沪科版初中九年级数学上册专项素养综合练(四)相似三角形五种辅助线的作法课件

相似三角形五种辅助线的作法专项素养综合全练(四)

作法一作平行线法1.(2024江西吉安期中)如图,已知△ABC中,D是BC的中点,E

是AC上一点,

=

,连接AD,与BE相交于点F,求

的值.

∴DB=

CB=

AG.∵AG∥BD,∴△AFG∽△DFB,∴

=

=

=

.解析如图,过点A作BC的平行线,交BE的延长线于点G,即

AG∥BC,∴△AEG∽△CEB.∴

=

=

,∴CB=3AG.又∵D是BC的中点,2.如图,已知△ABC的边AB上有一点D,BC的延长线上有一

点E,且AD=CE.连接DE交AC于点F,试证明:AB·DF=BC·EF.

解析

证明如图,作DG∥BC交AC于G,则△ADG∽△ABC,△DGF∽△ECF,∴

=

,

=

,∴

=

,∵AD=CE,∴

=

,∴

=

,∴

=

,∴AB·DF=BC·EF.

作法二作垂线法3.(2023浙江丽水中考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C

=45°,以AB为腰作等腰直角三角形BAE,顶点E恰好落在CD

边上,若AD=1,则CE的长是

(

)

A.

B.

C.2D.1A解析如图,过点E作EF⊥CD交BC于F,

∵∠C=45°,∴△EFC是等腰直角三角形,∴EF=CE,∠CFE=45°,∴∠BFE=180°-45°=135°,∵∠CFE=∠FBE+∠BEF=45°,∠AED+∠BEF=90°-45°=45°,

∴∠AED=∠FBE,∵△ABE是等腰直角三角形,∴

=

,∵AD∥BC,∴∠C+∠D=180°,∴∠D=180°-45°=135°,∴∠D=∠BFE,∴△ADE∽△EFB,∴

=

=

,∵AD=1,∴EF=

,∴CE=EF=

.4.如图,矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点,点F在

边BC上,且BF=2FC,AF分别与DE,DB相交于点M,N,求MN的

长.

解析如图,过点F作FH⊥AD于点H,交ED于点O,∴FH=AB=

2.∵BF=2FC,BC=AD=3,∴BF=AH=2,FC=HD=1,∴AF=

=

=2

.∵AB=2,E为AB的中点,∴AE=1,∵BA⊥AD,FH⊥AD,∴OH∥AE,∴

=

=

,∴OH=

AE=

,∴OF=FH-OH=2-

=

.=

.∵AD∥BF,∴△AND∽△FNB,∴

=

=

,∴AN=

AF=

,∴MN=AN-AM=

-

=

.∵AE∥FO,∴△AME∽△FMO,∴

=

=

=

,∴AM=

AF5.如图,在△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,点M为射线AC

上一点,点N为射线CB上一点,且DM⊥DN.(1)求证:

=

.(2)若BC=6,AC=8,CM=5,求CN的长.

∴∠MQD=∠DPN=90°.∵∠C=90°,∴四边形DPCQ是矩形,∴∠QDP=90°,DQ∥BC,DP∥QC,∵DM⊥DN,∴∠MDQ+∠QDN=∠QDN+∠NDP=90°,∴∠MDQ=∠NDP,∴△DMQ∽△DNP,∴

=

,∵DQ∥BC,DP∥QC,D为AB的中点,∴DQ=

解析

(1)证明:如图,过D作DP⊥BC于P,DQ⊥AC于Q,BC,DP=

AC,∴

=

.(2)如图,∵AC=8,∴AQ=CQ=4,∵CM=5,∴MQ=MC-CQ=5-4=

1,∵DQ=

BC=3,DP=

AC=4,△DMQ∽△DNP,∴

=

=

,∴NP=

.∵CP=BP=3,∴CN=3-

=

.作法三延长线法6.如图,在正方形ABCD中,M为AD中点,以M为顶点作∠

BMN=∠MBC,MN交CD于N,求证:DN=2NC.

解析

证明如图,连接MC,延长MN、BC交于点E.设AB=2a,则AM=a,BM=

a.∵AB=CD,∠A=∠D=90°,AM=MD,∴△BAM≌△CDM,∴

BM=MC,∴∠BCM=∠CBM=∠BMN,∴△BMC∽△BEM,∴

=

,即

=

,∴BE=

a,∴CE=BE-BC=

a-2a=

a.∵四边形ABCD为正方形,∴∠D=∠DCB=90°,即∠D=∠NCE=90°.∵∠DNM=∠CNE,

∴△MDN∽△ECN,∴

=

=

=2,即DN=2NC.7.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,若∠BCD的平分线CE⊥

AB于点E,BE=2AE,且四边形AECD的面积为21,求△EBC的

面积.

解析延长BA、CD交于点F,过点D作DM⊥AF于点M,如图

所示.∵∠BCD的平分线CE⊥AB于点E,∴BC=CF,∴∠B=∠F,BE=EF.∵AD∥BC,∴∠FAD=∠B,∴∠FAD=∠F,∴DA=DF.∵DM⊥AF,∴FM=

AF.∵BE=EF,BE=2AE,∴2AE=EF,∴AF=AE,∴FM=

AF=

FE.∵DM⊥AF,CE⊥AB,∴DM∥CE,∴

=

=

,∴DM=

CE.∵

=S△CEF-S△DAF=

EF·CE-

AF·DM=

EF·CE-

EF·CE=21,∴EF·CE=48,∴S△EBC=S△CEF=

EF·CE=24.作法四作中线、中位线法8.如图,把两个相同的含30°角的直角三角板按如图所示的方

式拼接在一起,点N是AB边的中点,连接DN交BC于点M,求

的值.

解析连接CN,如图,设AC=2a.∵∠ABC=30°,∠ACB=90°,∴AB=4a,BC=2

a.∵点N是AB边的中点,∴CN=AN=BN=

AB=2a.∵∠DBC=30°,∠CDB=90°,∴CD=

BC=

a,∴BD=

=3a.∵NC=NB,∴∠NCB=∠ABC=30°.∵∠BCD=60°,∴∠NCD=∠NCB+∠BCD=90°,∴∠NCD+∠BDC=90°+90°=180°,∴NC∥BD,∴△MCN∽△MBD,∴

=

=

=

,∴

=

.9.如图,在△ABC中,D,E分别是边BC,AB的中点,AD,CE相交

于点G,求证:

=

=

.

解析

证明连接ED,图略.∵在△ABC中,D,E分别是边BC,AB的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥AC,DE=

AC,∴△ACG∽△DEG,∴

=

=

=2,∴

=

=3,∴

=

=

.作法五巧连线段法10.(2024上海虹口期中)已知,在菱形ABCD中,CE⊥AB,垂足

为E,CE与BD相交于点F.(1)求证:

=

;(2)求证:DF·DB=2BC2.

解析

证明

(1)∵四边形ABCD是菱形,∴DC∥AB,DC=AB,∴DC∥BE,∴△DCF∽△BEF,∴

=

,∴

=

.(2)如图,连接AC交