专题08 二次函数中特殊四边形存在性问题（解析版）（人教版）

专题08二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S.①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标.(3)如图2，设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D，在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.y2=①S=t；②点P到直线BC的距离的最大值为此时点P的坐标为(3)存在，M(1,6)【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；)，则点F的坐标为(t,t+3)，根据三角形的面积公式得出②根据二次函数的性质得出当取最大值，最大值为勾股定理求得BC，等面积法求得点P到直线BC的距离，进而得出P的坐标；（3）如图2，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，因为抛物线y=一x2+bx+c与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，所以抛物线的对称轴为直线x=1，由平行四边形的性质及平移规律可求出点M的坐标；当xP¹2时，不存在.得解得：（2）①在图1中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F.解得：2∴当t=取最大值，最大值为.+OC2∴点P到直线BC的距离的最大值为2+2×则此时点P的坐标为（3）如图2，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，:抛物线的对称轴为直线x=1，:xP=2，:P(2,3)，:C(0,3)，:yC一yD=3，:yM一yP=3，:yM=6，:点M的坐标为(1,6)；当xP¹2时，不存在，理由如下，若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，:点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，又:xP¹2，:不存在，【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，函数的思想求极值，平行四边形的存在性等，解题关键是能够灵活运用平行四边形的性质及判定等.【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧直线y=x+m与抛物线交于A、C两点.(1)求点C的坐标；(2)点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交AC于E点，当EP最长时求此时点P的坐标；(3)抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以A,B,M,N为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由.【答案】(1)C(4,5)【详解】（1）解：在y=x2-2x-3中，令y=0，得x2-2x-3=0，:A(-1,0),B(3,0)，:直线y=x+m经过点A(-1,0)，:直线AC的解析式为y=x+1，联立方程组，得2x-3，解得:C(4,5)；（2）如图1，设点P(n,n2-2n-3)，则点E(n,n+1)，:PE=n+1-=-n2+3n+4=-，:-1<0，:当n=时，PE取得最大值，此时，P（3）:y=x2-2x-3=(x-1)2-4，如图2，点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形时，设N(m,n)，分三种情况：①BM为对角线时，AN的中点与BM的中点重合，②AM为对角线时，BN的中点与AM的中点重合，:N2(-3，③AB为对角线时，MN的中点与AB的中点重合，:N3(1,4)，【点睛】本题考查了求抛物线与x轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，平行四边形的性质，要分情况讨论求解，以防遗漏.【变式训练2】如图，抛物线y=ax2+bx-经过A两点.(1)求此拋物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA+PC值最小，求最小值；(3)点M为x轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.x2-2x-【分析】（1）把A(-1,0)，B(5,0)两点代入求出a、b的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为(5,0)，连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论.【详解】（1）解：:抛物线y=ax2+bx-经过A两点，：，:此拋物线的解析式为x2-2x-（2）如图，连接BC，交对称轴于点P，:拋物线的解析式为x2-2x- :其对称轴为直线当x=0时又:B(5,0)，:设BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，：，:BC的解析式为（3）存在，如图所示：①当点N在x轴下方时，:抛物线的对称轴为x=2，C，②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D丄x轴于点D，在△AN2D和△M2CO中:△AN2D≌△M2CO:N2D=OC=，即N2点的纵坐标为x2-2x-解得：x=2+或x=2-，综上所述符合条件的N的坐标有【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，两点间距离的求解，在解答（3）时要注意进行分类讨论.