专题01 向量的概念和线性运算-沪教版高一《数学》核心考点题型方法与技巧（解析版）

第第页PAGE【解析版】专题01向量的概念和线性运算在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的；向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理；本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第3章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容；高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具；一、《必修第二册》目录与内容提要【本章教材目录】在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的；向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理；本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第3章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容；高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具；【本章教材目录】第8章平面向量8.1向量的概念和线性运算8.2向量的数量积8.2.1向量的投影；8.2.2向量的数量积的定义与运算律8.3向量的坐标表示8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解与坐标表示；8.3.3向量线性运算的坐标表示；8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示8.4向量的应用【本章内容提要】1、平面向量的基本概念（1）向量：既有大小又有方向的量，常用、等记号表示.（2）向量的模：向量的大小，向量的模记为.（3）零向量：其模为，方向任意.（4）单位向量：模为的向量；非零向量的单位向量是.（5）平行向量：方向相同或相反的向量.（6）相等向量：方向相同、模相等的向量.（7）负向量：方向相反、模相等的向量.2、向量的线性运算（1）平面向量的加法、减法：运用平行四边形法则或三角形法则.（2）减去一个向量等于加上它的负向量．（3）实数与平面向量的乘法：实数与向量的乘积，记作.（4）设、、是平面上的任意向量，、向量的加法满足如下运算律：交换律：；结合律：.实数与向量的乘法对向量加减法满足分配律：；；.3.向量的投影与数量积（1）向量的夹角：向量与的夹角记为，其值.（2）向量的投影：向量在非零向量方向上的投影是如下的向量：.其中，系数称为向量在向量方向上的数量投影.（3）向量与的数量积定义为：.（4）向量的数量积满足交换律，并且是线性的（即对向量的加减满足分配律，且可与实数的乘法交换）.4、平面向量基本定理与向量的坐标表示（1）平面向量基本定理：给定平面上两个不平行的向量，则该平面内的任意向量都可以唯一地表示为这两个向量的线性组合，也就是说，平面上任意两个不平行的向量都组成了一个基；（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，把向量的起点放到坐标原点，向量就直接用它的终点坐标表示，称为向量的坐标表示，这样，向量就可写成坐标轴正方向上的单位向量、的线性组合；（3）给定平面上两点与，则；5、坐标表示下的向量运算设向量，，则（1）.（2）.（3），.（4）.6、向量的夹角、平行与垂直设向量，，则（1）.（2）（）或（）.（3）；7、向量的应用要体会如何从各种有关的问题中抽象出相应的向量问题，并用所掌握的向量方法解决这个向量问题，从而使原问题得以解决.1、向量的概念和表示方法（1）向量的定义：既有大小，又有方向的量称为向量；（2）向量的表示：①字母表示：用小写字母eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))表示，手写时必须加箭头；②几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示：如：，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))…【说明】后续还有向量的坐标表示；特别注意：（1）书写向量时带箭头；（2）向量强调长度和方向两个元素；（3）有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素；每一个有向线段对应一个向量，每一个向量对应无数个有向线段；2、向量的模及两个特殊向量（1）向量的长度（模）：向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，也就是向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度(或模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|；（2）两个特殊向量：①零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的；零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向线段表示出来；②单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量；【说明】（1）向量不能比较大小，它的模可以比较大小；（2）零向量不能说没有方向，它的方向是任意的；（3）单位向量有无数个，它们大小相等，方向不一定相同；3、相等向量和共线向量向量的有关概念及其表示名称定义表示方法零向量长度为0的向量记作eq\o(0,\s\up6(→))单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量(或共线向量)方向相同或相反的非零向量eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))平行(或共线)，记作eq\o(a,\s\up6(→))∥eq\o(b,\s\up6(→))相等向量长度相等且方向相同的向量eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))相等，记作eq\o(a,\s\up6(→))＝eq\o(b,\s\up6(→))相反向量长度相等且方向相反的向量eq\o(a,\s\up6(→))的相反向量记作－eq\o(a,\s\up6(→))4、负向量（相反向量）（1）定义：长度相等且方向相反的向量；（2）表示方法：eq\o(a,\s\up6(→))的相反向量记作－eq\o(a,\s\up6(→))；（3）相反向量的性质（3）零向量的相反向量仍是零向量.（4）对于相反向量有：eq\o(a,\s\up6(→))＋(－eq\o(a,\s\up6(→)))＝(－eq\o(a,\s\up6(→)))＋eq\o(a,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→))（5）若eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))互为相反向量，则eq\o(a,\s\up6(→))＝－eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))＝－eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→))；5、向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法法则三角形法则前提已知非零向量eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))作法在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(b,\s\up6(→))，再作向量eq\o(AC,\s\up6(→))结论向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))的和，记作eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))，即eