沪科版初中九年级数学上册21-2-1二次函数y-ax2的图象和性质课件

第21章二次函数与反比例函数21.2二次函数的图象和性质21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质基础过关全练知识点1二次函数y=ax2的图象的画法

1.函数y=-x2的图象大致为

(

)

A

B

C

DA解析抛物线y=-x2开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),

故选A.2.(教材变式·P5例1)在平面直角坐标系中,画出函数y=2x2的

图象(列表、描点、连线、画图).(M9121002)解析列表:x…-2-1012…y…82028…描点、连线,如图所示.

3.(一题多解)(2022黑龙江鸡西中考)若二次函数y=ax2的图象

经过点P(-2,4),则该图象必经过点

(

)A.(2,4)

B.(-2,-4)C.(-4,2)D.(4,-2)知识点2二次函数y=ax2的图象和性质A解析解法一:∵二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),∴4=

4a,解得a=1.∴y=x2.当x=2时,y=4,∴该函数图象必过点(2,4).解法二:∵二次函数y=ax2的图象的对称轴为y轴,∴若函数图

象经过点P(-2,4),则该图象必经过点(2,4).4.(2021江苏常州中考)已知二次函数y=(a-1)x2,当x>0时,y随x

的增大而增大,则实数a的取值范围是

(

)A.a>0B.a>1C.a≠1

D.a<1B解析∵二次函数y=(a-1)x2图象的对称轴为x=0,当x>0时,y

随x的增大而增大,∴a-1>0,∴a>1,故选B.5.(2024广东中山期中)对于二次函数y=-2x2,下列结论正确的

是(M9121002)(

)A.y随x的增大而增大B.图象关于直线x=0对称C.图象开口向上D.无论x取何值,y的值总是负数B解析二次函数y=-2x2图象的开口向下,对称轴为直线x=0,

函数有最大值0,当x<0时,y随x的增大而增大.故选B.6.(2024安徽亳州蒙城庄子中学月考)在下列抛物线中,开口

最小的是

(

)A.y=-

x2B.y=-

x2C.y=

x2D.y=(2+

)x2D解析二次函数y=ax2中,a的绝对值越大,抛物线开口越小,∵

|2+

|>

>

>

,∴抛物线y=(2+

)x2的开口最小.故选D.方法归纳

抛物线y=ax2中的a的取值与开口的关系对于抛物线y=ax2,a的正负决定抛物线的开口方向,|a|的大小

决定抛物线的开口大小,|a|越大,开口越小;|a|越小,开口越大.7.(新独家原创)(教材变式·P10T3)在同一坐标系中,函数y=20

24x2与y=-2024x2的图象的位置关系是

.关于x轴对称解析函数y=2024x2与y=-2024x2的图象开口方向相反,有

公共的顶点(0,0),|2024|=|-2024|,所以开口大小相等,所以两

图象关于x轴对称.8.(一题多解)(教材变式·P27T8)已知A(-1,y1),B(-2,y2),C

三点都在二次函数y=-

x2的图象上,比较y1、y2、y3的大小:

.(用“>”连接)(M9121002)y3>y1>y2解析解法一:当x=-1时,y1=-

×(-1)2=-

;当x=-2时,y2=-

×(-2)2=-

;当x=

时,y3=-

×

=-

,∴y3>y1>y2.解法二:函数y=-

x2的图象的对称轴为y轴,开口向下,函数有最大值,在A(-1,y1),B(-2,y2),C

三点中,它们与对称轴x=0的距离从小到大依次为C

,A(-1,y1),B(-2,y2),所以y3>y1>y2.解法三:函数y=-

x2的图象的对称轴为y轴,所以点C

关于y轴的对称点为

,因为-2<-1<-

,当x<0时,y随x的增大而增大,所以y3>y1>y2.解法四:如图,由图象可知y3>y1>y2.9.(易错题)已知二次函数y=x2,当-1≤x≤3时,y的取值范围是

.0≤y≤9解析∵抛物线y=x2开口向上,顶点坐标是(0,0),∴抛物线y=

x2有最低点,即当x=0时,函数有最小值,为0.当x=3时,y取得最

大值,为9,∴y的取值范围是0≤y≤9.易错警示二次函数的增减性是以对称轴为分界线的,当给

出自变量的取值范围时,不能忽略对称轴的位置.10.已知函数y=ax2的图象经过点(2,-8).(1)求这个二次函数的表达式.(2)x取什么值时,y有最大值或最小值?最大值或最小值是多

