2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“x2+5x−6>0”是“x>2”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.设函数f(x)=x2+1,x≤12xA.139 B.3 C.23 3.我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：lAB=弦+2×矢2径，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径.如图，已知扇形的面积为4π3，扇形所在圆A.3+2B.C.43+14.已知z∈C，若|z(3+4i)|=5，则|z|=(

)A.1 B.2 C.3 D.45.△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC，|OA|=|ACA.−14CB B.−346.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[−7,−3]上是(

)A.增函数且最小值为−5 B.增函数且最大值为−5

C.减函数且最小值为−5 D.减函数且最大值为−57.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，棱柱的侧面均为矩形，AA1=1，AB=BC=3，A.3 B.2 C.5D.8.在△ABC中，分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状，甲：acosA=bcosB；乙：a2tanB=b2tanA；丙：acosB=bcosA；丁：A.甲 B.乙 C.丙 D.丁二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有(

)A.2张卡片不全为红色 B.2张卡片恰有一张红色

C.2张卡片至少有一张红色 D.2张卡片都为绿色10.已知甲组数据为：1，1，3，3，5，7，9，乙组数据为：1，3，5，7，9，则下列说法正确的是(

)A.这两组数据的第80百分位数相等

B.这两组数据的极差相等

C.这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅仅乙组数据的均值不变

D.甲组数据比乙组数据分散11.在△OAB中，点P1，P2，…，Pn−1分别是AB上的n等分点，其中n∈N∗，A.OPn−3⋅OPn−2=OP三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某乡镇有居民20000户，从中随机抽取200户调查是否安装宽带网线，调查结果如表所示，则该乡镇已安装宽带网线的居民大约有______户.网线动迁户原住户已安装6530未安装406513.若a>0，b>0，且(4a−1)(b−1)=4，则4a+b的最小值为______．14.如图，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=2a，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，连接A1C.若当三棱锥A1−CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1−CDE四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知|a|=1，|b|=3，a+b=(316.(本小题15分)

已知函数f(x)=cosx(23sinx+cosx)−sin2x．

(1)求函数f(x)单调递增区间和最小正周期；

(2)请选择①和②中的一个条件，补全下面的问题并求解，其中①有解；②恒成立．

问题：若当x∈[0,π217.(本小题15分)

已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如135，256，345等)

现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛．

(1)由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来．

(2)这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由．18.(本小题15分)

如图所示，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为梯形，CD/​/AB，AB⊥BC，PA⊥PD，BC=CD=PA=PD=1，AB=2，平面PAD⊥平面PBC．

(1)若PB的中点为N，求证：CN/​/平面PAD；

(2)求二面角P−AD−B的正弦值．19.(本小题17分)

n个有次序的实数a1，a2，…，an所组成的有序数组(a1,a2,…,an)称为一个n维向量，其中ai(i=1,2,…,n)称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量a=(a1,a2,…,an)，若|ai|=1，i=1，2…n，称a为n维信号向量.设a=(a1,a2,…,an)，b=(b1,b2,…,bn参考答案1.B

2.A

3.C

4.A

5.C

6.B

7.D

8.C

9.BD

10.BCD

11.BD

12.9500

13.6

14.215.解：(1)由已知a+b=(3,1)，所以(a+b)2=|a|2+|b|2+2a⋅b=4，所以16.解：(1)因为f(x)=cosx(23sinx+cosx)−sin2x

=23sinxcosx+cos2x−sin2x

=3sin2x+cos2x

=2(32sin2x+12cos2x)

=2sin(2x+π6)，

所以函数f(x)的最小正周期T=π，

因为函数y=sinx的单调增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z，

令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，

所以函数f(x)的单调增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z；

(2)若选择①，不等式f(x)≥m有解，即m≤f(x)max，17.解：(1)从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，

所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”共有20个．

分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456．

(2)不公平，由(1)知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，

分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456．

记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B．

则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个．

由古典概型计算公式，得

P(A)=事件A含有的基本事件的个数试验所有基本事件的总数=1320，

又A与B对立，所以18.解：(1)证明：设T是PA中点，连接TN、TD，

在△ABP中，TN为中线，∴TN//AB且TN=12AB，又∵CD/​/AB且CD=12AB，

∴TN//CD且TN=CD，∴四边形CDTN为平行四边形，∴CN//DT且CN=DT．

又∵CN⊄平面PAD，DT⊂平面PAD，∴CN/​/平面PAD

(2)如图以AD中点作为坐标原点，建立空间直角坐标系，

设二面角角P−AD−B的大小为θ，则OP=(0,22cosθ,22sinθ)，

设平面PAD的法向量为n1=(x1,y1,z1),12DA=(1,0,0),2OP=(0,cosθ,sinθ)，

∴12DA⋅n119.解：(1)依题意，可写出4个两两垂直的4维信号向量为：

(1,1,1,1)，(−1,−1,1,1)，(−1,1,−1,1)，(−1,1,1,−1)．

(2)证明：假设存在14个两两垂直的14维信号向量y1,y2,…,y14，

因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，

所以不妨设y1=(1,1,…,1),y2=(1,1,1,1,1,1,1,−