专题01 第1章 集合与逻辑-沪教版高一《数学》上学期期末复习课专题（解析版）

第第页PAGE【教师版】专题01第1章集合与逻辑第1章集合与逻辑【课本目录】1.1集合初步1.1.1集合；1.1.2集合的表示方法；1.1.3集合之间的关系；1.1.4集合的运算1.2常用逻辑用语1.2.1命题；1.2.2充分条件与必要条件；1.2.3反证法本章内容提要1.集合的概念与表示：（1）集合是一些确定对象的全体.集合中的元素具有确定、无序、不重复的特征.常用数集有等；（2）空集是不含任何元素的集合；（3）当时，满足的所有实数组成的集合记作开区间，满足的所有实数组成的集合记作闭区间等；2.集合的关系与运算：（1）子集关系可分为两类：真子集与相等的集合；（2）集合与的交集是这两个集合的所有公共元素所组成的集合，记作；集合与的并集是这两个集合的所有元素所组成的集合，记作；（3）相对于全集，其任一子集均有补集.一个集合的补集是指在全集中而不在中的全体元素所组成的集合，记作；3.命题（1）命题是指能判断其真假的语句；（2）命题有真、假两类；4.充分条件与必要条件：（1）当时，是的充分条件，是的必要条件；（2）当时，是的充要条件.此时，在推理过程中与能互相替换；5.反证法，是指通过否定结论，推出矛盾，进而证明结论成立的证明方法；题型1、集合的含义与表示例1、（1）设集合B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若1∈B，则B＝（）A．{1，3} B．{1，0}C．{1，－3} D．{1，5}【提示】明确元素与集合的关系；；【答案】A；【解析】∵集合B＝{x|x2－4x＋m＝0}，1∈B，∴1－4＋m＝0，解得m＝3，∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}；（2）)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是个；【提示】明确集合的元素与元素满足的性质；【答案】6；【解析】方法1、（枚举法）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0,1,2.故集合B＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B中有6个元素；方法2；借助坐标轴，数形结合；【说明】解决集合含义问题的关键：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题；特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性；题型2、集合与集合间的关系例2、（1）设集合A＝{x||x－a|＝1}，B＝{－1，0，b}(b＞0)．若A⊆B，则对应的实数对(a，b)有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个【提示】注意理解集合的元素与集合间关系；【答案】B；【解析】由|x－a|＝1，解得x1＝a－1，x2＝a＋1，故A＝{a－1，a＋1}；因为A⊆B，B＝{－1，0，b}(b＞0)，所以当a－1＝－1时，a＝0，A＝{－1,1}，则b＝1；当a－1＝0时，a＝1，A＝{0,2}，则b＝2；因为a＋1＞a－1，所以不存在满足a－1＝b且A⊆B的实数对(a，b)；综上，对应的实数对(a，b)为(0,1)，(1,2)，有2个；（2）已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞a}．若A⊆B，则实数a的取值范围是________．【提示】注意：理解集合的元素与用好“数形结合”【答案】{a|a≤1}；【解析】如图，在数轴上表示出A，B.因为A⊆B，所以a≤1.答案：{a|a≤1}；【说明】1、子集个数的求解方法：（1）穷举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况；（2）公式法：含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2；2、已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的条件，解决这类问题常常要合理利用数轴、文氏图或图象帮助分析；题型3、集合的相关运算例3、（1）已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|ex－2≤1}，则A∪B＝（）A．(－∞，4) B．(1，4)C．(1，2) D．(1，2]【提示】注意：利用相关知识化简已知集合，明确集合的元素及其性质；【答案】A；【解析】由题设，解得A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，所以A∪B＝(－∞，4)．（2）若集合A＝{x|2x2－9x＞0}，B＝{y|y≥2}，则(∁RA)∪B＝()【答案】[0，＋∞)；【解析】因为A＝{x|2x2－9x＞0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞\f(9,2)，或x＜0))))，所以∁RA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(9,2)))))，又B＝{y|y≥2}，所以(∁RA)∪B＝[0，＋∞)．