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))图形平行四边形法则前提已知不共线的两个向量eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))作法在平面内任取一点O，以点O为起点的两个已知向量eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))为邻边作▱OACB结论对角线eq\o(OC,\s\up6(→))就是eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))的和图形规定零向量与任一向量eq\o(a,\s\up6(→))的和都有eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(0,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→))＋eq\o(a,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))向量加法的交换律和结合律（1）向量加法的交换律：eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))＝eq\o(b,\s\up6(→))＋eq\o(a,\s\up6(→))；（2）向量加法的结合律：(eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→)))＋eq\o(c,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))＋(eq\o(b,\s\up6(→))＋eq\o(c,\s\up6(→)))．【说明】向量求和的多边形法则（1）已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和．这称为向量求和的多边形法则．（2）首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为eq\o(0,\s\up6(→))【拓展】一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立．6、向量的减法（1）定义：向量eq\o(a,\s\up6(→))加上eq\o(b,\s\up6(→))的相反向量，叫做eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))的差，即eq\o(a,\s\up6(→))－eq\o(b,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))＋(－eq\o(b,\s\up6(→)))，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法；（2）几何意义：在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(b,\s\up6(→))，则向量eq\o(a,\s\up6(→))－eq\o(b,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，如图所示.（3）文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；【说明】求作两个向量的差向量的两种思路：（1）可以转化为向量的加法来进行，如eq\o(a,\s\up6(→))－eq\o(b,\s\up6(→))，可以先作－eq\o(b,\s\up6(→))，然后作eq\o(a,\s\up6(→))＋(－eq\o(b,\s\up6(→)))即可；（2）可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量；7、实数与向量的乘法及其运算律（1）实数与向量的乘法之定义一般地，实数λ与向量eq\o(a,\s\up6(→))的积是一个向量，记作λeq\o(a,\s\up6(→))；它的长度和方向规定如下：①|λeq\o(a,\s\up6(→))|＝|λ||eq\o(a,\s\up6(→))|；②当λ＞0时，λeq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(a,\s\up6(→))的方向相同；当λ＜0时，λeq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(a,\s\up6(→))的方向相反；当eq\o(a,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→))时，λeq\o(a,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→))；当λ＝0时，λeq\o(a,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→))；8、向量共线定理如果有一个实数λ，使eq\o(b,\s\up6(→))＝λeq\o(a,\s\up6(→))(eq\o(a,\s\up6(→))≠eq\o(0,\s\up6(→)))，那么eq\o(b,\s\up6(→))与eq\o(a,\s\up6(→))是共线向量；反之，如果eq\o(b,\s\up6(→))与eq\o(a,\s\up6(→))(eq\o(a,\s\up6(→))≠eq\o(0,\s\up6(→)))是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使eq\o(b,\s\up6(→))＝λeq\o(a,\s\up6(→)).题型1、对向量相关概念的理解例1、（1）判断下列命题是否正确，并说明理由．①任何两个单位向量都是平行向量（）；②零向量是没有方向的（）；③在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则向量eq\o(DE,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))是平行向量（）；④若向量eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))同向，且|eq\o(a,\s\up6(→))|＞|eq\o(b,\s\up6(→))|，则eq\o(a,\s\up6(→))＞eq\o(b,\s\up6(→))（）；⑤若向量|eq\o(a,\s\up6(→))|＝|eq\o(b,\s\up6(→))|，则eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))的长度相等且方向相同或相反（）；【提示】解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假；【解析】①错误；因为两个单位向量只是模都等于1个单位，方向不一定相同或相反；②错误；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的；③正确．由三角形中位线性质知，DE∥BC，向量eq\o(DE,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))方向相反，是平行向量；④错误；因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．⑤错误；由|eq\o(a,\s\up6(→))|＝|eq\o(b,\s\up6(→))|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．【说明】1、在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)；2、涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量；3、对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可；特别注意：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量；（2）如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(5).