2023-2024学年广东省清远市高二下学期期末教学质量检测数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省清远市高二下学期期末教学质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.通过计算样本相关系数r可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下四个选项中分别计算出四个样本的相关系数r，则反映样本数据成正相关，并且线性相关程度最强的是(

)A.r=0.93 B.r=0.82 C.r=0.04 D.r=−0.052.以下求导计算正确的是(

)A.(sinπ6)′=cosπ6 B.3.某市高二数学统考,满分为150分.假设学生考试成绩X~N(100,102),如果从高到低按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩分为A,B,C,D四个等级,则A等级分数线大概为（）(参考数据:若X~N(μ,δ2),则P(μ-δ≤X≤μ+δ)≈0.6827,P(μ-2δ≤X≤μ+2δ)≈0.9545,P(μ-3δ≤X≤μ+3δ)≈0.9973)A.134 B.120 C.116 D.1104.曲线f(x)=−2x3+1在点(1,−1)处的切线方程为A.6x+y+5=0 B.6x+y−5=0 C.5x−y−6=0 D.5x+y−4=05.生活经验告诉我们，儿子身高与父亲身高是线性相关的.有人调查了5位学生的身高和其父亲的身高，得到的数据如表：父亲身高x/cm166169170172173儿子身高y/cm168170171175176并利用相关知识得到儿子身高y关于父亲身高x的经验回归方程为y=1.2x+a.根据该经验回归方程，已知某父亲身高为175cmA.176cm B.177cm C.178cm D.179cm6.在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25.某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为X，则X的方差D(X)=(

)A.1.5 B.7.5 C.20.5 D.37.57.甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为23，比赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是(

)A.3281 B.827 C.16818.现要对三棱柱ABC−A1B1C1的6A.264种 B.216种 C.192种 D.144种二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示：X012Pq0.5−q0.74则下列选项中正确的是(

)A.q=0.6 B.q=0.4 C.E(X)=1.58 D.D(X)=0.563610.已知函数f(x)=x3−3x+4，x∈[0,2]，则下列选项中正确的是A.f(x)的值域为[2,6]

B.f(x)在x=1处取得极小值为2

C.f(x)在[0,2]上是增函数

D.若方程f(x)=a有2个不同的根，则a∈[2,4]11.现有数字0，1，1，1，2，3，4，5，下列说法正确的是(

)A.可以组成600个没有重复数字的六位数

B.可以组成288个没有重复数字的六位偶数

C.可以组成3240个六位数

D.可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=ex−ex+2024的单调递减区间为

13.在x(x+y)5的展开式中，含x3y314.若函数f(x)=ax2+lnxx有两个极值点，则实数四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)某医院用甲、乙两种疗法治疗某种疾病.采用简单随机抽样的方法从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名，其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名;接受乙种疗法的患者中治愈的有85名．(1)根据所给数据，完成以下两种疗法治疗数据的列联表(单位：人)疗法疗效合计未治愈治愈甲乙合计并依据小概率值α=0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好;

(2)根据疗效按照分层抽样的方法，从这200名患者中抽取8名患者，再从这8名患者中随机抽取2名患者做进一步调查，记抽取到未治愈患者人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：χ2=n(ad−bcα0.150.100.050.0050.001x2.0722.7063.8417.87910.82816.(本小题12分)

如图，在正四棱锥P−ABCD中．

(1)求证：BD⊥PC;(2)若PA=AB=22，求平面CPD与平面PBD17.(本小题12分)在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗，现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”，其中甲同学有4个蛋黄馅的“粽子”和3个绿豆馅的“粽子”，乙同学有3个蛋黄馅的“粽子”和2个绿豆馅的“粽子”．(1)若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取3次，每次任取1个“粽子”，记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为X，求X的分布列及数学期望;(2)若先从甲同学的“粽子”中任取2个送给乙同学，然后再从乙同学的“粽子”中任取1个，求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率．18.(本小题12分)设函数f(x)=1(1)当a=0时，求f(x)在[−1,1]上的最大值;(2)讨论f(x)的单调性;(3)若a>0，证明f(x)只有一个零点．19.(本小题12分)若各项为正的无穷数列{an}满足：对于∀n∈N∗，lnan+1−lnan=d，其中d为非零常数，则称数列{a(1)若an=10n，判断数列{(2)若a1=e，证明指形数列{(3)若指形数列{an}是递减数列，令a1=ed，bn=答案简析1.A

