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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年广东省清远市高二下学期期末教学质量检测数学试题一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.通过计算样本相关系数r可以反映两个随机变量之间的线性相关程度,以下四个选项中分别计算出四个样本的相关系数r,则反映样本数据成正相关,并且线性相关程度最强的是(
)A.r=0.93 B.r=0.82 C.r=0.04 D.r=−0.052.以下求导计算正确的是(
)A.(sinπ6)′=cosπ6 B.3.某市高二数学统考,满分为150分.假设学生考试成绩X~N(100,102),如果从高到低按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩分为A,B,C,D四个等级,则A等级分数线大概为()(参考数据:若X~N(μ,δ2),则P(μ-δ≤X≤μ+δ)≈0.6827,P(μ-2δ≤X≤μ+2δ)≈0.9545,P(μ-3δ≤X≤μ+3δ)≈0.9973)A.134 B.120 C.116 D.1104.曲线f(x)=−2x3+1在点(1,−1)处的切线方程为A.6x+y+5=0 B.6x+y−5=0 C.5x−y−6=0 D.5x+y−4=05.生活经验告诉我们,儿子身高与父亲身高是线性相关的.有人调查了5位学生的身高和其父亲的身高,得到的数据如表:父亲身高x/cm166169170172173儿子身高y/cm168170171175176并利用相关知识得到儿子身高y关于父亲身高x的经验回归方程为y=1.2x+a.根据该经验回归方程,已知某父亲身高为175cmA.176cm B.177cm C.178cm D.179cm6.在数学试卷的单项选择题中,共有8道题,每道题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,选对得5分,选错得0分,如果从四个选项中随机选一个,选对的概率是0.25.某同学8道单选题都不会做,只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案,设他的总得分为X,则X的方差D(X)=(
)A.1.5 B.7.5 C.20.5 D.37.57.甲、乙两选手进行象棋比赛,每局比赛相互独立,如果每局比赛甲获胜的概率均为23,比赛没有和局的情况,比赛采用5局3胜制,则甲通过4局比赛获得胜利的概率是(
)A.3281 B.827 C.16818.现要对三棱柱ABC−A1B1C1的6A.264种 B.216种 C.192种 D.144种二、多选题:本题共3小题,共15分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示:X012Pq0.5−q0.74则下列选项中正确的是(
)A.q=0.6 B.q=0.4 C.E(X)=1.58 D.D(X)=0.563610.已知函数f(x)=x3−3x+4,x∈[0,2],则下列选项中正确的是A.f(x)的值域为[2,6]
B.f(x)在x=1处取得极小值为2
C.f(x)在[0,2]上是增函数
D.若方程f(x)=a有2个不同的根,则a∈[2,4]11.现有数字0,1,1,1,2,3,4,5,下列说法正确的是(
)A.可以组成600个没有重复数字的六位数
B.可以组成288个没有重复数字的六位偶数
C.可以组成3240个六位数
D.可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.函数f(x)=ex−ex+2024的单调递减区间为
13.在x(x+y)5的展开式中,含x3y314.若函数f(x)=ax2+lnxx有两个极值点,则实数四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)某医院用甲、乙两种疗法治疗某种疾病.采用简单随机抽样的方法从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名,其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名;接受乙种疗法的患者中治愈的有85名.(1)根据所给数据,完成以下两种疗法治疗数据的列联表(单位:人)疗法疗效合计未治愈治愈甲乙合计并依据小概率值α=0.005的独立性检验,分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好;
(2)根据疗效按照分层抽样的方法,从这200名患者中抽取8名患者,再从这8名患者中随机抽取2名患者做进一步调查,记抽取到未治愈患者人数为X,求X的分布列及数学期望.参考公式:χ2=n(ad−bcα0.150.100.050.0050.001x2.0722.7063.8417.87910.82816.(本小题12分)
如图,在正四棱锥P−ABCD中.
(1)求证:BD⊥PC;(2)若PA=AB=22,求平面CPD与平面PBD17.(本小题12分)在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗,现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”,其中甲同学有4个蛋黄馅的“粽子”和3个绿豆馅的“粽子”,乙同学有3个蛋黄馅的“粽子”和2个绿豆馅的“粽子”.(1)若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取3次,每次任取1个“粽子”,记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为X,求X的分布列及数学期望;(2)若先从甲同学的“粽子”中任取2个送给乙同学,然后再从乙同学的“粽子”中任取1个,求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率.18.(本小题12分)设函数f(x)=1(1)当a=0时,求f(x)在[−1,1]上的最大值;(2)讨论f(x)的单调性;(3)若a>0,证明f(x)只有一个零点.19.(本小题12分)若各项为正的无穷数列{an}满足:对于∀n∈N∗,lnan+1−lnan=d,其中d为非零常数,则称数列{a(1)若an=10n,判断数列{(2)若a1=e,证明指形数列{(3)若指形数列{an}是递减数列,令a1=ed,bn=答案简析1.A
【简析】解:当r>0时,样本数据正相关,
当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强.