【变式训练3】综合与实践如图，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧与y轴交于点C，点B的坐标是(4，0)，点C的坐标是(0，2)，抛物线的对称轴交x轴于点D．连接CD.(1)求抛物线的解析式：(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标.存在，或或【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）分两种情况：以C为顶点，即CP=CD；以D为顶点，即CD=PD，利用勾股定理及等腰三角形的定义建立方程即可完成；（3）分三种情况：当BC是对角线时；当BE是对角线时；当BF是对角线时；分别设点E与F的坐标，利用中点坐标公式即可求解.解得：∴所求抛物线解析式为x+2；（2）解：存在2(2,由抛物线解析式知，其对称轴为直线x=3，D(|32(2,2①以C为顶点，即CP=CD时；(3)∴点P的坐标|(2,4,|(3)②以D为顶点，即CD=PD时，则t2=，((35)(35)∴点P的坐标为|(2,2,|或|(2,-2,|，((3)(35)(35)综上，点P的坐标为|,4|或|-综上，点P的坐标为|,4|或|--|或|-|；（3）解：设点E的坐标为(m,0)，点F的坐标为①当BC是对角线时；解得：或∴点E的坐标(1,0)；②当BE是对角线时；解得：(-5+·41)(-5-·41)(2,(2,∴点E的坐标为|,0|或(2,(2,③当BF是对角线时；解得：或∴点E的坐标(7,0)；综上，点E的坐标为或或或【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，中点坐标公式，勾股定理等知识，本题有一定的综合性，注意分类讨论.为D.(1)求抛物线的表达式；(2)若点E在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为7·3，求点E的坐标；(3)在（2）的条件下，若点F是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且LEFG=60。，如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由.3x2(3)存在，点G的坐标为或【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）方法一：连接DB，过点E作EP∥y轴交BD于点P．先求得直线BD的表达式为：x,-2y3x+6v3)，则+4·3x-3·3，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；方法二：令抛物线的对称轴与x轴交于点M，过点E作EN丄x轴于点N，设E利用面积构造一元二次方程求解即可得解；（3）如下图，连接CG，DG，由菱形及等边三角形的性质证明ΔCEG≌ΔDEF得又连接CG，DG，CF，证ΔDGE≌ΔCFE．得DG=CF，又证ΔCDG≌ΔCEG．得LDCG=LECG=30。．进而求得直线CG的表达式为3x+3联立方程组求解即可.∴抛物线的表达式为：y=-3x2+23x+33.（2）解：方法一：如下图，连接DB，过点E作EP∥y轴交BD于点P.∴D.解得x=-1或x=3，设直线BD为y=kx+b，解得，， 2整理得x2-4x+4=0，解得x1=x2=2..抛物线的对称轴与x轴交于点M，过点E作EN丄x轴于点N，)，∴BN=3-x，MN=x-12.(3-x) 2整理得x2-4x+4=0，解得x1=x2=2..（3）解：存在，点G的坐标为或如下图，连接CG，DG，∴△EFG是等边三角形.∵E，+12=2，点C与点E关于对称轴x=1对称，∴△DCE是等边三角形，LEDF=LCDE，∴点G坐标为如下图，连接CG，DG，CF，同理可证：△EFG是等边三角形，△DCE是等边三角形，ΔDGE≌ΔCFE.∴与抛物线表达式联立得∴点G坐标为.【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，一元二次方程的应用，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式是解题的关键.(1)求抛物线的表达式；(2)若点D是直线AC上方拋物线上一动点，连接BC，AD和BD，BD交AC于点M，设△ADM的面积为S1，△BCM的面积为S2，当S1-S2=1时，求点D的坐标；(3)如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作PQ丄x轴交直线AC于Q点，请问在y轴上是否存在点E，使以P，Q，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)y=-x2+2x+3(3)符合条件的点E有三个，坐标为)代入解析式求解即可；程求解即可；（3）分类当CQ为对角线和菱形边时，利用直线AC与x轴成45。角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标.【详解】（1）把点A(3,0)和B(-1,0)代入得解得：，:抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）设D(x,y)，对于抛物线y=-x2+2x+3，令x=0，则y=3，:C(0,3).:S-S=112，:S1:S-S=12:点D的坐标是或（3）设直线AC解析式是y=kx+b，①当CQ为菱形的对角线时，如图2，PE垂直平分CQ，此时四边形CEQP是正方形.:PQ=EQ.