2023-2024学年湖北省武汉市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖北省武汉市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=1−3i2+4i(i是虚数单位)，则Z对应的点在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7下列结论不正确的是(

)A.这组数据的平均数为7 B.这组数据的众数为7

C.这组数据的中位数为7 D.这组数据的方差为73.设m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题为真命题的是(

)A.若m⊥α，n⊥β，m/​/n，则α⊥β

B.若α∩β=m，n/​/α，n/​/β，则m/​/n

C.若m⊂α，n⊂β，m/​/n，则α/​/β

D.若α⊥β，m/​/α，n/​/β，则m⊥n4.下列结论正确的是(

)A.平行向量不一定是共线向量 B.单位向量都相等

C.两个单位向量之和不可能是单位向量 D.(5.某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图(图1)、“90后”从事快递行业岗位分布条形图(图2)，则下列结论中错误的是(

)

A.快递行业从业人员中，“90后”占一半以上

B.快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20%

C.快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多

D.快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多6.如图，已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长均为2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为(

)A.63B.−63

7.如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则OD=(

)A.−23OA+C.−2OA+OB8.已知矩形ABCD，AB=2，AD=1，将△ABD沿BD折起到△A′BD.若点A′在平面BCD上的射影落在△BCD的内部(不包括边界)，则四面体A′−BCD的体积的取值范围是(

)A.(32,255)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.武汉某中学为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是(

)A.x=0.01

B.该样本数据的中位数和众数均为85

C.若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本我们认为该校食堂需要整改

D.为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在[70,80)的学生4人10.下列命题中正确的是(

)A.若z=1−3i，则|z|=4

B.若z=i+1，则z⋅z−=−2

C.已知m，n∈R，i是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，则m+n=1

D.11.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=b+2bcosA，则下列结论正确的有(

)A.A=2B

B.B的取值范围为(π6,π3)

C.ab的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则AB边上的中线的实际长度为______．13.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x−y|的值为______．14.在锐角△ABC中，sinA=255，它的面积为10，BC=4BD，E，F分别在AB、AC上，且满足|AD−xAB|≥|DE|四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知z1=1−2i，z2=2−i，在复平面内，复数z1+z2，z1−z2，z1⋅z2对应的点分别为A，B，C．

(1)求|BC|；16.(本小题15分)

在如图所示的四棱锥P−ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E为PD的中点．

(1)求证：CE/​/平面PAB；

(2)求证：平面PAC⊥平面PDC；

(3)求直线EC与平面PAC所成角的正切值．17.(本小题15分)

文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)求样本成绩的第75百分位数；

(3)已知落在[50,60)的平均成绩是56，方差是7，另一组落在已知[60,70)内，且两组成绩的总平均数Z−为62和总方差s2为23.求落在[60,70)的平均成绩以及方差．18.(本小题17分)

如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AC=2AA1=2A1C1=2，其中D为BC上的点，且DC=2BD．

(Ⅰ19.(本小题17分)

定义非零向量OM=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcosx，(x∈R)，向量OM=(a,b)称为函数f(x)=asinx+bcosx(x∈R)的“相伴向量”(其中点O为坐标原点)．

(1)设函数ℎ(x)=2sin(π3−x)−cos(π6+x)，求函数ℎ(x)的“相伴向量”OM的坐标；

(2)记OM=(0,2)的“相伴函数”为f(x)，设函数g(x)=f(x)+23|sinx|−1，x∈[0,2π]，若方程g(x)=k有四个不同实数根，求实数k的取值范围；

(3)已知点M(a,b)，(b≠0)满足条件：b参考答案1.C

2.D

3.B

4.D

5.D

6.C

7.C

8.B

9.AC

10.CD

11.ACD

12.5213.4

14.−315.解：(1)由题意，z1+z2=3−3i，z1−z2=−1−i，z1⋅z2=−5i，

∴A(3,−3)，B(−1,−1)，C(0,−5)，

∴BC=(1,−4)，|BC|=1+16=17；

(2)16.解(1)证明：取PA的中点M，连接BM，ME，

∵E为PD的中点，

∴ME/​/AD且ME=12AD，

∵BC/​/AD且BC=12AD，

∴ME//BC且

ME=BC，

∴四边形MEBC为平行四边形，

∴BM/​/CE，又∵CE⊄面PAB，BM⊄面PAB，

∴CE//平面PAB．

(2)证明：∵PA⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PA⊥DC，

过C作CC′⊥AD，交AD于C′，则CC′=1，C′D=1，

∴CD=2，又AC=2，

∴AC2+CD2=2+2=AD2，∴DC⊥AC，又AC∩PA=A，

∴DC⊥平面PAC，又DC⊂平面PDC，

∴平面PAC⊥平面PDC．

(3)取PC中点F，连接EF，则EF/​/DC，

由(2)知DC⊥平面PAC，则EF⊥平面PAC，

∴∠ECF为直线EC与平面PAC所成的角，17.解：(1)因为所以小矩形的面积之和为1，

所以(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，

解得：a=0.030；

(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，

落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9，

设第75百分位数为m，

则0.65+(m−80)×0.025=0.75，

解得：m=84，

故第75百分位数为84；

(3)由频率分布直方图知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10，

成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20，

设[60,70)的平均数为x−，方差为t2，

则z−=10×56+20x−30=62，解得：x−=65，

由样本方差计算总体方差公式，

则总方差为s18.解：(Ⅰ)取AC中点E，连接C1E，BE，

因为AC=2AA1=2A1C1=2，其中D为BC上的点，且DC=2BD．

所以A1C1=AE=1，A1C1//AE，

所以四边形AA1C1C是平行四边形，

所以AA1//C1E，

因为AA1⊥平面ABC，

所以C1E⊥平面ABC，

因为BE⊂面ABC，AC⊂面ABC，

所以C1E⊥BE，C1E⊥AC，

因为底面△ABC为等边三角形，

所以BE⊥AC，

以E为原点，EB，EC，EC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系：

所以E(0,0,0)，A(0,−1,0)，B(3,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,−1,1)，C1(0,0,1)，D(233,13,0)，

AC1=(0,1,1)，AD=(233,43,0)，

设面AC1D的法向量n=(x,y,z)，

所以AC1⋅n=0AC⋅n=0，

所以(0,1,1)⋅(x,y,z)=0(233,43,0)⋅(x,y,z)=019.解：(1)ℎ(x)=2sinπ3cosx−2cosπ3sinx−(cosπ6cosx−sinπ6sinx)=3cosx−sinx−32cosx+12si