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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高一(下)期末数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.“x2+5x−6>0”是“x>2”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.设函数f(x)=x2+1,x≤12xA.139 B.3 C.23 3.我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式:lAB=弦+2×矢2径,公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长,“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差,“径”是指扇形所在圆的直径.如图,已知扇形的面积为4π3,扇形所在圆A.3+2B.C.43+14.已知z∈C,若|z(3+4i)|=5,则|z|=(
)A.1 B.2 C.3 D.45.△ABC的外接圆圆心为O,且2AO=AB+AC,|OA|=|ACA.−14CB B.−346.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[−7,−3]上是(
)A.增函数且最小值为−5 B.增函数且最大值为−5
C.减函数且最小值为−5 D.减函数且最大值为−57.如图所示,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,棱柱的侧面均为矩形,AA1=1,AB=BC=3,A.3 B.2 C.5D.8.在△ABC中,分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状,甲:acosA=bcosB;乙:a2tanB=b2tanA;丙:acosB=bcosA;丁:A.甲 B.乙 C.丙 D.丁二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有(
)A.2张卡片不全为红色 B.2张卡片恰有一张红色
C.2张卡片至少有一张红色 D.2张卡片都为绿色10.已知甲组数据为:1,1,3,3,5,7,9,乙组数据为:1,3,5,7,9,则下列说法正确的是(
)A.这两组数据的第80百分位数相等
B.这两组数据的极差相等
C.这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后,仅仅乙组数据的均值不变
D.甲组数据比乙组数据分散11.在△OAB中,点P1,P2,…,Pn−1分别是AB上的n等分点,其中n∈N∗,A.OPn−3⋅OPn−2=OP三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.某乡镇有居民20000户,从中随机抽取200户调查是否安装宽带网线,调查结果如表所示,则该乡镇已安装宽带网线的居民大约有______户.网线动迁户原住户已安装6530未安装406513.若a>0,b>0,且(4a−1)(b−1)=4,则4a+b的最小值为______.14.如图,在矩形ABCD中,已知AB=2AD=2a,E是AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE,连接A1C.若当三棱锥A1−CDE的体积取得最大值时,三棱锥A1−CDE四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)
已知|a|=1,|b|=3,a+b=(316.(本小题15分)
已知函数f(x)=cosx(23sinx+cosx)−sin2x.
(1)求函数f(x)单调递增区间和最小正周期;
(2)请选择①和②中的一个条件,补全下面的问题并求解,其中①有解;②恒成立.
问题:若当x∈[0,π217.(本小题15分)
已知n是一个三位正整数,若n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如135,256,345等)
现要从甲乙两名同学中,选出一个参加某市组织的数学竞赛,选取的规则如下:从由1,2,3,4,5,6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数,且只抽取1次,若抽取的“三位递增数”是偶数,则甲参加数学竞赛;否则,乙参加数学竞赛.
(1)由1,2,3,4,5,6可组成多少“三位递增数”?并一一列举出来.
(2)这种选取规则对甲乙两名学生公平吗?并说明理由.18.(本小题15分)
如图所示,在四棱锥P−ABCD中,四边形ABCD为梯形,CD//AB,AB⊥BC,PA⊥PD,BC=CD=PA=PD=1,AB=2,平面PAD⊥平面PBC.
(1)若PB的中点为N,求证:CN//平面PAD;
(2)求二面角P−AD−B的正弦值.19.(本小题17分)
n个有次序的实数a1,a2,…,an所组成的有序数组(a1,a2,…,an)称为一个n维向量,其中ai(i=1,2,…,n)称为该向量的第i个分量.特别地,对一个n维向量a=(a1,a2,…,an),若|ai|=1,i=1,2…n,称a为n维信号向量.设a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn参考答案1.B
2.A
3.C
4.A
5.C
6.B
7.D
8.C
9.BD
10.BCD
11.BD
12.9500
13.6
14.215.解:(1)由已知a+b=(3,1),所以(a+b)2=|a|2+|b|2+2a⋅b=4,所以16.解:(1)因为f(x)=cosx(23sinx+cosx)−sin2x
=23sinxcosx+cos2x−sin2x
=3sin2x+cos2x
=2(32sin2x+12cos2x)
=2sin(2x+π6),
所以函数f(x)的最小正周期T=π,
因为函数y=sinx的单调增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z,
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z;
(2)若选择①,不等式f(x)≥m有解,即m≤f(x)max,17.解:(1)从由1,2,3,4,5,6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数,
所有由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”共有20个.
分别是123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456.
(2)不公平,由(1)知,所有由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”有20个,
分别是123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456.
记“甲参加数学竞赛”为事件A,记“乙参加数学竞赛”为事件B.
则事件A含有基本事件有:124,134,234,126,136,146,156,236,246,256,346,356,456共13个.
由古典概型计算公式,得
P(A)=事件A含有的基本事件的个数试验所有基本事件的总数=1320,
又A与B对立,所以18.解:(1)证明:设T是PA中点,连接TN、TD,
在△ABP中,TN为中线,∴TN//AB且TN=12AB,又∵CD//AB且CD=12AB,
∴TN//CD且TN=CD,∴四边形CDTN为平行四边形,∴CN//DT且CN=DT.
又∵CN⊄平面PAD,DT⊂平面PAD,∴CN//平面PAD
(2)如图以AD中点作为坐标原点,建立空间直角坐标系,
设二面角角P−AD−B的大小为θ,则OP=(0,22cosθ,22sinθ),
设平面PAD的法向量为n1=(x1,y1,z1),12DA=(1,0,0),2OP=(0,cosθ,sinθ),
∴12DA⋅n119.解:(1)依题意,可写出4个两两垂直的4维信号向量为:
(1,1,1,1),(−1,−1,1,1),(−1,1,−1,1),(−1,1,1,−1).
(2)证明:假设存在14个两两垂直的14维信号向量y1,y2,…,y14,
因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置,任意两个向量的内积不变,
所以不妨设y1=(1,1,…,1),y2=(1,1,1,1,1,1,1,−
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