【简析】解：当r>0时，样本数据正相关，

当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强．

故选A．2.C

【简析】解：A. (sinπ6)′=0，故A错误；

B.(x)′=x12′=12x−12=3.D

【简析】解：因为P(X≥110)=1−P(100−10≤X≤100+10)2≈1−0.68272≈0.16,

所以A等级分数线约为4.B

【简析】解：∵f(x)=−2x3+1，

∴f′(x)=−6x2，

∴曲线在点(1,−1)处的切线的斜率为：

k=f′1=−6，

5.C

【简析】解：由表可知x=166+169+170+172+1735=170，

y=168+170+171+175+1765=172，

将样本中心(170,172)代入回归方程172=1.2×170+a，解得a=−32，6.D

【简析】解：设该同学答对题目数量为Y,

则Y~B(8,0.25),

故D(Y)=8×0.25×0.75=1.5,

因为X=5Y,

所以D(X)=D(5Y)=52×1.5=37.5,

故选7.B

【简析】解：依题意知甲通过4局比赛获得胜利，

则甲在前3局比赛中应该胜2局输1局，并且在第4局比赛中取得胜利，

故其胜利的概率为P=C32×(28.A

【简析】解：分两类情况完成：

(1)使用3种颜色，第1步选色有C43=4种，

第2步涂ABC三个顶点有A33=6种，

第3步涂A1B1C1三个顶点有2种，

所以共有C43×A33×2=48种;

(2)使用4种颜色，第一步涂ABC三个顶点有A43=24种，

第2步涂第49.BCD

【简析】解：依题意知q2+ 0.5−q+ 0.74= 1，解得q= 0.4或0.6，

又因为0≤0.5−q≤1，所以q= 0.6舍去，故q=0.4，所以B正确，A错误;

因为E(X)=0×0.16+1×0.1+2×0.74=1.58，所以C正确;

因为D(X)=02×0.16+1210.AB

【简析】解：因为f′(x)=3x2−3，

所以令f′(x)>0得1<x≤2，

令f′(x)<0得0≤x<1，

所以f(x)在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增.C错误;

又因为f(0)=4，f(1)=2，f(2)=6，所以f(x)的值域为[2,6]，A正确;

由上面计算可知，f(x)在x=1处取得极小值为2，B正确;

在同一坐标系中画出函数f(x)=x3−3x+4，x∈[0,2]及y=a的图象，

可知a∈(2,4]，D11.ACD

【简析】解：对于A，没有重复数字的六位数应由0，1，2，3，4，5组成，共有C51A55=600个，A正确;

对于B，没有重复数字的六位偶数有两类情况，

末位为0的有A55=120个，

末位不为0的有C21C41A44=192个，

共有120+192=312个，B错误;

对于C，没有重复数字的六位数有600个，

有两个1的六位数有A64+C43C51A53=1560个，

有三个1的六位数有C43A63+C42C51A5212.(−∞,1)

【简析】解：函数f(x)=ex−ex+2024，则f′(x)=ex−e，

令f′(x)=ex−e<0，解得x<1，

13.10

【简析】解：二项式(x+y)5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r⋅x5−r⋅yr，

令r=314.0,1【简析】解：fx

的定义域为

0,+∞

f′x=2ax+令

f′x=0

，得

a=令

gx=lnx−12x令

g′x0=0

，则

3lnx0=4

，即

当

0<x<x0

时，

g′x>0,gx

单调递增；当

x>x∴g(x)max又当

x

趋近于0时，

gx

趋近于

−∞

；当

x

趋近于

+∞

时，

gx

趋近于作出

gx

由图可知，当

0<a<16e4

时，方程

a=lnx−115.解：(1)根据所给数据，可得列联表(单位：人):疗法疗效合计未治愈治愈甲3565100乙1585100合计50150200零假设H0:疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．