【说明】解答集合间的运算问题，关键是：利用相关知识化简已知集合，明确集合的元素是什么？满足什么性质？题型4、依据集合运算求参数或范围例4、（1）设集合A＝{x|x(4－x)＞3}，B＝{x||x|≥a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≤3D．a＜3【提示】注意：先利用相关知识化简已知集合，然后，理解集合的元素与性质进行运算；【答案】A；【解析】由已知，化简得：A＝{x|1＜x＜3}，∵A∩B＝A，∴A⊆B，①若a≤0，B＝R，满足A⊆B；②若a＞0，则B＝{x|x≥a，或x≤－a}；∴0＜a≤1，综上可得，a≤1；（2）设A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}．已知A∩B＝{9}，则a＝________，A∪B＝________.【答案】－3；{－7，－4，－8，4，9}；【解析】由已知A∩B＝{9}，得a2＝9或2a－1＝9，解得a＝±3或a＝5；当a＝3时，A＝{9，5，－4}，B＝{－2，－2，9}，B中元素不满足集合元素的互异性，舍去．当a＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}满足题意，故A∪B＝{－7，－4，－8，4，9}；当a＝5时，A＝{25，9，－4}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去．综上所述，a＝－3，A∪B＝{－7，－4，－8，4，9}；【说明】根据集合运算的结果确定参数值或范围的步骤；主要是利用相关知识化简已知集合；同时明确集合的运算与性质；在进行集合运算时，列出方程或不等式（组）求相关的参数；题型5、数形结合解答有关集合问题例5、（1）图中阴影部分所表示的集合是（）A．∁U(A∪C)∩B B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁UB) D．∁U(A∩C)∪B【答案】C；【解析】由文氏图可知阴影部分所表示的集合为集合A，C的并集与集合B在全集U中补集的交集，即为(A∪C)∩(∁UB)．（2）调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是（）A．最多人数是55 B．最少人数是55C．最少人数是75 D．最多人数是80【答案】B；【解析】设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B；又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则x∈[0,20]，以上两种药都带的人数为y.根据题意画出文氏图，如图所示，由图可知，x＋75＋80－y＝100.∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人数是55.答案：B【说明】通过本题说明，解解答集合问题时，用好数轴、直角坐标系、文氏图，往往可以化抽象为具体；题型6、例析与集合有关的新定义问题例6、（1）对于任意两个自然数m，n，定义某种⊗运算如下：当m，n都为奇数或偶数时，m⊗n＝m＋n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m⊗n＝mn.则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a⊗b＝18，a∈N，b∈N}中的元素个数为（）A．26 B．25C．24 D．23【提示】理解与转化“新定义”；【答案】B；【解析】若a和b一奇一偶，则ab＝18，满足此条件的有1×18＝2×9＝3×6，故数对(a，b)有6个；若a和b同奇偶，则a＋b＝18，满足此条件的有0＋18＝1＋17＝2＋16＝3＋15＝4＋14＝…＝17＋1＝18＋0，故数对(a，b)有19个；所以满足条件的元素个数为6＋19＝25；答案：B；（2）已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对于任意x∈A，y∈B，x＜y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个．【答案】17；【解析】由集合M＝{1,2,3,4}集合A，B为集合M的非空子集，若对于任意x∈A，y∈B，x＜y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”有：当A＝{1}，B＝{2}或{3}或{4}或{2,3}或{2,4}或{3,4}或{2,3,4}；当A＝{2}时，B＝{3}或{4}或{3,4}，当A＝{3}时，B＝{4}，当A＝{1,2}时，B＝{3}或{4}或{3,4}，当A＝{1,3}时，B＝{4}，当A＝{2,3}时，B＝{4}，当A＝{1,2,3}时，B＝{4}．答案：17【说明】与集合有关的新定义问题，需要认真审题，搞清新定义含义，从而顺利解决问题．