+3m，=m，解得m=0（不合题意舍去）或m②当CQ为菱形的边时，如图3，综上所述，符合条件的点E有三个，坐标为【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键.【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线x2-x+4与x轴分别交于A，B两点（点A在点B左侧与y轴交于C点.(1)求△ABC的面积；(2)点P为直线AC上方抛物线上的任意一点，过点P作PDⅡy轴交直线AC于点D，求 PD+CD的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点E为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点M为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点N为坐标平面内的一点，直接写出所有使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的求解过程写出来.【答案】(1)12；【分析】（1）根据抛物线的解析式及抛物线与x轴的交点坐标即可解答；最后利用两点之间的距离公式及等腰直角三角形的性质得到2CD=-即可解答；（3）根据平移规律得到新抛物线的解析式及对称轴，再根据菱形的性质分情况讨论即可解答.∵抛物线x2-x+4与x轴分别交于A，B两点（点A在点B左侧-4-∴设直线AC的解析式为y=kx+b，：，∴直线AC的解析式为y=x+4；∴设点P ∴PD+CD的最大值为， ∴当PD+CD的最大值时，m=-3，∵将抛物线x2-x+4沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，∴新抛物线为：y=-∴原抛物线与新抛物线的交点，)，当EB为菱形的边长时，设M(1，m)，2，∵E、M的中点坐标位∴N、B的中点坐标，∵当BE为对角线时，无法形成菱形，∴点N不存在，或者【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数与特殊图形，二次函数的平移规律，掌握二次函数与特殊图形的位置关系是解题的关键.例．已知抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)交x轴于点A(4,0)和点B(-2,0)，交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P是抛物线上位于直线AC下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，交x轴于点E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标及PD+PE最大值.(3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且AC为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由.x2-x-4(3)M(-4,8)、N(-8,4)【分析】（1）把点A(4,0)和点B(-2,0)代入抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)，解方程即可得到（2）先用待定系数法求出直线AC的解析式，再设P然后求出PD+PE=-由函数的性质求出PD+PE取最大值时t的值，即可求出点P的坐标；（3）假设抛物线上是存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且AC为一条边的四边形为矩形，过点O作OH丄AC于一点H，可求得AH的解析式，则可设出过点A且与OH平行的直线解析式，经计算验证可得过点A的直线MA与抛物线有交点M，联立方程可求得M的坐标，通过平移即可求得点N的坐标.【详解】（1）解：把点A(4,0)和点B(-2,0)代入抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)，得解得，∴抛物线的解析式为x2-x-4；（2）解：由（1）知，点C的坐标为(0,-4)，设直线AC的解析式为y=mx+n，解得∴直线AC的解析式为y=x-4，∴当t=时，PD+PE有最大值，最大值为，此时点P的坐标为（3）解：过点O作OH丄AC于一点H，如图所示：,∴△OAC为等腰直角三角形，∴点H为AC的中点，即H(2,-2)，则OH所在的直线方程为y=-x，∵四边形AMNC为矩形，∴过A与直线AC相垂直的直线函数解析式中的k值与OH的解析式的k值相同，∴设AM所在的直线解析式为y=-x+b1，∵点A在直线AM上，∴可求得b1=4，即AM所在的直线解析式为y=-x+4，联立AM的直线方程与抛物线的解析式，得解得或，其中(4,0)为点A的坐标，即M(-4,8)，∵四边形AMNC为矩形，MNⅡAC且MN=AC，根据点A与点C的关系，把点M向下平移4个单位长度，再向左平移4个单位长度，可得到点N的坐标，即N(-8,4).【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数的最值，特殊四边形的交点坐标，坐标平移，用待定系数法确定函数解析式是解本题的关键.【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L:y=x-1交x轴于A、B两点，交y轴于点C.