故选A.2.C
【简析】解:A. (sinπ6)′=0,故A错误;
B.(x)′=x12′=12x−12=3.D
【简析】解:因为P(X≥110)=1−P(100−10≤X≤100+10)2≈1−0.68272≈0.16,
所以A等级分数线约为4.B
【简析】解:∵f(x)=−2x3+1,
∴f′(x)=−6x2,
∴曲线在点(1,−1)处的切线的斜率为:
k=f′1=−6,
5.C
【简析】解:由表可知x=166+169+170+172+1735=170,
y=168+170+171+175+1765=172,
将样本中心(170,172)代入回归方程172=1.2×170+a,解得a=−32,6.D
【简析】解:设该同学答对题目数量为Y,
则Y~B(8,0.25),
故D(Y)=8×0.25×0.75=1.5,
因为X=5Y,
所以D(X)=D(5Y)=52×1.5=37.5,
故选7.B
【简析】解:依题意知甲通过4局比赛获得胜利,
则甲在前3局比赛中应该胜2局输1局,并且在第4局比赛中取得胜利,
故其胜利的概率为P=C32×(28.A
【简析】解:分两类情况完成:
(1)使用3种颜色,第1步选色有C43=4种,
第2步涂ABC三个顶点有A33=6种,
第3步涂A1B1C1三个顶点有2种,
所以共有C43×A33×2=48种;
(2)使用4种颜色,第一步涂ABC三个顶点有A43=24种,
第2步涂第49.BCD
【简析】解:依题意知q2+ 0.5−q+ 0.74= 1,解得q= 0.4或0.6,
又因为0≤0.5−q≤1,所以q= 0.6舍去,故q=0.4,所以B正确,A错误;
因为E(X)=0×0.16+1×0.1+2×0.74=1.58,所以C正确;
因为D(X)=02×0.16+1210.AB
【简析】解:因为f′(x)=3x2−3,
所以令f′(x)>0得1<x≤2,
令f′(x)<0得0≤x<1,
所以f(x)在区间[0,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增.C错误;
又因为f(0)=4,f(1)=2,f(2)=6,所以f(x)的值域为[2,6],A正确;
由上面计算可知,f(x)在x=1处取得极小值为2,B正确;
在同一坐标系中画出函数f(x)=x3−3x+4,x∈[0,2]及y=a的图象,
可知a∈(2,4],D11.ACD
【简析】解:对于A,没有重复数字的六位数应由0,1,2,3,4,5组成,共有C51A55=600个,A正确;
对于B,没有重复数字的六位偶数有两类情况,
末位为0的有A55=120个,
末位不为0的有C21C41A44=192个,
共有120+192=312个,B错误;
对于C,没有重复数字的六位数有600个,
有两个1的六位数有A64+C43C51A53=1560个,
有三个1的六位数有C43A63+C42C51A5212.(−∞,1)
【简析】解:函数f(x)=ex−ex+2024,则f′(x)=ex−e,
令f′(x)=ex−e<0,解得x<1,
13.10
【简析】解:二项式(x+y)5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r⋅x5−r⋅yr,
令r=314.0,1【简析】解:fx
的定义域为
0,+∞
f′x=2ax+令
f′x=0
,得
a=令
gx=lnx−12x令
g′x0=0
,则
3lnx0=4
,即
当
0<x<x0
时,
g′x>0,gx
单调递增;当
x>x∴g(x)max又当
x
趋近于0时,
gx
趋近于
−∞
;当
x
趋近于
+∞
时,
gx
趋近于作出
gx
由图可知,当
0<a<16e4
时,方程
a=lnx−115.解:(1)根据所给数据,可得列联表(单位:人):疗法疗效合计未治愈治愈甲3565100乙1585100合计50150200零假设H0:疗法与疗效独立,即两种疗法效果没有差异.
