专题01 复数及其四则运算-沪教版高一《数学》核心考点题型方法与技巧（解析版）

第第页PAGE【解析版】专题01复数及其四则运算在数学的发展史上有一件有意思的事：数学家在研究三次方程求解的过程中，即使最终得到实根，过程中却常常要对一些负数开平方，遇到了难以自圆其说的尴尬；于是，一种被称作为“虚数”的新数于16世纪开始被引入了数学实数与虚数合称为复数；复数是人类理性思维的演绎成果，它的产生首先是因为数学家解决数学自身问题的需要，在很长的一段时间内，人们并不清楚它与现实世界到底有怎样的联系；后来，数学家建立了复数与向量，即复数与几何的关联，在大学学习力学和电磁学时，会看到复数在其中的重要作用，复数在数学及其他科学领域中也越来越体现出它的重要性；现在，复数已经成为数学工作者与许多领域的科技人员熟练掌握并广泛应用的基本数学工具；一、《必修第二册》目录与内容提要【本章教材目录】9.1复数及其四则运算9.1.1复数的引入与复数的四则运算；9.1.2复数的实部、虚部与共轭；9.2复数的几何意义9.2.1复平面与复数的坐标表示；9.2.2复数的向量表示；9.2.3复数加法的平行四边形法则；9.2.4复数的模9.3实系数一元二次方程9.3.1实数的平方根；9.3.2实数系一元二次方程；*9.4复数的三角形式9.4.1复数的三角形式；9.4.2三角形式下复数的乘除运算；9.4.3三角形式下复数的乘方与开方【本章内容提要】复数是我们继自然数、整数、有理数和实数的学习之后，新认识的一种数.1、复数系与相关概念（1）虚数单位，满足.（2）复数的代数形式：（）.（3）复数的相等：（）的充要条件是同时为；复数（）的充要条件是且.（4）复数的实部与虚部：复数（）的实部是，虚部是；虚部为的复数是实数，虚部不为的复数称为虚数，实部为的虚数称为纯虛数.；（5）复数的共轭：复数（）的共轭复数是；（6）复数的模：复数（）的模是；复数的模有如下性质：对、、，，；；；（复数的三角不等式）.2、复数的四则运算（1）两个复数进行相加、相减或相乘时，仿照两个二项式进行相加、相减或相乘的规则计算，并用条件及合并同类项以化简结果：设；．（2）两个复数进行除法（除数不为）运算时，将分子和分母同时乘分母的共轭复数，然后分子和分母分别做复数的乘法而得到运算结果：设，.本质：化简分式.（3）复数模对乘、除的分配性：复数积（商）的模等于模的积（商）：设；（）.3、复数的坐标表示（1）复平面：表示复数的直角坐标平面叫做复平面，其中轴叫做实轴，轴叫做虛轴.（2）复数的坐标表示与向量表示：复数（）可用复平面上坐标为的点来表示，也可以用从坐标原点出发的向量来表示.（3）复数模的几何意义：复数（）的模等于点与原点的距离，也等于向量的模.（4）两个复数的和在复平面上所对应的向量就是两个复数对应的向量按平行四边形法则所得到的和向量.（5）两复数差的模的几何意义：两复数、差的模是这两个复数在复平面上对应点、之间的距离，即.4、实系数一元二次方程给定方程（，），并令为其判别式，则（1）当时，方程有两个不相等的实根；（2）当时，方程有两个相等的实根（二重根）（3）当时，方程有一对共轭虛根*5、复数的三角形式（1）复数的辐角：设复数对应复平面上的点，则以原点为顶点、轴的正半轴为始边、射线为终边的角称为的辐角，记作；满足的辐角称为的辐角主值，记为.（2）复数的三角形式：设复数的模为，辐角为，则，复数的这种表示形式称为它的三角形式.（3）三角形式下复数的乘法与除法公式：给定三角形式的复数与，则，（）.（4）三角形式下复数的乘方与开方公式：给定三角形式的复数，则对任何正整数，有：；的次方根，；1、虚数单位及其规定（1）虚数单位：它的平方等于，即.（2）虚数单位可以与实数进行加、乘运算：当时，比如：，，并规定虚数单位与实数的乘法满足交换律；化简归纳得到形如：的数；2、复数的定义与代数表示形如的数叫复数，叫复数的实部，记作；叫复数的虚部，记作；全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示：即：；【注意】称作复数的代数形式；3、现行教材有关复数的约定对于复数集：（1）复数且；（2）复数且；【说明】1、如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等；2、一般地，两个复只能说相等或不相等，而不能比较大小，只有当两个复数全是实数时才能比较大小；4、复数的四则运算复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)【说明】1、复数加法运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝z2＋z1；②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)‘’2、复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有：①交换律：z1·z2＝z2·z1；②结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；③乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3；5、复数的分类复数的分类以及复数与实数、虚数、纯虚数及的关系对于复数，当且仅当时，复数是实数，；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数0.【说明】复数集与其它数集之间的关系：；6、共轭复数1、实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做共轭复数，也称这两个复数互相共轭；复数的共轭复数用表示，也就是当时，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；2、一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数，z的共轭复数用eq\x\to(z)表示．若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi．3、设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i．题型1、准确把握与理解虚数单位例1、（1）下列复数中，满足方程x2+2=0的是()A．±1 B．±iC．±eq\r(2)QUOTE2i D．±2i【答案】C；【解析】由题意得，x2=－2=2i2，所以x=±eq\r(2)QUOTE2i；（2）计算：[(1＋2i)·i100－i]2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r(2))))30＝________.【答案】3i；【解析】原式＝[(1＋2i)－i]2－eq\f(215(－i),215)＝(1＋i)2＋i＝3i;【说明】1、虚数单位i的乘方具有周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈{正整数}；2、(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.题型2、准确理解复数的相关概念例2、（1）给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】B；【解析】复数的平方不一定大于0，故①错；2i－1的虚部为2，故②错；2i的实部是0，③正确，故选B.（2）已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是__________．【答案】±eq\r(2)，5；【解析】由题意，得a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±eq\r(2)，b＝5；【说明】判断与复数有关的命题是否正确的方法：1、举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答；2、化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部；题型3、理解复数相等的充要条件例3、已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a等于()A．