江苏省南通市海安市2023-2024学年高三上学期期中学业质量监测数学试卷

2024届高三期中学业质量监测试卷数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卷交回。2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号、座位号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在答题卷上。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符。4.作答选择题必须用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔写在答题卷上的指定位置，在其它位置作答一律无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集，集合，则A. B.C. D.2.已知终边上一点，则A. B. C. D.3.在中，为的中点，记，，则A. B. C. D.4.已知复数满足，当的虚部取最大值时，A. B. C. D.5.已知函数的图象关于点对称，方程在上有两个不同的实根，，则的最大值为A. B. C. D.6.在四边形中，，，则的最大值为A.3 B.4 C.5 D.67.已知数列的通项公式为，若，当数列的前项和取最大值时，A.29 B.32 C.33 D.348.设，，，则A. B. C. D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.若，则下列结论正确的是A. B.若，则或C. D.若，则或10.已知，，，，下列结论正确的是A.若，则B.若，则C.若，则D.若，且，均为锐角，则11.设奇函数与偶函数的定义域均为，且在区间上都是单调增函数，则A.不具有奇偶性，且在区间上是单调增函数B.不具有奇偶性，且在区间上的单调性不能确定C.是奇函数，且在区间上是单调增函数D.是偶函数，且在区间上的单调性不能确定12.已知数列满足，且，则A.为递增数列 B.C. D.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.设为实数，若向量，，且与共线，则__________.14.已知函数的减区间为，则__________.15.设等差数列的前项和为，且，是等比数列，满足，则_______.16.已知函数在，处分别取得极大值和极小值，记点，，的图象与轴正半轴的交点为.若的外接圆的圆心在以为直径的圆上，则___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）在中，角，，的对边分别为，，，.（1）证明：；（2）求的最小值.18.（12分）如图，是边长为2的正三角形的中位线，将沿折起，使得平面平面.（1）求四棱锥的体积；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.19.（12分）设等比数列的首项为2，公比为，前项的和为，等差数列满足.（1）求；（2）若，，求数列前项的和.20.（12分）环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度（单位：）.调研人员收集了50天的数据，汽车日流量与PM2.5的平均浓度的标准差分别为252，36，制作关于的散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域I、II、III、IV，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8.（1）请完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为PM2.5平均浓度不小于与汽车日流量不小于1500辆有关；汽车日流量汽车日流量合计PM2.5的平均浓度PM2.5的平均浓度合计（2）经计算得回归方程为，求相关系数，并判断该回归方程是否有价值.参考公式：①，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828②回归方程，其中.③.若，则与有较强的相关性.21.（12分）已知双曲线的右顶点为，过点且斜率为的直线与的左、右支分别交于点，.（1）若，求；（2）若直线，与轴分别交于点，，，求.22.（12分）已知函数.（1）若是函数的极小值点，求证：；（2）若，求.2024届高三期中学业质量监测试卷数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】，选B.2.【答案】B【解析】，，选B.3.【答案】A【解析】，选A.4.【答案】B【解析】令，，则，，∴，∴，，∴，选B.5.【答案】D【解析】关于对称，，∴，，，；.6.【答案】C【解析】设，，选C.7.【答案】C【解析】，，，∴，∴时，取最大值.8.【答案】A【解析】令，，∴，∴在，，∴.令，，，，，，，∴∴，在，，∴，∴，选A.对于和的比较，∵（，当且仅当时取“=”），（运用了时，），∴.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】ACD【解析】，A对.，此时且，B错.，，，，，，C对.，则或，D对，选ACD.10.【答案】ABD【解析】，，A对.，B对.，，，∴，C错.，则，则∴，∴，D对，选ABD.11.【答案】ABD【解析】方法一：，在区间上都是单调增函数，单调增，单调性没有办法确定，单调性的没有办法确定，C错.单调性没有办法确定，为奇函数，为偶函数，奇偶性，A，B对.，∴为偶函数，D对，选ABD.方法二：例如取，，，显然非奇非偶，又，，均在上单增，增+增=增，A对.对于B，，在上；上，B正确.此时，，在上先减后增了，C错.对于D，，在上也是先减后增，D正确.选：ABD.12.【答案】ABC【解析】，由知与同号，，∴易知，，，A正确.，C正确.且对于B，∵，∴，∴，∴，B正确.对于D，，∴（当且仅当时取“=”），∴，D错.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】【解析】，，与共线，则，则.14.【答案】3【解析】，解集为，则.15.【答案】【解析】为等比数列，为等差数列，，则的等比数列，，∴，则，∴，，，∴，.16.【答案】【解析】方法一：，或.，或.的图象与轴正半轴交点为，则，.在，，，，，外接圆：，∴，圆心，在以为直径的圆上.∴，∴，∴，∴.方法二：∵的图象与轴正半轴交于，∴，大致图象如下图.∴，，令或，∴，，∴，，中垂线方程：，中垂线方程，∴，，，∴，∴.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）∵，∴.（2）当且仅当即，时取“=”.18.【解析】（1）取中点，连接，∵为等边三角形，∴，又∵平面平面，∴平面，∴.（2）如图建系，∴，，，，，∴，，，，设平面与平面的一个法向量分别为，，∴，.设平面与平面夹角为，∴.19.【解析】（1）∵为等差数列，∴，而，，，∴，或1.（2）∵，∴，∴，，∴，∴，∴.20.【解析】（1）2×2列联表如下：汽车日流量汽车日流量合计PM2.5的平均浓度16824PM2.5的平均浓度62026合计222850∴∴有99%的把握认为PM2.5平均浓度不小于与汽车日流量不小于1500辆有关.（2），而，，∴.∵，∴与有较强的相