新定义问题特点是“新”，并不代表“难”，所以面对此问题时，克服畏难情绪很重要；题型7、充要条件的判断例7、（1）设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【提示】注意：先借助相关知识，化简已知命题的条件与结论；【答案】B；【解析】由x2－5x＜0可得0＜x＜5.由|x－1|＜1可得0＜x＜2.由于区间(0,2)是(0,5)的真子集，故“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要而不充分条件；（2）设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围是______________________【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))；【解析】解|4x－3|≤1，得eq\f(1,2)≤x≤1.解x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1.∵q是p的必要不充分条件，即由命题p成立能推出命题q成立，但由命题q成立不能推出命题p成立．∴eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))[a，a＋1]．∴a≤eq\f(1,2)且a＋1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a≤eq\f(1,2).∴实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).【说明】1、充分、必要条件的判断方法：（1）利用定义判断：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么；（2）从集合的角度判断：利用集合中包含关系判定，即可解决充分、必要性的问题；2、不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．题型8、充要条件与必要条件的应用例8、（1）若x＞0，则x＋eq\f(2024,x)≥a恒成立的一个充分条件是()A．a＞80B．a＜80C．a＞100D．a＜100【答案】B；【解析】当x＞0时，x＋eq\f(2024,x)≥2eq\r(2024)＝4eq\r(506)，因为x＋eq\f(2024,x)≥a(x＞0)恒成立，所以a≤4eq\r(506)，结合各选项知x＋eq\f(2024,x)≥a恒成立的一个充分条件为a＜80；答案：B；（2）若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则m的最大值为________．【答案】－2；【解析】由x2－2x－8＞0，解得x＞4或x＜－2，所以记A＝{x|x＞4，或x＜－2}，B＝{x|x＜m}；若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则B是A的真子集．故m≤－2，所以m的最大值为－2；答案：－2；【说明】已知充分、必要条件或充要条件求参数取值范围的策略：1、巧用转化求参数：把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形；2、端点值慎取舍：在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍；题型9、理解与用好反证法例9、（1）用反证法证明“已知，求证：.”时，应假设（）A． B． C．且 D．或【提示】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结论；【答案】D【解析】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而的否定为“不都为零”，故选D.【说明】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于简单题.（2）设a,b,c分别是的三条边,且；我们知道，如果为直角三角形，那么(勾股定理)；反过来，如果，那么为直角三角形(勾股定理的逆定理)；由此可知,为直角三角形的充要条件是；请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明；【提示】根据勾股定理易得为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是；再分别证明充分与必要性即可；【答案】为锐角三角形的充要条件是；为钝角三角形的充要条件是.【解析】（1）设a,b,c分别是的三条边,且,为锐角三角形的充要条件是.证明如下：必要性:在中,是锐角,作,D为垂足,如图(1).显然,即.充分性：在中,,不是直角.假设为钝角,如图(2).作,交BC延长线于点D.则.即,与“”矛盾.故为锐角,即为锐角三角形.（2）设a,b,c分别是的三条边,且,为钝角三角形的充要条件是.证明如下:必要性:在中,为钝角,如图(2),显然:.即.充分性:在中,,不是直角,假设为锐角,如图(1),则.即,这与“”矛盾,从而必为钝角,即为钝角三角形.【说明】本题主要考查了锐角与钝角三角形的充分必要条件证明；证明时注意用反证法；.