(1)求点A、B、C的坐标；(2)将抛物线L向右平移1个单位，得到新抛物线L9，点E在坐标平面内，在新抛物线L9的对称轴l上是否存在点D，使得以A、C、D、E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)A(-1,0)，B(3(2)存在，点D的坐标为(2,1)或(2,3)【分析】（1）分别令y=0和x=0，求解即可；（2）先求得平移后的抛物线L9的解析式，再分情况讨论：当AD为对角线时，当AC为对角线时，根据矩形的性质求解即可.解：令y=0，则0=x-1，:A(-1,0)，B(3,0)令x=0，则y=-1，:C(0,-1).:L:y=x-1=:对称轴l为x=2.当AC为边时，分两种情况：当AD为对角线时，连接AC，过点C作AC的垂线，交l于点D，交x轴于点G，:A(-1,0)，C(0,-1)，:上OCA=45。:上OCG=45。:G(1,0).设CG所在直线解析式为y=kx+b，解得:CG所在直线解析式为y=x-1，:D(2,1).当AD为边时，同理过点A作AC的垂线，交l于点D¢,交y轴于点H，易得AH所在直线解析式为y=x+1，则AH与对称轴l的交点坐标为D,(2,3).当AC为对角线时，DE也为对角线，易得DE=AC=·,由图可知此时点D不可能在l上，:此种情况不存在.综上，在新抛物线L,的对称轴l上存在点D，使得以A、C、D、E为顶点的四边形是矩形，点D的坐标为(2,1)或(2,3).【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，矩形的性质，分类讨论是解题的关键.【变式训练2】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0)，B((1)求抛物线的表达式；(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设△PBC的面积为S，求S的最大值及此时点P的坐标；(3)已知M是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点N，使以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)y=-x2+2x+3(2)S最大值为，存在，点N或或或【分析】（1）运用抛物线交点式解析式求解，设抛物线y=a(x+1)(x-3)，点B(0,3)代入求解；（2）如图，过点P作PD丄AC，垂足为点D，交BC于点E，设P(m,-m2+2m+3)，确定BC的解析式y=-x+3，于是PE=-m2+3m，从而S=PE.OC=-所以时，S最大值为，进而求得；（3）设M(1,p)，如图，BC2=18，BM2=p2-6p+10，CM2=p2+4，分类讨论：当BC为对角线时，上BMC=90。，由勾股定理，BM2+CM2=BC2，解得p=设点,则从而得点或N；另当BM为对角【详解】（1）解：设抛物线y=a(x+1)(x-3)，2+2x+3.（2）如图，过点P作PD丄AC，垂足为点D，交BC于点E，设P(m,-m2+2m+3)设直线BC的解析式为y=kx+h(k¹0)，得则点E(m,-m+3)，PE=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3mPE.OC=∴当m=最大值为（3）存在.设M(1,p)，如图，BC2=32+32=18，BM2=(1-0)2+(p-3)2=p2-6p+10，CM2=(1-3)2+(p-0)2=p2+4由勾股定理，BM2+CM2=BC2∴p2-6p+10+p2+4=18，解得p=设点N(n,q)，则解得或N如图，当BM为对角线时，上BCM=90。BM2=CM2+BC2，即p2-6p+10=p2+4+18，解得p=-2，则解得∴点N(-2,1)如图，当CM为对角线时，上MBC=90。BM2+BC2=CM2，即p2-6p+10+18=p2+4，解得p=4，则解得∴点N(4,1)综上或或或【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与面积最值问题，二次函数与矩形存在性问题，注意分类讨论，运用数形结合思想，将图形信息转化为数量关系是解题的关键.例．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点，P是位于对称轴左侧的抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的对称轴方程；(2)若点P满足上PAB=上PBA，求点P的坐标；(3)设M是抛物线的对称轴上一点，N是坐标平面内一点，若四边形AMPN是正方形，求此正方形的面积.(3)正方形AMPN的面积为或【分析】（1）由y=x+4可知A(-4,0)，B(0,4)，进而求得抛物线解析式为y=-x2-3x+4，即可得抛物线的对称轴方程；（2）由题意可知上PAB=上PBA，可知PA=PB，进而值OP为线段AB的垂直平分线，设其与AB交于点Q，可得Q(-2,2)，可求得OP的解析式为y=-x，联立y=-x2-3x+4求解（3）由四边形AMPN是正方形，可知△AMP是等腰直角三角形，可得AM=PM，上AMP=90。，设M，x=-与x轴交于点C，分当点M在x轴上方时和当点M在x轴下方时分别进行讨论求解即可.【详解】（1）解：∵直线y=x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴抛物线解析式为y=-x2-3x+4，∴抛物线的对称轴方程为∴OP为线段AB的垂直平分线，设其与AB交于点Q，则点Q的横坐标为：xQ==-2，纵坐标为：yQ=，设OP的解析式为y=kx，代入Q(-2,2)，可得2=-2k，解得k=-1，∴OP的解析式为y=-x，（3）∵四边形AMPN是正方形，∴△AMP是等腰直角三角形，设，x=-与x轴交于点C，当点M在x轴上方时，过点P作PD丄MC于D，此时m>0，∴△PDM≌△MCA(AAS)，在抛物线y=-x2-3x+4上，∴正方形AMPN的面积为；当点M在x轴下方时，过点P作PE丄MC于E，此时m<0，∴△PEM≌△MCA(AAS)，在抛物线y=-x2-3x+4上，∴正方形AMPN的面积为；综上，正方形AMPN的面积为或.