陕西省西安市逸翠园中学、高新三中、高新五中2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.如图，数轴所表示的不等式的解集是(

)A.x<-1 B.x>-1 C.x≤-1 D.x≥-13.已知a<b，下列式子不一定成立的是(

)A.a-1<b-1 B.-2a>-2b C.12a+1<14.下列各式属于因式分解的是(

)A.3abc3=3c⋅abc2 B.5.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为(

)A.30° B.45° C.60° D.75°6.用反证法证明：“在同一个平面内，若a⊥c，b⊥c，则a/​/b”时，应假设(

)A.a不垂直于c B.a与b相交

C.a不垂直于b D.a、b都不垂直于c7.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转得到△A'B'C，连接AA'，若∠1=25°，则∠BAA'的度数是(

)A.55°

B.60°

C.65°

D.70°8.如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB的长为(

)

A.7 B.8 C.9 D.10二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。9.用不等式表示：x与5的差不大于x的2倍：______．10.等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是

．11.如图，点A、B分别在x轴和y轴上，OA=1，OB=2，若将线段AB平移至A'B'，则a+b的值为______．

12.在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，有下列条件：①a2=b2+c2；②∠A=∠B-∠C；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；④a：b：c=3：4：5；⑤∠A=13.如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF=______．

三、解答题：本题共11小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题8分)

分解因式：

(1)3x-12x2；

(2)n15.(本小题8分)

解不等式组：

(1)8x+5>9x+62x-1<7；

(2)2x-116.(本小题5分)

如图，在公路l附近有两个小区A、B，某商家计划在公路l旁修建一个大型超市M，要求超市M到A、B两个小区的距离相等，请你借助尺规在图上找出超市M的位置．(不写作法，保留作图痕迹)17.(本小题5分)

已知：如图，在△ABC中，BE⊥AC，垂足为点E，CD⊥AB，垂足为点D，且BD=CE．

求证：∠ABC=∠ACB．18.(本小题6分)

△ABC的三边a，b，c满足a2-2ab+b2-ac+bc=019.(本小题6分)

如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,5)，B(-2,1)，C(-1,3)．

(1)若点C1的坐标为(4,0)，画出△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；

(2)若△ABC和△A20.(本小题6分)

在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C.已知点A(-1,0)，B(2,0)，观察图象并回答下列问题：

(1)关于x的方程k1x+b1=0的解是______；关于x的不等式kx+b<0的解集是______；

(2)直接写出关于x的不等式组kx+b>0k1x+b121.(本小题7分)

已知，如图，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线．

(1)求证：BD=2CD；

(2)若CD=2，求△ABD的面积．22.(本小题8分)

蓝田樱桃果实大，细嫩多汁，甜酸适口，娇艳欲滴，馥郁甜香，极具地方特色．小张想在蓝田县某果园购买一些樱桃，经了解，现有甲、乙两家樱桃园的樱桃可供采摘，这两家樱桃的品质相同，定价均为每千克20元，但两家果园的采摘方案不同：

甲樱桃园：游客进园需购买32元的票，采摘的樱桃按定价的6折优惠；

乙樱桃园：不需要购买门票，采摘的樱桃按定价付款不优惠．

设小张采摘的樱桃数量为x千克，他在甲、乙果园采摘所需总费用分别为y甲、y乙元．

(1)分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；

23.(本小题10分)

已知关于x的不等式组2x+4>03x-k<6．

(1)当k为何值时，该不等式组的解集为-2<x<1；

(2)若该不等式组只有3个正整数解，求一个满足条件的整数k的值．24.(本小题12分)

问题提出：如图1，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积．

尝试解决：

旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转来解决问题．

(1)如图2，连接BD，由于AD=CD，可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，则△BDB'的形状是______；

(2)在(1)的基础上，求四边形ABCD的面积．

[类比应用](3)如图3，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=2，求四边形ABCD的面积．

答案和解析1.答案：C

解析：解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，

故选：C．

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．

本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.答案：C

解析：解：数轴所表示的不等式的解集是x≤-1．

故选：C．

根据不等式的解集在数轴上表示方法即可求出不等式的解集．

本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“>”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“<”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．3.答案：D