题型10、巧用补集思想解题例10、（1）已知集合A＝{x∈R|2≤x＜3}，B＝{x∈R|k－1≤x＜2k－1}，若A∩B≠A，求实数k的取值范围；【提示】注意：理解补集思想，用好“正难则反”；【解析】若A∩B＝A，则A⊆B.又A＝{x∈R|2≤x＜3}，B＝{x∈R|k－1≤x＜2k－1}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－1≤2，,2k－1≥3，))解得2≤k≤3.又k∈R，所以当A∩B≠A时，实数k的取值范围为集合{k|2≤k≤3}的补集，即(－∞，2)∪(3，＋∞)．（2）设集合A＝{x|a≤x≤a＋4}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．【提示】A∩B≠∅，说明集合A，B有公共元素，由于在数轴上表示集合B的图形是两个断开的区域，需对集合A分多种情况讨论，求解比较繁琐．于是可从问题的反面入手，先由A∩B＝∅，求出a的取值范围，然后利用补集思想求解；【解析】当A∩B＝∅时，如图所示，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－1，,a＋4≤5，))解得－1≤a≤1；即A∩B＝∅时，实数a的取值范围为M＝{a|－1≤a≤1}．而A∩B≠∅时，实数a的取值范围显然是集合M在R中的补集，故实数a的取值范围为{a|a＜－1或a＞1}；【说明】在讨论一些较为复杂的问题时，可以先求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略，这就是补集思想；具体的讲，就是将研究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合A，则A的补集即为所求；补集的性质A＝∁U∁UA为我们提供了“正难则反”的解题思想——补集思想，有些数学问题，若直接从正面解决，要么解题思路不明朗，要么需要考虑的因素太多，因此，考虑用补集思想考虑其对立面，从而化繁为简，化难为易，开拓新的解题思路.题型11、例析综合题与创新题新高考下，高考数学命题遵循课程标准，深化基础性考查，注重数学本质与创造性思维，深入考查核心素养和关键能力，加强情境化设计，增强题目的开放性．新情境、新设问、新题型等都成为新高考的一个特色．机械刷题、套路解题已远远达不到新高考的要求，减少刷题、减少套路，重思维、提能力；例11、学校开运动会，设A={是参加100m跑的同学}，B={是参加200m跑的同学}，C={是参加400m跑的同学}，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）；（2）；【提示】（1）根据并集的定义得到答案；（2）根据交集的定义得到答案.【答案】；（1）表示参加100m跑或参加200m跑的同学；（2）表示既参加100m跑又参加400m跑的同学【解析】这项规定用集合表示：（1）表示参加100m跑或参加200m跑的同学；（2）表示既参加100m跑又参加400m跑的同学.【说明】本题考查了交集和并集的定义的理解，属于简单题.例12、已知A={满足条件p},B={满足条件q},（1）如果,那么p是q的什么条件?（2）如果,那么p是q的什么条件?（3）如果,那么p是q的什么条件?【提示】（1）根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可.（2）根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可.（3）根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可.【答案】（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件；【解析】（1）如果,则满足条件p也满足条件q.故p是q的充分条件.（2）如果,则满足条件q也满足条件p.故p是q的必要条件.（3）如果,则满足条件p满足条件q,且满足条件q也满足条件p.故p是q的充要条件.【说明】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件的关系；例13、已知f(x)是R上的奇函数，则“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的________(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．【答案】答案：充分不必要；【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以若x1＋x2＝0，则x1＝－x2，则f(x1)＝f(－x2)＝－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)＝0成立，即充分性成立；若f(x)＝0，满足f(x)是奇函数，当x1＝x2＝2时，满足f(x1)＝f(x2)＝0，此时满足f(x1)＋f(x2)＝0，但x1＋x2＝4≠0，即必要性不成立．故“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充分不必要条件．