少?(3)当x为何值时,函数y随x的增大而减小?解析

(1)把x=2,y=-8代入y=ax2,得-8=22·a,解得a=-2,∴二次函数的表达式为y=-2x2.(2)由于a=-2<0,所以抛物线开口向下,故抛物线的顶点为最高

点,∴当x=0时,函数有最大值,最大值为0.(3)由于抛物线开口向下,对称轴为y轴,∴当x>0时,函数y随x

的增大而减小.11.(2024安徽六安毛坦厂中学月考,4, )如图,在同一个坐标系中函数y=kx2和y=kx-2(k≠0)的图象可能是

(

)

A

B

C

D能力提升全练C解析当k>0时,函数y=kx-2的图象经过第一、三、四象限,

函数y=kx2的图象开口向上,对称轴为y轴;当k<0时,函数y=kx-2的图象经过第二、三、四象限,函数y=

kx2的图象开口向下,对称轴为y轴.故C符合要求.故选C.12.(2024安徽六安菁英中学月考,8, )如图,在平面直角坐标系中,点A、E在抛物线y=ax2上,过点A、E分别作y轴的垂

线,交抛物线于点B、F,分别过点E、F作AB的垂线交线段

AB于点C、D.当点E的坐标为(2,4),四边形CDFE为正方形时,

线段AB的长为

(

)

A.4B.4

C.5D.5B解析把E(2,4)代入y=ax2得4=4a,解得a=1,∴y=x2.∵点E(2,

4),四边形CDFE为正方形,∴CD=CE=4.设点A的横坐标为m,

则A(m,8),把A(m,8)代入y=x2得m2=8,解得m=2

或m=-2

(舍去).∴AB=2m=4

.故选B.13.(新考法)(2023浙江杭州西湖期末,15, )对于二次函数y=ax2和y=bx2,其自变量和函数值的两组对应值如下表(其

中a、b均不为0,c≠1),根据二次函数图象的相关性质可知c=

,m-n=

.(M9121002)x1cy=ax2nny=bx2n+3m3-1解析本题利用表格考查二次函数图象的对称性,比较新颖.

y=ax2和y=bx2的图象对称轴都为y轴,可将表格中的数据表示

为坐标(1,n),(c,n),(1,n+3),(c,m),∵(1,n),(c,n)两点纵坐标相等,且c≠1,∴c=-1,∵(1,n+3),(-1,m)

两点横坐标关于y轴对称,∴m=n+3,∴m-n=3.14.(2024安徽省六安外国语学校月考,13, )如图,点A在二次函数y=ax2(a>0)第一象限的图象上,AB⊥x轴,AC⊥y轴,

垂足分别为B,C,连接BC,交函数图象于点D,DE⊥y轴于点E,

则

的值为

.

解析设A(m,am2),则B(m,0),C(0,am2),由题意得a>0,m>0,设

直线BC的解析式为y=kx+b,∴

解得

∴直线BC的解析式为y=-amx+am2,联立得

∴-amx+am2=ax2,解得x1=

m,x2=

m(舍去).∵DE⊥y轴于点E,∴DE=

m,∴

=

=

.15.(2021江苏徐州中考,26, )如图,点A、B在y=

x2的图象上.已知A、B的横坐标分别为-2、4,直线AB与y轴交于点

C,连接OA、OB.(M9121002)(1)求直线AB的函数表达式;(2)求△AOB的面积;(3)若函数y=

x2的图象上存在点P,使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半,则这样的点P共有

个.解析

(1)∵点A、B在y=

x2的图象上,A、B的横坐标分别为-2、4,∴A(-2,1),B(4,4),设直线AB的表达式为y=kx+b,∴

解得

∴直线AB的表达式为y=

x+2.(2)在y=

x+2中,令x=0,则y=2,∴C点坐标为(0,2),∴OC=2.∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=

×2×2+

×2×4=6.(3)4.[详解]如图,过OC的中点,作AB的平行线交抛物线于P

1、P2,此时△P1AB的面积和△P2AB的面积都等于△AOB的

面积的一半,作直线P1P2关于直线AB的对称直线,交抛物线于

P3、P4,此时△P3AB的面积和△P4AB的面积都等于△AOB的

面积的一半,所以这样的点P共有4个.

16.(几何直观)(新考向·规律探究题)(2023山东青岛二十六中

一模)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2如图所示.已知A点坐

标为(1,1),过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2

∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,

过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4,……,依次进行下去,则

点A2023的坐标为

.(-1012,10122)素养探究全练解析∵点A的坐标为(1,1),∴直线OA的解析式为y=x,又AA1∥x轴,且点A1在抛物线y=x2上,∴点A1的坐标为(-1,1),∵A1A2∥OA,∴直线A1A2的解析式为