根据列联表中的数据，可得χ2=200×(35×85−15×65)250×150×100×100≈10.667>7.879，

根据小概率值α=0.005的独立性检验，

我们推断出H0不成立，即认为疗法有差异，可知乙种疗法的效果比甲种疗法好．

(2)按照分层抽样，未治愈患者应抽取8×50200=2人，治愈患者应抽取8×150200=6人，

X的可能取值为0，X012P1531

X的数学期望为E(X)=0×1528【简析】

(1)先完成列联表，由公式得出χ2，对照临界值表可得结论；

(2)易得X的可能取值为0，1，2，得出对应概率，可得X16.(1)证明：如图，连接AC交BD于O，连接PO，

∵在正四棱锥P−ABCD中，PO⊥平面ABCD，

ABCD是正方形，BD⊂平面ABCD，∴PO⊥BD，BD⊥AC．

又∵PO，AC⊂平面PAC，且PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．

∵PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC．

(2)解：∵在正四棱锥P−ABCD中，PO⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，

∴OB，OC，OP两两垂直.以O为原点，OB，OC，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

∵PA=AB=22，∴OB=OC=OP=2，

∴B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(−2,0,0)，P(0,0,2)，

则PC=(0,2,−2)，PD=(−2,0,−2)．

设平面CPD的一个法向量为n=(x,y,z)，

则2y−2z=0−2x−2z=0，令x=1，得y=−1，z=−1，所以n=(1,−1,−1)，

又因为平面PBD的一个法向量为m=(0,1,0)，

所以有cos<n,m>=【简析】(1)先得出BD⊥平面PAC，再由线面垂直的性质即可得证；

(2)建立空间直角坐标系，得出平面CPD的一个法向量和平面PBD的一个法向量，利用空间向量求解即可．17.解:(1)X的可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)=C30×(37)0×(47)3=64343,

P(X=1)=C31×(37)1×(47)2=X0123P6414410827

由于X~B(3,37),所以X的数学期望为E(X)=3×37=97.

(2)设事件A为“从乙同学的粽子中任取1个,取出的这个粽子是绿豆馅”,

事件B1为“从甲同学的粽子中取出的2个粽子都是蛋黄馅”,

事件B2为“从甲同学的粽子中取出的2个粽子都是绿豆馅”,

事件B3为“从甲同学的粽子中取出的2个粽子为1个蛋黄馅和1个绿豆饱，

则事件B1,B2,B3彼此互斥,

P(B1)=C42C72=621=27,P(B2)=C32C72=321=17,

P(B3)=C41C31C72=1221=47,P(A|B1)=27,

P(A|B2)=47,P(A|B3)=37,【简析】（1）易得X的可能取值为0,1,2,3,得出对应概率，可得X的分布列及数学期望;

（2）根据全概率公式可得结果.18.解：(1)当a=0时，f(x)=−ex+x，则f′(x)=−ex+1，

x∈[−1,0)时，f′(x)>0;x∈(0,1]时，f′(x)<0．

∴x∈[−1,0)时，f(x)为增函数;x∈(0,1]时，f(x)为减函数．

∵f(0)=−1，∴当a=0时，f(x)在[−1,1]上的最大值为−1．

(2)∵f(x)=12ae2x−(a+1)ex+x，

∴f′(x)=ae2x−(a+1)ex+1=(aex−1)(ex−1)．

 ①当a≤0时，x∈(−∞,0)时有f′(x)>0，x∈(0,+∞)时有f′(x)<0，

故a≤0时，f(x)在(−∞,0)上为增函数，f(x)在(0,+∞)上为减函数;

 ②当a=1时，f′(x)=(ex−1)2≥0，则f(x)在R上为增函数;

 ③当0<a<1时，在区间(−∞,0)及(−lna,+∞)上有f′(x)>0，在区间(0,−lna)上有f′(x)<0，

故当0<a<1时，f(x)在(−∞,0)及(−lna,+∞)上为增函数，在(0,−lna)上为减函数;

 ④当a>1时，在区间(−∞,−lna)及(0,+∞)上有f′(x)>0，在区间(−lna,0)上有f′(x)<0，

故当a>1时，f(x)在(−∞,−lna)及(0,+∞)上为增函数，在(−lna,0)上为减函数．

(3)由(2)可知：

 ①当a=1时，f(x)在R上为增函数，且f(0)=−32，f(2)=12e4−2e2+2>0，

故当a=1时，f