例14、设证明:的充要条件是.【提示】分别证明充分性与必要性即可.【解析】证明：（1）充分性:如果,那么,.（2）必要性:如果,那么,,.由(1)(2)知,的充要条件是；【说明】本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性；例15、已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．（1）若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围；（2）是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？【解析】（1）)A＝{x|0≤x≤2}，∴∁RA＝{x|x<0或x>2}．∵(∁RA)∪B＝R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤0，,a＋3≥2.))∴－1≤a≤0.（2）由(1)知(∁RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3，∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．即这样的a不存在．【说明】根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A⊆B的问题转化为AB或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面；例16、已知a≥eq\f(1,2)，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤eq\f(3,4).【解析】因为a≥eq\f(1,2)，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c的图象的对称轴方程为x＝eq\f(a,2a2)＝eq\f(1,2a)，且0＜eq\f(1,2a)≤1，当x＝eq\f(1,2a)时，y＝eq\f(1,4)＋c.先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1，即eq\f(1,4)＋c≤1，所以c≤eq\f(3,4).再证充分性：因为c≤eq\f(3,4)，当x＝eq\f(1,2a)时，y的最大值为eq\f(1,4)＋c≤eq\f(1,4)＋eq\f(3,4)＝1，所以对于任意x∈{x|0≤x≤1}，y＝－a2x2＋ax＋c≤1，即y≤1.即充分性成立．【说明】利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解；【备用题】1、已知关于的不等式的解集为不等式的解集；（1）设不等式等式的解集为，求；（2）若的解集为且是的一个必要不充分条件，求实数的取值范围；【提示】（1）根据二次不等式的解集求出，解二次不等式即可求解；，（2）化简，是的一个必要不充分条件，即，结合两根大小关系，分类讨论出即可求解；【答案】（1）；（2）；【解析】（1）由不等式的解集为，得，解得，则，即，解得，即，则.（2）由是的一个必要不充分条件，即，由，即，即，则当时，即时，，符合题意；当时，，由，则等号不能同时取，解得；当时，，由，则等号不能同时取，解得；综上，实数的取值范围是.2、定义区间、、、的长度均为，已知不等式的解集为.（1）求的长度；（2）函数（，）的定义域与值域都是（），求区间的最大长度；（3）关于的不等式的解集为，若的长度为6，求实数的取值范围；【提示】（1）解不等式得其解集即得区间长度；(2)由题意求出f（x）的定义域并化简解析式，判断出区间的范围和的单调性，由题意列出方程组，转化为m，n是方程的同号的相异实数根，利用韦达定理表示出mn和m+n，由判别式大于零求出a的范围，表示出n﹣m利用配方法化简后，由二次函数的性质求出最大值和a的值；（3）先求出A∩B⊆（0，6），再转化为不等式组，当x∈（0，6）时恒成立.分析两个恒成立问题即得t的取值范围；【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）解不等式得其解为-1≤x＜6，所以解集A区间长度为6-(-1)=7.(2)由题意得，函数的定义域是{x|x≠0}，∵[m，n]是其定义域的子集，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或（0，+∞）．∵f（x）=在[m，n]上是增函数，∴由条件得，则m，n是方程f（x）=x的同号相异的实数根，即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同号相异的实数根．∴mn=，m+n==，则△=（a2+a）2﹣4a2＞0，解得a＞1或a＜﹣3．∴n﹣m====，∴n﹣m的最大值为，此时，解得a=3.即在区间[m，n]的最大长度为．(3)因为x>0，A=[-1,6），的长度为6，所以A∩B⊆（0，6）.不等式log2x+log2（tx+3t）＜2等价于又A∩B⊆（0，6），不等式组的解集的各区间长度和为6，所以不等式组，当x∈（0，6）时恒成立.