①画出所有的向量eq\o(AC,\s\up6(→))；②求|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最大值与最小值；【解析】①画出所有的向量eq\o(AC,\s\up6(→))，如图所示．②由(1)所画的图知，（a）当点C位于点C1或C2时，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最小值eq\r(12＋22)＝eq\r(5)；（b）当点C位于点C5或C6时，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最大值eq\r(42＋52)＝eq\r(41).所以|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最大值为eq\r(41)，最小值为eq\r(5)；【说明】1、向量是可以平移的矢量，没有固定的起点，共线向量即是平行向量,与线段、直线不一样；2、零向量与任何向量都平行，在判断向量关系时要注意零向量的特殊情况；题型2、对特殊向量概念的理解例2、（1）下列说法中正确的是（）A．向量的模都是正实数B．单位向量只有一个C．向量的大小与方向无关D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小【答案】C【解析】零向量的模为0，故A不正确；长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，不止一个，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确．（2）设eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(eq\o(a,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))|)＝eq\f(eq\o(b,\s\up6(→)),|eq\o(b,\s\up6(→))|)成立的充分条件是()A．eq\o(a,\s\up6(→))＝－eq\o(b,\s\up6(→)) B.eq\o(a,\s\up6(→))∥eq\o(b,\s\up6(→))C.eq\o(a,\s\up6(→))＝2eq\o(b,\s\up6(→)) D.eq\o(a,\s\up6(→))∥eq\o(b,\s\up6(→))且|eq\o(a,\s\up6(→))|＝|eq\o(b,\s\up6(→))|【答案】C；【解析】因为向量eq\f(eq\o(a,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))|)的方向与向量eq\o(a,\s\up6(→))方向相同，向量eq\f(eq\o(b,\s\up6(→)),|eq\o(b,\s\up6(→))|)的方向与向量eq\o(b,\s\up6(→))方向相同，且eq\f(eq\o(a,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))|)＝eq\f(eq\o(b,\s\up6(→)),|eq\o(b,\s\up6(→))|)，所以向量eq\o(a,\s\up6(→))与向量eq\o(b,\s\up6(→))方向相同，故可排除A，B，D.当eq\o(a,\s\up6(→))＝2eq\o(b,\s\up6(→))时，eq\f(eq\o(a,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))|)＝eq\f(2eq\o(b,\s\up6(→)),|2eq\o(b,\s\up6(→))|)＝eq\f(eq\o(b,\s\up6(→)),|eq\o(b,\s\up6(→))|)，故eq\o(a,\s\up6(→))＝2eq\o(b,\s\up6(→))是eq\f(eq\o(a,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))|)＝eq\f(eq\o(b,\s\up6(→)),|eq\o(b,\s\up6(→))|)成立的充分条件.【说明】解决向量有关的概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题；非零向量eq\o(a,\s\up6(→))与eq\f(eq\o(a,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))|)的关系：eq\f(eq\o(a,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))|)是与eq\o(a,\s\up6(→))同方向的单位向量；题型3、相等向量与共线向量例3、（1）已知A，B，C是不共线的三点，向量eq\o(m,\s\up6(→))与向量eq\o(AB,\s\up6(→))是平行向量，与eq\o(BC,\s\up6(→))是共线向量，则eq\o(m,\s\up6(→))＝________.【答案】eq\o(0,\s\up6(→));【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行；（2）如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．①写出与eq\o(EF,\s\up6(→))共线的向量；②写出模与eq\o(EF,\s\up6(→))的模相等的向量；③写出与eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量．【解析】①因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EF∥BC，EF＝eq\f(1,2)BC.又因为D是BC的中点，所以与eq\o(EF,\s\up6(→))共线的向量有eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))；②模与eq\o(EF,\s\up6(→))的模相等的向量有eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))；③与eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))；【说明】平行向量有关概念的四个关注点：1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性；2、共线向量即为平行向量，它们均与起点无关；3、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆；特别注意：在考查两向量平行或共线时，首先要考虑零向量的可能性；特别提示：相等向量与共线向量的探求方法（1）相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．（2）共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量；题型4、平面向量关系式|a＋b|与|a|、|b|之间的探讨例4、（1）已知eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))均为非零向量，且|eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))|＝|eq\o(a,\s\up6(→))|＋|eq\o(b,\s\up6(→))|，则下列说法中正确的是()A．eq\o(a,\s\up6(→))∥eq\o(b,\s\up6(→))，且eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))的方向相同B．eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))是方向相反的向量C．|eq\o(a,\s\up6(→))|＝|eq\o(b,\s\up6(→))|，且eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))的方向相反D．eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))无论什么关系均可【答案】A【解析】因为|eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))|≤|eq\o(a,\s\up6(→))|＋|eq\o(b,\s\up6(→))|(当且仅当eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))方向相同时取等号)；（2）探索一下|eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))|与|eq\o(a,\s\up6(→))|，|eq\o(b,\s\up6(→))|之间的关系？【解析】（1）当向量eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))不共线时，eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))的方向与eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))方向不同，且|eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))|<|eq\o(a,\s\up6(→))|＋|eq\o(b,\s\up6(→))|；（2）当eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))同向时，eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))同向，且|eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))|＝|eq\o(a,\s\up6(→))|＋|eq\o(b,\s\up6(→))|；（3）当eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))反向时，若|eq\o(a,\s\up6(→))|>|eq\o(b,\s\up6(→))|，则eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))的方向与eq\o(a,\s\up6(→))相同，且|eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))|＝|eq\o(a,\s\up6(→))|－|eq\o(b,\s\up6(→))|；若|eq\o(a,\s\up6(→))|<|eq\o(b,\s\up6(→))|，则eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))的方向与eq\o(b,\s\up6(→))相同，且|eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))|＝|eq\o(b,\s\up6(→))|－|eq\o(a,\s\up6(→))|；【说明】一般地，我们有|eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))|≤|eq\o(a,\s\up6(→))|＋|eq\o(b,\s\up6(→))|，当且仅当eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))中有一个是零向量或eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))是方向相同的非零向量时，等号成立；题型5、与负向量（相反向量）相关例5、（1）若eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))为相反向量，且|eq\o(a,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(b,\s\up6(→))|＝1，则|eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))|＝________，|eq\o(a,\s\up6(→))－eq\o(b,\s\up6(→))|＝________.【答案】0；2；【解析】若eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))为相反向量，则eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→))，所以|eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))|＝0，又eq\o(a,\s\up6(→))＝－eq\o(b,\s\up6(→))，所以|eq\o(a,\s\up6(→))|＝|－eq\o(b,\s\up6(→))|＝1，因为eq\o(a,\s\up6(→))与－eq\o(b,\s\up6(→))同向，所以|eq\o(a,\s\up6(→))－eq\o(b,\s\up6(→))|＝2;（2）（多选）若非零向量eq\o(m,\s\up6(→))与eq\o(n,\s\up6(→))是相反向量，则下列正确的是（）A．eq\o(m,\s\up6(→))＝eq\o(n,\s\up6(→)) B．eq\o(m,\s\up6(→))＝－eq\o(n,\s\up6(→))C．|eq\o(m,\s\up6(→))|＝|eq\o(n,\s\up6(→))| D．eq\o(m,\s\up6(→))与eq\o(n,\s\up6(→))方向相反【答案】BCD【解析】相反向量的大小相等、方向相反，故A错误，BCD正确．题型6、向量的加、减运算的几何意义例6、（1）已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，则下列结论中正确的是（）A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P在△ABC的外部【答案】D【解析】eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，根据向量加法的平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外．（2）已知点G是△ABC的重心，则eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝______.【答案】eq\o(0,\s\up6(→))【解析】如图所示，延长AG交BC于点E，则点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE＝ED，则eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝eq\o(GD,\s\up6(→))，eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(GA,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→))，所以，eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→))；【说明】在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示；题型7、向量的线性运算例7、（1）已知正方形ABCD的边长等于1，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))|＝________.【答案】2eq\r(2)【解析】|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)；（2）化简：①eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；③eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)).【解析】①eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；②eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝0.③eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→))；【说明】解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；题型8、实数λ与向量eq\o(a,\s\up6(→))相乘例8、（1）已知非零向量eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))满足eq\o(a,\s\up6(→))＝4eq\o(b,\s\up6(→))，则（）A．