球的概率P＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).思维升华求困难互斥事务的概率的两种方法(1)干脆法(2)间接法(正难则反，特殊是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简洁)．跟踪训练3(1)设条件甲：“事务A与B是对立事务”，结论乙：“概率满意P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若事务A与事务B是对立事务，则A∪B为必定事务，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.投掷一枚硬币3次，事务A：“至少出现一次正面”，事务B：“3次出现正面”，则P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，满意P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事务．故甲是乙的充分不必要条件．(2)向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一军火库的概率为0.025，炸中其次、三军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，则军火库爆炸的概率为________．答案0.225解析设A，B，C分别表示炸弹炸中第一、其次、第三军火库这三个事务，D表示军火库爆炸，则P(A)＝0.025，P(B)＝0.1，P(C)＝0.1，其中A，B，C互斥，故P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.题型四概率与统计的综合问题例4饮用水水源的平安是保障饮用水平安的基础．同时国家提倡节约用水，全民主动维护饮用水水源平安，保障平安饮水.2024年5月13日下午，正在河南省南阳市考察调研的习近平总书记来到淅川县，先后考察了陶岔渠首枢纽工程、丹江口水库，听取南水北调中线工程建设管理运行和水源地生态爱护等状况介绍．为了提高节约用水意识，为此，某校开展了“节约用水，从我做起”活动，从参赛的学生中随机选取100人的成果作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次参赛学生成果的平均分eq\x\to(x)(同一组数据用该组区间的中点值代表)；(2)在该样本中，若采纳分层抽样方法，从成果低于65分的学生中随机抽取6人调查他们的答题状况，再从这6人中随机抽取3人进行深化调研，求这3人中至少有1人的成果低于55分的概率．解(1)依据频率分布直方图得到(0.005＋0.025×2＋0.01＋a)×10＝1，解得a＝0.035.这组样本数据的平均数为50×0.05＋60×0.25＋70×0.35＋80×0.25＋90×0.1＝71，所以eq\x\to(x)＝71.(2)依据频率分布直方图得到，成果在[45,55)，[55,65)内的频率分别为0.05,0.25，所以采纳分层抽样的方法从样本中抽取的6人，成果在[45,55)内的有1人，记为X，成果在[55,65)内的有5人，分别记为a，b，c，d，e，从这6人中随机抽取3人，全部可能的结果为Xab，Xac，Xad，Xae，Xbc，Xbd，Xbe，Xcd，Xce，Xde，abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，共20种．这3人中至少有1人的成果在[45,55)内的有Xab，Xac，Xad，Xae，Xbc，Xbd，Xbe，Xcd，Xce，Xde，共10种．所以这3人中至少有1人的成果低于55分的概率为eq\f(10,20)＝eq\f(1,2).老师备选(2024·天津)2024年，我国施行个人所得税专项附加扣除方法，涉及子女教化、接着教化、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采纳分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受状况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受状况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．员工项目ABCDEF子女教化○○×○×○接着教化××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○①试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；②设M为事务“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事务M发生的概率．解(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采纳分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的全部可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．②由表格知，符合题意的有(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共11个．所以事务M发生的概率P(M)＝eq\f(11,15).思维升华求解古典概型的交汇问题的步骤(1)将题目条件中的相关学问转化为事务；(2)推断事务是否为古典概型；(3)选用合适的方法确定基本领件个数；(4)代入古典概型的概率公式求解．跟踪训练4为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模的调查，结果显示，相当多的受访者担忧运用新药后会有副作用．为了了解运用该种新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表：无疲乏症状有疲乏症状总计未运用新药15025t运用新药xy100总计225m275(1)求2×2列联表中的数据x，y，m，t的值，能否有95%的把握认为有疲乏症状与运用该新药有关；(2)从运用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采纳分层抽样的方法抽出4人，再从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)由数表知，x＝225－150＝75，y＝100－75＝25，m＝275－225＝50，t＝150＋25＝175，所以x＝75，y＝25，m＝50，t＝175，依据列联表中的数据，经计算得到K2＝eq\f(275×150×25－75×252,225×50×175×100)＝eq\f(275,56)≈4.911>3.841，所以有95%的把握认为有疲乏症状与运用该新药有关．