解析：解答：

解：A、在不等式a<b的两边同时减去1，不等号的方向不变，即a-1<b-1，原变形正确，故此选项不符合题意；

B、在不等式a<b的两边同时乘以-2，不等号方向改变，即-2a>-2b，原变形正确，故此选项不符合题意；

C、在不等式a<b的两边同时乘以12，不等号的方向不变，即12a<12b，不等式12a<12b的两边同时加上1，不等号的方向不变，即12a+1<12b+1，原变形正确，故此选项不符合题意；

D、在不等式4.答案：D

解析：解：A、等式的右边不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；

B、等式的右边不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；

C、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；

D、等式的右边是乘积的形式，且左右两边相等，是因式分解，此项符合题意．

故选：D．

根据因式分解的定义逐项判断即可判断．

本题考查了因式分解的意义，关键是因式分解意义的熟练掌握．5.答案：C

解析：解：如图，△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，交于点O，

∵△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，

∴CE⊥AB，BD平分∠ABC，

∴∠OEB=90°，∠EBO=12∠ABC=30°，

∴∠BOE=60°，

故选：C．

根据题意画出图形，结合等边三角形的性质和三角形内角和可求得答案．6.答案：B

解析：解：反证法证明：“在同一个平面内，若a⊥c，b⊥c，则a/​/b”时，

应假设a与b不平行，即a与b相交，

故选：B．

反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，在同一个平面内，两直线平行的反面是两直线相交．

本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．7.答案：C

解析：解：∵Rt△A'B'C是由Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转得，

∴∠B'A'C=∠BAC，∠A'CB'=90°，

∵∠AB'A'=90°+∠B'A'C，∠1=25°，

∴∠B'AA'=180°-∠AB'A'-∠1=180°-90°-∠B'A'C-25°=65°-∠B'A'C，

∴∠BAA'=∠BAC+∠B'AA'=∠BAC+65°-∠B'A'C=∠BAC+65°-∠BAC=65°．

故选：C．

现根据旋转的性质得到∠B'A'C=∠BAC，∠A'CB'=90°，再根据三角形内角和和外交的性质即可得出结论．

本题主要考查旋转的性质和三角形的内角和等于180°、三角形的外角等性质，关键是用旋转的性质得出∠B'A'C=∠BAC．8.答案：A

解析：解答：

解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，

∴PE=PE'，

∴EP+FP=PE'+PF=E'F，此时EP+FP的值最小，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，AB=BC，

∵E'F⊥AB，

∴∠FE'B=30°，

∴BE'=2BF，

∵BF=5，BE=4，

∴E'B=10，

∵CE=CE'，

∴10=2CE+BE=2CE+4，

∴CE=3，

∴BC=AB=7．

故选：A．9.答案：x-5≤2x

解析：解答：

解：由题意得：x-5≤2x；故答案为x-5≤2x．10.答案：100°

解析：解：∵三角形三个内角的和为180°，等腰三角形的两底角相等，

∴等腰三角形的两底角都为锐角，

∵100°>90°，

∴100°的角是顶角，

∴此等腰三角形的顶角的度数是100°．

故答案为100°．

本题考查了等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和定理，判断出100°的角是顶角是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等，并且三个角的和为180°，而100°的角是钝角，因此可以判断出100°的角只能是顶角．11.答案：2

解析：解：由作图可知，线段AB向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段A'B'，

∵A(-1,0)，B(0,2)，

∴A'(2,-1)，B'(3,1)，

∴a=-1，b=3，

∴a+b=2，

故答案为：2．

由作图可知，线段AB向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段A'B'，求出A'，B'的坐标可得结论．

本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．12.答案：3

解析：解：①∵a2=b2+c2，

∴△ABC是直角三角形；

②∵∠A=∠B-∠C，

∴∠A+∠C=∠B，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴2∠B=180°，

∴∠B=90°，

∴△ABC是直角三角形；

③∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠C=180°×53+4+5=75°，

∴△ABC不是直角三角形；

④∵a：b：c=3：4：5，

∴设a=3k，b=4k，c=5k，

∵a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2，c2=(5k)2=25k2，

∴a2+b2=c2，

∴△ABC13.答案：10

解析：解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，

∵D是AB的中点，DE⊥AB，

∴DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∵∠ACE+∠BCE=180°，∠ECG+∠BCE=180°，