|eq\o(a,\s\up6(→))|＝|eq\o(b,\s\up6(→))|B．4|eq\o(a,\s\up6(→))|＝|eq\o(b,\s\up6(→))|C．eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))的方向相同D．eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))的方向相反【答案】C【解析】∵eq\o(a,\s\up6(→))＝4eq\o(b,\s\up6(→))，4>0，∴|eq\o(a,\s\up6(→))|＝4|eq\o(b,\s\up6(→))|；∵4b与eq\o(b,\s\up6(→))的方向相同，∴eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))的方向相同；（2）（多选）已知λ，μ∈R，且eq\o(a,\s\up6(→))≠eq\o(0,\s\up6(→))，则在以下各命题中，正确的命题是（）A．当λ<0时，λeq\o(a,\s\up6(→))的方向与eq\o(a,\s\up6(→))的方向一定相反B．当λ＝0时，λeq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(a,\s\up6(→))是共线向量C．|λeq\o(a,\s\up6(→))|＝λ|eq\o(a,\s\up6(→))|D．当λμ>0时，λeq\o(a,\s\up6(→))的方向与μeq\o(a,\s\up6(→))的方向一定相同【答案】ABD【解析】根据实数λ与向量eq\o(a,\s\up6(→))的积λeq\o(a,\s\up6(→))的方向的规定，易知A正确；对于B，当λ＝0时，λeq\o(a,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→))，eq\o(0,\s\up6(→))与eq\o(a,\s\up6(→))是共线向量，故B正确；对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λeq\o(a,\s\up6(→))和μeq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(a,\s\up6(→))同向，或者都是与eq\o(a,\s\up6(→))反向，所以λeq\o(a,\s\up6(→))与μeq\o(a,\s\up6(→))是同向的，故D正确；对于C，|λeq\o(a,\s\up6(→))|＝|λ||eq\o(a,\s\up6(→))|，C错误；【说明】λ的正负决定向量λeq\o(a,\s\up6(→))(eq\o(a,\s\up6(→))≠eq\o(0,\s\up6(→)))的方向，λ的大小决定λeq\o(a,\s\up6(→))的模；特别注意：1、数乘向量仍是向量；2、实数λ与向量不能相加；题型9、对向量向量共线定理的理解与应用例9、（1）设eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))是不共线的两个向量．①若eq\o(OA,\s\up6(→))＝2eq\o(a,\s\up6(→))－eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))－3eq\o(b,\s\up6(→))，求证：A，B，C三点共线；②若8eq\o(a,\s\up6(→))＋keq\o(b,\s\up6(→))与keq\o(a,\s\up6(→))＋2eq\o(b,\s\up6(→))共线，求实数k的值；【解析】①证明∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→)))－(2eq\o(a,\s\up6(→))－eq\o(b,\s\up6(→)))＝eq\o(a,\s\up6(→))＋2eq\o(b,\s\up6(→))，而eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(eq\o(a,\s\up6(→))－3eq\o(b,\s\up6(→)))－(3eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→)))＝－(2eq\o(a,\s\up6(→))＋4eq\o(b,\s\up6(→)))＝－2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线，且有公共点B，所以，A，B，C三点共线；②因为，8eq\o(a,\s\up6(→))＋keq\o(b,\s\up6(→))与keq\o(a,\s\up6(→))＋2eq\o(b,\s\up6(→))共线，所以，存在实数λ，使得8eq\o(a,\s\up6(→))＋keq\o(b,\s\up6(→))＝λ(keq\o(a,\s\up6(→))＋2eq\o(b,\s\up6(→)))，即(8－λk)eq\o(a,\s\up6(→))＋(k－2λ)eq\o(b,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→))，因为，eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))不共线，所以，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－λk＝0，,k－2λ＝0，))解得λ＝±2，所以，k＝2λ＝±4；（2）若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，求证：x＋y＝1.【证明】∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq\o(OB,\s\up6(→))－λeq\o(OC,\s\up6(→))，又eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，则x＝1＋λ，y＝－λ，∴x＋y＝1.【说明】1、证明或判断三点共线的方法：一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))(或eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))等)即可；2、利用向量共线求参数的方法；3、已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数对应相等求解；题型10、向量的概念和线性运算相关的综合题例10、（1）设O是△ABC的外心，则eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))是（）A．相等向量 B．模相等的向量C．平行向量 D．起点相同的向量【答案】B【解析】因为O是△ABC的外心，所以|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝|eq\o(CO,\s\up6(→))|；（2）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，则|eq\o(AC,\s\up6(→))|等于()A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2【答案】A【解析】由|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|，得∠ABC＝∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°，则|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×2＝1.（3）若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝8，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范围是（）A．[3，8] B．(3，8)C．[3，13] D．