(2)从运用新药的100人中用分层抽样抽取4人的抽样比为eq\f(4,100)＝eq\f(1,25)，则抽取有疲乏症状的人数为eq\f(1,25)×25＝1，无疲乏症状的有3人，抽取的有疲乏症状的1人记为1，无疲乏症状的3人记为a，b，c，从4人中随机抽取2人的全部可能结果为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共6个，它们等可能，记2人中恰有1人有疲乏症状的事务为M，它所含基本领件是(1，a)，(1，b)，(1，c)，共3个，于是得P(M)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，所以这2人中恰有1人有疲乏症状的概率是eq\f(1,2).课时精练1．(2024·全国乙卷)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))随机取一个数，则取到的数小于eq\f(1,3)的概率为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,6)答案B解析因为区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的长度为eq\f(1,2)，区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))的长度为eq\f(1,3)，所以在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))随机取一个数，则取到的数小于eq\f(1,3)的概率P＝eq\f(1,3)÷eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).2．(2024·太原模拟)从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数，分别记为m，n，则eq\f(m,n)为整数的概率为()A.eq\f(2,5)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5)D.eq\f(4,25)答案B解析由题意得，从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数，则共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，20种等可能状况，其中eq\f(m,n)为整数的有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(4,2)，5种状况，所以所求概率为eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).3．新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都打算选历史，假如他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为()A.eq\f(1,36)B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,6)答案D解析由题意，从政治、地理、化学、生物中四选二，共有6种方法，所以他们选课相同的概率为eq\f(1,6).4．(2024·黄山质检)从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(2，－1)垂直的概率为()A.eq\f(1,9)B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案B解析从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，可以组成向量m＝(a，b)的个数是9个，其中与向量n＝(2，－1)垂直的向量是m＝(1,2)和m＝(2,4)，共2个，故所求的概率为P＝eq\f(2,9).5．(2024·莆田质检)甲、乙两位同学到莆田市湄洲岛当志愿者，他们同时从“妈祖祖庙”站上车，乘坐开往“黄金沙滩”站方向的3路公交车(线路图如下)．甲将在“供水公司”站之前的随意一站下车，乙将在“鹅尾神化石”站之前的随意一站下车．假设每人自“管委会”站起先在每一站点下车是等可能的，则甲比乙后下车的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,4)C.eq\f(7,30)D.eq\f(3,20)答案C解析甲从“管委会”站到“北埭”站的每一站下车都可以，有8种状况，乙从“管委会”站到“东至”站的每一站下车都可以，有15种状况，若乙在“管委会”站下车，则甲有7种状况，若乙在“地税分局”站下车，则甲有6种状况，若乙在“兴海路”站下车，则甲有5种状况，若乙在“闽台风情街”站下车，则甲有4种状况，若乙在“莲池小学”站下车，则甲有3种状况，若乙在“金沙滩”站下车，则甲有2种状况，若乙在“莲池沙滩”站下车，则甲有1种状况，因此，甲比乙后下车的概率为P＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7,8×15)＝eq\f(4×7,8×15)＝eq\f(7,30).6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A.eq\f(3π,10) B.eq\f(3π,20)C．1－eq\f(3π,10) D．1－eq\f(3π,20)答案D解析直角三角形的斜边长为eq\r(82＋152)＝17，设内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3.∴内切圆的面积为πr2＝9π，∴豆子落在内切圆外的概率P＝1－eq\f(9π,\f(1,2)×8×15)＝1－eq\f(3π,20).7．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产状况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是甲级品的概率为________．答案0.92解析记抽捡的产品是甲级品为事务A，是乙级品为事务B，是丙级品为事务C，这三个事务彼此互斥，且事务A和事务B∪C是对立事务，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.92.8．已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是______．答案eq\f(2,5)解析若函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，则a2－2<0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1满意题意，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是eq\f(2,5).9．