∴∠ACE=∠ECG，

又∵EF⊥AC，EG⊥BC，

∴EF=EG，∠FEC=∠GEC，

∵CF⊥EF，CG⊥EG，

∴CF=CG，

在Rt△AEF和Rt△BEG中，

AE=BEEF=EG，

∴Rt△AEF≌Rt△BEG(HL)，

∴AF=BG，

设CF=CG=x，则AF=AC-CF=12-x，BG=BC+CG=8+x，

∴12-x=8+x，

解得x=2，

∴AF=12-2=10．

故答案为：10．

先连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出EF=EG，AE=BE，进而判定Rt△AEF≌Rt△BEG，即可得到AF=BG，据此列出方程12-x=8+x，求得x的值，即可得到AF长．

本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解．解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．14.答案：解：(1)原式=3x(1-4x)；

(2)原式=n2(m-2)+n(m-2)

解析：(1)原式提取公因式即可；

(2)原式提取公因式即可．

此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．15.答案：解：(1)8x+5>9x+6①2x-1<7②，

解不等式①，得：x<-1，

解不等式②，得：x<4，

则不等式组的解集为x<-1；

(2)2x-13-5x+12≤1①5x-1<3(x+1)②，

解不等式①，得：x≥-1，

解不等式解析：(1)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16.答案：解：如图，点M为所作．

解析：作线段AB的垂直平分线，它与直线l的交点即为M点．

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．17.答案：证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，

∴∠BDC=∠CEB=90°，

在Rt△BCD和Rt△CBE中，

BC=CBBD=CE，

∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL)，

∴∠DBC=∠ECB，

即∠ABC=∠ACB．解析：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解题的关键．证明Rt△BCD≌Rt△CBE(HL)，即可得出结论．18.答案：解∵a2-2ab+b2-ac+bc=0，

∴(a-b)2-(a-b)c=0，

∴(a-b)(a-b-c)=0，

∵△ABC中b+c>a，

∴a-b-c<0，

∴a-b=0，

∴a=b解析：由a2-2ab+b2-ac+bc=0得(a-b)(a-b-c)=0，可知a=b19.答案：解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．

点B1的坐标为(3,-2)．

(2)如图，△A2B解析：(1)根据平移的性质作图，可得出点B1的坐标．

(2)根据中心对称的性质作图，可得出点B2的坐标．

本题考查作图20.答案：解：(1)x=-1，x>2 ;

(2)根据图象可以得到关于x的不等式组kx+b>0k1x+b1>0的解集-1<x<2；

(3)∵点C(1,3)，

∴由图象可知，不等式k1x+b1解析：解：(1)∵一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象，分别与x轴交于点A(-1,0)、B(2,0)，

∴关于x的方程k1x+b1=0的解是x=-1，关于x的不等式kx+b<0的解集，为x>2，

故答案为x=-1，x>2；

(2)(3)见答案．

(1)利用直线与x轴交点即为y=0时，对应x的值，进而得出答案；21.答案：解：(1)如图，过D作DE⊥AB于E，

∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，

∴DE=CD，

又∵∠B=30°，

∴Rt△BDE中，DE=12BD，

∴BD=2DE=2CD；

(2)∵∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠B=30°，

∴AD=BD=2CD=4，

∴Rt△ACD中，AC=AB2-C解析：(1)过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE=CD，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得出结论；

(2)依据AD=BD=2CD=4，即可得到Rt△ACD中，AC=AB2-CD222.答案：解：(1)由题意，得：y甲=32+20×0.6x=12x+32，

y乙=20x．

(2)当y甲<y乙，即12x+32<20x，解得x>4，

所以当采摘量大于4千克时，到甲樱桃园更划算；

当y甲=y乙，即12x+32=20x，解得x=4，

所以当采摘量为4千克时，到两家樱桃园所需总费用一样；

解析：(1)由题意直接得出结论．

(2)根据(1)的结论列不等式或方程解答即可．

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．23.答案：解：(1)解不等式组2x+4>03x-k<6可得解集为-2<x<6+k3，

∵不等式组的解集为-2<x<1，

∴6+k3=1，

解得k=-3．

(2)解不等式组2x+4>03x-k<6可得解集为-2<x<6+k3，

不等式组有3个正整数解，则正整数解是：1，2，3．解析：(1)求出不等式组的解集，根据已知得出6+k3=1，从而求出k的值．

(2)首先解不等式组确定