(3，13)【答案】C【解析】∵|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|且||eq\o(AC,\s\up6(→))|－|eq\o(AB,\s\up6(→))||≤|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|≤|Aeq\o(C,\s\up6(→))|＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|，∴3≤|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|≤13，∴3≤|eq\o(BC,\s\up6(→))|≤13.（4）设|eq\o(a,\s\up6(→))|＝2，eq\o(e,\s\up6(→))为单位向量，则|eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(e,\s\up6(→))|的最大值为______．【答案】3【解析】在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(e,\s\up6(→))，则eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(e,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))，因为eq\o(e,\s\up6(→))为单位向量，所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1处时，O，A，B1三点共线，|eq\o(OB,\s\up6(→))|即|eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(e,\s\up6(→))|最大，最大值是3.1、若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝________.【答案】2eq\r(3)【解析】因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)；2、在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，则λ等于【答案】eq\f(2,3)；【解析】方法1：由题意设eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋m(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1－m)eq\o(CA,\s\up6(→))＋meq\o(CB,\s\up6(→))，1－m＝eq\f(1,3)，∴m＝λ＝eq\f(2,3).方法2：由A，B，D三点共线可知，eq\f(1,3)＋λ＝1，∴λ＝eq\f(2,3).3、已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→))，则△ABC的内角A等于【答案】30°；【解析】由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→))，得eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，又O为△ABC的外接圆的圆心，根据加法的几何意义，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.4、设向量eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))不平行，向量λeq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))与eq\o(a,\s\up6(→))＋2eq\o(b,\s\up6(→))平行，则实数λ＝____________.【答案】eq\f(1,2)【解析】∵向量eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))不平行，∴eq\o(a,\s\up6(→))＋2eq\o(b,\s\up6(→))≠eq\o(0,\s\up6(→))，又向量λeq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))与eq\o(a,\s\up6(→))＋2eq\o(b,\s\up6(→))平行，则存在唯一的实数μ，使λeq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))＝μ(eq\o(a,\s\up6(→))＋2eq\o(b,\s\up6(→)))成立，即λeq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))＝μeq\o(a,\s\up6(→))＋2μeq\o(b,\s\up6(→))，则得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,1＝2μ，))解得λ＝μ＝eq\f(1,2)；5、在△ABC中，点M为AC上的点，且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，若eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，则λ－μ的值是【答案】eq\f(1,3)；【解析】由eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，得eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，又因为eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(2,3)，μ＝eq\f(1,3)，故λ－μ＝eq\f(1,3).6、已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(b,\s\up6(→))，给出下列命题：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(a,\s\up6(→))－eq\o(b,\s\up6(→))；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(b,\s\up6(→))；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(b,\s\up6(→))；④eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→))；其中正确命题有________.【答案】②③④【解析】eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(a,\s\up6(→))－eq\o(b,\s\up6(→))，故①错；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(b,\s\up6(→))，故②正确；eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(b,\s\up6(→))，故③正确；eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(b,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(b,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(a,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→))，故④正确.7、在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量的终点形成的图形是()A．单位圆 B．一段弧C．线段 D．直线【答案】A8、矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A．eq\f(5,8) B．eq\f(1,4) C．1 D．eq\f(5,16)【答案】A【解析】eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4).∴λ2＋μ2＝eq\f(1,16)＋eq\f(9,16)＝eq\f(5