当x∈（0，6）时，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0当x∈（0，6）时，不等式tx2+3tx﹣4＜0恒成立，即恒成立

当x∈（0，6）时，的取值范围为，所以实数综上所述，t的取值范围为【说明】本题考查一个新定义问题，即区间的长度，本题解题的关键是对于条件中所给的三种不同的题目进行整理变化，灵活解答函数的最值问题和恒成立问题.一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）1、已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的取值为【答案】1或3；【解析】因为5∈M，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，解得m＝3，或m＝1，m＝－1.当m＝3时，M＝{1,5,13}，符合题意；当m＝1时，M＝{1,3,5}，符合题意；当m＝－1时，M＝{1,1,5}，不满足集合中元素的互异性，不成立，所以m＝3或m＝1.2、若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(9,8)，或a＝0))))；【解析】若a＝0，则集合A＝{x|3x＋2＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))，符合题意；若a≠0，则Δ＝9－8a≤0，解得a≥eq\f(9,8)，符合题意．综上所述，实数a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(9,8)，或a＝0))))；答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(9,8)，或a＝0))))3、设全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∪(∁UB)＝________________【答案】{x|x≤1}；【解析】∵B＝{x|x＞1}，∴∁UB＝{x|x≤1}，则A∪(∁UB)＝{x|x≤1}；4、命题“对于任意的1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是_______________【答案】{a|a≤1}；【解析】命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∴a≤1；5、定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________．【答案】18；【解析】当x＝0时，y＝2、3，对应的z＝0；当x＝1时，y＝2、3，对应的z＝6、12.即A⊙B＝{0,6,12}．故集合A⊙B的所有元素之和为18；6、已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|y＝lg(x－3)}，则图中阴影部分表示的集合为【答案】{1,2,3}；【解析】∵全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|y＝lg(x－3)}＝{x|x＞3}，∴∁UB＝{x|x≤3}．∴图中阴影部分表示的集合为：A∩(∁UB)＝{1,2,3}．7、已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，则具有性质“若x∈A，则eq\f(1,x)∈A”的A的所有非空子集的个数为个【答案】7；【解析】满足“x∈A，且eq\f(1,x)∈A”的A的非空子集为{1}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1，3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,3)，2，3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,3)，1，2，3))，共7个；8、已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1,2,3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为________________【答案】[1，＋∞)；【解析】集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1,2,3}，若A∩B≠∅，则1,2,3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1；答案：[1，＋∞)9、已知“x2－x－2＞0”是“2x＋p＞0”的必要条件，则实数p的取值范围是________．【答案】(－∞，－4]【解析】由2x＋p＞0，得x＞－eq\f(p,2)，令A＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＞－\f(p,2)))))，由x2－x－2＞0，解得x＞2或x＜－1，令B＝{x|x＞2或x＜－1}，由题意知A⊆B时，即－eq\f(p,2)≥2，解得p≤－4，∴实数p的取值范围是(－∞，－4]．10、若“x2－x－6＞0”是“x＞a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．【答案】3；【解析】由x2－x－6＞0，解得x＜－2或x＞3.因为“x2－x－6＞0”是“x＞a”的必要不充分条件，所以{x|x＞a}是{x|x＜－2或x＞3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3；答案：3；二、选择题（共4小题每小题4分，满分16分）11、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%【答案】C；【解析】设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，由题意，可得x＋z＝60，x＋y＋z＝96，y＋z＝82，解得z＝46.∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%.12、已知集合A＝{1,2,3，…，n}(n≥2，n∈N)，集合B＝{j1，j2，…，jk}(k≥2，k∈N)是集合A的子集．若1≤j1＜j2＜…＜jk≤n且ji＋1－ji≥m(i＝1,2，…，k－1)，符合题意的集合B的个数记为n(k⊕m)，则7(3⊕2)＝（）A．9B．10C．11D．12【答案】B；【解析】由题意可得n＝7，k＝3，m＝2，那么集合A＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合B＝{j1，j2，j3},1≤j1＜j2＜j3≤7且ji＋1－ji≥2(i＝1,2)，符合题意的集合B列举出来可得{1,3,5}，{1,3,6}，{1,3,7}，{1,4,6}，{1,4,7}，{1,5,7}，{2,4,6}，{2,4,7}，{2,5,7}，{3,5,7}，共10个；答案：B；13、若集合A＝{x|x2－5x＋4＜0}，B＝{x||x－a|＜1}，则“a∈(2,3)”是“B⊆A”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A；【解析】A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|a－1＜x＜a＋1}；∵B⊆A，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≥1，,a＋1≤4，))即2≤a≤3.∵(2,3)[2,3]，∴“a∈(2,3)”是“B⊆A”的充分不必要条件；答案：A；14、满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是（）【答案】C；【解析】由题图A，闭合开关K1或者闭合开关K2都可以使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，不一定非要闭合开关K1，因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充分不必要条件．由题图B，闭