－1B．1C．－3D．3【答案】C；【解析】方法1：因为(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，解得a＝－3；方法2：因为(1＋ai)i＝3＋i，所以1＋ai＝eq\f(3＋i,i)＝1－3i，所以a＝－3；（2）若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求：实数x，y的值；【提示】根据复数相等的充要条件求解；【解析】由复数相等的充要条件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,y＝x＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(1,2).))【说明】复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1＝z2⇔a＝c且b＝d；特别注意：其中a，b，c，d∈R；题型4、复数相等的充要条件的应用例4、（1）已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为________．【答案】0；【解析】由z1>z2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2＋3a＝0，,a2＋a＝0，,－4a＋1>2a，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0或a＝－\f(3,2)，,a＝0或a＝－1，,a<\f(1,6).))解得a＝0.（2）关于x的方程3x2－eq\f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．【提示】根据复数相等的充要条件求解；【解析】设方程的实根为x＝m，则原方程可变为3m2－eq\f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))解得a＝11或a＝－eq\f(71,5).【说明】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．转化过程主要依据复数相等的充要条件；基本思路是：1、等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；2、由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；3、解方程组，求出相应的参数；题型5、用好复数的代数形式a＋bi(a，b∈R)例5、（1）使不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m的取值集合是________.【答案】{3}【解析】依题意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－3m＝0，,m2－4m＋3＝0，,m2<10.))解得m＝3，∴实数m的取值集合是{3}；（2）已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝eq\r(x2＋y2)，又|z|＋z＝1＋3i，所以eq\r(x2＋y2)＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＋x＝1，,y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝3，))所以z＝－4＋3i；【说明】当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)；化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部；然后，根据复数相等的充要条件列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可；题型6、复数的加减运算例6、（1）复数(2＋3i)－(1－i)＋(7＋i)＝______.【答案】8＋5i【解析】复数(2＋3i)－(1－i)＋(7＋i)＝(2－1＋7)＋(3＋1＋1)i＝8＋5i.（2）设m∈R，复数z1＝eq\f(m2＋m,m＋2)＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．【解析】∵z1＝eq\f(m2＋m,m＋2)＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，∴z1＋z2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2＋m,m＋2)－2))＋[(m－15)＋m(m－3)]i＝eq\f(m2－m－4,m＋2)＋(m2－2m－15)i.∵z1＋z2是虚数，∴m2－2m－15≠0且m＋2≠0.∴m≠5且m≠－3且m≠－2，m∈R.即m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．【说明】复数加、减运算的解题思路：两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)；题型7、复数的乘除运算例7、（1）计算：eq\f((1＋i)(4＋3i),(2－i)(1－i))＝________.【答案】－2＋i【解析】方法1：eq\f((1＋i)(4＋3i),(2－i)(1－i))＝eq\f(1＋7i,1－3i)＝eq\f((1＋7i)(1＋3i),10)＝－2＋i.方法2：eq\f((1＋i)(4＋3i),(2－i)(1－i))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4＋3i,2－i)))＝eq\f(i(4＋3i)(2＋i),5)＝eq\f((－3＋4i)(2＋i),5)＝eq\f(－10＋5i,5)＝－2＋i.（2）若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为()A．3＋5i B．3－5iC．－3＋5i D．－3－5i【答案】A【解析】∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝eq\f(11＋7i,2－i)＝eq\f(11＋7i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(15＋25i,5)＝3＋5i.【说明】1、两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤：（1）①首先按多项式的乘法展开；②再将i2换成－1；③然后再进行复数的加、减运算．（2）常用公式①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i；2、复数的除法运算法则的应用：复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算；复数除法的法则是：(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．注意点：①在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成eq\f(a＋bi,c＋di)的形式．②复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数．题型8、对复数的分类的理解例8、（1）复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是()A．|a|＝|b|B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠bD．