沪科版初中九年级数学上册专项素养巩固训练卷(五)证比例式或等积式的技巧练课件

专项素养巩固训练卷(五)证比例式或等积式的技巧(练方法)类型一构造平行线法1.(★☆☆)如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,过C任意作一条直线交AD于E,

交AB于F,求证:AE∶ED=2AF∶FB.

证明:如图,过点D作DN∥CF,交AB于点N.∵DC=DB,∴FN=NB=

FB,∵DN∥CF,∴AE∶ED=AF∶FN,即AE∶ED=AF∶

FB,∴AE∶ED=2AF∶FB.

2.(2024安徽宣城期末,20,★★☆)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE∥

BC,点F在边AB上,BC2=BF·BA,CF与DE相交于点G.

(1)求证:△BAC∽△DGF;(2)当点E为AC的中点时,求证:

=

.

证明:(1)∵BC2=BF·BA,∴BC∶BF=BA∶BC,∵∠ABC=∠CBF,∴△BAC∽△BCF,∵DE∥BC,∴△BCF∽△DGF,∴△BAC∽△DGF.对应目标编号M9122005(2)过点A作AH∥BC交CF的延长线于H,如图,∵DE∥BC,∴AH∥DE,∵点E为AC的中点,∴AH=2EG,∵AH∥DG,∴△AHF∽△DGF,∴

=

,∴

=

.

类型二三点定型法3.[一题多解](★☆☆)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点F,点E是BD上一

点,且∠BAC=∠BDC=∠DAE.求证:

=

.

证明:证法一:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD.∵∠BAC=∠BDC,∠BFA=∠CFD,∴180°-∠BAC-∠BFA=180°-∠BDC-∠CFD,即∠ABE=∠ACD,∴△ABE∽△ACD,∴

=

.证法二:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD.又∵∠BEA=∠DAE+∠ADE,∠ADC=∠BDC+∠ADE,∠DAE=∠BDC,∴∠AEB=∠ADC.∴△ABE∽△ACD,∴

=

.4.(★☆☆)如图,△ABC中,∠BAC=90°.M为BC的中点,DM⊥BC交CA的延长线于

D,交AB于E.求证:AM2=MD·ME.

证明:∵∠BAC=90°,M为BC的中点,∴AM=BM=CM,∴∠B=∠BAM,∵∠B+∠C=90°,∴∠BAM+∠C=90°,∵∠C+∠D=90°,∴∠BAM=∠D,∵∠AME=∠DMA,∴△AME∽△DMA,∴

=

,∴AM2=MD·ME.类型三构造相似三角形法5.(★☆☆)如图,在等边三角形ABC中,点P是BC边上任意一点,AP的垂直平分线

分别交AB,AC于点M,N.求证:BP·CP=BM·CN.

证明:如图,连接PM,PN,∵MN垂直平分AP,∴AM=MP,AN=PN,又∵MN为公共边,∴△AMN≌△PMN(SSS),∴∠MPN=∠BAC=60°,∵∠BPM+∠CPN=120°,∠BPM+∠BMP=120°,∴∠BMP=∠CPN,又∵∠B=∠C=60°,∴△MPB∽△PNC,∴

=

,即BP·CP=BM·NC.

6.(新独家原创,★★☆)如图,F为正方形ABCD的边AB的中点,E是AD上的一点,

AE=

AD,FG⊥CE于G.求证:FG2=EG·CG.

证明:如图,连接EF,CF.∵AE=

AD,AF=BF=

AB,四边形ABCD为正方形,∴

=

=

,∵∠A=∠B=90°,∴△EFA∽△FCB,∴∠AFE=∠BCF.∵∠BFC+∠BCF=90°,∴∠AFE+∠BFC=90°,∴∠EFC=90°,∴∠EFG+∠CFG=90°.对应目标编号M9122005又∵FG⊥CE,∴∠EFG+∠FEG=90°,∴∠CFG=∠FEG.∵∠EGF=∠CGF=90°,∴△EFG∽△FCG,∴

=

,∴FG2=EG·CG.

类型四等比或等积代换法7.(2024安徽滁州定远期末,19,★☆☆)如图,点E为▱ABCD的边CD延长线上的

一点,连接BE交AC于点O,交AD于点F.(1)求证:

=

;(2)求证:BO2=EO·FO.

证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴△AOB∽△COE,∴

=

,∴

=

.(2)∵△COE∽△AOB,∴

=

,∵AD∥BC,∴△COB∽△AOF,∴

=

,∴

=

,即OB2=OF·OE.8.(★☆☆)如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,点F在边AC上,DF与BE相交于点G,

且∠EDF=∠ABE.求证:

(1)△DEF∽△BDE;(2)△GDE∽△EDF;(3)DG·DF=DB·EF.

证明:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵DE∥BC,∴∠ABC+∠BDE=180°,∠ACB+∠CED=180°.∴∠BDE=∠CED,对应目标编号M9122005∵∠EDF=∠ABE,∴△DEF∽△BDE.(2)∵△DEF∽△BDE,∴∠BED=∠DFE.∵∠GDE=∠EDF,∴△GDE∽△EDF.(3)由(2)知,△GDE∽△EDF,∴

=

,∴DE2=DG·DF,∵△DEF∽△BDE,∴

=

,∴DE2=DB·EF,∴DG·DF=DB·EF.9.(★☆☆)如图,D是△ABC的边AB上一点,DE∥BC,交边AC于点E,延长DE至点

F,使EF=DE,连接BF,交边AC于点G,连接CF.(1)求证:

=

;(2)如果CF2=FG·FB,求证:CG·CE=BC·DE.

证明:(1)∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,△EFG∽△CBG,∴

=

,

=

,又∵DE=EF,∴

=

,∴

=

.(2)∵CF2=FG·FB,∴

=

,又∵∠CFG=∠CFB,∴△CFG∽△BFC,∴

=

,∠FCE=∠CBF,又∵DF∥BC,∴∠EFG=∠CBF,∴∠FCE=∠EFG,又∵∠FEG=∠CEF,∴△EFG∽△ECF,∴

=

=

,∴

=

,即CG·CE=BC·DE.10.(2024安徽合肥庐阳期末,21,★★☆)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC

上,ED、CB的延长线相交于点F.(1)如图①,若∠FBD=∠FEC,BF=4,FD=5,FE=8,求FC的长;(2)如图②,若BD=CE,求证:

=

.

解析

(1)∵∠FBD=∠FEC,∠BFD=∠EFC,∴△FBD∽△FEC,∴FB∶FE=FD∶

FC,即4∶8=5∶FC,解得FC=10.(2)证明:过点D作DM∥AC交FC于点M,如图,∵DM∥AC,∴△BDM∽△BAC,∴

=

,∴

=

,∵BD=CE,∴

=

.∵DM∥CE,∴△FCE∽△FMD,∴

=

,∴

=

.

类型五等线段代换法11.(2024安徽六安裕安中学月考,19,★☆☆)如图,直线DN平行于△ABC的中线

AF交AB于点D,交CA的延长线于点E,交BC于点N,求证:

=

.

证明:由DN∥AF易得

=

,

=

,∵在△ABC中,AF是BC边上的中线,∴FB=FC,∴

=

.12.(★☆☆)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,P是AD上一点,CF∥AB,延长BP交AC于点E,交CF于点F.求证:BP2=PE·PF.