【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，垂直平分线的判定，正方形的性质及全等三角形的判定及性质，添加辅助线，利用数形结合是解决问题的关键.【变式训练1】如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧与y轴交于点C．连接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线PD丄x轴于点D．交BC于点E．过点P作BC的平行线，交y轴于点M.(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)在点P的运动过程中，求使四边形CEPM为菱形时，m的值；(3)点N为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线PM上是否存在点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.法解答，即可求解；（2）作CH丄PE于点H，根据题意可得△BOC是等腰直角三角形，从而得到上DBE=45。，进而得到△CEH是等腰直角三角形，可得到2CH，再由点P(m,-m2+2m+3)，可得PE=-m2+3m，CH=m，CE=然后根据菱形的性质CE=PE，可得到关于m的方程，即可求解；由得：点P可得PE=32-2，再求出直线PM的解析式为y=-x+32+1，过点E作EQ丄PE交直线PM于点Q，可得PE=EQ，此时点 使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形；过点E作EQ丄PM于点Q，过点Q作SQ^y轴于点S，可得△PEQ，△PSQ是等腰直角三角形，∴此时点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形，即可. 设直线BC的函数表达式为y=kx+b，：，直线BC的函数表达式为y=-x+3；（2）解：如图，作CH丄PE于点H，∴△BOC是等腰直角三角形，∴△CEH是等腰直角三角形， 2 ∵四边形CEPM为菱形， 解得m=32或0（舍去（3）解：存在，根据题意可设直线PM的解析式为y=—x+a，把点P(3,42)代入，得： ∴直线PM的解析式为y=—x+32+1，如图，过点E作EQ丄PE交直线PM于点Q，此时点使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形；如图，过点E作EQ丄PM于点Q，过点Q作SQ^y轴于点S，∵PMⅡBC，∴△PEQ，△PSQ是等腰直角三角形，∴此时点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形；对于y=x+3，此时点综上所述，存在点Q(2:2+1,s2)或使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形.【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求一次函数解析式，正方形的性质，二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键.【变式训练2】如图，抛物线x2+bx+c与x轴交于点A和点B(4，0)，与y轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EHⅡx轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为x2+x+4；(3)点N的坐标为或【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC的解析式为y=-x+4，设E利用对称性质求得，推出GH-EF=-x2+2x，GF-EH=2x-2，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；（3）先求得直线AC的解析式为y=2x+4，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，证明△OEP≌△MOQ，推出PE=OQ，PO=MQ，设E则,由点M在直线AC上，列式计算，可求得m的值，利用平移的性质即可求解.解得∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4；解得k=-1，∴直线BC的解析式为y=-x+4， ∵解析式的对称轴为，∴GF-EH=x-(4-x)=2x-2，解得x=5（舍去）或x=3，（3）解：令y=0，则-x2+x+4=0，同理，直线AC的解析式为y=2x+4，∵四边形OENM是正方形，∵点M在直线AC上，即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形OENM是正方形，此时N(4，4)；当m=-1时，M，5点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，2则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，综上，点N的坐标为或【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论.1．