a>0且a＝±b【提示】依据复数的分类列出方程(不等式)组求解；【答案】D；【解析】要使复数z为纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝0，,a＋|a|≠0，))∴a>0，a＝±b；故选D；（2）已知m∈R，复数z＝eq\f(mm＋2,m－1)＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，①z为实数？②z为虚数？③z为纯虚数？【提示】依据复数的分类列出方程(不等式)组求解；【解析】①要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且eq\f(mm＋2,m－1)有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.②要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且eq\f(mm＋2,m－1)有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.③要使z为纯虚数，需满足eq\f(mm＋2,m－1)＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.【说明】利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数z＝a＋bia，b∈R为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0；题型9、共轭复数的初步理解例9、（1）若复数z满足2z＋eq\x\to(z)＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i【答案】B；【解析】方法1：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋eq\x\to(z)＝2a＋2bi＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i.由复数相等的定义，得3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i.方法2：由已知条件2z＋eq\x\to(z)＝3－2i①，得2eq\x\to(z)＋z＝3＋2i②，解①②组成的关于z，eq\x\to(z)的方程组，得z＝1－2i；故选B；（2）已知复数z＝1＋i，复数z的共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))＝1－i，求实数a，b使az＋2beq\o(z,\s\up6(－))＝(a＋2z)2；【解析】∵z＝1＋i，eq\o(z,\s\up6(－))＝1－i，∴az＋2beq\o(z,\s\up6(－))＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.∵a，b都是实数，∴由az＋2beq\o(z,\s\up6(－))＝(a＋2z)2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝a2＋4a，,a－2b＝4a＋2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝2.))【说明】共轭复数的求解与应用1、若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出eq\o(z,\s\up6(－))，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求eq\o(z,\s\up6(－)).2、共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和eq\o(z,\s\up6(－))的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．题型10、复数运算的综合应用例10、已知z1是虚数，z2＝z1＋eq\f(1,z1)是实数，且－1≤z2≤1.（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若ω＝eq\f(1－z1,1＋z1)，求证：ω为纯虚数．【解析】（1）z2＝z1＋eq\f(1,z1)＝a＋bi＋eq\f(1,a＋bi)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(a,a2＋b2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(b,a2＋b2)))i.因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，所以z2＝2a，由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(1,2)，即z1的实部的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).（2）ω＝eq\f(1－z1,1＋z1)＝eq\f(1－a－bi,1＋a＋bi)＝eq\f(1－a2－b2－2bi,1＋a2＋b2)＝－eq\f(b,a＋1)i.因为a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，b≠0，所以ω为纯虚数．【说明】解决双复数问题的方法：解决此类双复数问题的关键是设出已知条件较多的一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，注意题目对a，b取值的限制，然后用a，b表示出另外的复数，进而转化求解．此类题目难度较大，除需正确进行复数的四则运算外，还需掌握复数的基本概念及复数模的定义；1、已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a等于【答案】－3；【解析】方法1：因为(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，解得a＝－3.方法:2：因为(1＋ai)i＝3＋i，所以1＋ai＝eq\f(3＋i,i)＝1－3i，所以a＝－3.2、若eq\x\to(z)(1＋i)＝1－i，则z等于【答案】i【解析】因为eq\x\to(z)＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f((1－i)2,(1＋i)(1－i))＝－i，所以z＝i.3、已知eq\f(x,1＋i)＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为【答案】2－i【解析】由eq\f(x,1＋i)＝1－yi，得eq\f(x1－i,1＋i1－i)＝1－yi，即eq\f(x,2)－eq\f(x,2)i＝1－yi，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝1，,\f(x,2)＝y，))解得x＝2，y＝1，∴x＋yi＝2＋i，∴其共轭复数为2－i.4、已知z＝1－3i，则|eq\x\to(z)－i|＝________.【答案】eq\r(5)【解析】∵z＝1－3i，∴eq\x\to(z)＝1＋3i，∴eq\x\to(z)－i＝1＋3i－i＝1＋2i，∴|eq\x\to(z)－i|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).5、eq\f(2－i,1＋2i)等于【答案】－i【解析】eq\f(2－i,1＋2i)＝eq\f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(－5i,5)＝－i.6、已知z是纯虚数，eq\f(z－2,1＋i)是实数，则复数z=.【答案】－2i.【解析】设纯虚数z＝bi(b