某商场实行有奖促销活动，顾客购买肯定金额的商品即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出全部可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．解(1)全部可能的摸出结果是(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)．(2)不正确．理由如下：由(1)知，全部可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为(A1，a1)，(A1，a2)，(A2，a1)，(A2，a2)，共4种，所以中奖的概率为eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，不中奖的概率为1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)>eq\f(1,3)，故这种说法不正确．10．2024年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚决志向信念，传承红色基因，市教化局以“学党史、悟思想、办实事、开新局”为主题进行“党史”教化，并举办由全体党员参与的“学党史”学问竞赛．竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分．现随机抽取1000名党员的成果进行统计，并将成果分成以下七组：[72,76)，[76,80)，[80,84)，[84,88)，[88,92)，[92,96)，[96,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)依据频率分布直方图，求这1000名党员成果的众数、中位数；(2)用分层抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成果低于76分的概率．解(1)由频率分布直方图可得，1000名党员成果的众数为eq\f(84＋88,2)＝86(分)，成果在[72,84)的频率为(0.02＋0.03＋0.0375)×4＝0.35，成果在[72,88)的频率为(0.02＋0.03＋0.0375＋0.075)×4＝0.65，故中位数位于[84,88)之间，中位数是84＋4×eq\f(0.5－0.35,0.65－0.35)＝86(分)．(2)∵[72,76)与[76,80)的党员人数的比值为2∶3，采纳分层抽样方法抽取5人，则在[72,76)中抽取2人，[76,80)中抽3人，设[72,76)抽取人的编号为A1，A2，[76,80)抽取人的编号为B1，B2，B3，则从5人中任选2人进行问卷调查对应的基本领件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10种，这2人中至少有1人成果低于76分的有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A1，A2)，共7种等可能状况，故这2人中至少有1人成果低于76分的概率P＝eq\f(7,10).11．闻名的“3N＋1猜想”是指对于每一个正整数n，若n是偶数，则让它变成eq\f(n,2)；若n是奇数，则让它变成3n＋1.如此循环，最终都会变成1.若数字5,6,7,8,9依据以上猜想进行变换，则变换次数为奇数的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案C解析依题意知，5→16→8→4→2→1，共进行5次变换；6→3→10→5→…，共进行8次变换；7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→…，共进行16次变换；由以上可知，8变换共须要3次；9→28→14→7→…，共进行19次变换．故变换次数为奇数的概率为eq\f(3,5).12.七巧板是我们祖先的一项创建，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A.eq\f(3,16)B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,8)答案A解析设AB＝2，则BC＝CD＝DE＝EF＝1，∴S△BCI＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,4)，S▱EFGH＝2S△BCI＝2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，∴P＝eq\f(\f(1,4)＋\f(1,2),2×2)＝eq\f(3,16).13．将一个骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，其次次出现的点数记为b，设随意投掷两次使两条不重合直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝eq\f(137,144)的内部，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,18)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,18)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,18)，\f(5,18))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,18)，\f(7,18)))答案D解析对于a与b各有6种情形，故总数为36种．两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，所以P1＝eq\f(2,36)＝eq\f(1,18)；两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行与重合(a＝1，b＝2)即可，所以P2＝eq\f(33,36)＝eq\f(11,12)，因为点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝eq\f(137,144)的内部，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,18)－m))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,12)))2<eq\f(137,144)，解得－eq\f(5,18)<m<eq\f(7,18).14.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正十边形A1A2A3…A10的中心，A1在x轴正半轴上，任取不同的两点Ai，Aj(其中1≤i≤10,1≤j≤10，且i∈N，j∈N)，点P满意2eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OAi,\s\up6(→))＋eq\o(OAj,\s\up6(→))＝0，则点P落在其次象限的概率是