根据列联表中的数据,可得χ2=200×(35×85−15×65)250×150×100×100≈10.667>7.879,
根据小概率值α=0.005的独立性检验,
我们推断出H0不成立,即认为疗法有差异,可知乙种疗法的效果比甲种疗法好.
(2)按照分层抽样,未治愈患者应抽取8×50200=2人,治愈患者应抽取8×150200=6人,
X的可能取值为0,X012P1531
X的数学期望为E(X)=0×1528【简析】
(1)先完成列联表,由公式得出χ2,对照临界值表可得结论;
(2)易得X的可能取值为0,1,2,得出对应概率,可得X16.(1)证明:如图,连接AC交BD于O,连接PO,
∵在正四棱锥P−ABCD中,PO⊥平面ABCD,
ABCD是正方形,BD⊂平面ABCD,∴PO⊥BD,BD⊥AC.
又∵PO,AC⊂平面PAC,且PO∩AC=O,∴BD⊥平面PAC.
∵PC⊂平面PAC,∴BD⊥PC.
(2)解:∵在正四棱锥P−ABCD中,PO⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,
∴OB,OC,OP两两垂直.以O为原点,OB,OC,OP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图所示,
∵PA=AB=22,∴OB=OC=OP=2,
∴B(2,0,0),C(0,2,0),D(−2,0,0),P(0,0,2),
则PC=(0,2,−2),PD=(−2,0,−2).
设平面CPD的一个法向量为n=(x,y,z),
则2y−2z=0−2x−2z=0,令x=1,得y=−1,z=−1,所以n=(1,−1,−1),
又因为平面PBD的一个法向量为m=(0,1,0),
所以有cos<n,m>=【简析】(1)先得出BD⊥平面PAC,再由线面垂直的性质即可得证;
(2)建立空间直角坐标系,得出平面CPD的一个法向量和平面PBD的一个法向量,利用空间向量求解即可.17.解:(1)X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=C30×(37)0×(47)3=64343,
P(X=1)=C31×(37)1×(47)2=X0123P6414410827
由于X~B(3,37),所以X的数学期望为E(X)=3×37=97.
(2)设事件A为“从乙同学的粽子中任取1个,取出的这个粽子是绿豆馅”,
事件B1为“从甲同学的粽子中取出的2个粽子都是蛋黄馅”,
事件B2为“从甲同学的粽子中取出的2个粽子都是绿豆馅”,
事件B3为“从甲同学的粽子中取出的2个粽子为1个蛋黄馅和1个绿豆饱,
则事件B1,B2,B3彼此互斥,
P(B1)=C42C72=621=27,P(B2)=C32C72=321=17,
P(B3)=C41C31C72=1221=47,P(A|B1)=27,
P(A|B2)=47,P(A|B3)=37,【简析】(1)易得X的可能取值为0,1,2,3,得出对应概率,可得X的分布列及数学期望;
(2)根据全概率公式可得结果.18.解:(1)当a=0时,f(x)=−ex+x,则f′(x)=−ex+1,
x∈[−1,0)时,f′(x)>0;x∈(0,1]时,f′(x)<0.
∴x∈[−1,0)时,f(x)为增函数;x∈(0,1]时,f(x)为减函数.
∵f(0)=−1,∴当a=0时,f(x)在[−1,1]上的最大值为−1.
(2)∵f(x)=12ae2x−(a+1)ex+x,
∴f′(x)=ae2x−(a+1)ex+1=(aex−1)(ex−1).
①当a≤0时,x∈(−∞,0)时有f′(x)>0,x∈(0,+∞)时有f′(x)<0,
故a≤0时,f(x)在(−∞,0)上为增函数,f(x)在(0,+∞)上为减函数;
②当a=1时,f′(x)=(ex−1)2≥0,则f(x)在R上为增函数;
③当0<a<1时,在区间(−∞,0)及(−lna,+∞)上有f′(x)>0,在区间(0,−lna)上有f′(x)<0,
故当0<a<1时,f(x)在(−∞,0)及(−lna,+∞)上为增函数,在(0,−lna)上为减函数;
④当a>1时,在区间(−∞,−lna)及(0,+∞)上有f′(x)>0,在区间(−lna,0)上有f′(x)<0,
故当a>1时,f(x)在(−∞,−lna)及(0,+∞)上为增函数,在(−lna,0)上为减函数.
(3)由(2)可知:
①当a=1时,f(x)在R上为增函数,且f(0)=−32,f(2)=12e4−2e2+2>0,
故当a=1时,f
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