如图1，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作PM∥y轴交BC于点M，过点Q作QNⅡy轴交BC于点N，求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标；(3)如图3，将抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y,，在y,的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2-2x-3【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；（2）设P(a,a2-2a-3)，则Q(a+1,a2-4)，进而得到M(a,a-3)，N(a+1,a-2)；再表示出PM+QN=-2a2+4a+2=-2(a-1)2+4，最后根据二次函数的性质即可解答；（3）分以BC为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可.【详解】（1）解：把A(-1,0)和B(3,0)代入y∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.（2）解：设P(a,a2-2a-3)，则Q(a+1,a2-4).又lBC:y=x-3∴Q(2,-3).（3）解：由题意可得：y9=(x-1)2-2(x-1)-3-1=x2-x-=(x-2)2-5，如图：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF丄y轴，∴点C向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到E(5,-3)；如图：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y9的对称轴为x=2与x轴交于F，∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E(-1,-2)；如图：当BC为矩形对角线时，设D(2,d)，E(m,n)，又∵DE=BC,22，解得：联立解得：，的四边形是矩形.【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键.2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的动点.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点D为直线y=x上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标；(3)已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P，C，E，Q为顶点的四边形是以PC为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)y=x2-2x-3【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）作直线BC，过P作PH丄x轴于点G，交BC于点H．设P(m,m2-2m-3)，则2从而求出此时四边形PBDC面积的最大值，P点坐标；（3）设P(m,m2-2m-3)，E(n,0)，分四种情况画出图形，利用正方形性质求解即可.【详解】（1）解：将A(-1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx-3中，得解得:该抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3.（2）解：作直线BC，过P作PH丄x轴于点G，交BC于点H.设直线BC的表达式为：y=kx+n，将得解得△CPH△BPH:当m=时，△BPC面积的最大值为.:BC与直线y=x平行，:四边形PBDC面积的最大值为.∵四边形PECQ为正方形，∴点Q(3,3)，作PI丄x轴，垂足为I，作QH丄y轴，垂足为H，∴△OCE三△PEI(ASA)22m3，III.如解图3-3，当四边形PECQ为正方形时，IV.如解图3-4，当四边形PECQ为正方形时，mm综上所述：点Q坐标为【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、正方形性质、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题.3．如图，抛物线x2+bx+c与x轴交于两点，直线y=—与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E.(1)求出抛物线与直线的解析式；(2)已知点K为线段AD上一动点，过点K作y轴的平行线交抛物线于点H，连接DH、AH，求△AHD的最大面积；(3)若点M是x轴上的一动点，点N是抛物线上一动点，当以点E、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形时，请你直接写出符合条件的点N的坐标.【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）先求得点D的坐标，当KH取得最大值时，△AHD的面积取得最大值则进而表示出KH，根据二次函数的性质求得KH的最大值，即可求解；（3）先求得E点的坐标，分BE为对角线与边两种情况讨论，根据平行四边形的性质即可求解.解得：∴抛物线解析式为x-2；将点A(4,0)代入y=-x+m，∴直线解析式为：y=-x+2；（2）依题意，联立lly1=0ly1∴D(-2,3)△AHD=A-xD)×KH=4-(-2)×KH=3KH,∴当KH取得最大值时，△AHD的面积取得最大值，-a-2),|2∴a=-1时，KH取得最大值为，（3）∵E是y=-x+2与y轴的交点，①当BE为边时，∵B(-1,0)，E(0,2)，